Jméno:

b i u AA AA \TeX link skrytý text
Anti-spamová kontrola: Kolik je jedna a čtyři? (slovy)
Matematická sekcerss-icon
<< < 1 2 ... 34 35 > >>
Kateřina Panešová | org | 14. 4. 2021 10:39:28
Dvojitá dávka čerstvých hintů k 3. jarní a 3. seriálové sérii!

Úloha 1.+ skrytý text
Rovnoramenný trojúhelník. + skrytý text
Úhel \textstyle 120^\circ.

Úloha 2.+ skrytý text
Spočítej celkový počet stran trojúhelníků na obvodu n-úhelníku.

Úloha 3.+ skrytý text
Uvaž trojúhelníky o straně dva.

Úloha 4.+ skrytý text
\textstyle BI, \textstyle CI jsou výšky v trojúhelníku \textstyle BCM.

Úloha 5.+ skrytý text
Vyúhli, že trojúhelníky \textstyle ACK a \textstyle DEL jsou shodné.+ skrytý text
Využij úsekové úhly.

Úloha 6.+ skrytý text
\textstyle O leží na \textstyle AX.+ skrytý text
\textstyle OO_1 i \textstyle CX jsou kolmé na \textstyle XY.

Úloha 7.+ skrytý text
Dokresli \textstyle K průsečík \textstyle DF a \textstyle \omega.+ skrytý text
Trojúhelníky \textstyle KBC a \textstyle ANM jsou podobné s SUS.

Úloha 8.+ skrytý text
Počítejte obsah doplňku trojúhelníku \textstyle CPQ vzhledem ke kosočtverci \textstyle ABCD.+ skrytý text
Ukažte, že hledaná nezávislost je ekvivalentní tomu, že hodnota \textstyle |AP|*|BQ| nezávisí na poloze \textstyle P.+ skrytý text
Překlopte body \textstyle P, \textstyle Q podle úsečky \textstyle AB na body \textstyle P, \textstyle Q.+ skrytý text
Ukažte, že body \textstyle P, \textstyle Q, \textstyle P, \textstyle Q a střed \textstyle O kosočtverce \textstyle ABCD leží na jedné kružnici.+ skrytý text
\textstyle O je Švrčkův bod trojúhelníku \textstyle PQP.+ skrytý text
Nezávislost prokažte pomocí mocnosti z \textstyle A.


Úloha 1.+ skrytý text
Nejprve vyřeš prvočíselné mocniny, potom použij Čínskou zbytkovou větu.

Úloha 2.+ skrytý text
Zkus jako prvky krutopřísné posloupnosti použít 1 a prvočíslo p.+ skrytý text
Pro důkaz ireducibility se na to podívej mod p.

Úloha 3.+ skrytý text
3. Zvol \textstyle z = \phi(x).+ skrytý text
Použij \textstyle x-a \mid f(x)-f(a).
Dominik Stejskal | org | 13. 3. 2021 23:37:52
Nové hinty ke druhé jarní sérii jistě pomůžou rozbít i ty odolnější úlohy...

Úloha 1. + skrytý text
Co umíš říct o a + b + c?

Úloha 2. + skrytý text
Šimpanzovi naproti Radečkovi dej co nejvíce banánů.

Úloha 3. + skrytý text
Rozlož povrch čtyřstěnu na síť. + skrytý text
Nahlédni, že Pavel si nepomůže přecházením přes více hran.

Úloha 4. + skrytý text
Rozdíl základů pátých mocnin by musel dělit p.

Úloha 5. + skrytý text
V kolika takových dvojicích je na začátku každá karta?

Úloha 6. + skrytý text
Počítej modulo d-1.

Úloha 7. + skrytý text
Čísla lze vydělit jejich společným dělitelem. + skrytý text
Dívej se na čísla modulo 2. Co se stane po dvou krocích?

Úloha 8. + skrytý text
Vyhovují právě dvojice splňující p = q \neq 2 . + skrytý text
Zkoumej řád 2p^2 - 1 modulo p+q.
Lenka Kopfová | org | 25. 2. 2021 18:42:36
Ahoj,
pokud chceš potrénovat před celostátkem nebo si jen započítat pro radost je zde nová série TRiKSka http://iksko.org/triks/current.php. Pokud nevíš, co je TRiKS, můžeš se kouknout do pravidel pro bližší info http://iksko.org/triks/pravidla.pdf. Navíc máme exkluzivní nabídku - vítěz každého dalšího TRiKS získá TRiKS šátek!
Lenka Kopfová | org | 23. 2. 2021 14:50:01
Řešení 9:
+ skrytý text

Uvažujme stejnolehlosti z bodů P, Q, které zobrazují k_1 resp. k_2 na k. První stejnolehlost zobrazuje A\mapsto M, D\mapsto N a druhá zobrazuje B\mapsto M, C\mapsto N. Tedy platí AD\parallel MN\parallel BC. Dále si všimněme, že XY je chordála kružnic k_1, k_2, tedy |MA|\cdot |MP| = |MB|\cdot |MQ|, takže APQB je tětivový. Obdobně i DPQC je tětivový. Odtud |\sphericalangle BCD| = 180^{\circ} - |\sphericalangle QCB|-|\sphericalangle DCN| = 180^{\circ} - |\sphericalangle QNM|-|\sphericalangle NPQ| = 180^{\circ} - |\sphericalangle QNM|-|\sphericalangle NMQ| = |\sphericalangle NQM|. Jinak řečeno CD je tečna k_2 (tedy i ke k_1) a obdobně AB je společná tečna k_1,k_2. Takže |\sphericalangle BCD|=|\sphericalangle MQN| = 180^{\circ}-|\sphericalangle MPN| = 180^{\circ}-|\sphericalangle BAD|, tedy ABCD je tětivový, navíc AD\parallel BC, takže se jedná o rovnoramenný lichoběžník a |AB|=|CD|.

10:
Dokaž, že pro každé přirozené číslo n platí:
(2n^{2}+3n+1)^{n}\geq 6^{n}(n!)^2
šimon | 22. 2. 2021 14:03:57
Dobrý den, potřeboval bych vypočítat tento příklad i s řešením: Jestliže zvětšíme jednu stranu čtverce o 20 cm a sousední stranu zmenšíme o 6 cm, dostaneme rozměry obdélníku, který má obsah 1,4krát větší než obsah původního čtverce. Určete délku jeho strany. Předem děkuji. Počítání s kvadratickými rovnicemi
Kateřina Panešová | org | 11. 2. 2021 12:50:13
Ahoj! Čeká na vás dvojitá várka hintů, a to k 1. jarní a 2. seriálové sérii!

1. jarní série
Úloha 1.+ skrytý text
Všichni mají stejnou pravdomluvnost.

Úloha 2.+ skrytý text
Přelož si všechna tvrzení mudrců do tvaru "je mezi námi tolik a tolik pravdomluvců".

Úloha 3.+ skrytý text
Zkus nejdřív menší čtverec 5x5.

Úloha 4.+ skrytý text
Nahlédni, že celá trasa paprsku musí být středově souměrná. + skrytý text
Jaký bod je potom přesně v polovině trasy?

Úloha 5.+ skrytý text
Můžou vedle sebe sedět dva kluci? + skrytý text
Jaké posloupnosti dívek a chlapců lze sestavit? + skrytý text
Podívej se na to modulo 3.

Úloha 6.+ skrytý text
Pro sudá n využij \textstyle k^2-1 = (k-1)(k+1). + skrytý text
Pro lichá n se podívej modulo 8 na sudá a, b.

Ůloha 7.+ skrytý text
Ukaž, že pro \textstyle k\leq 12 dokáže Pavel vybrat všechny pěšce. + skrytý text
Důkaz sporem a Dirichletův princip.
+ skrytý text
Najdi konstrukci pro \textstyle k=13.

Úloha 8.+ skrytý text
Vyjde, že takové n existuje.
+ skrytý text
Uvažuj 2021 záhadných čísel tvaru x^2 + 1^2x^2 + 4041^2.
+ skrytý text
Abys zajistil/a nesoudělnost, vzpomeň si na úlohy s hledáním čísla nesoudělného s nějakými malými čísly, kde jde zvolit faktoriál malých čísel + 1.+ skrytý text
Zvol x = A + 1, kde A je liché a dělitelné všemi lichými čísly od 3 do 4041.

+ skrytý text
Následně ukaž, že pro libovolné sudé číslo tvaru (A + 1)^{2} + \ell mezi nimi už musí být x, y splňující (A + 1)^{2} + \ell = x^{2} + y^{2} soudělná.
+ skrytý text
Pro 4 \mid \ell se stačí podívat na rovnici modulo 4.

+ skrytý text
Pro \ell \equiv 2 \pmod 4 by stačilo, aby existovalo prvočíslo p tvaru 4k + 3, které dělí x^{2}+y^{2}. Potom totiž p dělí jak x, tak y. Jak najít takové p?
+ skrytý text
V tomto případě existuje něco, co je určitě tvaru 4k + 3. Pak stačí zvolit libovolné prvočíslo tvaru 4k + 3, které dělí to něco.
+ skrytý text
Konkrétně \ell + 1 je tvaru 4k + 3. Tedy už stačí jen zajistit, aby p dělilo (A + 1)^{2} + \ell. Jak můžeme definovat A, aby to bylo splněno?
+ skrytý text
Ukaž, že A = 3\cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot \dots \cdot (4041^{2} - 2). vyhovuje.

 


2. seriálová série
Úloha 1.+ skrytý text
Použij malou Fermatovu větu. + skrytý text
V druhé kongruenci umocni na druhou a získej \textstyle p\mid \text{konstanta}.

Úloha 2.+ skrytý text
Fundamentální jednotka je \textstyle a+\sqrt{a^2+1}. + skrytý text
\textstyle x+y\sqrt{a^2+1} bude její mocninou se sudým exponentem. + skrytý text
Rozepiš binomickou větu a posbírej racionální členy -- skoro všechny jsou násobky \textstyle a^2.

Úloha 3.+ skrytý text
Dívej se v \textstyle \Bbb Z a rozmysli si, že \textstyle x+yi je \textstyle k-tá mocnina. + skrytý text
Interpretuj podmínku \textstyle p \mid xy(x^2-y^2) jako multiplikativní množinu v \textstyle \Bbb Z/(p). + skrytý text
Tato multiplikativní množina má \textstyle 4(p-1) prvků, zatímco \textstyle k = \frac{p+1}4.
Dominik Stejskal | org | 15. 1. 2021 01:06:53
Nový rok přináší spoustu zajímavých věcí, jako třeba hinty ke 4. podzimní sérii! :)

Úloha 1. + skrytý text
6+8<10\sqrt{2},
6^2 + 8^2 = 10^2.

Úloha 2. + skrytý text
Podívej se na dvojici s minimální vzdáleností. + skrytý text
Buď je některý zasažen dvakrát, nebo je můžeš odebrat.

Úloha 3. + skrytý text
Kolik červených bodů může být ve vzdálenosti přesně 1 od jednoho daného červeného bodu?

Úloha 4. + skrytý text
Dokresli si středy úseček AB a CD a úhlením hledej podobné (a shodné) trojúhelníky.

Úloha 5. + skrytý text
Body K, L, M, N leží na ose OP. + skrytý text
Úhly OAP a PCO se rovnají. Ukaž, že kružnice AOP a COP mají stejný poloměr.

Úloha 6. + skrytý text
Uvažuj všech 100 rotací, které zobrazí 100-úhelník na sebe. + skrytý text
Kolikrát se zobrazí modrý vrchol na červený?

Úloha 7. + skrytý text
Dokresli bod C překlopený přes E. + skrytý text
Přenášej délky pomocí rovnoběžek a kolmic.

Úloha 8. + skrytý text
Odhadni dvěma způsoby počet rovnoramenných trojúhelníků.
Kateřina Panešová | 9. 12. 2020 23:31:55
HINTY! Nevěděl/a sis rady s některou z úloh 3. podzimní a 1. seriálové série? Dej jí ještě jednu šanci!
3. podzimní série
Úloha 1. + skrytý text
Dej kouli do středu stolu, pak už to jde samo...

Úloha 2. + skrytý text
Nechť je \textstyle a_n minimální počet soutěžících, který je potřeba, aby celkový vítěz měl \textstyle n výher. Najdi rekurenci pro \textstyle a_n.+ skrytý text
Jsou to Fibonacciho čísla.

Úloha 3. + skrytý text
Uprav na společného jmenovatele a dívej se na dělitelnost \textstyle n-1.

Úloha 4. + skrytý text
Všimni si, že pro \textstyle n\geq 15 je na šachovnici víc než 111 mincí. Co \textstyle n=14? A co \textstyle n=13?+ skrytý text
Pro \textstyle n=14 je počet mincí sudý.+ skrytý text
Najdi konstrukci pro \textstyle n=13.

Úloha 5. + skrytý text
Substituuj \textstyle a=\frac xy, \textstyle b=\frac1y.+ skrytý text
Dostaneš lineární lomený výraz v \textstyle a, zatímco podmínka omezuje \textstyle a na nějaký interval.

Úloha 6. + skrytý text
Je to \textstyle 2 - \frac1{2n+1}.+ skrytý text
Vezmi silnici s limitem \textstyle 1 a odhadni tím průměry dvojic silnic z krajních měst do nějakého třetího.

Úloha 7. + skrytý text
Dej rovničku do tvaru \textstyle x_n - x_{n+1} = k\frac{x_{n+1}-x_{n+2}}{x_{n+1}x_{n+2}}, vynásob všechny tyhle věci přes všechna \textstyle n a použij racionalitu \textstyle x_i.

Úloha 8. + skrytý text
Dokresli O opsiště ABC.+ skrytý text
Trojúhelníky \textstyle OO_1O_2 jsou podobné nezávisle na P.

1. seriálová série
Úloha 1. + skrytý text
Zkus mod 3, anebo trikový rozklad \textstyle (p^2+p+1)(p^2-p+1).

Úloha 2. + skrytý text
Nechť je \textstyle \alpha kořenem \textstyle x^2+x+3. Dokaž, že \textstyle \zet[\alpha] je eukleidovský, rozlož a použij tvrzení o mocninách.

Úloha 3. + skrytý text
3. Uprav na čtverec + čtverec = čtverec + 1, poté využij vztahů prvočíselného rozkladu čísla a možností jeho vyjádření jako čtverec + čtverec.
Dominik Stejskal | org | 14. 11. 2020 20:31:54
Hinty jsou zpět! S nimi už zbytek druhé podzimní série snadno rozlouskneš.

Úloha 1. + skrytý text
Podívej se na osovou souměrnost podle kolmice k \textstyle  p . Vhodně zvol \textstyle  A , \textstyle  B , \textstyle  C .

Úloha 2. + skrytý text
Co kdyby Terka začínala na úhlopříčce?

Úloha 3. + skrytý text
Hledej pravoúhlé trojúhelníky. + skrytý text
Opiš 2020-úhelníku kružnici, použij Thaletovu a Pythagorovu větu.

Úloha 4. + skrytý text
Sečti všechny rovnice. + skrytý text
Uprav na součiny a využij \textstyle  a+b+c=0 .

Úloha 5. + skrytý text
Dokresli překlopení \textstyle  A bodu \textstyle  A přes osu úsečky \textstyle  BC .

Úloha 6. + skrytý text
Označ si průsečík úseček \textstyle  BT a \textstyle  XY a hledej podobné trojúhelníky.

Úloha 7. + skrytý text
Vezmi diagonálu, domy mimo ní popáruj symetricky a domy na ní vyřeš zvlášť.

Úloha 8. + skrytý text
Lichý cyklus neexistuje právě tehdy, když jdou letiště obarvit dvěma barvami tak, aby každá dvě spojená letiště měla různou barvu. + skrytý text
Pro sudá n může libovolný z hráčů zařídit, že těsně před koncem hry bude stejně letišť od každé z těchto dvou barev.
Václav Janáček | 9. 8. 2020 12:56:52
Samozřejmě máme ukázat |AB|=|CD|, ale jinak skoro dobře :D
Václav Janáček | 7. 8. 2020 14:30:13
Řešení 8:
+ skrytý text
Ukáži, že je to m+n. Nejdříve předpokládejme, že existuje šachovnice, na kterou je možno umístit víc věží. Vezměme nejmenší takovou šachovnici (nejmenší m+n). BÚNO nechť m \leq n. Poté jsou v některém řádku více než 2 věže, jinak jich je nejvýše 2m \leq m+n.
Vyberme některou z nekrajních věží v tomto řádku. Ta ohrožuje jednu věž vlevo a jednu vpravo. Musí být tedy ve sloupci sama. Odstraněním tohoto sloupce získáme menší tabulku s více než m+n věžemi, přitom stále každá věž zjevně ohrožuje právě dvě jiné. Spor.
Rozmístění věží do celého levého sloupce, celého spodního řádku a na políčko vpravo nahoře je platné rozmístění m+n věží.

9:
Nechť k_1, k_2 jsou kružnice protínající se v bodech X, Y. Nechť s nimi kružnice k svírá vnitřní dotek postupně v bodech P, Q. Nechť XY protíná k v bodech M a N
Polopřímky PM a PN protínají k_1 postupně v A a D. Obdobně polopřímky QM a QN protnou k_2 v B a C. Ukažte |AB|=|BC|.
Josef Minařík | org | 28. 7. 2020 20:46:36
Řešení 7:
+ skrytý text
Nejprve si všimněme, že pokud \frac{a}{b} \not \in S, b >a, potom \frac{b-a}{a}, \frac{a}{b-a}\not \in S , protože \frac{1}{\frac{b-a}{a}+1} = \frac{\frac{a}{b-a}}{\frac{a}{b-a}+1} = \frac{a}{b}. Dále předpokládejme, že \frac{a}{b} \not \in S, \frac{a}{b} \neq \frac{1}{2} a a+b je minimální. To je ovšem spor, protože jeden ze zlomků \frac{b-a}{a}, \frac{a}{b-a} je menší než 1, není v S, a má menší součet čitatele a jmenovatele. Tím jsme dokázali, že neexistuje uvažovaný zlomek \frac{a}{b}, a úloha je vyřešena.


8.
Kolik nejvíce šachových věží je možné umístit na šachovnici m\times n, kde  m, n > 1, tak, aby každá věž ohrožovala právě dvě další? Dvě věže se navzájem ohrožují, pokud jsou ve stejném sloupci nebo řádku a není mezi nimi žádná jiná věž.
Michal Janík | 24. 7. 2020 10:55:39
Řešení 6:
+ skrytý text
Pro nenulové x,y vydělíme celou nerovnost kladným výrazem (xy)^2 a zavedeme si funkci g(x)=\frac{f(x)}{x}, čímž dostaneme 2g(xy)\geq1+g(x)g(y^2). Dosazením x,y=1 dostaneme 2g(1)\geq1+g^2(1) \Leftrightarrow0\geq(g(1)-1)^2\Rightarrow g(1)=1. Dosazením y=1 dostaneme g(x)\geq1. Naposledy dosazením x=\frac{1}{y} dostaneme 1\geq g\left(\frac{1}{y}\right)g(y^2), ale protože platí g(x)\geq1, musí platit také g(x)=1. Z toho plyne f(x)=x, což zkouškou lehce ověříme.


7.
Množina S, která obsahuje jen racionální čísla má následující vlastnosti:
a) \frac{1}{2}\in S
b) Pokud x\in S, tak \frac{1}{x+1}\in S a \frac{x}{x+1}\in S.

Dokažte, že S obsahuje všechna racionální čísla z intervalu 0<x<1.
Zdeněk Pezlar | 21. 7. 2020 20:20:39
Řešení 5:
+ skrytý text

Pokud označíme \textstyle a_1,\dots,a_{1234} prvky naší množiny a \textstyle s jejich součet, pak \textstyle \lbrace a_1,\dots,a_{1234} \rbrace = \lbrace s-a_1,\dots,s-a_{1234} \rbrace . Tyto množiny jsou shodné a obě mají právě \textstyle 1234 různých prvků, tedy součet prvků obou množin bude shodný: \textstyle s = a_1 + \cdots + a_{1234} = s-a_1 + \cdots + s-a_{1234} = 1233s, tedy \textstyle s=0, máme tedy \textstyle \lbrace a_1,\dots,a_{1234} \rbrace = \lbrace -a_1,\dots,-a_{1234} \rbrace. Pokud by jedno z čísel bylo nulové, například \textstyle a_1, tak \textstyle \lbrace a_2,\dots,a_{1234} \rbrace = \lbrace -a_2,\dots,-a_{1234} \rbrace, součin \textstyle S prvků obou množin bude shodný, \textstyle S = a_2 \cdots a_{1234} =(-a_2)\cdots (-a_{1234})=-S , jedno z \textstyle a_i je \textstyle 0, spor s růzností čísel. Můžeme proto čísla rozdělit na \textstyle 617 dvojic \textstyle (b_i,-b_i) pro nenulová \textstyle b_i. Součin všech čísel bude \textstyle (- b_1 ^2) \cdots (- b_{617}^2)= - (b_1 \cdots b_ {617})^2 < 0.


6.
Určete všechny funkce \textstyle f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}, které splňují \textstyle 2xyf(xy) \geqslant (xy)^2+xf(x)f(y^2) pro všechna reálná \textstyle x,y.
Josef Minařík | org | 16. 7. 2020 23:07:19
Řešení 4:
+ skrytý text
Ukážeme, že m může být nejvýše 2^n. Uvažujme nějakou vyhovující tabulku, nejmenší číslo v každém sloupci je BÚNO 0 (jinak můžeme čísla v daném sloupci posunout), potom žádné číslo nemůže být větší než 1. Pokud je někde v tabulce číslo větší než 0 a menší než 1, můžeme místo něj napsat 0 a tabulka bude pořád splňovat podmínku ze zadání. Stačí nám tedy uvažovat tabulky vyplněné 0 a 1. Pokud by ovšem tabulka měla více než 2^n řádků, budou některé dva řádky stejné, což je spor se zadáním.
Tabulka, jejíž řádky jsou všechny možné posloupnosti 0 a 1, zřejmě vyhovuje zadané podmínce a má 2^n řádků.


5. Množina 1234 (různých) reálných čísel má následující vlastnost. Když nahradíme každé číslo množiny součtem zbývajících 1233 čísel, dostaneme stejnou množinu 1234 čísel. Dokažte, že součin těchto 1234 čísel je záporný.
Magdaléna Mišinová | 12. 7. 2020 20:07:24
Řešení 3:
+ skrytý text

Protože AG\perp GO, O je střed (ABC) a AX je tětiva této kružnice, tak G je střed AX.
Označme S střed BC. Víme, že GX:AG:GS=2:2:1. Těžiště vždy leží uvnitř trojúhelníku, takže S je střed GX. Tím jsme dokázali, že úsečky BC a GX se navzájem půlí, takže čtyřúhelník BXCG je rovnoběžník.
Platí BG\parallel DX a G je střed AX, takže B je střed AD. Obdobně C je střed AE. Opsiště ADE zkonstruujeme proto tak, že z bodů B a C vedeme kolmice postupně na AB a AC. Proto body A, B, C a opsiště ADE určitě leží na kružnici, jak jsme chtěli.


4. Mějme přirozené číslo n. V závislosti na \textstyle n najděte největší \textstyle m s následující vlastností. Tabulka s \textstyle m řádky a \textstyle n sloupci můžeme být vyplněna reálnými čísly tak, aby pro každé dva řádky, čísla v nichž si označíme \textstyle a_1,\,a_2,\dots ,a_n a \textstyle b_1,\,b_2,\dots ,b_n, platilo:
 \max(|a_1-b_1|,|a_2-b_2|,\dots ,|a_n-b_n|)=1
Zdeněk Pezlar | 12. 7. 2020 17:52:47
Řešení 2:
+ skrytý text

\textstyle \frac{x+1}{x} = \frac{x+x+y}{x} = 2+\frac{y}{x}, takže pokud označíme \textstyle a = \frac{x}{y}, , tak díky AG a Cauchymu platí:
(2+a)^2 + (2+\frac{1}{a})^2 \geqslant 2(1+1+a)(1+1+\frac{1}{a}) \geqslant 2 \cdot 3^2 a jsme doma.


3. V trojúhelníku \textstyle ABC s opsištěm \textstyle O a těžištěm \textstyle G platí \textstyle AG \perp GO. Označme \textstyle X \not\equiv A druhý průsečík \textstyle AG s kružnicí \textstyle (ABC) a mějme \textstyle D průsečík přímek \textstyle AB a \textstyle CX, \textstyle E průsečík \textstyle AC a \textstyle BX. Ukaž, že opsiště \textstyle ADE leží na \textstyle (ABC).
Huu Quy Nguyen | 12. 7. 2020 15:03:08
Řešení:
+ skrytý text

Dokážeme matematickou indukcí :)
Pro \textstyle n = 1 tvrzení zřejmě platí.
Předpokládejme, že tvrzení platí pro \textstyle n=i.

Pak z indukčního předpokladu platí \textstyle \prod_{k=1}^{i} (a_k^2 - b_k^2) = x^2 - y^2 pro celá \textstyle x,y.
Nyní pro \textstyle n = i+1 platí \textstyle \prod_{k=1}^{i+1} (a_k^2 - b_k^2) = (a_{i+1}^2 - b_{i+1}^2)\cdot \prod_{k=1}^{i} (a_k^2 - b_k^2) = (a_{i+1}^2 - b_{i+1}^2)(x^2 - y^2)
Jenže \textstyle (a_{i+1}^2 - b_{i+1}^2)(x^2 - y^2) = (a_{i+1}x+b_{i+1}y)^2 - (a_{i+1}y+b_{i+1}x)^2, což je rozdíl dvou čtverců, čímž jsme hotovi.



2. Pro kladná reálná \textstyle x,y platí \textstyle x+y=1. Dokaž, že platí \textstyle (\frac{x+1}{x})^2 + (\frac{y+1}{y})^2 \geq 18
Filip Čermák | org | 11. 7. 2020 22:51:48
Ahoj,
jelikož je ti určitě smutno, že už tento rok skončily prasečí série, nechceš zakrnět, a proto by sis rád vyřešil nějaké úložky navíc. Proto bychom rádi obnovili prasečí maraton.
Pravidla jsou následující. Vždy když vyřešíš nejnovější úlohu, napíšeš její řešení a hned zadáš další. Nějací orgové se určitě připojí také, když se budou moc nudit ;) (prosím abyste řešení dávali formou skrytého textu, aby si ji i ostatní mohli vyřešit a hned neviděli řešení).

1.
Dokažte, že pro libovolná přirozená čísla \textstyle n, \textstyle a_1, \textstyle a_2, \textstyle \ldots , \textstyle a_n,\textstyle b_1, \textstyle b_2, \textstyle \ldots , \textstyle b_n je možné zapsat součin \textstyle \prod_{k=1}^{n}(a_k^2 - b_k^2) jako rozdíl dvou čtverců (celých čísel).
Olin | org | 8. 6. 2020 01:40:58
Na krajská kola MO B+C už se dá i registrovat:
https://mo.mff.cuni.cz/bc/
<< < 1 2 ... 34 35 > >>

Kontakt

email info (zavináč) prase.cz
pošta Korespondenční seminář
KAM MFF UK
Malostranské náměstí 25
118 00   Praha 1

Organizátoři

mff

Matematický korespondenční seminář je organizovaný studenty Matematicko-fyzikální fakulty UK pod záštitou Informatického ústavu UK a Oddělení pro vnější vztahy a propagaci UK.

Partneři

pix