Chat Prasátek

Matematická sekce

<< < 1 2 ... 36 37 > >>

Lukáš Trojan | org | 9. 4. 2025 11:31:28

Ahojky, tady jsou hinty k 3. jarní sérii a 3. seriálové sérii:
3. jarní série
Úloha 1 + skrytý text

dej třeba do řádku 7 buků a do jiného řádku ten jeden zbylý.

Úloha 2 + skrytý text

zkus lichá čísla a doplň je.

Úloha 3 + skrytý text

Jde to, rozděl případy. Pomůže ti, že José může vyslat na jednu pěšinku skupinku všech čtyř a poté tuto pěšinku prověřit sám. Tím zjistí, kdo je nezbedný.

Úloha 4 + skrytý text

Počet hran na obvodu čtverce roste lineárně s délkou strany čtverce, kdežto počet hran uvnitř roste kvadraticky.

Úloha 5 + skrytý text

Když $\textstyle \ell$ , $\textstyle e$ , $\textstyle s$ přenásobíš přirozeným číslem, rovnost pořád platí

Úloha 6 + skrytý text

Podívej se na vztah modulo p a (p-1).

Úloha 7 + skrytý text

Konstruuj induktivně

Úloha 8 + skrytý text

Převeď poměr délek stran na poměr obsahů

+ skrytý text

Uvažuj trojúhelník $\textstyle O_i O_{i+1} O_{i+2}$ nejmenšího obsahu. Vydláždi osmiúhelník vhodnými rovnoběžníky.

3. seriálová série
Úloha 1 + skrytý text

Vytkni $\textstyle 1+x+x^2+x^3 = (1+x)(1+x^2)$

Úloha 2 + skrytý text

koeficient u $\textstyle x^{2025}$ v $\textstyle \left(\frac{x}{1-x}\right)^{44}$ .

Úloha 3 + skrytý text

Vyrob mocninné řady a dívej se na $\textstyle F_A(x)^2-F_A(x^2) = F_B(x)^2-F_B(x^2)$ .

+ skrytý text

Vyjádři $\textstyle F_A(x)-F_B(x)$ , vztah mocninných řad ukáže konstrukci.

Johana Kubatová | org | 8. 3. 2025 08:23:05

Ahoj! Nová várka hintů je tady! :)
Úloha 1+ skrytý text

Existuje. Kolik tupých úhlů můžeš dostat z jednoho úhlu v původním čtyřúhelníku?

Úloha 2+ skrytý text

Použij středový a obvodový úhel.

Úloha 3+ skrytý text

Ukaž soustavou čtverců, že vybraný bod musí být nulový.

Úloha 4+ skrytý text

Ať Ben určí rovinu skrze střed glóbu a nějaké dva body na glóbu. Kolik bodů může takto z glóbu odebrat?

Úloha 5+ skrytý text

Omezíš-li se na 3 státy, kolik mezi nimi může jezdit trajektů?

Úloha 6+ skrytý text

Zkus kromě osové souměrnosti i něco otočit.

Úloha 7+ skrytý text

N nad dvěma žiraf stačí. + skrytý text

Nech Miška se postupně zbavovat dvojic ohrádek, které mají stejný počet žiraf.

Úloha 8+ skrytý text

Posuň C o vektor střed $\textstyle k$ a střed $\textstyle \ell$ .+ skrytý text

Posuň C o vektor 2x střed $\textstyle k$ a střed $\textstyle \ell$ .

Lukáš Trojan | org | 7. 2. 2025 21:10:31

Ahojky, tady jsou hinty k 1. jarní sérii a 2. seriálové sérii :D
1. jarní série
Úloha 1 + skrytý text

Co se děje se zápornými čísly?

Úloha 2 + skrytý text

Použij součtový vzorec: $k + (k+1) + \dots + l = \frac{(n-m+1)(n+m)}{2}$

Úloha 3 + skrytý text

Děl se zbytkem.

Úloha 4 + skrytý text

Samé odhady zezdola, ale co najít nějaký shora?

Úloha 5 + skrytý text

Jak rychle roste ciferný součet? O kolik musíš zvýšit $\textstyle n$ , aby se tak stalo?

Úloha 6 + skrytý text

Je daný trojúhelník $ABC$ s ortocentrem $H$ . Nech $\textstyle k$ , $\textstyle l$ jsou přímky, které se dotýkají kružnice opsané trojúhelníku $\textstyle ABC$ postupně v bodech $\textstyle B$ , $\textstyle C$ . Nechť $\textstyle k_B$ je kružnice so středem ležícím na $\textstyle k$ , která prochází body $\textstyle B$ a $\textstyle H$ . Podobně nechť $\textstyle k_C$ je kružnice so středem ležícím na $\textstyle l$ , která prochází body $\textstyle C$ a $\textstyle H$ . Kružnice $\textstyle k_B$ a $\textstyle k_C$ se protnou podruhé v bodě $\textstyle Ch$ . Dokaž, že těžiště trojúhelníka $\textstyle ABC$ leží na $\textstyle ChH$ .

Úloha 7 + skrytý text

Lze z počtu pro 2024 cifer určit počet pro 2025 cifer?

Úloha 8 + skrytý text

Porovnej členy v sumě s binomickými koeficienty

2. seriálová série
Úloha 1+ skrytý text

Nejdřív odvoď $\textstyle P(P(0)) = -1$ .

+ skrytý text

Vyvoď, že sudá i lichá $\textstyle n$ dávají liché $\textstyle P(n)$ .

Úloha 2 + skrytý text

K výhře stačí mít poslední tah.

+ skrytý text

Jsou-li dány absolutní a vedoucí koeficient, zbývá jen konečně mnoho racionálních čísel, která by se mohla stát kořenem.

Úloha 3 + skrytý text

Použij Henselovo lemma. Pokud by to nešlo, najdi spor v tom, jak rychle rostou polynomy vyššího a menšího stupně

Johana Kubatová | org | 11. 1. 2025 10:07:40

Ahoj, stále se marně pokoušíš vyřešit nějakou úložku 4. podzimní série? Nová várka hintů ti určitě pomůže:)
Úloha 1+ skrytý text

Hint: Fix $\textstyle (n-3)$ pigs and look at the positions where Matouš, Matěj adn Michal can be put.

Úloha 2+ skrytý text

The original sum of the clock number pairs is constant, but the performed number of modulo operations is not.

Úloha 3+ skrytý text

Permute the points $\textstyle A$ , $\textstyle B$ , $\textstyle C$ .

Úloha 4+ skrytý text

Look at the different permutations of $\textstyle 3210$ modulo $\textstyle 7$ .

Úloha 5+ skrytý text

Think first about the situation when Vítek takes only the first card from the top of the deck and puts it somewhere else.

Úloha 6+ skrytý text

$\textstyle k=1002$ . If $\textstyle k=1002$ , Majda can decrease number of inverses in each turn (inverse is a pair of numbers in the wrong order). For $\textstyle k = 1001$ , consider the last turn before Majda wins.

Úloha 7+ skrytý text

Fix one permutation $\textstyle \pi_0$ and look at the mean value of $\textstyle \Phi$ just over the permutations $\textstyle \pi(x) = \pi_{0}(x) + d$ with $\textstyle d \in \{1,\dots,p\}$ independent of $\textstyle x$ .

Úloha 8+ skrytý text

Match ways of the rich one to ways of the poor one in some order such that the rich one pays more in each pair (or the same)+ skrytý text

What happens when both stand next to an edge which they can both still take? How much do they pay in their next step?

Lukáš Trojan | org | 12. 12. 2024 18:18:38

hinty 3. podzimní série a 1. seriálové série jsou tady:

1. jarní série
Úloha 1 + skrytý text

Jaký zbytek má $\textstyle f(n)$ mod $\textstyle 9$ a mod $\textstyle 5$ ?

Úloha 2 + skrytý text

$\textstyle f^3(x)=x$ .

Úloha 3 + skrytý text

Podívej se na zbytky po dělení pěti.

Úloha 4 + skrytý text

Dosaď $\textstyle q=p$ a uvažuj, jakou délku může mít cyklus, v němž $\textstyle p$ leží.

Úloha 5 + skrytý text

BÚNO je $\textstyle n$ liché, pak vol $\textstyle k$ tak, aby hned $\textstyle f(kn)$ byla mocnina dvojky.

Úloha 6 + skrytý text

Co se děje s rozdíly délek stran?

Úloha 7 + skrytý text

Je to jen $\textstyle f(n)=n+2$ .

+ skrytý text

Dokaž nerovnost $\textstyle f(n)\geq n+2$ sporem, potom už to bude easy.

Úloha 8 + skrytý text

zvol nějaké prvočíslo $\textstyle p \equiv 1\pmod4$ takové, že všechna počáteční čísla na tabuli splňují $\textstyle v_p(x^2+1)\leq0$ .

+ skrytý text

Dokaž, že tato vlastnost se zachová při tvorbě nových čísel.

+ skrytý text

zvol klidně celé $\textstyle q$ takové, že $\textstyle p\mid q^2+1$ .

1. seriálová série
Úloha 1 + skrytý text

Rozepiš si Vietovy vztahy.

Úloha 2 + skrytý text

$\textstyle xP(x)^2$ má lichý stupeň, zatímco $\textstyle Q(x^2)$ i $\textstyle (x+1)^4$ sudý. Vedoucí členy $\textstyle Q(x^2)$ a $\textstyle (x+1)^4$ se tak musí vyrušit, to už určí stupeň.

Úloha 3+ skrytý text

Znáš většinu kořenů $\textstyle x^2P(x)-1$ . Ty zbylé dopočítej z Vietových vztahů.

Johana Kubatová | org | 16. 11. 2024 07:54:31

Ahoj, nemůžeš se dočkat hintů 2. podzimní série? Hle, tady jsou:
Úloha 1+ skrytý text

Nech 5 stěn souvislých a jednu rozřež.+ skrytý text

.....^.....
.....#.....
.<###>.
.....#.....
.....v.....

Úloha 2+ skrytý text

Zatáčka pokryje půl stěny dvojmo.

Úloha 3+ skrytý text

Začni s rovinou, které prochází třemi vrcholy, a posouvej ji tak, aby nakonec procházela dalšími šesti vrcholy.+ skrytý text

Spojitostí musel řez v nějakém okamžiku být pravidelným šestiúhelníkem.

Úloha 4+ skrytý text

Stačí to řešit v rovině.+ skrytý text

Všechny tečny z libovolného bodu jsou stejně dlouhé.

Úloha 5+ skrytý text

Podívej se na nejdelší hranu a dvojice hran, které "vycházejí" z jejích koncových bodů.+ skrytý text

Kdyby ani jedna možnost nedávala funkční trojici, najdi spor sečtením trojúhelníkových nerovností v trojúhelnících obsahujících nejdelší hranu.

Úloha 6+ skrytý text

Uvaž orientovanou cestu z vrcholu stupně alespoň čtyři do vrcholu stupně nanejvýš dva. Co když obrátíš všechny hrany na této cestě?

Úloha 7+ skrytý text

Označte si průsečíky přímek se stěnami a vezměte ten nejblíže $\textstyle P$ .

Úloha 8+ skrytý text

Ukažte, že tyto průměty leží na sféře nad průměrem $\textstyle PS$ . Stereografická projekce posílá kružnice na kružnice.

Lukáš Trojan | org | 7. 10. 2024 17:53:28

Ahojky, pořád nevíš jak vyřešit nějakou úlohu z 1. podzimní série? Hinty jsou tu pro tebe. :D
Úloha 1. + skrytý text

Body tvoří trojúhelník právě když neleží na přímce

Úloha 2. + skrytý text

Jedničku nech stranou, pak vyráběj čtveřice, jež se vynulují.

Úloha 3. + skrytý text

Zápis ve dvojkové soustavě je jednoznačný.

Úloha 4. + skrytý text

Kdykoliv slovo obsahuje lišekrát $\textstyle UF$ i $\textstyle UO$ , změn v prvním výskytu kteréhokoliv z nich $\textstyle F$ na $\textstyle O$ či obráceně.

Úloha 5. + skrytý text

Zkus napočítat, kolik alespoň políček splňuje podmínku pro svůj řádek, nebo pro svůj sloupec (ne nutně obojí).

Úloha 6. + skrytý text

Bude to dokonce kosočtverec. Ukaž, že CD a EF se navzájem půlí.

Úloha 7. + skrytý text

$\textstyle x+1$ i $\textstyle x^2+1$ mají být mocniny $\textstyle p$ , takže $\textstyle x+1\mid x^2+1$ .

Úloha 8. + skrytý text

Zjisti poměr obsahů trojúhelníků MAC a MBD.

Denisa Hanušková | org | 8. 5. 2024 19:52:57

Ahoj, nedá Ti některá úložka z myš-maše spát? Hinty Ti pomůžou.
Úloha 1.
a)+ skrytý text

Postupuj indukcí, v každém kroku si postupně tipni všechny výsledky pro jednoho zápasníka.

b)+ skrytý text

Veselá množina leží na dvou rovnoběžkách s AB. Středová souměrnost zachovává paritu souřadnic.

Úloha 2.
a)+ skrytý text

Slož spoustu T-tetromin vedle sebe.

b)+ skrytý text

Přelož úlohu na počítání dělitelů jisté konstanty, které ale nejsou příliš malé.
+ skrytý text

Dělitelé nějakého daného $\textstyle m$ se párují do dvojiček $\textstyle d$ , $\textstyle \frac md$ .

Úloha 3.
a)+ skrytý text

Uvažuj, kde se protínají osy úhlů

b)+ skrytý text

Vystejnolehli kružnici $\textstyle A$ -připsanou z $\textstyle A$ s koeficientem $\textstyle \frac12$ .
+ skrytý text

Soustředné kružnice, dotýkající se tětivy!

Úloha 4.
a)+ skrytý text

Geometrická posloupnost.

b)+ skrytý text

Podívej se na $\textstyle (x,y)$ jako na bod v rovině s trojúhelníčkovou sítí.
+ skrytý text

$\textstyle \left(a+\frac b2, \frac{\sqrt3}2b\right)$ popisuje bod trojúhelníčkové sítě, použij nějaký blízký.

Úloha 5.
a)+ skrytý text

Podívej se, v které posloupnosti leží součin diferencí.

b)+ skrytý text

Podívej se na "hustotu" na všech číslech a na sudých číslech.

Úloha 6.
a)+ skrytý text

Mohlo. Zkus to prostě zkonstruovat.

b)+ skrytý text

Hledej podobné trojúhelníky.

Úloha 7.
a)+ skrytý text

Jaká prvočísla jsou potenciálně vůbec k dispozici?

b)+ skrytý text

Uvažuj nějakou sousedící dvojici vrcholů a ukaž, že na každého souseda prvního vrcholu přísluší nějaký soused druhého vrcholu. Jak tomu bude, když původní dvojice nesousedí?

José | org | 12. 4. 2024 21:49:55

Hola hej, hola hou!
Hintíky už k tobě jdou! :D

3. jarní série
Úloha 1. + skrytý text

Prostě to udělej! ;)

Úloha 2. + skrytý text

Párů je 151, což je jen kousek od 150.

Úloha 3. + skrytý text

Áďa to dokáže. + skrytý text

Když uděláš z čísel dost velkou ohrádku, vejdou se všechna i dovnitř.

Úloha 4. + skrytý text

Odhadni, kolik může být duplicit mezi kartami. + skrytý text

Pro konstrukci začni s úplným grafem, symboly nechť jsou hrany. To ale nebude úplně stačit.

Úloha 5. + skrytý text

Uvaž matfyzáka, který tančil s nejvíce matfyzačkami. + skrytý text

A pak matfyzačku, která s ním netančila.

Úloha 6. + skrytý text

Zkus si lidi představit jako vrcholy grafu s hranami dvou barev (jedna barva odpovídá Kecalovu plánu, druhá Kecalčině). Jak tento graf vypadá (resp. jak vypadají jeho souvislé komponenty)?

Úloha 7. + skrytý text

Všimni si, že $\textstyle f$ a $\textstyle g$ musí být bijekce.

Úloha 8. + skrytý text

Co kdyby Klárka nejdříve chtěla získat alespoň tolik pravých rukavic jako levých... + skrytý text

a ve správnou chvíli strategii změnila?

3. seriálová série
Úloha 1. + skrytý text

Pomocí poměrů spočítej body $\textstyle D$ a $\textstyle E$ . Pak pomocí vzorečků a podobností počítej jednotlivé přímky.

Úloha 2. + skrytý text

Ze seriálu víme, že platí $\textstyle L_b=(a^2:-b^2,c^2)$ , $\textstyle I_b=(a:-b:c)$ . Průsečík přímek pak už dokážeš snadno spočítat.

Úloha 3. + skrytý text

Je-li $\textstyle S$ průsečík $\textstyle CX$ a $\textstyle BY$ , zajistíš rovnoběžnost tak, že $\textstyle P=kS+(1-k)C$ a $\textstyle Q=kS+(1-k)B$ . Zvol si souřadnice bodů $\textstyle P$ , $\textstyle Q$ , $\textstyle X$ , $\textstyle Y$ co nejjednodušeji. + skrytý text

Chordálu získáš jako rozdíl rovnic kružnic. Pro důkaz, že přímky prochází jedním bodem, spočítej determinant.

Denisa Hanušková | org | 6. 3. 2024 08:57:39

Ahoj, nová várka hintů je zde, s nimi hravě dořešíš úlohy 2. jarní série.
Úloha 1.+ skrytý text

23. účastník je kamarád všech, takže i 1. účastníka.

Úloha 2.+ skrytý text

Umísti kamarády k prostřednímu sloupu.

Úloha 3.+ skrytý text

Uvaž největší místnost v libovolných dvou po sobě jdoucích kolech.

Úloha 4.+ skrytý text

Stačí ukázat, že kamarád průsečíku leží na výšce z $\textstyle A$ .

Úloha 5.+ skrytý text

Všichni moji přátelé se přátelí navzájem.

Úloha 6.+ skrytý text

Najdi švrčkův bod

Úloha 7.+ skrytý text

Překlop $\textstyle F$ podle stran.

Úloha 8.+ skrytý text

Ukaž, že $O$ a $H$ jsou kamarádi v čtyřúhelníku $BCFE$ , tudíž $\textstyle O$ leží na ose $\textstyle EF$ .

José | org | 7. 2. 2024 15:21:21

Za týden je svátek zamilovaných. A kdo by nemiloval hinty 1j a 2s série ;).

1. jarní série
Úloha 1. + skrytý text

Zkus napsat spoustu trojiček se součtem 6.

Úloha 2. + skrytý text

Všimni si, že nsn si od každého prvočísla vybere tu největší vyskytující se mocninu.

Úloha 3. + skrytý text

Znaménko rozdílu se může změnit nanejvýš jednou.

Úloha 4. + skrytý text

Najdi prosté zobrazení z počtu způsobů pro n do počtu způsobů pro n+1.

Úloha 5. + skrytý text

Dívej se na racionální čísla modulo 5.

Úloha 6. + skrytý text

Posviť si na posloupnost bn = √(an+1 + an).

Úloha 7. + skrytý text

Fn je Fibonacciho číslo, Gn je od jistého okamžiku rozdíl dvou Fibonacciho posloupností.

Úloha 8. + skrytý text

Celočíselné body na hyperbole x^2 - 2cxy + y^2 + c^2 - 1 = 0.

2. seriálová série
Úloha 1. + skrytý text

Použij vzorce pro otáčení (vrcholy čtverců nad stranami) a pro rovnoběžník.

Úloha 2. + skrytý text

Vzorec ortocentra trojúhelníka na jednotkové kružnici máš, |a-b| = √((a-b)(a-b)). + skrytý text

Pak si jen vzpomeň na vzorce:
.ζk = ζ7-k,
ζ7+k = ζk.

Pozn. (a-b) zde značí číslo komplexně sdružené.

Úloha 3. + skrytý text

Vepsaná kružnice je jednotková, vzorec na průsečík tečny s tětivou máš. To nejhorší se pokrátí.

José | org | 13. 1. 2024 07:17:51

Due to technical difficulties, we are currently unable to post mathematical text in this chat, forcing us to post this next series of hints as plain text. We hope to get the issue resolved soon, so that we can post a more readable version in the near future. We apologize for the inconvenience.

Problem 1. + skrytý text

Pigs eat more food than chickens.

Problem 2. + skrytý text

Square it, then arrange it into a square.

Problem 3. + skrytý text

Show that any triangle placed completely inside a unit square has an area of at most 1/2.

Problem 4. + skrytý text

Divide out what you can, you will be left with a product of |m-n|/2 bigger numbers vs a product of |m-n|/2 smaller numbers.

Problem 5. + skrytý text

Use the AM-GM inequality.

Problem 6. + skrytý text

For each divisor d, calculate how many times it will be counted in the sum. + skrytý text

Get a bound on the sum using floor(n/d) - floor(n/(d+1)) >= 0.

Problem 7. + skrytý text

Square the given recurrence relations. + skrytý text

You only need to show (x_n)^2 + (y_n)^2 + (z_n)^2 > 6n+39.

Problem 8. + skrytý text

Use the sum formula. + skrytý text

And apply Cauchy–Schwarz.

Denisa Hanušková | org | 6. 12. 2023 21:47:20

Netrpělivě očekáváš hinty z 3. podzimní série a 1. seriálové série? Zde jsou:
Úloha 1. + skrytý text

Pythagorův trojúhelník.

Úloha 2. + skrytý text

Lze to. + skrytý text

Minimální počet kružnic je 6. + skrytý text

Existuje konfigurace se dvěma různými poloměry kružnic.

Úloha 3. + skrytý text

Ukažte, že poloměry kružnic tvoří geometrickou posloupnost.

Úloha 4. + skrytý text

Dokaž, že A, B, S, T a střed $\textstyle \Omega$ leží na jedné kružnici.

Úloha 5. + skrytý text

Překlop podle $\textstyle AB$ . Srovnej velikosti kružnic.

Úloha 6. + skrytý text

Dokaž, že součet úhlů $\textstyle AXB$ , $\textstyle AYB$ a $\textstyle XBY$ je 180 stupňů.

Úloha 7. + skrytý text

Nejdřív vyúhli kolmost stran+ skrytý text

vzdálenost protějších přímek spočti dokreslením tětiv $\textstyle P_1Q_1$ , $\textstyle HE$ , $\textstyle FG$ a společné tečny $\textstyle \Omega$ , $\textstyle \omega_1$ v bodě $\textstyle T_1$ .

Úloha 8. + skrytý text

Střed strany $\textstyle BC$ leží na pevné kružnici, stejnolehli ho na těžiště a Feuerbašiště.+ skrytý text

Podruhé stejnolehli pevnou kružnici z opsiště, je pevné. Poloměr Feuerbachovy kružnice taky znáš.

Úloha 1.+ skrytý text

Obsah trojúhelníka a sinová věta.

Úloha 2.+ skrytý text

Hýbej bodem $\textstyle B$ . Když $\textstyle t_b$ značí délku tečny z $\textstyle B$ k $\textstyle \omega_2$ , je $\textstyle \frac{|BA|}{|BA|+t_b}$ konstanta.

Úloha 3.+ skrytý text

Najdi tu kružnici a prostě to spočítej. Co by se mohlo pokazit?

José | org | 17. 11. 2023 17:53:23

Stále bádáš nad nějakou úlohou z 2. podzimní série? Další hinty už ti spěchají na pomoc!
Úloha 1. + skrytý text

Smaž čtvereček na levé hraně.

Úloha 2. + skrytý text

Jsou-li $\textstyle a, b$ nesoudělná, co musí platit aby $\textstyle 110$ dělilo $\textstyle 10a + 11b$ ?

Úloha 3. + skrytý text

Rozmysli si, jak se ciferné součty mění při přechodu přes desítky a že aspoň 20 po sobě jdoucích čísel nepřejde přes stovky.

Úloha 4. + skrytý text

Ukaž, že je to součet lichých čísel menších než 2n.

Úloha 5. + skrytý text

Najít množinu 2n-1 obdélníků je snadné, zkus potom nějaký přidat. + skrytý text

Setřiď velikosti stran $a_1 \le \dots \le a_n, b_1 \le \dots \le b_n$ . BÚNO $b_1 \le a_1$ , najdi $b_i \le a_i \le a_{i+1} \le b_{i+1}$ .

Úloha 6. + skrytý text

Musí mít všechny stejný zbytek po dělení p. Počítejte s polynomy těch čísel a jejich kořeny modulo p.

Úloha 7. + skrytý text

Stačí čtyři díly. Čtverec 5x5 vyřízne v celku. + skrytý text

Schodiště je výhodný řez, díly se dají posunout o jeden schod a zase spojit.

Úloha 8. + skrytý text

Indukuj podle k. + skrytý text

Dokazuj kombinatoricky: kolika způsoby lze $\textstyle n^{k}$ lidí rozdělit do $\textstyle n$ -tic?

Denisa Hanušková | org | 8. 10. 2023 22:15:55

Ahoj, trápíš se stále s nějakou úlohou z 1. podzimní série? Hinty Ti pomohou vydat se správným směrem.
Úloha 1. + skrytý text

Trojúhelníky AEB a ACB mají společnou výšku.

Úloha 2.+ skrytý text

Cesta se nemá kde zacyklit.+ skrytý text

Začneme v $\textstyle 1$ , kde je vůbec možné skončit?

Úloha 3. + skrytý text

Může. Jaké znáš Pythagorejské trojice?

Úloha 4. + skrytý text

Vietovy vztahy

Úloha 5. + skrytý text

Nakreslete si graf množství vody v dromedárově hrbu v závislosti na čase. Předpokládejte, že voda nedojde.

Úloha 6. + skrytý text

Zakresli si mrakodrapy do grafu, kde hrana bude mezi mrakodrapy, pokud je rozdíl jejich výšek mocnina dvou.
+ skrytý text

Když v grafu necháme každou mocninu dvou pouze jednou, musí být acyklický.

Úloha 7. + skrytý text

Nakreslete si do n-úhelníka obdélníky tvaru (délka strany) x $\frac{S}{o}$ .

Úloha 8. + skrytý text

Odpověď je 2. Podívej se na stát s nejmenším počtem základen. + skrytý text

Pro základnu patřící jinému státu vezmi nejkratší část pobřeží, který dostáváš ze zadání.

Áďa | org | 24. 5. 2023 16:41:55

Vrtá Ti stále hlavou nějaká úložka z finálního myšmaše? Pak zde jsou hinty právě pro Tebe!

Úloha 1.
a) + skrytý text

Zkus přepnout jednu žárovku na obvodu, aniž bys změnil stav jiných.

b) + skrytý text

Dokresli průsečíky výšek trojúhelníků $\textstyle ABE$ a $\textstyle CDE$ .

Úloha 2.
a) + skrytý text

Rozmysli si, který bod musí být růžový, aby v dalším kroku byl obarvený střed. Pak ukaž, že tak daleko růžový bod nikdy nebude.

b) + skrytý text

Najdi potenční střed $\textstyle \omega_1$ , $\textstyle \omega_2$ a $\textstyle \Gamma$ .

Úloha 3.
a)+ skrytý text

Rozlož rozdíl čtverců.+ skrytý text

modulo 4

b)+ skrytý text

Posloupnost nemůže růst velkými skoky.+ skrytý text

Najdi dost dlouhý úsek složených čísel.

Úloha 4.
a)+ skrytý text

Rozeber součty 3, 4, 5, 6 a 12, 13, 14, 15.

b)+ skrytý text

Osoba s největším počtem známostí v rámci jedné skupiny.

Úloha 5.
a)+ skrytý text

Podmínky s celočíselnými průměry vyřeší množina plná násobků $\textstyle n!$ .+ skrytý text

Nesoudělnosti docílíš posunutím.

b)+ skrytý text

$\textstyle n-2$ zakroužkovaných lze docílit -- najdi konstrukci.+ skrytý text

K důkazu, že $\textstyle n-1$ dosáhnout nelze, uvažuj vrchol s nejmenším stupněm a potom ten s druhým nejmenším.

Úloha 6.
a)+ skrytý text

Omez shora hodnotu tohoto zlomku. Tato hodnota musí dělit číslo tvaru $\textstyle 100\dots001$ , které má o cifru víc než $\textstyle a$ .

b)+ skrytý text

Dokresli rovnoběžku k $\textstyle EF$ skrz $\textstyle B$ .

Úloha 7.
a)+ skrytý text

Podívej se na hodnoty $\textstyle f+g$ .

b)+ skrytý text

Uvaž $\textstyle x=y$ a $\textstyle x=\frac{1-x}{1+x}$ .

Denisa Hanušková | org | 6. 4. 2023 21:24:19

Ahoj! Skončili nám další série a hinty se hlásí o slovo.

Úloha 1. + skrytý text

Dej všem funkcím $\{ 1, 2, 3, 4\}$ a cyklicky je vůči sobě posuň.

Úloha 2. + skrytý text

Uspořádej kořeny do dvojic, které jsou osově souměrné podle $\textstyle 2023$ .

Úloha 3. + skrytý text

Použij dolní celou část. Jak se chová na záporných číslech?

Úloha 4. + skrytý text

Použij Vietovy vztahy pro zadané kvadratické trojčleny.

Úloha 5. + skrytý text

Získej nějaké $\textstyle c$ splňující $\textstyle f(c)=0$ a dosaď ho za $\textstyle y$ .

Úloha 6. + skrytý text

Dosazením $\textstyle x=0$ uvidíš, co se děje na nezáporných číslech.

Úloha 7. + skrytý text

$\textstyle f$ je prostá a $\textstyle f(x)>x$ .+ skrytý text

Prohoď $\textstyle a$ a $\textstyle b$ .

Úloha 8. + skrytý text

Označme $P(x) = x^2 - x - 2023$ , jaké jsou hodnoty $P(\sqrt{2023})$ a $\textstyle P(-\sqrt{2023})$ ?+ skrytý text

Uvaž pevné body $\textstyle P(P(x))$ .+ skrytý text

$P(P(x)) - x$ je polynom čtvrtého stupně, nemůže tedy mít více než 4 kořeny. Má $P(x)$ nějaké pevné body?

Úloha 1.+ skrytý text

Existuje třeba pro $k = 3$ .
+ skrytý text

Skoro cokoli jiného než pravidelný šestiúhelník bude fungovat.

Úloha 2.+ skrytý text

Rozmysli si, proč to platí pro rovinné nakreslení.+ skrytý text

Zkus odebrat nějakou hranu tak, aby se levá strana nerovnosti zvětšila.+ skrytý text

Odeber hranu e, pro kterou je cr(e) největší.

Úloha 3.+ skrytý text

Postupuj podobně jako v posledních příkladech v seriálu.+ skrytý text

Když zafixuješ dva vrcholy trojúhelníku, množina bodů v rovině, kde by mohl být ten třetí, je elipsa.

Áďa | org | 10. 3. 2023 00:17:12

Ahoj, ahoj! Stále si lámeš hlavu nad některou z úložek 2. jarní série? Pak je tu další várka hintů právě pro Tebe!

Úloha 1. + skrytý text

Podívej se na $\textstyle N$ modulo $\textstyle 9$ a $\textstyle 3$ .

Úloha 2. + skrytý text

$\textstyle (a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)$

Úloha 3. + skrytý text

Pro horní odhad posčítej všechny obvody dohromady a zjisti, co dostaneš v obrázku. + skrytý text

Pro dolní odhad se podívej na čtyřúhelníček v rohu ohrádky.

Úloha 4.+ skrytý text

Roznásob a substituuj $\textstyle x=da$ , $\textstyle y=db$ , kde $\textstyle d=\NSD(x,y)$ .

Úloha 5. + skrytý text

Nakresli si z PraSátka přímky rovnoběžné s diagonálami čtverce.

Úloha 6. + skrytý text

Protni přímky $\textstyle KL$ a $\textstyle BC$ a hledej rovnoramenné trojúhelníky.

Úloha 7. + skrytý text

Uvaž funkci $\textstyle g: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ takovou, že $\textstyle g(n)^2 = f(1)+f(2)+\cdots+f(n)$ , a zkus na ni získat nějaké odhady. + skrytý text

Rozeber hodnoty $\textstyle g$ v prvočíslech.+ skrytý text

Domysli, že to už vynucuje všechny hodnoty.

Úloha 8. + skrytý text

Vyjde to $\textstyle 2n-2$ . Zobecni konstrukci pro $\textstyle n=3$ . Zafixuj počet svislých a vodorovných segmentů.

Denisa Hanušková | org | 8. 2. 2023 17:39:30

Ahoj, s koncem serií se k Vám blíží další hinty. Zde jsou:

Úloha 1.+ skrytý text

Dívej se na rozdíly sousedních průměrů.

Úloha 2.+ skrytý text

Popáruj dělitele $d$ s $\frac nd$ .

Úloha 3.+ skrytý text

Zprůměruj první a třetí nejvyšší a redukuj postupně dolů. Pro číslo 1000 opakuj postup z obou stran.

Úloha 4.+ skrytý text

Popáruj podmnožiny, které obsahují svůj aritmetický průměr s těmi, který jej neobsahují.

Úloha 5.+ skrytý text

Rozděl čísla na sudá a lichá.

Úloha 6.+ skrytý text

Spočítej $a_1-a_3$

Úloha 7.+ skrytý text

Rozmysli si, že $m$ se nezvětšuje.

Úloha 8.+ skrytý text

Více, než $k^2$ jich být nemůže, takže každá trojice, která může být pěkná, musí.+ skrytý text

Uspořádej si reálná čísla podle velikosti. Podívej se na vzdálenosti $a_k$ a $a_{k+1}$ . Jak pak musí vypadat ostatní mezery?

Úloha 1. + skrytý text

Fíla skutečně mohl takovou množinu najít.+ skrytý text

Zkus nějakou množinu bez okraje.

Úloha 2. + skrytý text

Postupně přidávej body z konvexního obalu, když to je potřeba, tak dva najednou.+ skrytý text

Přidávej body tak, aby poslední dvě písmena napsaného textu byla stejná.

Úloha 3. + skrytý text

Uvaž libovolný bod na povrchu mnohostěnu a zobraz mnohostěn ve stejnolehlosti se středem v tomto bodě a koeficientem 3/4.+ skrytý text

Použij nekonečnou Hellyho větu.+ skrytý text

Libovolné 4 obrazy se protínají v těžišti příslušného čtyřstěnu.

Áďa | org | 10. 1. 2023 11:17:38

Ahojky, už určitě netrpělivě očekáváš hintíky 4. podzimní série. Mám pro Tebe dobrou zprávu! Už nemusíš čekat déle!

Úloha 1. + skrytý text

Jaké dvojice můžou vzniknout při prvním rozdělení? A při druhém?

Úloha 2. + skrytý text

Čtvrté číslo zvol co nejvyšší.

Úloha 3. + skrytý text

Za jak dlouho alespoň někdo ví vše?

Úloha 4. + skrytý text

Jak musí vypadat graf, kde je mezi dvěma týmy hrana, právě když spolu hrály v některém z prvních dvou dnů?

Úloha 5. + skrytý text

Ukaž, že pokud je $\textstyle M$ město, do kterého doletí nejvíc letadel, a $\textstyle A$ , $\textstyle B$ nějaká jiná města, ze kterých letí letadla do $\textstyle M$ , pak úhel $\textstyle \sphericalangle AMB$ musí být vyšší než $\textstyle 60^\circ$ .

Úloha 6. + skrytý text

Smaž právě jednu šipku mezi každými dvěma týmy. + skrytý text

Rozděl si to na dvojice, kde pokaždé vyhrál jiný tým, a na ty zbylé.

Úloha 7. + skrytý text

Využij faktu, že počet přijatých GIFů je stejný jako počet odeslaných, k dokázání $\textstyle 7|n(n-1)$ . Najdi konstrukci pro vyhovující $\textstyle n$

Úloha 8. + skrytý text

Indukcí. Rozděl si maximální kliky podle toho, jak vznikly z menšího grafu.

<< < 1 2 ... 36 37 > >>

Kontakt

email	info (zavináč) prase.cz
pošta	Matematický korespondenční seminář KAM MFF UK Malostranské náměstí 25 118 00 Praha 1

Organizátoři

Matematický korespondenční seminář je organizovaný studenty Matematicko-fyzikální fakulty UK pod záštitou Informatického ústavu UK a Oddělení propagace a mediální komunikace MFF UK.

Partneři

Realizace projektu byla podpořena Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy

Matematický korespondenční seminář

Kalendář

Z naší fotogalerie

Kontakt

Organizátoři

Partneři