Příspěvek se zabývá slavnou Pellovou rovnicí a souvisejícími (reálnými) kvadratickými okruhy. Ukážeme si důkaz existence jejích netriviálních řešeních vycházející z tzv. diofantických aproximací, popíšeme grupovou strukturu jednotek v reálném kvadratickém okruhu a projdeme některé zajímavé úlohy a aplikace.

Jak se chová násobení a mocnění mod n? S pomocí primitivního prvku si zadefinujeme diskrétní logaritmus a ukážeme, jak skrze grupy nahlížet na řády, kvadratické zbytky a další.

Jak zkrotit funkci aplikovanou mnohokrát za sebou? Nakreslíme si obrázek a vydáme se na cestu po šipkách. Možná půjdeme do nekonečna a ještě dál, anebo se možná dostaneme do bludného kruhu, ale s trochou štěstí nám obojí něco poví o zkoumané funkci.

V teorii čísel se občas vyplatí vědět nejen to, zda jedno číslo dělí druhé, ale i jak moc ho dělí. To vystihují p-valuace. Postupně se naučíme počítat je v rozmanitých situacích a používat je k dokazování dělitelností a řešení rovnic

Ukážeme si, jak se koukat na úlohy modulo více různých čísel naráz, jak tyto pohledy skládat dohromady, a hlavně k čemu je to všechno dobré. Dokážeme Čínskou zbytkovou větu a procvičíme dva hlavní způsoby jejího použití: vyrábění čísel s hromadou dobrých vlastností v konstrukčních úlohách a lámání problému na více menších kousků v důkazových úlohách.

V příspěvku si představíme hromadu funkcionálních dělitelností – úloh, kde podobně jako ve funkcionálních rovnicích hledáme jako řešení nějakou funkci, avšak využíváme k tomu poznatky z teorie čísel. Postupy řešení, které si ukážeme, tak budou obnášet hlavně vhodné úpravy dělence, vlastnosti prvočísel a chytrá dosazení k výrobě prvočíselných tvarů.

Když se v úloze sejdou druhé mocniny s nějakou dělitelností či kongruencí, často přijde ke slovu jednoduchý fenomén - ne všechny zbytky lze získat ze čtverců. V tomto příspěvku si ukážeme, jak toho využít v řešení diofantických rovnic, a vybudujeme teoretické nástroje k rozhodování, které zbytky jsou kvadratické a které nikoliv. Po cestě vyřešíme spoustu úloh, od jednoduchých hříček až po tvrdé oříšky vyžadující k vyřešení silné kanóny.

Na polynomy klasicky nahlížíme jako na funkce, které shodou okolností mají hezký předpis. Nový úhel pohledu se však otevírá, začneme-li místo toho s polynomy zacházet jako s formálními výrazy, do kterých se shodou okolností dá dosazovat. To nám umožní zkoumat jejich čísloteoretické vlastnosti jako dělitelnost, ireducibilitu nebo třeba násobnost kořenů. Tímto přístupem trochu zabrousíme do vysokoškolské teorie, ale získané nástroje dobře upotřebíme ke zdolání olympiádních úloh.

Počínaje úlohou číslo 6 z IMO 1988 lze v olympiádách narazit na magické úlohy, které požadují vyvodit ze zdánlivě tuctových dělitelností neuvěřitelně silné závěry. Metodou pro řešení úloh s touto dosti specifickou příchutí je Vieta jumping -- dosti specifická souhra Viètových vztahů a klasického nekonečného sestupu. V této přednášce zkusíme Vieta jumpingu odebrat jeho magickou auru, prohlédnout si každou jeho přísadu zvlášť a získat hezkou obrázkovou představu pro přeskakování mezi kořeny.

Teorie čísel a geometrie. Že spolu pramálo souvisí? Omyl! Prozkoumáme geometrické vlastnosti mřížových bodů a ukážeme, jak s jejich pomocí rozlousknout některé oříšky z teorie čísel. Cesta nás provede mlhavým trojmezím geometrie, teorie čísel a kombinatoriky s občasnou odbočkou do vysokoškolské algebry.

Jak zkrotit funkci aplikovanou mnohokrát za sebou? Nakreslíme si obrázek a vydáme se na cestu po šipkách. Možná půjdeme do nekonečna a ještě dál, anebo se možná dostaneme do bludného kruhu, ale s trochou štěstí nám obojí něco poví o zkoumané funkci.

Nepříliš vtipný vtip o statisticích praví: „Vydají se tři statistici na lov a narazí na PraSe. První statistik vystřelí, ale mine zleva. Druhý vystřelí, ale mine zprava. ,Máme ho!‘, prohlásí nadšeně třetí.ÿ Tento vtip, vzdor profesi svých protagonistů, poměrně věrně popisuje kombinatorickou techniku zvanou diskrétní spojitost: když veličina dovede být velká i malá a neumí přeskakovat hodnoty uprostřed, pak je musí taky trefit.

Základní myšlenkou analytické teorie čísel je vzít divokou veličinu, která v sobě kóduje zajímavou informaci (třeba rozložení prvočísel), odhadnout ji hezčí funkcí a něco z toho vyvodit. Ukážeme si, že myšlenky podobného rázu mohou najít uplatnění i v olympiádních úlohách, a prozkoumáme také, jak může konvergence posloupností pomoci v úlohách s celými čísly.

Počítat modulo prvočíslo je fajn: skoro všechno má multiplikativní inverz a platí zde spousta užitečných větiček. V tomto příspěvku tyto poznatky zobecníme do pojmu konečného tělesa a ukážeme, že ač musíme některé exempláře hledat v exotických místech, stojí to za to. Standardní vysokoškolskou teorii odložíme na závěr, namísto toho se budeme co nejvíce věnovat olympiádním aplikacím.

Dozvíme-li se několik bodů, jimiž prochází graf neznámého polynomu, co z toho o něm můžeme vyvodit? Ukážeme si, že celkem dost.