Chat Prasátek

Matematická sekce

<< < 1 2 ... 34 35 > >>

Kateřina Panešová | org | 7. 10. 2021 09:56:12

Ahoj! Jistě již netrpělivě očekáváte hinty k 1. podzimní sérii! Pro nové řešitele: Po termínu odeslání zveřejňujeme malé nápovědy k soutěžním úlohám, takže si můžete zkusit vyřešit i úlohy, u kterých jste si nevěděli rady :)
Umění
Úloha 1. + skrytý text

Opačná úhlopříčka

Úloha 2. + skrytý text

Slož dvě osové souměrnosti.

Úloha 3. + skrytý text

Nejbližší dva body

Úloha 4. + skrytý text

Vietovy vztahy a mocnost

Úloha 5. + skrytý text

8 a 7 nefungují; 5 a 6 nelze použít zároveň

Úloha 6. + skrytý text

Přesubstituuj do částečných součtů.

Úloha 7. + skrytý text

Dokresli středy $BC$ a $MK$ .

Úloha 8. + skrytý text

Dokresli přes trojúhelníky větší útvary, které se stále nebudou překrývat. + skrytý text

Rozšiř na šestiúhelník tak, aby se ani žádné dva šestiúhelníky nepřekrývaly.

Dominik Stejskal | org | 13. 5. 2021 03:36:46

Než dojde další ročník ke svému konci, je tu ještě jedna várka hintů ke 4. jarní sérii. :)

Úloha 1.
(a) + skrytý text

Ukaž, že body $\textstyle M$ , $\textstyle E$ , $\textstyle C$ a $\textstyle F$ leží na jedné kružnici.

(b) + skrytý text

Překlop body $\textstyle B$ a $\textstyle D$ po řadě podle úseček $\textstyle AE$ a $\textstyle AF$ a označ obrazy $\textstyle B$ , $\textstyle D$ . Ukaž, že $\textstyle A$ , $\textstyle B$ , $\textstyle D$ leží na přímce a $\textstyle B$ je rovnoběžník. + skrytý text

V rovnoběžníku se půlí úhlopříčky. Následně hledej shodné trojúhelníky.

Úloha 2.
(a) + skrytý text

V pravoúhlém trojúhelníku je poloměr kružnice vepsané = (odvěsna + odvěsna - přepona) / 2.

(b) + skrytý text

Rozděl vyhovující permutace na skupinky po $\textstyle p^2$ . + skrytý text

Pokud $\textstyle (a_1, a_2, \dots, a_p)$ vyhovuje, pak vyhovují i permutace tvaru $\textstyle (a_{1 + 1}, a_{2 + 1}, \dots, a_{p + 1})$ a $\textstyle (a_1 + 1, a_2 + 1, \dots, a_p + 1)$ , kde $\textstyle p + 1 = 1$ . + skrytý text

Rozmysli si, že opakovanou aplikací tohoto algoritmu lze dostat přesně permutace tvaru $\textstyle (a_{1 + k} + \ell, a_{2 + k} + \ell, \dots, a_{p + k} + \ell)$ , kde $\textstyle k, \ell \in \{0, 1, \dots, p - 1 \}$ a všechny indexy a hodnoty bereme modulo $\textstyle p$ mezi $\textstyle 1$ a $\textstyle p$ . Takto vyrobíme spoustu disjunktních skupinek vyhovujících permutací, které jsou velké nejvýše $\textstyle p^2$ . Které z nich jsou menší než $\textstyle p^2$ ? + skrytý text

Ukaž, že to jsou přesně permutace s konstantní diferencí $\textstyle d = a_{i + 1} - a_i$ pro všechna $\textstyle i \in \{2, 3, \dots, p\}$ .

Úloha 3.
(a) + skrytý text

Podívej se na cestu mezi políčky s čísly $\textstyle 1$ a $\textstyle n^2$ .

(b) + skrytý text

Kolik je kostiček potřeba k tomu, aby se už další nedala přiložit do jednoho čtverce $\textstyle 4\times 4$ ?

Úloha 4.
(a) + skrytý text

$\textstyle XY$ prochází středem čtverce.

(b) + skrytý text

Uvažme nejmenší kruh obsahující všechny body. Můžou všechny body na okraji být součástí jedné půlkružnice?

Úloha 5.
(a) + skrytý text

V některou hodinu budou u trezoru 3 orgové. + skrytý text

Jednoho z nich lze propustit.

Úloha 6.
(a) + skrytý text

Velká prvočísla by bylo potřeba spárovat s jedničkou. + skrytý text

Jde zařídit 12 celočíselných zlomků.

(b) + skrytý text

Jde to pro všechna $\textstyle n$ . Konstruuj $\textstyle n$ -tici induktivně. + skrytý text

Přidej nulu a ke všemu přičti vhodné číslo.

Úloha 7.
(a) + skrytý text

$\textstyle MN$ je těžnice v $\textstyle ANB$ i $\textstyle CMD$ .

(b) + skrytý text

Chceš dokázat $\textstyle \frac{|AX|}{|AY|}=\frac{|BX|}{|BY|}$ . + skrytý text

$\textstyle XY$ a společné tečny z bodů $\textstyle A$ , $\textstyle B$ se protínají v jediném bodě $\textstyle T$ .

Kateřina Panešová | org | 14. 4. 2021 10:39:28

Dvojitá dávka čerstvých hintů k 3. jarní a 3. seriálové sérii!

Úloha 1.+ skrytý text

Rovnoramenný trojúhelník. + skrytý text

Úhel $\textstyle 120^\circ$ .

Úloha 2.+ skrytý text

Spočítej celkový počet stran trojúhelníků na obvodu n-úhelníku.

Úloha 3.+ skrytý text

Uvaž trojúhelníky o straně dva.

Úloha 4.+ skrytý text

$\textstyle BI$ , $\textstyle CI$ jsou výšky v trojúhelníku $\textstyle BCM$ .

Úloha 5.+ skrytý text

Vyúhli, že trojúhelníky $\textstyle ACK$ a $\textstyle DEL$ jsou shodné.+ skrytý text

Využij úsekové úhly.

Úloha 6.+ skrytý text

$\textstyle O$ leží na $\textstyle AX$ .+ skrytý text

$\textstyle OO_1$ i $\textstyle CX$ jsou kolmé na $\textstyle XY$ .

Úloha 7.+ skrytý text

Dokresli $\textstyle K$ průsečík $\textstyle DF$ a $\textstyle \omega$ .+ skrytý text

Trojúhelníky $\textstyle KBC$ a $\textstyle ANM$ jsou podobné s SUS.

Úloha 8.+ skrytý text

Počítejte obsah doplňku trojúhelníku $\textstyle CPQ$ vzhledem ke kosočtverci $\textstyle ABCD$ .+ skrytý text

Ukažte, že hledaná nezávislost je ekvivalentní tomu, že hodnota $\textstyle |AP|*|BQ|$ nezávisí na poloze $\textstyle P$ .+ skrytý text

Překlopte body $\textstyle P$ , $\textstyle Q$ podle úsečky $\textstyle AB$ na body $\textstyle P$ , $\textstyle Q$ .+ skrytý text

Ukažte, že body $\textstyle P$ , $\textstyle Q$ , $\textstyle P$ , $\textstyle Q$ a střed $\textstyle O$ kosočtverce $\textstyle ABCD$ leží na jedné kružnici.+ skrytý text

$\textstyle O$ je Švrčkův bod trojúhelníku $\textstyle PQP$ .+ skrytý text

Nezávislost prokažte pomocí mocnosti z $\textstyle A$ .

Úloha 1.+ skrytý text

Nejprve vyřeš prvočíselné mocniny, potom použij Čínskou zbytkovou větu.

Úloha 2.+ skrytý text

Zkus jako prvky krutopřísné posloupnosti použít 1 a prvočíslo p.+ skrytý text

Pro důkaz ireducibility se na to podívej mod p.

Úloha 3.+ skrytý text

3. Zvol $\textstyle z = \phi(x)$ .+ skrytý text

Použij $\textstyle x-a \mid f(x)-f(a)$ .

Dominik Stejskal | org | 13. 3. 2021 23:37:52

Nové hinty ke druhé jarní sérii jistě pomůžou rozbít i ty odolnější úlohy...

Úloha 1. + skrytý text

Co umíš říct o $a + b + c$ ?

Úloha 2. + skrytý text

Šimpanzovi naproti Radečkovi dej co nejvíce banánů.

Úloha 3. + skrytý text

Rozlož povrch čtyřstěnu na síť. + skrytý text

Nahlédni, že Pavel si nepomůže přecházením přes více hran.

Úloha 4. + skrytý text

Rozdíl základů pátých mocnin by musel dělit $p$ .

Úloha 5. + skrytý text

V kolika takových dvojicích je na začátku každá karta?

Úloha 6. + skrytý text

Počítej modulo $d-1$ .

Úloha 7. + skrytý text

Čísla lze vydělit jejich společným dělitelem. + skrytý text

Dívej se na čísla modulo 2. Co se stane po dvou krocích?

Úloha 8. + skrytý text

Vyhovují právě dvojice splňující $p = q \neq 2$ . + skrytý text

Zkoumej řád $2p^2 - 1$ modulo $p+q$ .

Lenka Kopfová | org | 25. 2. 2021 18:42:36

Ahoj,
pokud chceš potrénovat před celostátkem nebo si jen započítat pro radost je zde nová série TRiKSka http://iksko.org/triks/current.php. Pokud nevíš, co je TRiKS, můžeš se kouknout do pravidel pro bližší info http://iksko.org/triks/pravidla.pdf. Navíc máme exkluzivní nabídku - vítěz každého dalšího TRiKS získá TRiKS šátek!

Lenka Kopfová | org | 23. 2. 2021 14:50:01

Řešení 9:
+ skrytý text

Uvažujme stejnolehlosti z bodů $P, Q$ , které zobrazují $k_1$ resp. $k_2$ na $k$ . První stejnolehlost zobrazuje $A\mapsto M, D\mapsto N$ a druhá zobrazuje $B\mapsto M, C\mapsto N$ . Tedy platí $AD\parallel MN\parallel BC$ . Dále si všimněme, že $XY$ je chordála kružnic $k_1, k_2$ , tedy $|MA|\cdot |MP| = |MB|\cdot |MQ|$ , takže $APQB$ je tětivový. Obdobně i $DPQC$ je tětivový. Odtud $|\sphericalangle BCD| = 180^{\circ} - |\sphericalangle QCB|-|\sphericalangle DCN| = 180^{\circ} - |\sphericalangle QNM|-|\sphericalangle NPQ| = 180^{\circ} - |\sphericalangle QNM|-|\sphericalangle NMQ| = |\sphericalangle NQM|$ . Jinak řečeno $CD$ je tečna $k_2$ (tedy i ke $k_1$ ) a obdobně $AB$ je společná tečna $k_1,k_2$ . Takže $|\sphericalangle BCD|=|\sphericalangle MQN| = 180^{\circ}-|\sphericalangle MPN| = 180^{\circ}-|\sphericalangle BAD|$ , tedy $ABCD$ je tětivový, navíc $AD\parallel BC$ , takže se jedná o rovnoramenný lichoběžník a $|AB|=|CD|$ .

10:
Dokaž, že pro každé přirozené číslo $n$ platí:
$(2n^{2}+3n+1)^{n}\geq 6^{n}(n!)^2$

šimon | 22. 2. 2021 14:03:57

Dobrý den, potřeboval bych vypočítat tento příklad i s řešením: Jestliže zvětšíme jednu stranu čtverce o 20 cm a sousední stranu zmenšíme o 6 cm, dostaneme rozměry obdélníku, který má obsah 1,4krát větší než obsah původního čtverce. Určete délku jeho strany. Předem děkuji. Počítání s kvadratickými rovnicemi

Kateřina Panešová | org | 11. 2. 2021 12:50:13

Ahoj! Čeká na vás dvojitá várka hintů, a to k 1. jarní a 2. seriálové sérii!

1. jarní série
Úloha 1.+ skrytý text

Všichni mají stejnou pravdomluvnost.

Úloha 2.+ skrytý text

Přelož si všechna tvrzení mudrců do tvaru "je mezi námi tolik a tolik pravdomluvců".

Úloha 3.+ skrytý text

Zkus nejdřív menší čtverec 5x5.

Úloha 4.+ skrytý text

Nahlédni, že celá trasa paprsku musí být středově souměrná. + skrytý text

Jaký bod je potom přesně v polovině trasy?

Úloha 5.+ skrytý text

Můžou vedle sebe sedět dva kluci? + skrytý text

Jaké posloupnosti dívek a chlapců lze sestavit? + skrytý text

Podívej se na to modulo 3.

Úloha 6.+ skrytý text

Pro sudá n využij $\textstyle k^2-1 = (k-1)(k+1)$ . + skrytý text

Pro lichá n se podívej modulo 8 na sudá a, b.

Ůloha 7.+ skrytý text

Ukaž, že pro $\textstyle k\leq 12$ dokáže Pavel vybrat všechny pěšce. + skrytý text

Důkaz sporem a Dirichletův princip.

+ skrytý text

Najdi konstrukci pro $\textstyle k=13$ .

Úloha 8.+ skrytý text

Vyjde, že takové $n$ existuje.
+ skrytý text

Uvažuj 2021 záhadných čísel tvaru $x^2 + 1^2$ až $x^2 + 4041^2$ .
+ skrytý text

Abys zajistil/a nesoudělnost, vzpomeň si na úlohy s hledáním čísla nesoudělného s nějakými malými čísly, kde jde zvolit faktoriál malých čísel + 1.+ skrytý text

Zvol $x = A + 1$ , kde $A$ je liché a dělitelné všemi lichými čísly od $3$ do $4041$ .

+ skrytý text

Následně ukaž, že pro libovolné sudé číslo tvaru $(A + 1)^{2} + \ell$ mezi nimi už musí být $x, y$ splňující $(A + 1)^{2} + \ell = x^{2} + y^{2}$ soudělná.
+ skrytý text

Pro $4 \mid \ell$ se stačí podívat na rovnici modulo $4$ .

+ skrytý text

Pro $\ell \equiv 2 \pmod 4$ by stačilo, aby existovalo prvočíslo $p$ tvaru $4k + 3$ , které dělí $x^{2}+y^{2}$ . Potom totiž $p$ dělí jak $x$ , tak $y$ . Jak najít takové $p$ ?
+ skrytý text

V tomto případě existuje něco, co je určitě tvaru $4k + 3$ . Pak stačí zvolit libovolné prvočíslo tvaru $4k + 3$ , které dělí to něco.
+ skrytý text

Konkrétně $\ell + 1$ je tvaru $4k + 3$ . Tedy už stačí jen zajistit, aby $p$ dělilo $(A + 1)^{2} + \ell$ . Jak můžeme definovat $A$ , aby to bylo splněno?
+ skrytý text

Ukaž, že $A = 3\cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot \dots \cdot (4041^{2} - 2).$ vyhovuje.

2. seriálová série
Úloha 1.+ skrytý text

Použij malou Fermatovu větu. + skrytý text

V druhé kongruenci umocni na druhou a získej $\textstyle p\mid \text{konstanta}$ .

Úloha 2.+ skrytý text

Fundamentální jednotka je $\textstyle a+\sqrt{a^2+1}$ . + skrytý text

$\textstyle x+y\sqrt{a^2+1}$ bude její mocninou se sudým exponentem. + skrytý text

Rozepiš binomickou větu a posbírej racionální členy -- skoro všechny jsou násobky $\textstyle a^2$ .

Úloha 3.+ skrytý text

Dívej se v $\textstyle \Bbb Z$ a rozmysli si, že $\textstyle x+yi$ je $\textstyle k$ -tá mocnina. + skrytý text

Interpretuj podmínku $\textstyle p \mid xy(x^2-y^2)$ jako multiplikativní množinu v $\textstyle \Bbb Z/(p)$ . + skrytý text

Tato multiplikativní množina má $\textstyle 4(p-1)$ prvků, zatímco $\textstyle k = \frac{p+1}4$ .

Dominik Stejskal | org | 15. 1. 2021 01:06:53

Nový rok přináší spoustu zajímavých věcí, jako třeba hinty ke 4. podzimní sérii! :)

Úloha 1. + skrytý text

$6+8<10\sqrt{2}$ ,
$6^2 + 8^2 = 10^2$ .

Úloha 2. + skrytý text

Podívej se na dvojici s minimální vzdáleností. + skrytý text

Buď je některý zasažen dvakrát, nebo je můžeš odebrat.

Úloha 3. + skrytý text

Kolik červených bodů může být ve vzdálenosti přesně 1 od jednoho daného červeného bodu?

Úloha 4. + skrytý text

Dokresli si středy úseček $AB$ a $CD$ a úhlením hledej podobné (a shodné) trojúhelníky.

Úloha 5. + skrytý text

Body $K, L, M, N$ leží na ose $OP$ . + skrytý text

Úhly $OAP$ a $PCO$ se rovnají. Ukaž, že kružnice $AOP$ a $COP$ mají stejný poloměr.

Úloha 6. + skrytý text

Uvažuj všech 100 rotací, které zobrazí 100-úhelník na sebe. + skrytý text

Kolikrát se zobrazí modrý vrchol na červený?

Úloha 7. + skrytý text

Dokresli bod $C$ překlopený přes $E$ . + skrytý text

Přenášej délky pomocí rovnoběžek a kolmic.

Úloha 8. + skrytý text

Odhadni dvěma způsoby počet rovnoramenných trojúhelníků.

Kateřina Panešová | 9. 12. 2020 23:31:55

HINTY! Nevěděl/a sis rady s některou z úloh 3. podzimní a 1. seriálové série? Dej jí ještě jednu šanci!
3. podzimní série
Úloha 1. + skrytý text

Dej kouli do středu stolu, pak už to jde samo...

Úloha 2. + skrytý text

Nechť je $\textstyle a_n$ minimální počet soutěžících, který je potřeba, aby celkový vítěz měl $\textstyle n$ výher. Najdi rekurenci pro $\textstyle a_n$ .+ skrytý text

Jsou to Fibonacciho čísla.

Úloha 3. + skrytý text

Uprav na společného jmenovatele a dívej se na dělitelnost $\textstyle n-1$ .

Úloha 4. + skrytý text

Všimni si, že pro $\textstyle n\geq 15$ je na šachovnici víc než 111 mincí. Co $\textstyle n=14$ ? A co $\textstyle n=13$ ?+ skrytý text

Pro $\textstyle n=14$ je počet mincí sudý.+ skrytý text

Najdi konstrukci pro $\textstyle n=13$ .

Úloha 5. + skrytý text

Substituuj $\textstyle a=\frac xy$ , $\textstyle b=\frac1y$ .+ skrytý text

Dostaneš lineární lomený výraz v $\textstyle a$ , zatímco podmínka omezuje $\textstyle a$ na nějaký interval.

Úloha 6. + skrytý text

Je to $\textstyle 2 - \frac1{2n+1}$ .+ skrytý text

Vezmi silnici s limitem $\textstyle 1$ a odhadni tím průměry dvojic silnic z krajních měst do nějakého třetího.

Úloha 7. + skrytý text

Dej rovničku do tvaru $\textstyle x_n - x_{n+1} = k\frac{x_{n+1}-x_{n+2}}{x_{n+1}x_{n+2}}$ , vynásob všechny tyhle věci přes všechna $\textstyle n$ a použij racionalitu $\textstyle x_i$ .

Úloha 8. + skrytý text

Dokresli O opsiště ABC.+ skrytý text

Trojúhelníky $\textstyle OO_1O_2$ jsou podobné nezávisle na P.

1. seriálová série
Úloha 1. + skrytý text

Zkus mod 3, anebo trikový rozklad $\textstyle (p^2+p+1)(p^2-p+1)$ .

Úloha 2. + skrytý text

Nechť je $\textstyle \alpha$ kořenem $\textstyle x^2+x+3$ . Dokaž, že $\textstyle \zet[\alpha]$ je eukleidovský, rozlož a použij tvrzení o mocninách.

Úloha 3. + skrytý text

3. Uprav na čtverec + čtverec = čtverec + 1, poté využij vztahů prvočíselného rozkladu čísla a možností jeho vyjádření jako čtverec + čtverec.

Dominik Stejskal | org | 14. 11. 2020 20:31:54

Hinty jsou zpět! S nimi už zbytek druhé podzimní série snadno rozlouskneš.

Úloha 1. + skrytý text

Podívej se na osovou souměrnost podle kolmice k $\textstyle p$ . Vhodně zvol $\textstyle A$ , $\textstyle B$ , $\textstyle C$ .

Úloha 2. + skrytý text

Co kdyby Terka začínala na úhlopříčce?

Úloha 3. + skrytý text

Hledej pravoúhlé trojúhelníky. + skrytý text

Opiš 2020-úhelníku kružnici, použij Thaletovu a Pythagorovu větu.

Úloha 4. + skrytý text

Sečti všechny rovnice. + skrytý text

Uprav na součiny a využij $\textstyle a+b+c=0$ .

Úloha 5. + skrytý text

Dokresli překlopení $\textstyle A$ bodu $\textstyle A$ přes osu úsečky $\textstyle BC$ .

Úloha 6. + skrytý text

Označ si průsečík úseček $\textstyle BT$ a $\textstyle XY$ a hledej podobné trojúhelníky.

Úloha 7. + skrytý text

Vezmi diagonálu, domy mimo ní popáruj symetricky a domy na ní vyřeš zvlášť.

Úloha 8. + skrytý text

Lichý cyklus neexistuje právě tehdy, když jdou letiště obarvit dvěma barvami tak, aby každá dvě spojená letiště měla různou barvu. + skrytý text

Pro sudá n může libovolný z hráčů zařídit, že těsně před koncem hry bude stejně letišť od každé z těchto dvou barev.

Václav Janáček | org | 9. 8. 2020 12:56:52

Samozřejmě máme ukázat $|AB|=|CD|$ , ale jinak skoro dobře :D

Václav Janáček | org | 7. 8. 2020 14:30:13

Řešení 8:
+ skrytý text

Ukáži, že je to $m+n$ . Nejdříve předpokládejme, že existuje šachovnice, na kterou je možno umístit víc věží. Vezměme nejmenší takovou šachovnici (nejmenší $m+n$ ). BÚNO nechť $m \leq n$ . Poté jsou v některém řádku více než $2$ věže, jinak jich je nejvýše $2m \leq m+n$ .
Vyberme některou z nekrajních věží v tomto řádku. Ta ohrožuje jednu věž vlevo a jednu vpravo. Musí být tedy ve sloupci sama. Odstraněním tohoto sloupce získáme menší tabulku s více než $m+n$ věžemi, přitom stále každá věž zjevně ohrožuje právě dvě jiné. Spor.
Rozmístění věží do celého levého sloupce, celého spodního řádku a na políčko vpravo nahoře je platné rozmístění $m+n$ věží.

9:
Nechť $k_1$ , $k_2$ jsou kružnice protínající se v bodech $X$ , $Y$ . Nechť s nimi kružnice $k$ svírá vnitřní dotek postupně v bodech $P$ , $Q$ . Nechť $XY$ protíná $k$ v bodech $M$ a $N$
Polopřímky $PM$ a $PN$ protínají $k_1$ postupně v $A$ a $D$ . Obdobně polopřímky $QM$ a $QN$ protnou $k_2$ v $B$ a $C$ . Ukažte $|AB|=|BC|$ .

Josef Minařík | org | 28. 7. 2020 20:46:36

Řešení 7:
+ skrytý text

Nejprve si všimněme, že pokud $\frac{a}{b} \not \in S, b >a$ , potom $\frac{b-a}{a}, \frac{a}{b-a}\not \in S$ , protože $\frac{1}{\frac{b-a}{a}+1} = \frac{\frac{a}{b-a}}{\frac{a}{b-a}+1} = \frac{a}{b}$ . Dále předpokládejme, že $\frac{a}{b} \not \in S, \frac{a}{b} \neq \frac{1}{2}$ a $a+b$ je minimální. To je ovšem spor, protože jeden ze zlomků $\frac{b-a}{a}, \frac{a}{b-a}$ je menší než 1, není v $S$ , a má menší součet čitatele a jmenovatele. Tím jsme dokázali, že neexistuje uvažovaný zlomek $\frac{a}{b}$ , a úloha je vyřešena.

8.
Kolik nejvíce šachových věží je možné umístit na šachovnici $m\times n$ , kde $m, n > 1$ , tak, aby každá věž ohrožovala právě dvě další? Dvě věže se navzájem ohrožují, pokud jsou ve stejném sloupci nebo řádku a není mezi nimi žádná jiná věž.

Michal Janík | 24. 7. 2020 10:55:39

Řešení 6:
+ skrytý text

Pro nenulové $x,y$ vydělíme celou nerovnost kladným výrazem $(xy)^2$ a zavedeme si funkci $g(x)=\frac{f(x)}{x}$ , čímž dostaneme $2g(xy)\geq1+g(x)g(y^2)$ . Dosazením $x,y=1$ dostaneme $2g(1)\geq1+g^2(1) \Leftrightarrow0\geq(g(1)-1)^2\Rightarrow g(1)=1$ . Dosazením $y=1$ dostaneme $g(x)\geq1$ . Naposledy dosazením $x=\frac{1}{y}$ dostaneme $1\geq g\left(\frac{1}{y}\right)g(y^2)$ , ale protože platí $g(x)\geq1$ , musí platit také $g(x)=1$ . Z toho plyne $f(x)=x$ , což zkouškou lehce ověříme.

7.
Množina $S$ , která obsahuje jen racionální čísla má následující vlastnosti:
a) $\frac{1}{2}\in S$
b) Pokud $x\in S$ , tak $\frac{1}{x+1}\in S$ a $\frac{x}{x+1}\in S$ .

Dokažte, že $S$ obsahuje všechna racionální čísla z intervalu $0<x<1$ .

Zdeněk Pezlar | 21. 7. 2020 20:20:39

Řešení 5:
+ skrytý text

Pokud označíme $\textstyle a_1,\dots,a_{1234}$ prvky naší množiny a $\textstyle s$ jejich součet, pak $\textstyle \lbrace a_1,\dots,a_{1234} \rbrace = \lbrace s-a_1,\dots,s-a_{1234} \rbrace$ . Tyto množiny jsou shodné a obě mají právě $\textstyle 1234$ různých prvků, tedy součet prvků obou množin bude shodný: $\textstyle s = a_1 + \cdots + a_{1234} = s-a_1 + \cdots + s-a_{1234} = 1233s$ , tedy $\textstyle s=0$ , máme tedy $\textstyle \lbrace a_1,\dots,a_{1234} \rbrace = \lbrace -a_1,\dots,-a_{1234} \rbrace$ . Pokud by jedno z čísel bylo nulové, například $\textstyle a_1$ , tak $\textstyle \lbrace a_2,\dots,a_{1234} \rbrace = \lbrace -a_2,\dots,-a_{1234} \rbrace$ , součin $\textstyle S$ prvků obou množin bude shodný, $\textstyle S = a_2 \cdots a_{1234} =(-a_2)\cdots (-a_{1234})=-S$ , jedno z $\textstyle a_i$ je $\textstyle 0$ , spor s růzností čísel. Můžeme proto čísla rozdělit na $\textstyle 617$ dvojic $\textstyle (b_i,-b_i)$ pro nenulová $\textstyle b_i$ . Součin všech čísel bude $\textstyle (- b_1 ^2) \cdots (- b_{617}^2)= - (b_1 \cdots b_ {617})^2 < 0$ .

6.
Určete všechny funkce $\textstyle f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ , které splňují $\textstyle 2xyf(xy) \geqslant (xy)^2+xf(x)f(y^2)$ pro všechna reálná $\textstyle x,y$ .

Josef Minařík | org | 16. 7. 2020 23:07:19

Řešení 4:
+ skrytý text

Ukážeme, že $m$ může být nejvýše $2^n$ . Uvažujme nějakou vyhovující tabulku, nejmenší číslo v každém sloupci je BÚNO 0 (jinak můžeme čísla v daném sloupci posunout), potom žádné číslo nemůže být větší než 1. Pokud je někde v tabulce číslo větší než 0 a menší než 1, můžeme místo něj napsat 0 a tabulka bude pořád splňovat podmínku ze zadání. Stačí nám tedy uvažovat tabulky vyplněné 0 a 1. Pokud by ovšem tabulka měla více než $2^n$ řádků, budou některé dva řádky stejné, což je spor se zadáním.
Tabulka, jejíž řádky jsou všechny možné posloupnosti 0 a 1, zřejmě vyhovuje zadané podmínce a má $2^n$ řádků.

5. Množina 1234 (různých) reálných čísel má následující vlastnost. Když nahradíme každé číslo množiny součtem zbývajících 1233 čísel, dostaneme stejnou množinu 1234 čísel. Dokažte, že součin těchto 1234 čísel je záporný.

Magdaléna Mišinová | org | 12. 7. 2020 20:07:24

Řešení 3:
+ skrytý text

Protože $AG\perp GO$ , $O$ je střed $(ABC)$ a $AX$ je tětiva této kružnice, tak $G$ je střed $AX$ .
Označme $S$ střed $BC$ . Víme, že $GX:AG:GS=2:2:1$ . Těžiště vždy leží uvnitř trojúhelníku, takže $S$ je střed $GX$ . Tím jsme dokázali, že úsečky $BC$ a $GX$ se navzájem půlí, takže čtyřúhelník $BXCG$ je rovnoběžník.
Platí $BG\parallel DX$ a $G$ je střed $AX$ , takže $B$ je střed $AD$ . Obdobně $C$ je střed $AE$ . Opsiště $ADE$ zkonstruujeme proto tak, že z bodů $B$ a $C$ vedeme kolmice postupně na $AB$ a $AC$ . Proto body $A$ , $B$ , $C$ a opsiště $ADE$ určitě leží na kružnici, jak jsme chtěli.

4. Mějme přirozené číslo $n$ . V závislosti na $\textstyle n$ najděte největší $\textstyle m$ s následující vlastností. Tabulka s $\textstyle m$ řádky a $\textstyle n$ sloupci můžeme být vyplněna reálnými čísly tak, aby pro každé dva řádky, čísla v nichž si označíme $\textstyle a_1,\,a_2,\dots ,a_n$ a $\textstyle b_1,\,b_2,\dots ,b_n$ , platilo:
$\max(|a_1-b_1|,|a_2-b_2|,\dots ,|a_n-b_n|)=1$

Zdeněk Pezlar | 12. 7. 2020 17:52:47

Řešení 2:
+ skrytý text

$\textstyle \frac{x+1}{x} = \frac{x+x+y}{x} = 2+\frac{y}{x},$ takže pokud označíme $\textstyle a = \frac{x}{y},$ , tak díky AG a Cauchymu platí:
$(2+a)^2 + (2+\frac{1}{a})^2 \geqslant 2(1+1+a)(1+1+\frac{1}{a}) \geqslant 2 \cdot 3^2$ a jsme doma.

3. V trojúhelníku $\textstyle ABC$ s opsištěm $\textstyle O$ a těžištěm $\textstyle G$ platí $\textstyle AG \perp GO$ . Označme $\textstyle X \not\equiv A$ druhý průsečík $\textstyle AG$ s kružnicí $\textstyle (ABC)$ a mějme $\textstyle D$ průsečík přímek $\textstyle AB$ a $\textstyle CX$ , $\textstyle E$ průsečík $\textstyle AC$ a $\textstyle BX$ . Ukaž, že opsiště $\textstyle ADE$ leží na $\textstyle (ABC)$ .

Huu Quy Nguyen | 12. 7. 2020 15:03:08

Řešení:
+ skrytý text

Dokážeme matematickou indukcí :)
Pro $\textstyle n = 1$ tvrzení zřejmě platí.
Předpokládejme, že tvrzení platí pro $\textstyle n=i$ .

Pak z indukčního předpokladu platí $\textstyle \prod_{k=1}^{i} (a_k^2 - b_k^2) = x^2 - y^2$ pro celá $\textstyle x,y$ .
Nyní pro $\textstyle n = i+1$ platí $\textstyle \prod_{k=1}^{i+1} (a_k^2 - b_k^2) = (a_{i+1}^2 - b_{i+1}^2)\cdot \prod_{k=1}^{i} (a_k^2 - b_k^2) = (a_{i+1}^2 - b_{i+1}^2)(x^2 - y^2)$
Jenže $\textstyle (a_{i+1}^2 - b_{i+1}^2)(x^2 - y^2) = (a_{i+1}x+b_{i+1}y)^2 - (a_{i+1}y+b_{i+1}x)^2$ , což je rozdíl dvou čtverců, čímž jsme hotovi.

2. Pro kladná reálná $\textstyle x,y$ platí $\textstyle x+y=1$ . Dokaž, že platí $\textstyle (\frac{x+1}{x})^2 + (\frac{y+1}{y})^2 \geq 18$

<< < 1 2 ... 34 35 > >>

Kontakt

email	info (zavináč) prase.cz
pošta	Korespondenční seminář KAM MFF UK Malostranské náměstí 25 118 00 Praha 1

Organizátoři

Matematický korespondenční seminář je organizovaný studenty Matematicko-fyzikální fakulty UK pod záštitou Informatického ústavu UK a Oddělení pro vnější vztahy a propagaci UK.

Partneři

Matematický korespondenční seminář

Kalendář

Z naší fotogalerie

Kontakt

Organizátoři

Partneři