Jméno:

b i u AA AA \TeX link skrytý text
Anti-spamová kontrola: Kolik je jedna a čtyři? (slovy)
Matematická sekcerss-icon
<< < 1 2 ... 35 36 > >>
Erik Ježek | 27. 5. 2022 20:04:00
Řešení 14:
+ skrytý text
Když za b budeme dosazovat čísla od 0 do p-1, tak dostaneme p různých zbytků modulo p, protože: Pro spor předpokládejme, že existují různá celá čísla -1 < x,y < p, taková že xq a yq dávají stejný zbytek, pak ale musí platit, že p dělí q(x-y) a z toho že p a q jsou různá prvočísla, tak p dělí x - y, to ale už znamená x = y, což je spor. Zbývá ukázat, že každý z těchto zbytků je menší než (p-1)(q-1), nebo je prvním větším číslem než tento součin, které dává stejný zbytek modulo p jako bq (proto je v následující nerovnosti na levé straně -p), pak bude jistě stačit zvolit a nezáporně pro každé k. Podmínku stačí ověřit pro nejvyšší b, tedy pro b = p - 1, pak chceme dokázat: (p-1)q - p < (p-1)(q-1), což ale triviálně platí a tím jsme hotovi

Zadání 15:
Mějme přirozená čísla n, m, x, taková že splňují n^n - m^n = x^2 a čísla n, m jsou nesoudělná. Dokažte že n - m je druhou mocninou přirozeného čísla
Patrik Štencel | 22. 5. 2022 23:33:25
Řešení 13:
+ skrytý text
Rozdělme si políčka na rohová, okrajová(nepatří do nich rohová) a vnitřní. Rohová mají pouze 2 sousedy, takže nemůže být obarvené. Okrajové má 3 sousedy, takže všichni 3 musí být obarveni. Tabulka je konečná, takže se dostaneme k rohovému políčku, které nemůže být obarvené a tedy ani okrajové nemůže být. Nyní se podívejme na vnitřní políčka. Představme si, že tvoří nějaký mnohoúhelník, kde jeho úhly jsou násobky 90°. Představme si, že nějaký vnitřní úhel má 90°. To by znamenalo, že nějaké políčko má kolem sebe 2 čtverečky. To odporuje zadání, takže jeho jediné vnitřní úhly jsou 180°, 270°,360°(uvnitř). Pokud bychom šli po jeho vnějším obvodu(nepočítáme vnitřní záhyby), mohli bychom sečíst úhly na které narazíme. Pokud bychom brali ty úhly, které nejsou přímé a náš mnohoúhelník by měl n vrcholů, získali bychom tento součet jako n270°. Součet úhlů v mnohoúhelníku je (n-2)180°. Tedy náš útvar nemůže být mnohoúhelník, ale zároveň jediný útvar, který by to mohl být je mnohoúhelník. To je spor a tedy nejde to. (Alternativní metoda by spočívala, že půjdeme po obvodu a vždy budeme zabočovat o 90° na jednu stranu a na druhé straně se bude rozkládat náš obarvený mnohoúhelník. Nyní bychom potřebovali obalit náš mnohoúhelník tím, že uzavřeme jeho obvod. Problém by nastal v tom, že u každého takového uzavření by obarvená část nebyla uvnitř uzavřené části, ale venku(táhla by se do nekonečna/krajů(obojí nejde)).)

Zadání 14:
Mějme dvě prvočísla p,q. Dokažme, že pro každé k>(p-1)(q-1) lze k zapsat jako k=ap+bq pro nezáporná celá čísla a,b.
Erik Ježek | 22. 5. 2022 20:24:20
Řešení 12:
+ skrytý text
Stačí zvolit a = n^2, b = n-1, pak rovnost jistě bude platit a jmenovatel zlomku bude vždy vyšší než 0 (z přirozenosti n).


Zadání 13:
Uvažme tabulku s n řádky a m sloupci. Lze tuto tabulku obarvit, tak aby každé obarvené políčko (existuje aspoň jedno) sousedilo s aspoň 3 jinými obarvenými políčky? (Políčko sousedí s jiným políčkem, pokud mají společnou stranu)
Matěj Doležálek | org | 15. 5. 2022 01:05:18
Řešení 11:
+ skrytý text
Pojmenujme středy \textstyle \alpha, \textstyle \beta, \textstyle \gamma jako \textstyle D, \textstyle E, \textstyle F a jejich společný bod označme \textstyle O. Obě \textstyle \beta, \textstyle \gamma jsou osově souměrné podle \textstyle EF, takže jejich druhý průsečík musí být obrazem \textstyle O podle téhle osy -- můžeme tedy \textstyle A alternativně pojmenovat jako \textstyle O_d. Obdobně mějme \textstyle O_e=B, \textstyle O_f=C. Zjevně je \textstyle O opsiště trojúhelníku \textstyle DEF, ukažme, že opsištěm \textstyle ABC je kolmiště \textstyle H trojúhelníku \textstyle DEF. Označíme-li jeho obrazy v osových souměrnostech podle stran \textstyle DEF jako \textstyle H_d, \textstyle H_e, \textstyle H_f, pak máme \textstyle |HO_d|=|H_dO|, což je jen poloměr opsané kružnice \textstyle DEF, protože \textstyle H_d leží na kružnici opsané (to je známé). Tím je dokázáno, že \textstyle H je středem kružnice opsané \textstyle ABC a její poloměr je \textstyle |H_dO|=|OD|, což je původní poloměr našich kružnic.


Zadání 12:
Je dáno přirozené číslo \textstyle n>1. Dokaž, že lze zvolit přirozená \textstyle a, \textstyle b tak, že \textstyle n^2+n+1=\frac{a^2+a+1}{b^2+b+1}.
Michal Janík | 14. 5. 2022 12:21:45
11:
Kružnice \alpha, \beta, \gamma se stejným poloměrem se protínají v jednom bodě. Jejich další průsečíky jsou A, B, C. Dokažte, že kružnice opsaná ABC má stejný poloměr.
Michal Janík | 14. 5. 2022 12:18:36
Když už skončil myšmaš, mohli bychom zkusit obnovit maraton, ne? : D

Řešení 10:
+ skrytý text
Je známé, že 1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6, nerovnost ze zadání můžeme upravit na \left(\frac{(n+1)(2n+1)}6\right)^n\geq(n!)^2. Navíc \frac{(n+1)(2n+1)}6=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n}=\frac{1^2+2^2+\cdots+n^2}n\geq \sqrt[n]{1^2\cdot2^2\cdots n^2}. Umocněním na n-tou dostáváme přesně to, co jsme chtěli.
Kateřina Panešová | org | 7. 4. 2022 10:40:15
Ahoj! Jistě se už nemůžeš dočkat dvojité várky hintů, a to ke 3. jarní a 3. seriálové sérii!

Úloha 1. + skrytý text
Použij mocniny dvojky.

Úloha 2. + skrytý text
\textstyle (a-b)(a+b) = a^2 - b^2

Úloha 3. + skrytý text
Modulo 4.

Úloha 4. + skrytý text
Mocni a zbavuj se racionálních čísel.

Úloha 5. + skrytý text
Označ \textstyle r = \sqrt{xy}, \textstyle s = x+y a vyjádři v \textstyle r a \textstyle s rovnice ze zadání.

Úloha 6. + skrytý text
Dokresli PA a PB a hledej podobné trojúhelníky.

Úloha 7. + skrytý text
Podívej se na cestu délky L a délku cyklu, na němž leží první a poslední vrchol, označ jako K. Ukaž, že existuje cyklus délky alespoň \textstyle \ell/K + K/2.

Úloha 8.+ skrytý text
Levou stranu zdola odhadni jako \textstyle (n^2d-a^2)/2, kde a = dolní celá část z \textstyle n\sqrt{d}.+ skrytý text
Vyluč malé hodnoty \textstyle n^2d-a^2 pomocí kvadratických zbytků pro vhodnou zbytkovou třídu d mod 20.


Úloha 1. + skrytý text
Rozepiš Eukleidův algoritmus pro \textstyle m_1 a \textstyle m_2 a všechny rovnosti vynásob \textstyle n.

Úloha 2. + skrytý text
Použij Eukleidův algoritmus a všimni si, že Eukleidův algoritmus platí i u exponentů.

Úloha 3. + skrytý text
Všimni si, že součet a+b se zachovává a zároveň jsou obě čísla nezáporná. + skrytý text
Proto to nemůže skončit jinak, než že první číslo je nula a druhé je \textstyle a+b.

+ skrytý text
Pokud se (a,b) změní na (c,d), tak NSD(c,d) dělí 2*NSD(a,b).+ skrytý text
Na konci tedy musí platit a+b dělí NSD(a,b)*2^k.
Áďa | org | 8. 3. 2022 09:20:28
Vrtá Ti stále hlavou nějaký příklad ze 2. jarní série? Nevěš ramena a prohlédni si hinty:
Úloha 1. + skrytý text
Zkus za většinu hledaných čísel zvolit jedničku.

Úloha 2. + skrytý text
\textstyle a+24b musí být násobkem \textstyle 11 i \textstyle 13.

Úloha 3. + skrytý text
V zápisu čísla zkus použít co nejvíc devítek.

Úloha 4. + skrytý text
Všimni si, že body \textstyle B, \textstyle C, \textstyle H a \textstyle I leží na kružnici.

Úloha 5. + skrytý text
Dokresli střed jedné úhlopříčky a uvaž střední příčky, které tím vzniknou.

Úloha 6. + skrytý text
Dvakrát si rozepiš rekurenci a potom rozlož na součin.

Úloha 7. + skrytý text
Nahlédni, že \textstyle f musí být 3-periodická.+ skrytý text
Vyjádři dvěma způsoby \textstyle ((p-1)!)^3.

Úloha 8. + skrytý text
Vyřeš zvlášť případ, kdy jedno z prvočísel je \textstyle 2.+ skrytý text
Pokud jsou obě prvočísla lichá, najdi spor pomocí 2-valuace rozdílu \textstyle p-q a řádů dvojky modulo \textstyle p a \textstyle q.
Áďa | org | 9. 2. 2022 11:38:55
Ahoj! Nepochybně i Ty netrpělivě vyhlížíš hinty k 1. jarní a 2. seriálové sérii. Zde jsou:
1j
Úloha 1. + skrytý text
Zkus párovat vybarvené a nevybarvené trojúhelníčky.

Úloha 2. + skrytý text
Chytře vyjádři \textstyle -k^2+(k+1)^2.

Úloha 3. + skrytý text
Spočítej počet průsečíků.

Úloha 4. + skrytý text
Podívej se, kde může být n a n-1. Dokaž rekurenci.

Úloha 5. + skrytý text
Podívej se na rozdíl osamělosti sousedů.

Úloha 6. + skrytý text
Seřaď stromy podle výšky.

Úloha 7. + skrytý text
Přičti ke všem rovnicím 1. Nově získané rovnice vynásob. Použij AG nerovnost.

Úloha 8. + skrytý text
Uprav na \textstyle \frac{1}{n-1}\leq \sum\frac{x_i^2}{1-a_i}.+ skrytý text
Použij Cauchy-Schwarzovu nerovnost.


2s
Úloha 1. + skrytý text
Použij indukci na \textstyle n.+ skrytý text
V základním kroku ukaž, že rovnost platí pro \textstyle n=1 a všechna \textstyle k neboli \textstyle P(1,k), v indukčním kroku ukaž implikaci \textstyle P(N,k) \implies P(N+1, k) pro všechna \textstyle k.

Úloha 2. + skrytý text
Pro první, druhý i třetí vztah použij indukci podle \textstyle r. Nezapomeň zmínit, kde používáš vlastnosti již dříve dokázané v seriálu (např. komutativita násobení).

Úloha 3. + skrytý text
Přenásob \textstyle y_{n+1} číslem \textstyle (x_1 + x_2) a použij Vietovy vztahy.
Áďa | org | 12. 1. 2022 20:06:27
Lámeš si stále hlavu nad některými úložkami ze 4. podzimní série? Nová várka hintů Ti spěchá na pomoc.
Úloha 1. + skrytý text
Součet stupňů je menší než stupeň součtu.

Úloha 2. + skrytý text
Rozlož polynom na součin.

Úloha 3. + skrytý text
\textstyle a-b \mid P(a) - P(b)

Úloha 4. + skrytý text
\textstyle P(x) = a_n \cdot (x-x_1) \cdot \dots \cdot (x-x_n)

Úloha 5. + skrytý text
Ze zadaného vztahu zjisti součet \textstyle a_1+a_2+\dots+a_n. + skrytý text
Pro \textstyle n>2 zjisti součet \textstyle a_i\cdota_j pro všechna \textstyle i, j, případ \textstyle n\leq2 rozeber zvlášť.

Úloha 6. + skrytý text
Podívej se na stupně polynomů. Ukaž, že P má kořen v 0.

Úloha 7. + skrytý text
\textstyle P(n) nemůže mít velkého dělitele menšího než \textstyle n.+ skrytý text
\textstyle P(a) bude nutně dělit i nějaké další \textstyle P(n).

Úloha 8. + skrytý text
Na lichých mocninách nezáleží.+ skrytý text
\textstyle a=-b \pmod{a+b}+ skrytý text
Pokud máš víc než jeden člen se sudou mocninou, vyděl vhodnou mocninou \textstyle b a polož rovnost.
Kateřina Panešová | org | 8. 12. 2021 18:49:36
Zdravím všechny příznivce hintů 3. podzimní a 1. seriálové série!
3p
Úloha 1. + skrytý text
Vytvořte dlouhý rovnoběžník a poté na něj postupně přidávejte zuby.

Úloha 2. + skrytý text
Vyberte průměr, a poté libovolný ze zbylých vrcholů. Vyřeště kvadratickou rovnici.

Úloha 3. + skrytý text
1,4,5,2,3,6

Úloha 4. + skrytý text
Dokresli úsečku \textstyle AE a vyčísli úhly. + skrytý text
Ukaž, že trojúhelník \textstyle AXE je rovnoramenný.

Úloha 5. + skrytý text
Uvažujte cykly vzniklé přeskakováním vždy o \textstyle k vrcholů doprava. Všimněte si, že rozdíl počtu dvojic červených vrcholů po sobě a modrých vrcholů po sobě je roven rozdílu počtu červených a modrých vrcholů v cyklu.

Úloha 6.+ skrytý text
Ukažte, že kružnice se středem v A a poloměrem \textstyle 1 se dotýká úsečky \textstyle EF. (Např. pomocí překlopení bodu \textstyle B podél \textstyle AE a \textstyle C podél \textstyle AF.)

Úloha 7. + skrytý text
Podívejte se na středové úhly jednotlivých tětiv kružnice. Musí být po dvou různé a dva vedlejší musí mít vždy celočíselný průměr.+ skrytý text
Pro \textstyle n=20 lze udělat konstrukce, pro \textstyle n=19 musíme volit celočíselné velikosti jednotlivých úhlů a do plného úhlu \textstyle 360 se nemůžou vejít.

Úloha 8. + skrytý text
Uvažujte cestičky vytvořené paralelním přesouváním úseček délky jedna podél dlaždiček libovolného dláždění. + skrytý text
Každé dvě cestičky, které nemají stejně orientované úsečky, se protínají právě na jednom místě a jednoznačně určují typ dlaždičky. Počet cestiček různých typů nezávisí na vydláždění.

1s
Úloha 1. + skrytý text
Indukce na n=počet prvků S.

Úloha 2. + skrytý text
Silná indukce pro n větší než 10, které zapiš jako 10a+b.

Úloha 3. + skrytý text
Ukaž, že pro sudý počet palačinek otočených spálenou stranou vyhrát nemůže, a naopak zkonstruuj strategii, podle které vyhraje, pokud je palačinek otočených spálenou stranou nahoru lichý počet. Silná indukce.
Kateřina Panešová | org | 7. 10. 2021 09:56:12
Ahoj! Jistě již netrpělivě očekáváte hinty k 1. podzimní sérii! Pro nové řešitele: Po termínu odeslání zveřejňujeme malé nápovědy k soutěžním úlohám, takže si můžete zkusit vyřešit i úlohy, u kterých jste si nevěděli rady :)
Umění
Úloha 1. + skrytý text
Opačná úhlopříčka

Úloha 2. + skrytý text
Slož dvě osové souměrnosti.

Úloha 3. + skrytý text
Nejbližší dva body

Úloha 4. + skrytý text
Vietovy vztahy a mocnost

Úloha 5. + skrytý text
8 a 7 nefungují; 5 a 6 nelze použít zároveň

Úloha 6. + skrytý text
Přesubstituuj do částečných součtů.

Úloha 7. + skrytý text
Dokresli středy BC a MK.

Úloha 8. + skrytý text
Dokresli přes trojúhelníky větší útvary, které se stále nebudou překrývat. + skrytý text
Rozšiř na šestiúhelník tak, aby se ani žádné dva šestiúhelníky nepřekrývaly.
Dominik Stejskal | org | 13. 5. 2021 03:36:46
Než dojde další ročník ke svému konci, je tu ještě jedna várka hintů ke 4. jarní sérii. :)

Úloha 1.
(a) + skrytý text
Ukaž, že body \textstyle M, \textstyle E, \textstyle C a \textstyle F leží na jedné kružnici.

(b) + skrytý text
Překlop body \textstyle B a \textstyle D po řadě podle úseček \textstyle AE a \textstyle AF a označ obrazy \textstyle B, \textstyle D. Ukaž, že \textstyle A, \textstyle B, \textstyle D leží na přímce a \textstyle B je rovnoběžník. + skrytý text
V rovnoběžníku se půlí úhlopříčky. Následně hledej shodné trojúhelníky.

Úloha 2.
(a) + skrytý text
V pravoúhlém trojúhelníku je poloměr kružnice vepsané = (odvěsna + odvěsna - přepona) / 2.

(b) + skrytý text
Rozděl vyhovující permutace na skupinky po \textstyle p^2. + skrytý text
Pokud \textstyle (a_1, a_2, \dots, a_p) vyhovuje, pak vyhovují i permutace tvaru \textstyle (a_{1 + 1}, a_{2 + 1}, \dots, a_{p + 1}) a \textstyle (a_1 + 1, a_2 + 1, \dots, a_p + 1), kde \textstyle p + 1 = 1. + skrytý text
Rozmysli si, že opakovanou aplikací tohoto algoritmu lze dostat přesně permutace tvaru \textstyle (a_{1 + k} + \ell, a_{2 + k} + \ell, \dots, a_{p + k} + \ell), kde \textstyle k, \ell \in \{0, 1, \dots, p - 1 \} a všechny indexy a hodnoty bereme modulo \textstyle p mezi \textstyle 1 a \textstyle p. Takto vyrobíme spoustu disjunktních skupinek vyhovujících permutací, které jsou velké nejvýše \textstyle p^2. Které z nich jsou menší než \textstyle p^2? + skrytý text
Ukaž, že to jsou přesně permutace s konstantní diferencí \textstyle d = a_{i + 1} - a_i pro všechna \textstyle i \in \{2, 3, \dots, p\}.

Úloha 3.
(a) + skrytý text
Podívej se na cestu mezi políčky s čísly \textstyle 1 a \textstyle n^2.

(b) + skrytý text
Kolik je kostiček potřeba k tomu, aby se už další nedala přiložit do jednoho čtverce \textstyle 4\times 4?

Úloha 4.
(a) + skrytý text
\textstyle XY prochází středem čtverce.

(b) + skrytý text
Uvažme nejmenší kruh obsahující všechny body. Můžou všechny body na okraji být součástí jedné půlkružnice?

Úloha 5.
(a) + skrytý text
V některou hodinu budou u trezoru 3 orgové. + skrytý text
Jednoho z nich lze propustit.

Úloha 6.
(a) + skrytý text
Velká prvočísla by bylo potřeba spárovat s jedničkou. + skrytý text
Jde zařídit 12 celočíselných zlomků.

(b) + skrytý text
Jde to pro všechna \textstyle n. Konstruuj \textstyle n-tici induktivně. + skrytý text
Přidej nulu a ke všemu přičti vhodné číslo.

Úloha 7.
(a) + skrytý text
\textstyle MN je těžnice v \textstyle ANB i \textstyle CMD.

(b) + skrytý text
Chceš dokázat \textstyle \frac{|AX|}{|AY|}=\frac{|BX|}{|BY|}. + skrytý text
\textstyle XY a společné tečny z bodů \textstyle A, \textstyle B se protínají v jediném bodě \textstyle T.
Kateřina Panešová | org | 14. 4. 2021 10:39:28
Dvojitá dávka čerstvých hintů k 3. jarní a 3. seriálové sérii!

Úloha 1.+ skrytý text
Rovnoramenný trojúhelník. + skrytý text
Úhel \textstyle 120^\circ.

Úloha 2.+ skrytý text
Spočítej celkový počet stran trojúhelníků na obvodu n-úhelníku.

Úloha 3.+ skrytý text
Uvaž trojúhelníky o straně dva.

Úloha 4.+ skrytý text
\textstyle BI, \textstyle CI jsou výšky v trojúhelníku \textstyle BCM.

Úloha 5.+ skrytý text
Vyúhli, že trojúhelníky \textstyle ACK a \textstyle DEL jsou shodné.+ skrytý text
Využij úsekové úhly.

Úloha 6.+ skrytý text
\textstyle O leží na \textstyle AX.+ skrytý text
\textstyle OO_1 i \textstyle CX jsou kolmé na \textstyle XY.

Úloha 7.+ skrytý text
Dokresli \textstyle K průsečík \textstyle DF a \textstyle \omega.+ skrytý text
Trojúhelníky \textstyle KBC a \textstyle ANM jsou podobné s SUS.

Úloha 8.+ skrytý text
Počítejte obsah doplňku trojúhelníku \textstyle CPQ vzhledem ke kosočtverci \textstyle ABCD.+ skrytý text
Ukažte, že hledaná nezávislost je ekvivalentní tomu, že hodnota \textstyle |AP|*|BQ| nezávisí na poloze \textstyle P.+ skrytý text
Překlopte body \textstyle P, \textstyle Q podle úsečky \textstyle AB na body \textstyle P, \textstyle Q.+ skrytý text
Ukažte, že body \textstyle P, \textstyle Q, \textstyle P, \textstyle Q a střed \textstyle O kosočtverce \textstyle ABCD leží na jedné kružnici.+ skrytý text
\textstyle O je Švrčkův bod trojúhelníku \textstyle PQP.+ skrytý text
Nezávislost prokažte pomocí mocnosti z \textstyle A.


Úloha 1.+ skrytý text
Nejprve vyřeš prvočíselné mocniny, potom použij Čínskou zbytkovou větu.

Úloha 2.+ skrytý text
Zkus jako prvky krutopřísné posloupnosti použít 1 a prvočíslo p.+ skrytý text
Pro důkaz ireducibility se na to podívej mod p.

Úloha 3.+ skrytý text
3. Zvol \textstyle z = \phi(x).+ skrytý text
Použij \textstyle x-a \mid f(x)-f(a).
Dominik Stejskal | org | 13. 3. 2021 23:37:52
Nové hinty ke druhé jarní sérii jistě pomůžou rozbít i ty odolnější úlohy...

Úloha 1. + skrytý text
Co umíš říct o a + b + c?

Úloha 2. + skrytý text
Šimpanzovi naproti Radečkovi dej co nejvíce banánů.

Úloha 3. + skrytý text
Rozlož povrch čtyřstěnu na síť. + skrytý text
Nahlédni, že Pavel si nepomůže přecházením přes více hran.

Úloha 4. + skrytý text
Rozdíl základů pátých mocnin by musel dělit p.

Úloha 5. + skrytý text
V kolika takových dvojicích je na začátku každá karta?

Úloha 6. + skrytý text
Počítej modulo d-1.

Úloha 7. + skrytý text
Čísla lze vydělit jejich společným dělitelem. + skrytý text
Dívej se na čísla modulo 2. Co se stane po dvou krocích?

Úloha 8. + skrytý text
Vyhovují právě dvojice splňující p = q \neq 2 . + skrytý text
Zkoumej řád 2p^2 - 1 modulo p+q.
Lenka Kopfová | org | 25. 2. 2021 18:42:36
Ahoj,
pokud chceš potrénovat před celostátkem nebo si jen započítat pro radost je zde nová série TRiKSka http://iksko.org/triks/current.php. Pokud nevíš, co je TRiKS, můžeš se kouknout do pravidel pro bližší info http://iksko.org/triks/pravidla.pdf. Navíc máme exkluzivní nabídku - vítěz každého dalšího TRiKS získá TRiKS šátek!
Lenka Kopfová | org | 23. 2. 2021 14:50:01
Řešení 9:
+ skrytý text

Uvažujme stejnolehlosti z bodů P, Q, které zobrazují k_1 resp. k_2 na k. První stejnolehlost zobrazuje A\mapsto M, D\mapsto N a druhá zobrazuje B\mapsto M, C\mapsto N. Tedy platí AD\parallel MN\parallel BC. Dále si všimněme, že XY je chordála kružnic k_1, k_2, tedy |MA|\cdot |MP| = |MB|\cdot |MQ|, takže APQB je tětivový. Obdobně i DPQC je tětivový. Odtud |\sphericalangle BCD| = 180^{\circ} - |\sphericalangle QCB|-|\sphericalangle DCN| = 180^{\circ} - |\sphericalangle QNM|-|\sphericalangle NPQ| = 180^{\circ} - |\sphericalangle QNM|-|\sphericalangle NMQ| = |\sphericalangle NQM|. Jinak řečeno CD je tečna k_2 (tedy i ke k_1) a obdobně AB je společná tečna k_1,k_2. Takže |\sphericalangle BCD|=|\sphericalangle MQN| = 180^{\circ}-|\sphericalangle MPN| = 180^{\circ}-|\sphericalangle BAD|, tedy ABCD je tětivový, navíc AD\parallel BC, takže se jedná o rovnoramenný lichoběžník a |AB|=|CD|.

10:
Dokaž, že pro každé přirozené číslo n platí:
(2n^{2}+3n+1)^{n}\geq 6^{n}(n!)^2
šimon | 22. 2. 2021 14:03:57
Dobrý den, potřeboval bych vypočítat tento příklad i s řešením: Jestliže zvětšíme jednu stranu čtverce o 20 cm a sousední stranu zmenšíme o 6 cm, dostaneme rozměry obdélníku, který má obsah 1,4krát větší než obsah původního čtverce. Určete délku jeho strany. Předem děkuji. Počítání s kvadratickými rovnicemi
Kateřina Panešová | org | 11. 2. 2021 12:50:13
Ahoj! Čeká na vás dvojitá várka hintů, a to k 1. jarní a 2. seriálové sérii!

1. jarní série
Úloha 1.+ skrytý text
Všichni mají stejnou pravdomluvnost.

Úloha 2.+ skrytý text
Přelož si všechna tvrzení mudrců do tvaru "je mezi námi tolik a tolik pravdomluvců".

Úloha 3.+ skrytý text
Zkus nejdřív menší čtverec 5x5.

Úloha 4.+ skrytý text
Nahlédni, že celá trasa paprsku musí být středově souměrná. + skrytý text
Jaký bod je potom přesně v polovině trasy?

Úloha 5.+ skrytý text
Můžou vedle sebe sedět dva kluci? + skrytý text
Jaké posloupnosti dívek a chlapců lze sestavit? + skrytý text
Podívej se na to modulo 3.

Úloha 6.+ skrytý text
Pro sudá n využij \textstyle k^2-1 = (k-1)(k+1). + skrytý text
Pro lichá n se podívej modulo 8 na sudá a, b.

Ůloha 7.+ skrytý text
Ukaž, že pro \textstyle k\leq 12 dokáže Pavel vybrat všechny pěšce. + skrytý text
Důkaz sporem a Dirichletův princip.
+ skrytý text
Najdi konstrukci pro \textstyle k=13.

Úloha 8.+ skrytý text
Vyjde, že takové n existuje.
+ skrytý text
Uvažuj 2021 záhadných čísel tvaru x^2 + 1^2x^2 + 4041^2.
+ skrytý text
Abys zajistil/a nesoudělnost, vzpomeň si na úlohy s hledáním čísla nesoudělného s nějakými malými čísly, kde jde zvolit faktoriál malých čísel + 1.+ skrytý text
Zvol x = A + 1, kde A je liché a dělitelné všemi lichými čísly od 3 do 4041.

+ skrytý text
Následně ukaž, že pro libovolné sudé číslo tvaru (A + 1)^{2} + \ell mezi nimi už musí být x, y splňující (A + 1)^{2} + \ell = x^{2} + y^{2} soudělná.
+ skrytý text
Pro 4 \mid \ell se stačí podívat na rovnici modulo 4.

+ skrytý text
Pro \ell \equiv 2 \pmod 4 by stačilo, aby existovalo prvočíslo p tvaru 4k + 3, které dělí x^{2}+y^{2}. Potom totiž p dělí jak x, tak y. Jak najít takové p?
+ skrytý text
V tomto případě existuje něco, co je určitě tvaru 4k + 3. Pak stačí zvolit libovolné prvočíslo tvaru 4k + 3, které dělí to něco.
+ skrytý text
Konkrétně \ell + 1 je tvaru 4k + 3. Tedy už stačí jen zajistit, aby p dělilo (A + 1)^{2} + \ell. Jak můžeme definovat A, aby to bylo splněno?
+ skrytý text
Ukaž, že A = 3\cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot \dots \cdot (4041^{2} - 2). vyhovuje.

 


2. seriálová série
Úloha 1.+ skrytý text
Použij malou Fermatovu větu. + skrytý text
V druhé kongruenci umocni na druhou a získej \textstyle p\mid \text{konstanta}.

Úloha 2.+ skrytý text
Fundamentální jednotka je \textstyle a+\sqrt{a^2+1}. + skrytý text
\textstyle x+y\sqrt{a^2+1} bude její mocninou se sudým exponentem. + skrytý text
Rozepiš binomickou větu a posbírej racionální členy -- skoro všechny jsou násobky \textstyle a^2.

Úloha 3.+ skrytý text
Dívej se v \textstyle \Bbb Z a rozmysli si, že \textstyle x+yi je \textstyle k-tá mocnina. + skrytý text
Interpretuj podmínku \textstyle p \mid xy(x^2-y^2) jako multiplikativní množinu v \textstyle \Bbb Z/(p). + skrytý text
Tato multiplikativní množina má \textstyle 4(p-1) prvků, zatímco \textstyle k = \frac{p+1}4.
Dominik Stejskal | org | 15. 1. 2021 01:06:53
Nový rok přináší spoustu zajímavých věcí, jako třeba hinty ke 4. podzimní sérii! :)

Úloha 1. + skrytý text
6+8<10\sqrt{2},
6^2 + 8^2 = 10^2.

Úloha 2. + skrytý text
Podívej se na dvojici s minimální vzdáleností. + skrytý text
Buď je některý zasažen dvakrát, nebo je můžeš odebrat.

Úloha 3. + skrytý text
Kolik červených bodů může být ve vzdálenosti přesně 1 od jednoho daného červeného bodu?

Úloha 4. + skrytý text
Dokresli si středy úseček AB a CD a úhlením hledej podobné (a shodné) trojúhelníky.

Úloha 5. + skrytý text
Body K, L, M, N leží na ose OP. + skrytý text
Úhly OAP a PCO se rovnají. Ukaž, že kružnice AOP a COP mají stejný poloměr.

Úloha 6. + skrytý text
Uvažuj všech 100 rotací, které zobrazí 100-úhelník na sebe. + skrytý text
Kolikrát se zobrazí modrý vrchol na červený?

Úloha 7. + skrytý text
Dokresli bod C překlopený přes E. + skrytý text
Přenášej délky pomocí rovnoběžek a kolmic.

Úloha 8. + skrytý text
Odhadni dvěma způsoby počet rovnoramenných trojúhelníků.
<< < 1 2 ... 35 36 > >>

Kontakt

email info (zavináč) prase.cz
pošta Korespondenční seminář
KAM MFF UK
Malostranské náměstí 25
118 00   Praha 1

Organizátoři

mff

Matematický korespondenční seminář je organizovaný studenty Matematicko-fyzikální fakulty UK pod záštitou Informatického ústavu UK a Oddělení propagace a mediální komunikace MFF UK.

Partneři

pix
Realizace projektu byla podpořena Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy