Chat Prasátek

Chat řešitelů a organizátorů Matematického korespondenčního semináře. Dotazy týkající se úloh z aktuálních sérií směřujte na e-mail info (zavináč) prase.cz.

Klára Churá | 8. 12. 2020 17:14:24

Pro ty z vás, které jsem ještě nepřepadla: Vyrobila jsem matematický adventní kalendář k nalezení na https://clarech712.wixsite.com/mac2020!

Matematická sekce (689)

Tady se můžete zeptat na cokoliv, co se týká matematiky.

Dominik Stejskal | org | 13. 5. 2021 03:36:46

Než dojde další ročník ke svému konci, je tu ještě jedna várka hintů ke 4. jarní sérii. :)

Úloha 1.
(a) + skrytý text

Ukaž, že body $\textstyle M$ , $\textstyle E$ , $\textstyle C$ a $\textstyle F$ leží na jedné kružnici.

(b) + skrytý text

Překlop body $\textstyle B$ a $\textstyle D$ po řadě podle úseček $\textstyle AE$ a $\textstyle AF$ a označ obrazy $\textstyle B$ , $\textstyle D$ . Ukaž, že $\textstyle A$ , $\textstyle B$ , $\textstyle D$ leží na přímce a $\textstyle B$ je rovnoběžník. + skrytý text

V rovnoběžníku se půlí úhlopříčky. Následně hledej shodné trojúhelníky.

Úloha 2.
(a) + skrytý text

V pravoúhlém trojúhelníku je poloměr kružnice vepsané = (odvěsna + odvěsna - přepona) / 2.

(b) + skrytý text

Rozděl vyhovující permutace na skupinky po $\textstyle p^2$ . + skrytý text

Pokud $\textstyle (a_1, a_2, \dots, a_p)$ vyhovuje, pak vyhovují i permutace tvaru $\textstyle (a_{1 + 1}, a_{2 + 1}, \dots, a_{p + 1})$ a $\textstyle (a_1 + 1, a_2 + 1, \dots, a_p + 1)$ , kde $\textstyle p + 1 = 1$ . + skrytý text

Rozmysli si, že opakovanou aplikací tohoto algoritmu lze dostat přesně permutace tvaru $\textstyle (a_{1 + k} + \ell, a_{2 + k} + \ell, \dots, a_{p + k} + \ell)$ , kde $\textstyle k, \ell \in \{0, 1, \dots, p - 1 \}$ a všechny indexy a hodnoty bereme modulo $\textstyle p$ mezi $\textstyle 1$ a $\textstyle p$ . Takto vyrobíme spoustu disjunktních skupinek vyhovujících permutací, které jsou velké nejvýše $\textstyle p^2$ . Které z nich jsou menší než $\textstyle p^2$ ? + skrytý text

Ukaž, že to jsou přesně permutace s konstantní diferencí $\textstyle d = a_{i + 1} - a_i$ pro všechna $\textstyle i \in \{2, 3, \dots, p\}$ .

Úloha 3.
(a) + skrytý text

Podívej se na cestu mezi políčky s čísly $\textstyle 1$ a $\textstyle n^2$ .

(b) + skrytý text

Kolik je kostiček potřeba k tomu, aby se už další nedala přiložit do jednoho čtverce $\textstyle 4\times 4$ ?

Úloha 4.
(a) + skrytý text

$\textstyle XY$ prochází středem čtverce.

(b) + skrytý text

Uvažme nejmenší kruh obsahující všechny body. Můžou všechny body na okraji být součástí jedné půlkružnice?

Úloha 5.
(a) + skrytý text

V některou hodinu budou u trezoru 3 orgové. + skrytý text

Jednoho z nich lze propustit.

Úloha 6.
(a) + skrytý text

Velká prvočísla by bylo potřeba spárovat s jedničkou. + skrytý text

Jde zařídit 12 celočíselných zlomků.

(b) + skrytý text

Jde to pro všechna $\textstyle n$ . Konstruuj $\textstyle n$ -tici induktivně. + skrytý text

Přidej nulu a ke všemu přičti vhodné číslo.

Úloha 7.
(a) + skrytý text

$\textstyle MN$ je těžnice v $\textstyle ANB$ i $\textstyle CMD$ .

(b) + skrytý text

Chceš dokázat $\textstyle \frac{|AX|}{|AY|}=\frac{|BX|}{|BY|}$ . + skrytý text

$\textstyle XY$ a společné tečny z bodů $\textstyle A$ , $\textstyle B$ se protínají v jediném bodě $\textstyle T$ .

Matematika v příspěvcích

Do příspěvků lze vkládat matematické vzorce napsané v TeXu. Seznam značek naleznete na této stránce.

RSS kanály

Pokud chcete mít přehled o nejnovějších příspěvcích, použijte RSS:

Všechny příspěvky | Pokec | Matematická sekce

Kontakt

email	info (zavináč) prase.cz
pošta	Korespondenční seminář KAM MFF UK Malostranské náměstí 25 118 00 Praha 1

Organizátoři

Matematický korespondenční seminář je organizovaný studenty Matematicko-fyzikální fakulty UK pod záštitou Informatického ústavu UK a Oddělení pro vnější vztahy a propagaci UK.

Partneři

Matematický korespondenční seminář

Matematika v příspěvcích

RSS kanály

Kalendář

Z naší fotogalerie

Kontakt

Organizátoři

Partneři