Chat Prasátek

Matematická sekce

<< < 1 2 ... 33 34 > >>

Dominik Stejskal | org | 18. 5. 2020 19:38:40

I k poslední letošní sérii úloh patří série hintů. No a další zase na podzim. :)

Úloha 1.
(a) + skrytý text

Neexistuje. Hledej monovarianty. + skrytý text

Maximální počet brambor na jednom talíři se nezvětšuje, zato celkový počet ano.

(b) + skrytý text

Ukaž, že z konstrukce pro n+1 vznikne odebráním učitele s n+1 klobáskami konstrukce pro n. + skrytý text

Pro sudá n je až na symetrii jen jedna možnost, pro lichá n > 3 jsou dvě.

Úloha 2.
(a) + skrytý text

Ano, může. Postupuj indukcí. + skrytý text

Zvětši si nějaký člen tak, aby byl alespoň o 2 větší než libovolný jiný.

(b) + skrytý text

Neexistuje. Jaké počáteční hodnoty by členy musely mít? + skrytý text

Nechť BÚNO začínáme s nulami a jedničkami. Je možné poslední nulu zvětšit o 2?

Úloha 3.
(a) + skrytý text

Použij šachovnicové obarvení. + skrytý text

Rozdíl součtu čísel na černých a bílých políčkách se nemění.

(b) + skrytý text

Zkus ze dvou pokrytí n (nebo n-1) políček zkonstruovat pokrytí 2n+1 políček.

Úloha 4.
(a) + skrytý text

Pomocí věty o obvodových úhlech ukaž, že úhly DBC a DCB se oba rovnají polovině úhlu ABC.

(b) + skrytý text

Dokresli si střed PS a najdi podobné trojúhelníky.

Úloha 5.
(a) + skrytý text

Použij hrubé horní odhady na jednotlivé ciferné součty. + skrytý text

s(n) dává stejný zbytek po dělení 9 jako n.

(b) + skrytý text

Ukaž, že a,b,c < 1. + skrytý text

(a+1)(b+1)(c+1) - 4 = (a-1)(b-1)(c-1).

Úloha 6.
(a) + skrytý text

Na jedničku je možné se dostat pouze z k-ciferného čísla tvaru 11...1. Ukaž, že takové číslo je pro k > 1 dělitelné prvočíslem větším než 7, a tedy se na něj nedá dostat. + skrytý text

Pokud 3 | k, tak 37 | 11...1. Ukaž, že jinak není 11...1 dělitelné žádným z prvočísel 2, 3, 5, 7.

(b) + skrytý text

Může se mu to podařit. Zaplňuj rovinu po spirále. Při zaplňování bodu by bylo ideální, kdyby Martin mohl použít Čínskou zbytkovou větu a najít tak číslo, které lze do mřížky přidat. To ale není možné udělat přímo. + skrytý text

Martin může Čínskou zbytkovou větu použít na "nejlepší možnou" množinu čtverců. Ukaž, že je úloha nastavena tak, aby to vyšlo. + skrytý text

Nechť největší čtverec obsahující přidávaný bod má rozměr m x m. Použij Čínskou zbytkovou větu tak, aby pro každé prvočíslo p <= m byl součet čísel ve čtverci o rozměrech p^floor(log_p(m)) x p^floor(log_p(m)) dělitelný p^floor(log_p(m)). + skrytý text

Vezmi si libovolný čtverec s x s obsahující přidávaný bod a dokaž, že součet čísel v něm je dělitelný libovolným prvočíslem ve stejné mocnině jako s. Použij, co víš, a šikovně dláždi větší čtverce menšími. + skrytý text

Ukaž, že do "rohů" spirály je možno umístit libovolné číslo. Ukaž, že už tak dokážeš napsat do roviny každé přirozené číslo jednou.

Úloha 7.
(a) + skrytý text

Pokud je jeden čtverec prázdný, jsou dámy jenom ve dvou čtvercích. + skrytý text

Pokryj je diagonálami.

(b) + skrytý text

Poskládej nejdřív kartičky do balíčků se součtem L*n, kde 1 <= L <= n-1. + skrytý text

Potom takový balíček ber jako jednu kartu s hodnotou L a použij indukční předpoklad.

Pavel Hudec | org | 9. 5. 2020 18:03:51

Ahoj,

skupinka úspěšných amerických olympioniků rozjíždí projekt online přednášek zdarma nazvaný Math Divulged. Přednášky začínají vždy ve 22:00 našeho času a je možné si je pouštět i zpětně. Program vypadá následovně:

Pondělí - úvod do soutěží, nepříliš obtížná série přednášek, můžete je zkusit, pokud si tolik nevěříte, případně je můžete doporučit pikomaťákům nebo svým mladším sourozencům.

Středa - olympiádní přednášky podobné jako na PraSečích sousech.

Pátek - semináře jdoucí více do šířky zaměřené na různá témata spojená s matematikou (VŠ matematika, různé vědní obory, biologické modely aj.)

Sobota - jiný pohled na témata běžného středoškolského učiva s důrazem na "proč" namísto biflování.

Kompletní informace a odkaz na videopřednášky pak najdete na https://sites.google.com/view/mathdivulged/.

Lenka Kopfová | org | 25. 4. 2020 14:45:22

Ahoj,

taky Ti chybí Náboj? Možnost jet na jarní soustředění a pořádně si tam zasoutěžit?
Tak máme příležitost právě pro Tebe!
Příští pátek se totiž uskuteční Mecz Online. ⚔️

Co je to Mecz?
Je týmová soutěž, kde každý tým dostane 4-8 úloh a jejich cílem je úlohy v časovém limitu vyřešit. Úlohy jsou během soutěže vysvětlovány online organizátorům. Více detailů upřesníme podle počtu účastníků.

Povolené pomůcky:
Viz standardní pravidla MO. Tedy jedině psací a rýsovací potřeby, žádné mobily, telefony, kalkulačky, wolframy, geogebry a jiné prevíty.

Týmy budou po 1-5 lidech. Můžete se na týmu domluvit sami, ale nebojte se, pokud nikoho neznáte, nebo to si nejste jistí, koho vybrat, napiště své jméno na prázdný řádek tabulky a v poznámky napište "Hledám Tým!" nebo se dohodněte s někým, kdo už tým hledá ;)
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1BlYzb...

Kdy?
1.5.2020 (Pátek) v 16.00.
Délka?
Tři hodiny.
Kde?
Váš tým může může komunikovat využitím jakéhokoli komunikačního přistroje (pokud jste v jedné domácnost, nemusíte si volat).
Doporučené:
https://hangouts.google.com/, https://www.skype.com/, Messenger, https://meet.jit.si/
Další užitečné pomůcky:
Online whiteboard https://awwapp.com/

Přičemž samotná komunikace s orgy bude probíhat pravděpodobně přes https://meet.jit.si/.
Všechny podrobnosti upřesníme během týdne podle zájmu.

Michaela Hubatová | 17. 4. 2020 03:49:06

Ahoj všem a hurá!
Následující týmová matematická soutěž proběhne navzdory COVID-19!
Mezinárodní online týmová matematická soutěž Purple Comet! Math Meet se letos uskuteční od 21. do 30. dubna. Je určena pro až šestičlenné týmy. Není třeba se fyzicky scházet, můžete při soutěži spolupracovat například prostřednictvím oblíbeného chatu či videohovoru. Potřebovat budete tedy připojení k internetu a dospělého supervisora, který Váš tým zaregistruje. Registrace již probíhá a bude možná až do konce soutěžního období. Zadání bude k dispozici i v češtině (jsem autorkou překladů).
Stručné informace o soutěži v čestině naleznete na https://purple-comet-cesky.webnode.cz/.
Úplné informace naleznete v angličtině na http:// https://purplecomet.org/

Lenka Kopfová | org | 10. 4. 2020 23:59:58

Ahoj,

Švýcaři se rozhodli být aktivní a vytvořili něco jako trochu víc fancy mezinárodní TRiKS. Nemám moc odhad na obtížnost, ale jsou tam dvě kategorie (zkušení/nováčci) a člověk určitě nic nezkazí, když zkusí něco nového :-) Rozhodně bych se toho nebála :)
Odkaz na stránky tady https://facebook.com/events/s/global-quaranti.... K soutěžení je potřeba vyplnit nějaký google form (odkaz na stránkách). A pokud ještě stále váháš, tak neváhej, páč registrace je prý do neděle.

Veselé Velikonoce a hodně čokoládových vajíček,
Lenka

Dominik Stejskal | org | 10. 4. 2020 01:30:06

Blížíme se ke konci roku a přichází předposlední, pro velký úspěch dvojitá várka hintů!

3. jarní série:

Úloha 1. + skrytý text

2025 = 45^2.

Úloha 2. + skrytý text

Stačí 1010 vteřin.

Úloha 3. + skrytý text

Vyber si tým, který porazil aspoň 4 týmy. Poté uvažuj pouze tyto týmy a opakuj.

Úloha 4. + skrytý text

Nechť je R průsečík ramen BC, DA. V jakém poměru dělí body, kde míče přešly přes brankovou čáru, úsečku RA?

Úloha 5. + skrytý text

Uvaž polynom P(t+1)-P(t)

.
Úloha 6. + skrytý text

Zjisti, co v tomto kontextu znamená výraz (abc)/(ab + bc + ca). Díky tomu najdi výraz, který se v průběhu procesu nemění. + skrytý text

Dokaž, že součet převrácených hodnot čísel na tabuli se nemění.

Úloha 7. + skrytý text

Žabák může projít všechny kameny tak, aby pouze v jednom skoku vydělal jednu korunu. + skrytý text

Navrhni konstrukci a u ní urči počet skoků délky 2^k. + skrytý text

Spočítej jaký může být počet skoků délky větší než 2^k pro fixní k. + skrytý text

Ukaž, že nalezený počet skoků dané délky je nejlepší možný.

Úloha 8. + skrytý text

V pravoúhlém trojúhelníku je √2-násobek délky přepony větší nebo roven součtu délek odvěsen. + skrytý text

Rozděl si trasu na úseky mezi body kde Filip mění směr jízdy vzhledem ke spádnici.

3. seriálová série:

Úloha 1. + skrytý text

Dokresli střed oblouku BC.

Úloha 2. + skrytý text

Dokresli body naproti bodům B a C.

Úloha 3. + skrytý text

Najdi DDIT, kterým dostaneš dvojice bodů na kružnici Ω (E,F), (A,M), (B,C) v jedné involuci.

Pavel Hudec | org | 20. 3. 2020 20:18:52

Jsi smutný/á, že příští týden nebude celostátko? Máš teď hromadu času, tápeš a nevíš, co s ním? Chceš se dostat na přespříští IMO (a případně ho vyhrát)?

Pokud jsi alespoň na 0 otázek odpověděl/a ano a jsi středoškolák, pak je tu pro tebe seminář iKS, taková verze PraSátka pro zkušenější řešitele. Právě začíná nový ročník, zadání první série najdeš na http://iksko.org. I jedna vyřešená úloha už může znamenat slušné umístění!

Zároveň je pro vás připraven na iKSkových stránkách celostátkový TRiKS, díky němuž celostátko můžete zkusit nanečisto a přitom potrénovat.

Dominik Stejskal | org | 6. 3. 2020 00:19:30

Tak jak to v té 2. jarní sérii mělo vyjít? Hinty napoví!

Úloha 1. + skrytý text

Jestliže nějaké k není dělitelem n, tak ani 2k není dělitelem n.

Úloha 2. + skrytý text

Jaká prvočísla se musí objevit v rozkladu? Čím musí být dělitelné exponenty?

Úloha 3. + skrytý text

Jedno vyhovující n se dá přímo vyjádřit pomocí a a b. + skrytý text

n = ab.

Úloha 4. + skrytý text

NSD(n,kn) = ? + skrytý text

A co třeba NSD(a_n, a_(a_n))?

Úloha 5. + skrytý text

Začni zkoumáním parity. + skrytý text

Dále si všimni monotonie vhodné funkce.

Úloha 6. + skrytý text

Uvědom si, že stačí, aby bylo každé n nesoudělné s každým P(...(P(n)...). + skrytý text

Jednička je se vším nesoudělná. + skrytý text

Zajisti, aby P(n) ≡ P(1) ≡ 1 (mod n). + skrytý text

P(n) = n^2020 - n + 1.

Úloha 7. + skrytý text

Smazáním jednotlivých čísel dostaneš jako součty n po sobě jdoucích čísel. + skrytý text

Každé napsané číslo může dělit pouze jeden součet. + skrytý text

Najdi číslo, jehož smazáním vznikne součet dělitelný dvěma napsanými čísly. Ukaž, že to už stačí.

Úloha 8. + skrytý text

Není to pravda. + skrytý text

Najdi vhodný polynom a zkoumej kvadratické zbytky modulo p. + skrytý text

Rozlož x^8 - 16 na součin.

Josef Tkadlec | 16. 2. 2020 22:25:59

Vedeli jste, ze na https://h.evanchen.cc/hydrogen/active/ is dnes a v pondeli muzete online zkusit letosni HMMT (Harvard-MIT Math Tournament)? Tri ruzne testy (algebra+teorie cisel, geometrie. kombinatorika), v kazdem 10 uloh na ciselny vysledek na 50 minut. Idealni trenink na Naboj pro borce :). (Ulohy z lonska na https://www.hmmt.co/www/archive/222.)

Dominik Stejskal | org | 6. 2. 2020 00:46:32

Pokud pořád nevíš, jak se vypořádat s tou zapeklitou úlohou, zkrať si čekání a mrkni na další hinty!

1. jarní série:

Úloha 1. + skrytý text

Prostřední čtyři políčka mají všechny čtverce 3x3 společné.

Úloha 2. + skrytý text

Použij Pythagorovu větu.

Úloha 3. + skrytý text

Zkus umocnit 38. Dále použij zbytky po dělení 16.

Úloha 4. + skrytý text

Body A', B', C', D' leží na úhlopříčkách.

Úloha 5. + skrytý text

Rozmysli si, že a_{2n} = a_n pro n sudé a a_{2n} = a_n + 1 pro n liché. + skrytý text

Z předchozího odvoď, že libovolná hodnota, která se v posloupnosti vyskytne, se v ní znovu zopakuje, a že posloupnost nabude libovolně velké hodnoty.

Úloha 6. + skrytý text

Uvažuj střetnutí 2 orgů jako hranu v (úplném) grafu. Počet hran musí být dělitelný počtem hran úplného bipartitního grafu K_{4,4}. + skrytý text

Dále počet 'sousedů' každého orga musí být dělitelný čtyřmi. + skrytý text

Vyjde 32k + 1.

Úloha 7. + skrytý text

Podívej se na průsečíky os úhlů s protějšími stranami v jednotlivých trojúhelnících - stěnách. + skrytý text

Nechť je v trojúhelníku ABC bod P průsečíkem osy úhlu BAC a strany BC. Pak |BP| / |CP| = |BA| / |CA|.

Úloha 8. + skrytý text

Využij symetrii výrazu xy - zt vzhledem k proměnným x, y.

2. seriálová série:

Úloha 1. + skrytý text

Zinvertuj se středem v X. + skrytý text

Vyúhli, že výsledný čtyřúhelník bude podobný s původním.

Úloha 2. + skrytý text

Zinvertuj podle Z. + skrytý text

Z kolmých kružnic se stanou kolmé přímky.

Úloha 3. + skrytý text

Dokaž, že úhly PXQ a PYQ jsou pravé. + skrytý text

Zapomeň na Y a zdualizuj podle X. Kružnice nad průměrem převeď na pravé úhly.

Dominik Stejskal | org | 8. 1. 2020 20:50:58

Nový rok, nové hinty ke 4. podzimní sérii!

Úloha 1. + skrytý text

Zvol jako průsečíky vrcholy rovnostranného trojúhelníku, jeho středy stran a jeho střed.

Úloha 2. + skrytý text

Označ si jeden úhel, všimni si dvou rovnoramenných trojúhelníků a počítej.

Úloha 3. + skrytý text

Uvaž trojúhelník ze středů původních tří kružnic, všimni si, že je rovnoramenný a počítej. Bude se hodit Pythagorova věta.

Úloha 4. + skrytý text

Ukaž, že P, Q, R, S jsou středy stran čtyřúhelníku ABCD.

Úloha 5. + skrytý text

Spoj si body P, T, C se středy kružnic a podívej se na úhly mezi přímkami.

Úloha 6. + skrytý text

Rozmysli si, kdy vznikne součet n^2. + skrytý text

Obarvi si body označené čísly větší než n modře a menší než m červeně a rozmysli si, že můžeš jakkoliv spojit různobarevné body.

Úloha 7. + skrytý text

Dokresli bod Y takový, že BHAY je obdélník. Tento bod leží také na kružnici opsané CDHE.

Úloha 8. + skrytý text

Všimni si, že šestiúhelník z definovaných středů úseček má protější strany rovnoběžné. Poté ukaž, že průsečík dvou z těchto kružnic leží i na té třetí.

Danil Koževnikov | org | 2. 1. 2020 16:26:39

Pojďte potrénovat před krajským kolem kategorie A (to je 14. ledna) ve speciálním TriKSu: http://iksko.org/triks/current.php! Soutěž trvá až do krajského kola a začíná dnes o půlnoci, takže můžete být první, kdo vyřeší všechny úlohy :-) Na řešení čtyř úloh jsou čtyři hodiny.

Michal Buran | 9. 12. 2019 12:26:51

Orgové, jeďte orgovat na PROMYS. Účastníci, jeďte se zúčastnit.

PROMYS Europe 2020 – Advance Notification

PROMYS Europe is designed to encourage mathematically ambitious students who are at least 16 to explore the creative world of mathematics. Participants tackle fundamental mathematical questions within a richly stimulating and supportive community of fellow first-year students, returning students, undergraduate counsellors, research mentors, faculty, and visiting mathematicians.

Please be advised that:
Applications for Counsellors and Returning Students will open on 3 January 2020
Applications for First Year Students will open on 13 January 2020

For more information please visit our website http://www.promys-europe.org.

Dominik Stejskal | org | 4. 12. 2019 20:56:52

Ani tentokrát nebudou po uplynutých termínech odeslání chybět hinty.

3. Podzimní série:

Úloha 1. + skrytý text

Do tří políček si napiš neznámé a vyjadřuj.

Úloha 2. + skrytý text

Kolik je prvočísel mezi 40 a 81?

Úloha 3. + skrytý text

Podívej se na vrstvu 8x8. Umíš ji celou zaplnit?

Úloha 4. + skrytý text

Cena každé dlaždičky je rovna polovině počtu čtverečků plus jedna.

Úloha 5. + skrytý text

Rozděl tabulku na několik čtverečků, L-triomin a pár přebývajících políček.

Úloha 6. + skrytý text

Podmínku pro řádky interpretuj jako dosazení do polynomu.

Úloha 7. + skrytý text

Obarvování si představuj jako čísla 0, 1, 2. Postupuj od rohu a ve chvíli, kdy se barva musí měnit, měň algoritmus dle parity vzdálenosti od začátku.

Úloha 8. + skrytý text

Rozeber zvlášť liché a sudé. Obarvi vrcholy černě a bíle a rozmysli si, jak často musíš změnit barvu.

1. seriálová série:

Úloha 1. + skrytý text

Afinním zobrazením udělej trojúhelník rovnostranný.

Úloha 2. + skrytý text

Pomocí kolineace zachovej kružnici vepsanou a zobraz XY na nevlastní. + skrytý text

Vznikne kosočtverec.

Úloha 3. + skrytý text

Převeď úhlovou podmínku pomocí "dvě ze tří" na harmonickou čtveřici. + skrytý text

Zobraz ABCD na čtverec. Harmonická čtveřice se zachová.

Dominik Stejskal | org | 10. 11. 2019 23:21:02

Než budou zveřejněna vzorová řešení, s 2. podzimní sérií poradí další sada hintů. :)

1. úloha:
+ skrytý text

Mohlo. Najdi nějaké vhodné přiřazení čísel.
+ skrytý text

Začít se dá třeba od O a P.

2. úloha:
+ skrytý text

Kolik nejméně dělení třemi je nezbytně třeba?

3. úloha:
+ skrytý text

Jestliže n^2 leží v posloupnosti a d je její diference, co lze říct o (n+d)^2?

4. úloha:
+ skrytý text

Vycházejí samá (sousední) trojúhelníková čísla.

5. úloha:
+ skrytý text

Když umocníme výrazy složené z plus a mínus jedniček na druhou, u smíšených členů se celkově objeví každé ze znamének právě v polovině případů, zato násobením plus/mínus jedničky se sebou vznikají samé jedničky.

6. úloha:
+ skrytý text

Pro b > 1 zkus konstantní posloupnost. Jinak se zamysli nad monotonií a omezeností posloupnosti a dojdi ke sporu.

7. úloha:
+ skrytý text

O kolik nejvýše může podíl v každém kroku vzrůst?
+ skrytý text

Do rozkladu b_n se postupně dostanou všechna prvočísla menší než 2019.

8. úloha:
+ skrytý text

Postupuj indukcí, kde v každém kroku přibydou 4 čísla.
+ skrytý text

S nesoudělností pomůže Euklidův algoritmus.

Dominik Stejskal | org | 8. 10. 2019 23:58:52

Ahoj,
máš stále chuť vyřešit něco z 1. podzimní série, ale nevíš, jak na to? Nyní můžeš využít hintů! :)

1. úloha:
+ skrytý text

Jakou nejvyšší hodnotu může mít $M$ ? Jakou nejnižší hodnotu může mít $A$ ?

2. úloha:
+ skrytý text

Kolika způsoby se dá vždy sejít o patro níž?

3. úloha:
+ skrytý text

Když mám nemastný úsek, jaký úsek tvoří všechna ostatní čísla?

4. úloha:
+ skrytý text

Může stát lhář za pravdomluvným?

5. úloha:
+ skrytý text

Záleží vůbec na způsobu splácávání?

6. úloha:
+ skrytý text

Zkoumej dvě nejmenší prvočísla.

7. úloha:
+ skrytý text

Hele, střed kružnice připsané!

8. úloha:
+ skrytý text

Důležitý je počet nejmenších hromádek.

Cheero | 21. 6. 2019 12:13:36

Pomůže někdo se složitějším výpočtem a kontrolním součtem ?

HEX : 51 77 00 00 01 02 00 00 00 80

51 77 = 7751 HEX = 30545 DEC

kontrolni soucet je 80, jak vypoctu tento kontrolni soucet ?
01 a 02 je mozna take kontrolni soucet nebo neco podobneho

Pepa Tkadlec | 10. 4. 2019 01:28:46

V noci z patka na sobotu si na AoPS budete moci poslechnout, jak Evan Chen mluvi o ulohach z USAMO:
https://artofproblemsolving.com/school/mathja...
Evan je asi nejvetsi rizek na olympiadni geometrii na svete (a i jinak je fakt dobrej :D), takze doporucuju!

Pavel Turek | org | 26. 3. 2019 10:14:57

Ahoj,
chceš jet v září na matematické soustředění pro evropské středoškoláky Maths Beyond Limits? Pokud ano, více se dozvíš na http://mathsbeyondlimits.eu/, kde se též v sekci application objeví prvního dubna list příkladů a dotazník, které slouží k výběru účastníků.

Pavel Hudec | org | 11. 3. 2019 22:48:42

Ahoj,
kdo by chtěl potrénovat před celostátkem MO, může si udělat k tomu určený TRiKS http://iksko.org/triks/current.php.

<< < 1 2 ... 33 34 > >>

Kontakt

email	info (zavináč) prase.cz
pošta	Korespondenční seminář KAM MFF UK Malostranské náměstí 25 118 00 Praha 1

Organizátoři

Matematický korespondenční seminář je organizovaný studenty Matematicko-fyzikální fakulty UK pod záštitou Informatického ústavu UK a Oddělení pro vnější vztahy a propagaci UK.

Partneři

Matematický korespondenční seminář

Kalendář

Z naší fotogalerie

Kontakt

Organizátoři

Partneři