Erik Ježek | 27. 5. 2022 20:04:00
Řešení 14:
+ skrytý text
Zadání 15:
Mějme přirozená čísla
, taková že splňují
a čísla
jsou nesoudělná. Dokažte že
je druhou mocninou přirozeného čísla
+ skrytý text
Když za
budeme dosazovat čísla od 0 do
, tak dostaneme
různých zbytků modulo
, protože: Pro spor předpokládejme, že existují různá celá čísla
, taková že
a
dávají stejný zbytek, pak ale musí platit, že
dělí
a z toho že
a
jsou různá prvočísla, tak
dělí
, to ale už znamená
, což je spor. Zbývá ukázat, že každý z těchto zbytků je menší než
, nebo je prvním větším číslem než tento součin, které dává stejný zbytek modulo
jako
(proto je v následující nerovnosti na levé straně
), pak bude jistě stačit zvolit
nezáporně pro každé
. Podmínku stačí ověřit pro nejvyšší
, tedy pro
, pak chceme dokázat:
, což ale triviálně platí a tím jsme hotovi
Zadání 15:
Mějme přirozená čísla
Patrik Štencel | 22. 5. 2022 23:33:25
Řešení 13:
+ skrytý text
Zadání 14:
Mějme dvě prvočísla
. Dokažme, že pro každé
lze
zapsat jako
pro nezáporná celá čísla
.
+ skrytý text
Rozdělme si políčka na rohová, okrajová(nepatří do nich rohová) a vnitřní. Rohová mají pouze 2 sousedy, takže nemůže být obarvené. Okrajové má 3 sousedy, takže všichni 3 musí být obarveni. Tabulka je konečná, takže se dostaneme k rohovému políčku, které nemůže být obarvené a tedy ani okrajové nemůže být. Nyní se podívejme na vnitřní políčka. Představme si, že tvoří nějaký mnohoúhelník, kde jeho úhly jsou násobky 90°. Představme si, že nějaký vnitřní úhel má 90°. To by znamenalo, že nějaké políčko má kolem sebe 2 čtverečky. To odporuje zadání, takže jeho jediné vnitřní úhly jsou 180°, 270°,360°(uvnitř). Pokud bychom šli po jeho vnějším obvodu(nepočítáme vnitřní záhyby), mohli bychom sečíst úhly na které narazíme. Pokud bychom brali ty úhly, které nejsou přímé a náš mnohoúhelník by měl n vrcholů, získali bychom tento součet jako n270°. Součet úhlů v mnohoúhelníku je (n-2)180°. Tedy náš útvar nemůže být mnohoúhelník, ale zároveň jediný útvar, který by to mohl být je mnohoúhelník. To je spor a tedy nejde to. (Alternativní metoda by spočívala, že půjdeme po obvodu a vždy budeme zabočovat o 90° na jednu stranu a na druhé straně se bude rozkládat náš obarvený mnohoúhelník. Nyní bychom potřebovali obalit náš mnohoúhelník tím, že uzavřeme jeho obvod. Problém by nastal v tom, že u každého takového uzavření by obarvená část nebyla uvnitř uzavřené části, ale venku(táhla by se do nekonečna/krajů(obojí nejde)).)
Zadání 14:
Mějme dvě prvočísla
Erik Ježek | 22. 5. 2022 20:24:20
Řešení 12:
+ skrytý text
Zadání 13:
Uvažme tabulku s
řádky a
sloupci. Lze tuto tabulku obarvit, tak aby každé obarvené políčko (existuje aspoň jedno) sousedilo s aspoň 3 jinými obarvenými políčky? (Políčko sousedí s jiným políčkem, pokud mají společnou stranu)
+ skrytý text
Stačí zvolit
,
, pak rovnost jistě bude platit a jmenovatel zlomku bude vždy vyšší než 0 (z přirozenosti
).
Zadání 13:
Uvažme tabulku s
Matěj Doležálek | org | 15. 5. 2022 01:05:18
Řešení 11:
+ skrytý text
Zadání 12:
Je dáno přirozené číslo
. Dokaž, že lze zvolit přirozená
,
tak, že
.
+ skrytý text
Pojmenujme středy
,
,
jako
,
,
a jejich společný bod označme
. Obě
,
jsou osově souměrné podle
, takže jejich druhý průsečík musí být obrazem
podle téhle osy -- můžeme tedy
alternativně pojmenovat jako
. Obdobně mějme
,
. Zjevně je
opsiště trojúhelníku
, ukažme, že opsištěm
je kolmiště
trojúhelníku
. Označíme-li jeho obrazy v osových souměrnostech podle stran
jako
,
,
, pak máme
, což je jen poloměr opsané kružnice
, protože
leží na kružnici opsané (to je známé). Tím je dokázáno, že
je středem kružnice opsané
a její poloměr je
, což je původní poloměr našich kružnic.
Zadání 12:
Je dáno přirozené číslo
Michal Janík | 14. 5. 2022 12:21:45
11:
Kružnice
se stejným poloměrem se protínají v jednom bodě. Jejich další průsečíky jsou
. Dokažte, že kružnice opsaná
má stejný poloměr.
Kružnice
Michal Janík | 14. 5. 2022 12:18:36
Když už skončil myšmaš, mohli bychom zkusit obnovit maraton, ne? : D
Řešení 10:
+ skrytý text
Řešení 10:
+ skrytý text
Je známé, že
, nerovnost ze zadání můžeme upravit na
. Navíc
. Umocněním na
-tou dostáváme přesně to, co jsme chtěli.
Kateřina Panešová | org | 7. 4. 2022 10:40:15
Ahoj! Jistě se už nemůžeš dočkat dvojité várky hintů, a to ke 3. jarní a 3. seriálové sérii!
Úloha 1. + skrytý text
Úloha 2. + skrytý text
Úloha 3. + skrytý text
Úloha 4. + skrytý text
Úloha 5. + skrytý text
Úloha 6. + skrytý text
Úloha 7. + skrytý text
Úloha 8.+ skrytý text
Úloha 1. + skrytý text
Úloha 2. + skrytý text
Úloha 3. + skrytý text
+ skrytý text
Úloha 1. + skrytý text
Použij mocniny dvojky.
Úloha 2. + skrytý text
Úloha 3. + skrytý text
Modulo 4.
Úloha 4. + skrytý text
Mocni a zbavuj se racionálních čísel.
Úloha 5. + skrytý text
Označ
,
a vyjádři v
a
rovnice ze zadání.
Úloha 6. + skrytý text
Dokresli PA a PB a hledej podobné trojúhelníky.
Úloha 7. + skrytý text
Podívej se na cestu délky L a délku cyklu, na němž leží první a poslední vrchol, označ jako K. Ukaž, že existuje cyklus délky alespoň
.
Úloha 8.+ skrytý text
Levou stranu zdola odhadni jako
, kde a = dolní celá část z
.+ skrytý text
Vyluč malé hodnoty
pomocí kvadratických zbytků pro vhodnou zbytkovou třídu d mod 20.
Úloha 1. + skrytý text
Rozepiš Eukleidův algoritmus pro
a
a všechny rovnosti vynásob
.
Úloha 2. + skrytý text
Použij Eukleidův algoritmus a všimni si, že Eukleidův algoritmus platí i u exponentů.
Úloha 3. + skrytý text
Všimni si, že součet a+b se zachovává a zároveň jsou obě čísla nezáporná. + skrytý text
Proto to nemůže skončit jinak, než že první číslo je nula a druhé je
.
+ skrytý text
Pokud se (a,b) změní na (c,d), tak NSD(c,d) dělí 2*NSD(a,b).+ skrytý text
Na konci tedy musí platit a+b dělí NSD(a,b)*2^k.
Áďa | org | 8. 3. 2022 09:20:28
Vrtá Ti stále hlavou nějaký příklad ze 2. jarní série? Nevěš ramena a prohlédni si hinty:
Úloha 1. + skrytý text
Úloha 2. + skrytý text
musí být násobkem
i
.
Úloha 3. + skrytý text
Úloha 4. + skrytý text
Úloha 5. + skrytý text
Úloha 6. + skrytý text
Úloha 7. + skrytý text
Úloha 8. + skrytý text
Úloha 1. + skrytý text
Zkus za většinu hledaných čísel zvolit jedničku.
Úloha 2. + skrytý text
Úloha 3. + skrytý text
V zápisu čísla zkus použít co nejvíc devítek.
Úloha 4. + skrytý text
Všimni si, že body
,
,
a
leží na kružnici.
Úloha 5. + skrytý text
Dokresli střed jedné úhlopříčky a uvaž střední příčky, které tím vzniknou.
Úloha 6. + skrytý text
Dvakrát si rozepiš rekurenci a potom rozlož na součin.
Úloha 7. + skrytý text
Nahlédni, že
musí být 3-periodická.+ skrytý text
Vyjádři dvěma způsoby
.
Úloha 8. + skrytý text
Vyřeš zvlášť případ, kdy jedno z prvočísel je
.+ skrytý text
Pokud jsou obě prvočísla lichá, najdi spor pomocí 2-valuace rozdílu
a řádů dvojky modulo
a
.
Áďa | org | 9. 2. 2022 11:38:55
Ahoj! Nepochybně i Ty netrpělivě vyhlížíš hinty k 1. jarní a 2. seriálové sérii. Zde jsou:
1j
Úloha 1. + skrytý text
Úloha 2. + skrytý text
Úloha 3. + skrytý text
Úloha 4. + skrytý text
Úloha 5. + skrytý text
Úloha 6. + skrytý text
Úloha 7. + skrytý text
Úloha 8. + skrytý text
2s
Úloha 1. + skrytý text
Úloha 2. + skrytý text
Úloha 3. + skrytý text
1j
Úloha 1. + skrytý text
Zkus párovat vybarvené a nevybarvené trojúhelníčky.
Úloha 2. + skrytý text
Chytře vyjádři
.
Úloha 3. + skrytý text
Spočítej počet průsečíků.
Úloha 4. + skrytý text
Podívej se, kde může být n a n-1. Dokaž rekurenci.
Úloha 5. + skrytý text
Podívej se na rozdíl osamělosti sousedů.
Úloha 6. + skrytý text
Seřaď stromy podle výšky.
Úloha 7. + skrytý text
Přičti ke všem rovnicím 1. Nově získané rovnice vynásob. Použij AG nerovnost.
Úloha 8. + skrytý text
Uprav na
.+ skrytý text
Použij Cauchy-Schwarzovu nerovnost.
2s
Úloha 1. + skrytý text
Použij indukci na
.+ skrytý text
V základním kroku ukaž, že rovnost platí pro
a všechna
neboli
, v indukčním kroku ukaž implikaci
pro všechna
.
Úloha 2. + skrytý text
Pro první, druhý i třetí vztah použij indukci podle
. Nezapomeň zmínit, kde používáš vlastnosti již dříve dokázané v seriálu (např. komutativita násobení).
Úloha 3. + skrytý text
Přenásob
číslem
a použij Vietovy vztahy.
Áďa | org | 12. 1. 2022 20:06:27
Lámeš si stále hlavu nad některými úložkami ze 4. podzimní série? Nová várka hintů Ti spěchá na pomoc.
Úloha 1. + skrytý text
Úloha 2. + skrytý text
Úloha 3. + skrytý text
Úloha 4. + skrytý text
Úloha 5. + skrytý text
Úloha 6. + skrytý text
Úloha 7. + skrytý text
nemůže mít velkého dělitele menšího než
.+ skrytý text
bude nutně dělit i nějaké další
.
Úloha 8. + skrytý text
Úloha 1. + skrytý text
Součet stupňů je menší než stupeň součtu.
Úloha 2. + skrytý text
Rozlož polynom na součin.
Úloha 3. + skrytý text
Úloha 4. + skrytý text
Úloha 5. + skrytý text
Ze zadaného vztahu zjisti součet
. + skrytý text
Pro
zjisti součet
pro všechna
, případ
rozeber zvlášť.
Úloha 6. + skrytý text
Podívej se na stupně polynomů. Ukaž, že P má kořen v 0.
Úloha 7. + skrytý text
Úloha 8. + skrytý text
Na lichých mocninách nezáleží.+ skrytý text
+ skrytý text
Pokud máš víc než jeden člen se sudou mocninou, vyděl vhodnou mocninou
a polož rovnost.
Kateřina Panešová | org | 8. 12. 2021 18:49:36
Zdravím všechny příznivce hintů 3. podzimní a 1. seriálové série!
3p
Úloha 1. + skrytý text
Úloha 2. + skrytý text
Úloha 3. + skrytý text
Úloha 4. + skrytý text
Úloha 5. + skrytý text
Úloha 6.+ skrytý text
Úloha 7. + skrytý text
Úloha 8. + skrytý text
1s
Úloha 1. + skrytý text
Úloha 2. + skrytý text
Úloha 3. + skrytý text
3p
Úloha 1. + skrytý text
Vytvořte dlouhý rovnoběžník a poté na něj postupně přidávejte zuby.
Úloha 2. + skrytý text
Vyberte průměr, a poté libovolný ze zbylých vrcholů. Vyřeště kvadratickou rovnici.
Úloha 3. + skrytý text
1,4,5,2,3,6
Úloha 4. + skrytý text
Dokresli úsečku
a vyčísli úhly. + skrytý text
Ukaž, že trojúhelník
je rovnoramenný.
Úloha 5. + skrytý text
Uvažujte cykly vzniklé přeskakováním vždy o
vrcholů doprava. Všimněte si, že rozdíl počtu dvojic červených vrcholů po sobě a modrých vrcholů po sobě je roven rozdílu počtu červených a modrých vrcholů v cyklu.
Úloha 6.+ skrytý text
Ukažte, že kružnice se středem v A a poloměrem
se dotýká úsečky
. (Např. pomocí překlopení bodu
podél
a
podél
.)
Úloha 7. + skrytý text
Podívejte se na středové úhly jednotlivých tětiv kružnice. Musí být po dvou různé a dva vedlejší musí mít vždy celočíselný průměr.+ skrytý text
Pro
lze udělat konstrukce, pro
musíme volit celočíselné velikosti jednotlivých úhlů a do plného úhlu
se nemůžou vejít.
Úloha 8. + skrytý text
Uvažujte cestičky vytvořené paralelním přesouváním úseček délky jedna podél dlaždiček libovolného dláždění. + skrytý text
Každé dvě cestičky, které nemají stejně orientované úsečky, se protínají právě na jednom místě a jednoznačně určují typ dlaždičky. Počet cestiček různých typů nezávisí na vydláždění.
1s
Úloha 1. + skrytý text
Indukce na n=počet prvků S.
Úloha 2. + skrytý text
Silná indukce pro n větší než 10, které zapiš jako 10a+b.
Úloha 3. + skrytý text
Ukaž, že pro sudý počet palačinek otočených spálenou stranou vyhrát nemůže, a naopak zkonstruuj strategii, podle které vyhraje, pokud je palačinek otočených spálenou stranou nahoru lichý počet. Silná indukce.
Kateřina Panešová | org | 7. 10. 2021 09:56:12
Ahoj! Jistě již netrpělivě očekáváte hinty k 1. podzimní sérii! Pro nové řešitele: Po termínu odeslání zveřejňujeme malé nápovědy k soutěžním úlohám, takže si můžete zkusit vyřešit i úlohy, u kterých jste si nevěděli rady :)
Umění
Úloha 1. + skrytý text
Úloha 2. + skrytý text
Úloha 3. + skrytý text
Úloha 4. + skrytý text
Úloha 5. + skrytý text
Úloha 6. + skrytý text
Úloha 7. + skrytý text
Úloha 8. + skrytý text
Umění
Úloha 1. + skrytý text
Opačná úhlopříčka
Úloha 2. + skrytý text
Slož dvě osové souměrnosti.
Úloha 3. + skrytý text
Nejbližší dva body
Úloha 4. + skrytý text
Vietovy vztahy a mocnost
Úloha 5. + skrytý text
8 a 7 nefungují; 5 a 6 nelze použít zároveň
Úloha 6. + skrytý text
Přesubstituuj do částečných součtů.
Úloha 7. + skrytý text
Dokresli středy
a
.
Úloha 8. + skrytý text
Dokresli přes trojúhelníky větší útvary, které se stále nebudou překrývat. + skrytý text
Rozšiř na šestiúhelník tak, aby se ani žádné dva šestiúhelníky nepřekrývaly.
Dominik Stejskal | org | 13. 5. 2021 03:36:46
Než dojde další ročník ke svému konci, je tu ještě jedna várka hintů ke 4. jarní sérii. :)
Úloha 1.
(a) + skrytý text
(b) + skrytý text
Úloha 2.
(a) + skrytý text
(b) + skrytý text
Úloha 3.
(a) + skrytý text
(b) + skrytý text
Úloha 4.
(a) + skrytý text
prochází středem čtverce.
(b) + skrytý text
Úloha 5.
(a) + skrytý text
Úloha 6.
(a) + skrytý text
(b) + skrytý text
Úloha 7.
(a) + skrytý text
je těžnice v
i
.
(b) + skrytý text
Úloha 1.
(a) + skrytý text
Ukaž, že body
,
,
a
leží na jedné kružnici.
(b) + skrytý text
Překlop body
a
po řadě podle úseček
a
a označ obrazy
,
. Ukaž, že
,
,
leží na přímce a
je rovnoběžník. + skrytý text
V rovnoběžníku se půlí úhlopříčky. Následně hledej shodné trojúhelníky.
Úloha 2.
(a) + skrytý text
V pravoúhlém trojúhelníku je poloměr kružnice vepsané = (odvěsna + odvěsna - přepona) / 2.
(b) + skrytý text
Rozděl vyhovující permutace na skupinky po
. + skrytý text
Pokud
vyhovuje, pak vyhovují i permutace tvaru
a
, kde
. + skrytý text
Rozmysli si, že opakovanou aplikací tohoto algoritmu lze dostat přesně permutace tvaru
, kde
a všechny indexy a hodnoty bereme modulo
mezi
a
. Takto vyrobíme spoustu disjunktních skupinek vyhovujících permutací, které jsou velké nejvýše
. Které z nich jsou menší než
? + skrytý text
Ukaž, že to jsou přesně permutace s konstantní diferencí
pro všechna
.
Úloha 3.
(a) + skrytý text
Podívej se na cestu mezi políčky s čísly
a
.
(b) + skrytý text
Kolik je kostiček potřeba k tomu, aby se už další nedala přiložit do jednoho čtverce
?
Úloha 4.
(a) + skrytý text
(b) + skrytý text
Uvažme nejmenší kruh obsahující všechny body. Můžou všechny body na okraji být součástí jedné půlkružnice?
Úloha 5.
(a) + skrytý text
V některou hodinu budou u trezoru 3 orgové. + skrytý text
Jednoho z nich lze propustit.
Úloha 6.
(a) + skrytý text
Velká prvočísla by bylo potřeba spárovat s jedničkou. + skrytý text
Jde zařídit 12 celočíselných zlomků.
(b) + skrytý text
Jde to pro všechna
. Konstruuj
-tici induktivně. + skrytý text
Přidej nulu a ke všemu přičti vhodné číslo.
Úloha 7.
(a) + skrytý text
(b) + skrytý text
Chceš dokázat
. + skrytý text
a společné tečny z bodů
,
se protínají v jediném bodě
.
Kateřina Panešová | org | 14. 4. 2021 10:39:28
Dvojitá dávka čerstvých hintů k 3. jarní a 3. seriálové sérii!
Úloha 1.+ skrytý text
Úloha 2.+ skrytý text
Úloha 3.+ skrytý text
Úloha 4.+ skrytý text
,
jsou výšky v trojúhelníku
.
Úloha 5.+ skrytý text
Úloha 6.+ skrytý text
leží na
.+ skrytý text
i
jsou kolmé na
.
Úloha 7.+ skrytý text
Úloha 8.+ skrytý text
Úloha 1.+ skrytý text
Úloha 2.+ skrytý text
Úloha 3.+ skrytý text
Úloha 1.+ skrytý text
Rovnoramenný trojúhelník. + skrytý text
Úhel
.
Úloha 2.+ skrytý text
Spočítej celkový počet stran trojúhelníků na obvodu n-úhelníku.
Úloha 3.+ skrytý text
Uvaž trojúhelníky o straně dva.
Úloha 4.+ skrytý text
Úloha 5.+ skrytý text
Vyúhli, že trojúhelníky
a
jsou shodné.+ skrytý text
Využij úsekové úhly.
Úloha 6.+ skrytý text
Úloha 7.+ skrytý text
Dokresli
průsečík
a
.+ skrytý text
Trojúhelníky
a
jsou podobné s SUS.
Úloha 8.+ skrytý text
Počítejte obsah doplňku trojúhelníku
vzhledem ke kosočtverci
.+ skrytý text
Ukažte, že hledaná nezávislost je ekvivalentní tomu, že hodnota
nezávisí na poloze
.+ skrytý text
Překlopte body
,
podle úsečky
na body
,
.+ skrytý text
Ukažte, že body
,
,
,
a střed
kosočtverce
leží na jedné kružnici.+ skrytý text
je Švrčkův bod trojúhelníku
.+ skrytý text
Nezávislost prokažte pomocí mocnosti z
.
Úloha 1.+ skrytý text
Nejprve vyřeš prvočíselné mocniny, potom použij Čínskou zbytkovou větu.
Úloha 2.+ skrytý text
Zkus jako prvky krutopřísné posloupnosti použít 1 a prvočíslo p.+ skrytý text
Pro důkaz ireducibility se na to podívej mod p.
Úloha 3.+ skrytý text
3. Zvol
.+ skrytý text
Použij
.
Dominik Stejskal | org | 13. 3. 2021 23:37:52
Nové hinty ke druhé jarní sérii jistě pomůžou rozbít i ty odolnější úlohy...
Úloha 1. + skrytý text
Úloha 2. + skrytý text
Úloha 3. + skrytý text
Úloha 4. + skrytý text
Úloha 5. + skrytý text
Úloha 6. + skrytý text
Úloha 7. + skrytý text
Úloha 8. + skrytý text
Úloha 1. + skrytý text
Co umíš říct o
?
Úloha 2. + skrytý text
Šimpanzovi naproti Radečkovi dej co nejvíce banánů.
Úloha 3. + skrytý text
Rozlož povrch čtyřstěnu na síť. + skrytý text
Nahlédni, že Pavel si nepomůže přecházením přes více hran.
Úloha 4. + skrytý text
Rozdíl základů pátých mocnin by musel dělit
.
Úloha 5. + skrytý text
V kolika takových dvojicích je na začátku každá karta?
Úloha 6. + skrytý text
Počítej modulo
.
Úloha 7. + skrytý text
Čísla lze vydělit jejich společným dělitelem. + skrytý text
Dívej se na čísla modulo 2. Co se stane po dvou krocích?
Úloha 8. + skrytý text
Vyhovují právě dvojice splňující
. + skrytý text
Zkoumej řád
modulo
.
Lenka Kopfová | org | 25. 2. 2021 18:42:36
Ahoj,
pokud chceš potrénovat před celostátkem nebo si jen započítat pro radost je zde nová série TRiKSka http://iksko.org/triks/current.php. Pokud nevíš, co je TRiKS, můžeš se kouknout do pravidel pro bližší info http://iksko.org/triks/pravidla.pdf. Navíc máme exkluzivní nabídku - vítěz každého dalšího TRiKS získá TRiKS šátek!
pokud chceš potrénovat před celostátkem nebo si jen započítat pro radost je zde nová série TRiKSka http://iksko.org/triks/current.php. Pokud nevíš, co je TRiKS, můžeš se kouknout do pravidel pro bližší info http://iksko.org/triks/pravidla.pdf. Navíc máme exkluzivní nabídku - vítěz každého dalšího TRiKS získá TRiKS šátek!
Lenka Kopfová | org | 23. 2. 2021 14:50:01
Řešení 9:
+ skrytý text
Uvažujme stejnolehlosti z bodů
, které zobrazují
resp.
na
. První stejnolehlost zobrazuje
a druhá zobrazuje
. Tedy platí
. Dále si všimněme, že
je chordála kružnic
, tedy
, takže
je tětivový. Obdobně i
je tětivový. Odtud
. Jinak řečeno
je tečna
(tedy i ke
) a obdobně
je společná tečna
. Takže
, tedy
je tětivový, navíc
, takže se jedná o rovnoramenný lichoběžník a
.
10:
Dokaž, že pro každé přirozené číslo
platí:

+ skrytý text
Uvažujme stejnolehlosti z bodů
10:
Dokaž, že pro každé přirozené číslo
šimon | 22. 2. 2021 14:03:57
Dobrý den, potřeboval bych vypočítat tento příklad i s řešením: Jestliže zvětšíme jednu stranu čtverce o 20 cm a sousední stranu zmenšíme o 6 cm, dostaneme rozměry obdélníku, který má obsah 1,4krát větší než obsah původního čtverce. Určete délku jeho strany. Předem děkuji. Počítání s kvadratickými rovnicemi
Kateřina Panešová | org | 11. 2. 2021 12:50:13
Ahoj! Čeká na vás dvojitá várka hintů, a to k 1. jarní a 2. seriálové sérii!
1. jarní série
Úloha 1.+ skrytý text
Úloha 2.+ skrytý text
Úloha 3.+ skrytý text
Úloha 4.+ skrytý text
Úloha 5.+ skrytý text
Úloha 6.+ skrytý text
Ůloha 7.+ skrytý text
Úloha 8.+ skrytý text
2. seriálová série
Úloha 1.+ skrytý text
Úloha 2.+ skrytý text
Úloha 3.+ skrytý text
1. jarní série
Úloha 1.+ skrytý text
Všichni mají stejnou pravdomluvnost.
Úloha 2.+ skrytý text
Přelož si všechna tvrzení mudrců do tvaru "je mezi námi tolik a tolik pravdomluvců".
Úloha 3.+ skrytý text
Zkus nejdřív menší čtverec 5x5.
Úloha 4.+ skrytý text
Nahlédni, že celá trasa paprsku musí být středově souměrná. + skrytý text
Jaký bod je potom přesně v polovině trasy?
Úloha 5.+ skrytý text
Můžou vedle sebe sedět dva kluci? + skrytý text
Jaké posloupnosti dívek a chlapců lze sestavit? + skrytý text
Podívej se na to modulo 3.
Úloha 6.+ skrytý text
Pro sudá n využij
. + skrytý text
Pro lichá n se podívej modulo 8 na sudá a, b.
Ůloha 7.+ skrytý text
Ukaž, že pro
dokáže Pavel vybrat všechny pěšce. + skrytý text
Důkaz sporem a Dirichletův princip.
+ skrytý textNajdi konstrukci pro
.
Úloha 8.+ skrytý text
Vyjde, že takové
existuje.
+ skrytý text
+ skrytý text
Uvažuj 2021 záhadných čísel tvaru
až
.
+ skrytý text
+ skrytý text
Abys zajistil/a nesoudělnost, vzpomeň si na úlohy s hledáním čísla nesoudělného s nějakými malými čísly, kde jde zvolit faktoriál malých čísel + 1.+ skrytý text
+ skrytý text
Zvol
, kde
je liché a dělitelné všemi lichými čísly od
do
.
+ skrytý text
Následně ukaž, že pro libovolné sudé číslo tvaru
mezi nimi už musí být
splňující
soudělná.
+ skrytý text
+ skrytý text
+ skrytý text
Pro
se stačí podívat na rovnici modulo
.
+ skrytý text
Pro
by stačilo, aby existovalo prvočíslo
tvaru
, které dělí
. Potom totiž
dělí jak
, tak
. Jak najít takové
?
+ skrytý text
+ skrytý text
V tomto případě existuje něco, co je určitě tvaru
. Pak stačí zvolit libovolné prvočíslo tvaru
, které dělí to něco.
+ skrytý text
+ skrytý text
Konkrétně
je tvaru
. Tedy už stačí jen zajistit, aby
dělilo
. Jak můžeme definovat
, aby to bylo splněno?
+ skrytý text
+ skrytý text
Ukaž, že
vyhovuje.
2. seriálová série
Úloha 1.+ skrytý text
Použij malou Fermatovu větu. + skrytý text
V druhé kongruenci umocni na druhou a získej
.
Úloha 2.+ skrytý text
Fundamentální jednotka je
. + skrytý text
bude její mocninou se sudým exponentem. + skrytý text
Rozepiš binomickou větu a posbírej racionální členy -- skoro všechny jsou násobky
.
Úloha 3.+ skrytý text
Dívej se v
a rozmysli si, že
je
-tá mocnina. + skrytý text
Interpretuj podmínku
jako multiplikativní množinu v
. + skrytý text
Tato multiplikativní množina má
prvků, zatímco
.
Dominik Stejskal | org | 15. 1. 2021 01:06:53
Nový rok přináší spoustu zajímavých věcí, jako třeba hinty ke 4. podzimní sérii! :)
Úloha 1. + skrytý text
,
.
Úloha 2. + skrytý text
Úloha 3. + skrytý text
Úloha 4. + skrytý text
Úloha 5. + skrytý text
Úloha 6. + skrytý text
Úloha 7. + skrytý text
Úloha 8. + skrytý text
Úloha 1. + skrytý text
Úloha 2. + skrytý text
Podívej se na dvojici s minimální vzdáleností. + skrytý text
Buď je některý zasažen dvakrát, nebo je můžeš odebrat.
Úloha 3. + skrytý text
Kolik červených bodů může být ve vzdálenosti přesně 1 od jednoho daného červeného bodu?
Úloha 4. + skrytý text
Dokresli si středy úseček
a
a úhlením hledej podobné (a shodné) trojúhelníky.
Úloha 5. + skrytý text
Body
leží na ose
. + skrytý text
Úhly
a
se rovnají. Ukaž, že kružnice
a
mají stejný poloměr.
Úloha 6. + skrytý text
Uvažuj všech 100 rotací, které zobrazí 100-úhelník na sebe. + skrytý text
Kolikrát se zobrazí modrý vrchol na červený?
Úloha 7. + skrytý text
Dokresli bod
překlopený přes
. + skrytý text
Přenášej délky pomocí rovnoběžek a kolmic.
Úloha 8. + skrytý text
Odhadni dvěma způsoby počet rovnoramenných trojúhelníků.