Chat Prasátek

Matematická sekce

<< < 1 2 ... 33 34 > >>

Václav Janáček | 9. 8. 2020 12:56:52

Samozřejmě máme ukázat $|AB|=|CD|$ , ale jinak skoro dobře :D

Václav Janáček | 7. 8. 2020 14:30:13

Řešení 8:
+ skrytý text

Ukáži, že je to $m+n$ . Nejdříve předpokládejme, že existuje šachovnice, na kterou je možno umístit víc věží. Vezměme nejmenší takovou šachovnici (nejmenší $m+n$ ). BÚNO nechť $m \leq n$ . Poté jsou v některém řádku více než $2$ věže, jinak jich je nejvýše $2m \leq m+n$ .
Vyberme některou z nekrajních věží v tomto řádku. Ta ohrožuje jednu věž vlevo a jednu vpravo. Musí být tedy ve sloupci sama. Odstraněním tohoto sloupce získáme menší tabulku s více než $m+n$ věžemi, přitom stále každá věž zjevně ohrožuje právě dvě jiné. Spor.
Rozmístění věží do celého levého sloupce, celého spodního řádku a na políčko vpravo nahoře je platné rozmístění $m+n$ věží.

9:
Nechť $k_1$ , $k_2$ jsou kružnice protínající se v bodech $X$ , $Y$ . Nechť s nimi kružnice $k$ svírá vnitřní dotek postupně v bodech $P$ , $Q$ . Nechť $XY$ protíná $k$ v bodech $M$ a $N$
Polopřímky $PM$ a $PN$ protínají $k_1$ postupně v $A$ a $D$ . Obdobně polopřímky $QM$ a $QN$ protnou $k_2$ v $B$ a $C$ . Ukažte $|AB|=|BC|$ .

Josef Minařík | org | 28. 7. 2020 20:46:36

Řešení 7:
+ skrytý text

Nejprve si všimněme, že pokud $\frac{a}{b} \not \in S, b >a$ , potom $\frac{b-a}{a}, \frac{a}{b-a}\not \in S$ , protože $\frac{1}{\frac{b-a}{a}+1} = \frac{\frac{a}{b-a}}{\frac{a}{b-a}+1} = \frac{a}{b}$ . Dále předpokládejme, že $\frac{a}{b} \not \in S, \frac{a}{b} \neq \frac{1}{2}$ a $a+b$ je minimální. To je ovšem spor, protože jeden ze zlomků $\frac{b-a}{a}, \frac{a}{b-a}$ je menší než 1, není v $S$ , a má menší součet čitatele a jmenovatele. Tím jsme dokázali, že neexistuje uvažovaný zlomek $\frac{a}{b}$ , a úloha je vyřešena.

8.
Kolik nejvíce šachových věží je možné umístit na šachovnici $m\times n$ , kde $m, n > 1$ , tak, aby každá věž ohrožovala právě dvě další? Dvě věže se navzájem ohrožují, pokud jsou ve stejném sloupci nebo řádku a není mezi nimi žádná jiná věž.

Michal Janík | 24. 7. 2020 10:55:39

Řešení 6:
+ skrytý text

Pro nenulové $x,y$ vydělíme celou nerovnost kladným výrazem $(xy)^2$ a zavedeme si funkci $g(x)=\frac{f(x)}{x}$ , čímž dostaneme $2g(xy)\geq1+g(x)g(y^2)$ . Dosazením $x,y=1$ dostaneme $2g(1)\geq1+g^2(1) \Leftrightarrow0\geq(g(1)-1)^2\Rightarrow g(1)=1$ . Dosazením $y=1$ dostaneme $g(x)\geq1$ . Naposledy dosazením $x=\frac{1}{y}$ dostaneme $1\geq g\left(\frac{1}{y}\right)g(y^2)$ , ale protože platí $g(x)\geq1$ , musí platit také $g(x)=1$ . Z toho plyne $f(x)=x$ , což zkouškou lehce ověříme.

7.
Množina $S$ , která obsahuje jen racionální čísla má následující vlastnosti:
a) $\frac{1}{2}\in S$
b) Pokud $x\in S$ , tak $\frac{1}{x+1}\in S$ a $\frac{x}{x+1}\in S$ .

Dokažte, že $S$ obsahuje všechna racionální čísla z intervalu $0<x<1$ .

Zdeněk Pezlar | 21. 7. 2020 20:20:39

Řešení 5:
+ skrytý text

Pokud označíme $\textstyle a_1,\dots,a_{1234}$ prvky naší množiny a $\textstyle s$ jejich součet, pak $\textstyle \lbrace a_1,\dots,a_{1234} \rbrace = \lbrace s-a_1,\dots,s-a_{1234} \rbrace$ . Tyto množiny jsou shodné a obě mají právě $\textstyle 1234$ různých prvků, tedy součet prvků obou množin bude shodný: $\textstyle s = a_1 + \cdots + a_{1234} = s-a_1 + \cdots + s-a_{1234} = 1233s$ , tedy $\textstyle s=0$ , máme tedy $\textstyle \lbrace a_1,\dots,a_{1234} \rbrace = \lbrace -a_1,\dots,-a_{1234} \rbrace$ . Pokud by jedno z čísel bylo nulové, například $\textstyle a_1$ , tak $\textstyle \lbrace a_2,\dots,a_{1234} \rbrace = \lbrace -a_2,\dots,-a_{1234} \rbrace$ , součin $\textstyle S$ prvků obou množin bude shodný, $\textstyle S = a_2 \cdots a_{1234} =(-a_2)\cdots (-a_{1234})=-S$ , jedno z $\textstyle a_i$ je $\textstyle 0$ , spor s růzností čísel. Můžeme proto čísla rozdělit na $\textstyle 617$ dvojic $\textstyle (b_i,-b_i)$ pro nenulová $\textstyle b_i$ . Součin všech čísel bude $\textstyle (- b_1 ^2) \cdots (- b_{617}^2)= - (b_1 \cdots b_ {617})^2 < 0$ .

6.
Určete všechny funkce $\textstyle f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ , které splňují $\textstyle 2xyf(xy) \geqslant (xy)^2+xf(x)f(y^2)$ pro všechna reálná $\textstyle x,y$ .

Josef Minařík | org | 16. 7. 2020 23:07:19

Řešení 4:
+ skrytý text

Ukážeme, že $m$ může být nejvýše $2^n$ . Uvažujme nějakou vyhovující tabulku, nejmenší číslo v každém sloupci je BÚNO 0 (jinak můžeme čísla v daném sloupci posunout), potom žádné číslo nemůže být větší než 1. Pokud je někde v tabulce číslo větší než 0 a menší než 1, můžeme místo něj napsat 0 a tabulka bude pořád splňovat podmínku ze zadání. Stačí nám tedy uvažovat tabulky vyplněné 0 a 1. Pokud by ovšem tabulka měla více než $2^n$ řádků, budou některé dva řádky stejné, což je spor se zadáním.
Tabulka, jejíž řádky jsou všechny možné posloupnosti 0 a 1, zřejmě vyhovuje zadané podmínce a má $2^n$ řádků.

5. Množina 1234 (různých) reálných čísel má následující vlastnost. Když nahradíme každé číslo množiny součtem zbývajících 1233 čísel, dostaneme stejnou množinu 1234 čísel. Dokažte, že součin těchto 1234 čísel je záporný.

Magdaléna Mišinová | 12. 7. 2020 20:07:24

Řešení 3:
+ skrytý text

Protože $AG\perp GO$ , $O$ je střed $(ABC)$ a $AX$ je tětiva této kružnice, tak $G$ je střed $AX$ .
Označme $S$ střed $BC$ . Víme, že $GX:AG:GS=2:2:1$ . Těžiště vždy leží uvnitř trojúhelníku, takže $S$ je střed $GX$ . Tím jsme dokázali, že úsečky $BC$ a $GX$ se navzájem půlí, takže čtyřúhelník $BXCG$ je rovnoběžník.
Platí $BG\parallel DX$ a $G$ je střed $AX$ , takže $B$ je střed $AD$ . Obdobně $C$ je střed $AE$ . Opsiště $ADE$ zkonstruujeme proto tak, že z bodů $B$ a $C$ vedeme kolmice postupně na $AB$ a $AC$ . Proto body $A$ , $B$ , $C$ a opsiště $ADE$ určitě leží na kružnici, jak jsme chtěli.

4. Mějme přirozené číslo $n$ . V závislosti na $\textstyle n$ najděte největší $\textstyle m$ s následující vlastností. Tabulka s $\textstyle m$ řádky a $\textstyle n$ sloupci můžeme být vyplněna reálnými čísly tak, aby pro každé dva řádky, čísla v nichž si označíme $\textstyle a_1,\,a_2,\dots ,a_n$ a $\textstyle b_1,\,b_2,\dots ,b_n$ , platilo:
$\max(|a_1-b_1|,|a_2-b_2|,\dots ,|a_n-b_n|)=1$

Zdeněk Pezlar | 12. 7. 2020 17:52:47

Řešení 2:
+ skrytý text

$\textstyle \frac{x+1}{x} = \frac{x+x+y}{x} = 2+\frac{y}{x},$ takže pokud označíme $\textstyle a = \frac{x}{y},$ , tak díky AG a Cauchymu platí:
$(2+a)^2 + (2+\frac{1}{a})^2 \geqslant 2(1+1+a)(1+1+\frac{1}{a}) \geqslant 2 \cdot 3^2$ a jsme doma.

3. V trojúhelníku $\textstyle ABC$ s opsištěm $\textstyle O$ a těžištěm $\textstyle G$ platí $\textstyle AG \perp GO$ . Označme $\textstyle X \not\equiv A$ druhý průsečík $\textstyle AG$ s kružnicí $\textstyle (ABC)$ a mějme $\textstyle D$ průsečík přímek $\textstyle AB$ a $\textstyle CX$ , $\textstyle E$ průsečík $\textstyle AC$ a $\textstyle BX$ . Ukaž, že opsiště $\textstyle ADE$ leží na $\textstyle (ABC)$ .

Huu Quy Nguyen | 12. 7. 2020 15:03:08

Řešení:
+ skrytý text

Dokážeme matematickou indukcí :)
Pro $\textstyle n = 1$ tvrzení zřejmě platí.
Předpokládejme, že tvrzení platí pro $\textstyle n=i$ .

Pak z indukčního předpokladu platí $\textstyle \prod_{k=1}^{i} (a_k^2 - b_k^2) = x^2 - y^2$ pro celá $\textstyle x,y$ .
Nyní pro $\textstyle n = i+1$ platí $\textstyle \prod_{k=1}^{i+1} (a_k^2 - b_k^2) = (a_{i+1}^2 - b_{i+1}^2)\cdot \prod_{k=1}^{i} (a_k^2 - b_k^2) = (a_{i+1}^2 - b_{i+1}^2)(x^2 - y^2)$
Jenže $\textstyle (a_{i+1}^2 - b_{i+1}^2)(x^2 - y^2) = (a_{i+1}x+b_{i+1}y)^2 - (a_{i+1}y+b_{i+1}x)^2$ , což je rozdíl dvou čtverců, čímž jsme hotovi.

2. Pro kladná reálná $\textstyle x,y$ platí $\textstyle x+y=1$ . Dokaž, že platí $\textstyle (\frac{x+1}{x})^2 + (\frac{y+1}{y})^2 \geq 18$

Filip Čermák | org | 11. 7. 2020 22:51:48

Ahoj,
jelikož je ti určitě smutno, že už tento rok skončily prasečí série, nechceš zakrnět, a proto by sis rád vyřešil nějaké úložky navíc. Proto bychom rádi obnovili prasečí maraton.
Pravidla jsou následující. Vždy když vyřešíš nejnovější úlohu, napíšeš její řešení a hned zadáš další. Nějací orgové se určitě připojí také, když se budou moc nudit ;) (prosím abyste řešení dávali formou skrytého textu, aby si ji i ostatní mohli vyřešit a hned neviděli řešení).

1.
Dokažte, že pro libovolná přirozená čísla $\textstyle n$ , $\textstyle a_1$ , $\textstyle a_2$ , $\textstyle \ldots$ , $\textstyle a_n$ , $\textstyle b_1$ , $\textstyle b_2$ , $\textstyle \ldots$ , $\textstyle b_n$ je možné zapsat součin $\textstyle \prod_{k=1}^{n}(a_k^2 - b_k^2)$ jako rozdíl dvou čtverců (celých čísel).

Olin | org | 8. 6. 2020 01:40:58

Na krajská kola MO B+C už se dá i registrovat:
https://mo.mff.cuni.cz/bc/

Miroslav Olšák | org | 6. 6. 2020 15:30:51

Ahoj, po delší době jsem zase udělal animované video inspirované PraSečí přednáškou, tentokrát o Burnsideově lemmatu -- jak počítat se zanedbáváním symetrií:
http://www.olsak.net/mirek/manim/burnside_cz.mp4
Enjoy!

Josef Tkadlec | 4. 6. 2020 00:18:43

Dve novinky ze sveta matematicke olympiady:

1) Na webu ceske MO (http://www.matematickaolympiada.cz/ ) se objevilo info o nahradnich internetovych soutezich za krajska kola B+C (20.6.) a celostatko A (29.+30.6.).

2) IMO 2020 (https://imo2020.ru/ ) je ted naplanovane jako virtualni, v datech 21.+22.9.

Dominik Stejskal | org | 18. 5. 2020 19:38:40

I k poslední letošní sérii úloh patří série hintů. No a další zase na podzim. :)

Úloha 1.
(a) + skrytý text

Neexistuje. Hledej monovarianty. + skrytý text

Maximální počet brambor na jednom talíři se nezvětšuje, zato celkový počet ano.

(b) + skrytý text

Ukaž, že z konstrukce pro n+1 vznikne odebráním učitele s n+1 klobáskami konstrukce pro n. + skrytý text

Pro sudá n je až na symetrii jen jedna možnost, pro lichá n > 3 jsou dvě.

Úloha 2.
(a) + skrytý text

Ano, může. Postupuj indukcí. + skrytý text

Zvětši si nějaký člen tak, aby byl alespoň o 2 větší než libovolný jiný.

(b) + skrytý text

Neexistuje. Jaké počáteční hodnoty by členy musely mít? + skrytý text

Nechť BÚNO začínáme s nulami a jedničkami. Je možné poslední nulu zvětšit o 2?

Úloha 3.
(a) + skrytý text

Použij šachovnicové obarvení. + skrytý text

Rozdíl součtu čísel na černých a bílých políčkách se nemění.

(b) + skrytý text

Zkus ze dvou pokrytí n (nebo n-1) políček zkonstruovat pokrytí 2n+1 políček.

Úloha 4.
(a) + skrytý text

Pomocí věty o obvodových úhlech ukaž, že úhly DBC a DCB se oba rovnají polovině úhlu ABC.

(b) + skrytý text

Dokresli si střed PS a najdi podobné trojúhelníky.

Úloha 5.
(a) + skrytý text

Použij hrubé horní odhady na jednotlivé ciferné součty. + skrytý text

s(n) dává stejný zbytek po dělení 9 jako n.

(b) + skrytý text

Ukaž, že a,b,c < 1. + skrytý text

(a+1)(b+1)(c+1) - 4 = (a-1)(b-1)(c-1).

Úloha 6.
(a) + skrytý text

Na jedničku je možné se dostat pouze z k-ciferného čísla tvaru 11...1. Ukaž, že takové číslo je pro k > 1 dělitelné prvočíslem větším než 7, a tedy se na něj nedá dostat. + skrytý text

Pokud 3 | k, tak 37 | 11...1. Ukaž, že jinak není 11...1 dělitelné žádným z prvočísel 2, 3, 5, 7.

(b) + skrytý text

Může se mu to podařit. Zaplňuj rovinu po spirále. Při zaplňování bodu by bylo ideální, kdyby Martin mohl použít Čínskou zbytkovou větu a najít tak číslo, které lze do mřížky přidat. To ale není možné udělat přímo. + skrytý text

Martin může Čínskou zbytkovou větu použít na "nejlepší možnou" množinu čtverců. Ukaž, že je úloha nastavena tak, aby to vyšlo. + skrytý text

Nechť největší čtverec obsahující přidávaný bod má rozměr m x m. Použij Čínskou zbytkovou větu tak, aby pro každé prvočíslo p <= m byl součet čísel ve čtverci o rozměrech p^floor(log_p(m)) x p^floor(log_p(m)) dělitelný p^floor(log_p(m)). + skrytý text

Vezmi si libovolný čtverec s x s obsahující přidávaný bod a dokaž, že součet čísel v něm je dělitelný libovolným prvočíslem ve stejné mocnině jako s. Použij, co víš, a šikovně dláždi větší čtverce menšími. + skrytý text

Ukaž, že do "rohů" spirály je možno umístit libovolné číslo. Ukaž, že už tak dokážeš napsat do roviny každé přirozené číslo jednou.

Úloha 7.
(a) + skrytý text

Pokud je jeden čtverec prázdný, jsou dámy jenom ve dvou čtvercích. + skrytý text

Pokryj je diagonálami.

(b) + skrytý text

Poskládej nejdřív kartičky do balíčků se součtem L*n, kde 1 <= L <= n-1. + skrytý text

Potom takový balíček ber jako jednu kartu s hodnotou L a použij indukční předpoklad.

Pavel Hudec | org | 9. 5. 2020 18:03:51

Ahoj,

skupinka úspěšných amerických olympioniků rozjíždí projekt online přednášek zdarma nazvaný Math Divulged. Přednášky začínají vždy ve 22:00 našeho času a je možné si je pouštět i zpětně. Program vypadá následovně:

Pondělí - úvod do soutěží, nepříliš obtížná série přednášek, můžete je zkusit, pokud si tolik nevěříte, případně je můžete doporučit pikomaťákům nebo svým mladším sourozencům.

Středa - olympiádní přednášky podobné jako na PraSečích sousech.

Pátek - semináře jdoucí více do šířky zaměřené na různá témata spojená s matematikou (VŠ matematika, různé vědní obory, biologické modely aj.)

Sobota - jiný pohled na témata běžného středoškolského učiva s důrazem na "proč" namísto biflování.

Kompletní informace a odkaz na videopřednášky pak najdete na https://sites.google.com/view/mathdivulged/.

Lenka Kopfová | org | 25. 4. 2020 14:45:22

Ahoj,

taky Ti chybí Náboj? Možnost jet na jarní soustředění a pořádně si tam zasoutěžit?
Tak máme příležitost právě pro Tebe!
Příští pátek se totiž uskuteční Mecz Online. ⚔️

Co je to Mecz?
Je týmová soutěž, kde každý tým dostane 4-8 úloh a jejich cílem je úlohy v časovém limitu vyřešit. Úlohy jsou během soutěže vysvětlovány online organizátorům. Více detailů upřesníme podle počtu účastníků.

Povolené pomůcky:
Viz standardní pravidla MO. Tedy jedině psací a rýsovací potřeby, žádné mobily, telefony, kalkulačky, wolframy, geogebry a jiné prevíty.

Týmy budou po 1-5 lidech. Můžete se na týmu domluvit sami, ale nebojte se, pokud nikoho neznáte, nebo to si nejste jistí, koho vybrat, napiště své jméno na prázdný řádek tabulky a v poznámky napište "Hledám Tým!" nebo se dohodněte s někým, kdo už tým hledá ;)
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1BlYzb...

Kdy?
1.5.2020 (Pátek) v 16.00.
Délka?
Tři hodiny.
Kde?
Váš tým může může komunikovat využitím jakéhokoli komunikačního přistroje (pokud jste v jedné domácnost, nemusíte si volat).
Doporučené:
https://hangouts.google.com/, https://www.skype.com/, Messenger, https://meet.jit.si/
Další užitečné pomůcky:
Online whiteboard https://awwapp.com/

Přičemž samotná komunikace s orgy bude probíhat pravděpodobně přes https://meet.jit.si/.
Všechny podrobnosti upřesníme během týdne podle zájmu.

Michaela Hubatová | 17. 4. 2020 03:49:06

Ahoj všem a hurá!
Následující týmová matematická soutěž proběhne navzdory COVID-19!
Mezinárodní online týmová matematická soutěž Purple Comet! Math Meet se letos uskuteční od 21. do 30. dubna. Je určena pro až šestičlenné týmy. Není třeba se fyzicky scházet, můžete při soutěži spolupracovat například prostřednictvím oblíbeného chatu či videohovoru. Potřebovat budete tedy připojení k internetu a dospělého supervisora, který Váš tým zaregistruje. Registrace již probíhá a bude možná až do konce soutěžního období. Zadání bude k dispozici i v češtině (jsem autorkou překladů).
Stručné informace o soutěži v čestině naleznete na https://purple-comet-cesky.webnode.cz/.
Úplné informace naleznete v angličtině na http:// https://purplecomet.org/

Lenka Kopfová | org | 10. 4. 2020 23:59:58

Ahoj,

Švýcaři se rozhodli být aktivní a vytvořili něco jako trochu víc fancy mezinárodní TRiKS. Nemám moc odhad na obtížnost, ale jsou tam dvě kategorie (zkušení/nováčci) a člověk určitě nic nezkazí, když zkusí něco nového :-) Rozhodně bych se toho nebála :)
Odkaz na stránky tady https://facebook.com/events/s/global-quaranti.... K soutěžení je potřeba vyplnit nějaký google form (odkaz na stránkách). A pokud ještě stále váháš, tak neváhej, páč registrace je prý do neděle.

Veselé Velikonoce a hodně čokoládových vajíček,
Lenka

Dominik Stejskal | org | 10. 4. 2020 01:30:06

Blížíme se ke konci roku a přichází předposlední, pro velký úspěch dvojitá várka hintů!

3. jarní série:

Úloha 1. + skrytý text

2025 = 45^2.

Úloha 2. + skrytý text

Stačí 1010 vteřin.

Úloha 3. + skrytý text

Vyber si tým, který porazil aspoň 4 týmy. Poté uvažuj pouze tyto týmy a opakuj.

Úloha 4. + skrytý text

Nechť je R průsečík ramen BC, DA. V jakém poměru dělí body, kde míče přešly přes brankovou čáru, úsečku RA?

Úloha 5. + skrytý text

Uvaž polynom P(t+1)-P(t)

.
Úloha 6. + skrytý text

Zjisti, co v tomto kontextu znamená výraz (abc)/(ab + bc + ca). Díky tomu najdi výraz, který se v průběhu procesu nemění. + skrytý text

Dokaž, že součet převrácených hodnot čísel na tabuli se nemění.

Úloha 7. + skrytý text

Žabák může projít všechny kameny tak, aby pouze v jednom skoku vydělal jednu korunu. + skrytý text

Navrhni konstrukci a u ní urči počet skoků délky 2^k. + skrytý text

Spočítej jaký může být počet skoků délky větší než 2^k pro fixní k. + skrytý text

Ukaž, že nalezený počet skoků dané délky je nejlepší možný.

Úloha 8. + skrytý text

V pravoúhlém trojúhelníku je √2-násobek délky přepony větší nebo roven součtu délek odvěsen. + skrytý text

Rozděl si trasu na úseky mezi body kde Filip mění směr jízdy vzhledem ke spádnici.

3. seriálová série:

Úloha 1. + skrytý text

Dokresli střed oblouku BC.

Úloha 2. + skrytý text

Dokresli body naproti bodům B a C.

Úloha 3. + skrytý text

Najdi DDIT, kterým dostaneš dvojice bodů na kružnici Ω (E,F), (A,M), (B,C) v jedné involuci.

Pavel Hudec | org | 20. 3. 2020 20:18:52

Jsi smutný/á, že příští týden nebude celostátko? Máš teď hromadu času, tápeš a nevíš, co s ním? Chceš se dostat na přespříští IMO (a případně ho vyhrát)?

Pokud jsi alespoň na 0 otázek odpověděl/a ano a jsi středoškolák, pak je tu pro tebe seminář iKS, taková verze PraSátka pro zkušenější řešitele. Právě začíná nový ročník, zadání první série najdeš na http://iksko.org. I jedna vyřešená úloha už může znamenat slušné umístění!

Zároveň je pro vás připraven na iKSkových stránkách celostátkový TRiKS, díky němuž celostátko můžete zkusit nanečisto a přitom potrénovat.

<< < 1 2 ... 33 34 > >>

Kontakt

email	info (zavináč) prase.cz
pošta	Korespondenční seminář KAM MFF UK Malostranské náměstí 25 118 00 Praha 1

Organizátoři

Matematický korespondenční seminář je organizovaný studenty Matematicko-fyzikální fakulty UK pod záštitou Informatického ústavu UK a Oddělení pro vnější vztahy a propagaci UK.

Partneři

Matematický korespondenční seminář

Kalendář

Z naší fotogalerie

Kontakt

Organizátoři

Partneři