Jméno:

b i u AA AA \TeX link skrytý text
Anti-spamová kontrola: Kolik je jedna a čtyři? (slovy)
Matematická sekcerss-icon
<< < 1 2 ... 35 36 > >>
José | org | 7. 2. 2024 15:21:21
Za týden je svátek zamilovaných. A kdo by nemiloval hinty 1j a 2s série ;).

1. jarní série
Úloha 1. + skrytý text
Zkus napsat spoustu trojiček se součtem 6.

Úloha 2. + skrytý text
Všimni si, že nsn si od každého prvočísla vybere tu největší vyskytující se mocninu.

Úloha 3. + skrytý text
Znaménko rozdílu se může změnit nanejvýš jednou.

Úloha 4. + skrytý text
Najdi prosté zobrazení z počtu způsobů pro n do počtu způsobů pro n+1.

Úloha 5. + skrytý text
Dívej se na racionální čísla modulo 5.

Úloha 6. + skrytý text
Posviť si na posloupnost bn = (an+1 + an).

Úloha 7. + skrytý text
Fn je Fibonacciho číslo, Gn je od jistého okamžiku rozdíl dvou Fibonacciho posloupností.

Úloha 8. + skrytý text
Celočíselné body na hyperbole x^2 - 2cxy + y^2 + c^2 - 1 = 0.


2. seriálová série
Úloha 1. + skrytý text
Použij vzorce pro otáčení (vrcholy čtverců nad stranami) a pro rovnoběžník.

Úloha 2. + skrytý text
Vzorec ortocentra trojúhelníka na jednotkové kružnici máš, |a-b| = ((a-b)(a-b)). + skrytý text
Pak si jen vzpomeň na vzorce:
.ζk = ζ7-k,
ζ7+k = ζk.


Pozn. (a-b) zde značí číslo komplexně sdružené.

Úloha 3. + skrytý text
Vepsaná kružnice je jednotková, vzorec na průsečík tečny s tětivou máš. To nejhorší se pokrátí.
José | org | 13. 1. 2024 07:17:51
Due to technical difficulties, we are currently unable to post mathematical text in this chat, forcing us to post this next series of hints as plain text. We hope to get the issue resolved soon, so that we can post a more readable version in the near future. We apologize for the inconvenience.

Problem 1. + skrytý text
Pigs eat more food than chickens.

Problem 2. + skrytý text
Square it, then arrange it into a square.

Problem 3. + skrytý text
Show that any triangle placed completely inside a unit square has an area of at most 1/2.

Problem 4. + skrytý text
Divide out what you can, you will be left with a product of |m-n|/2 bigger numbers vs a product of |m-n|/2 smaller numbers.

Problem 5. + skrytý text
Use the AM-GM inequality.

Problem 6. + skrytý text
For each divisor d, calculate how many times it will be counted in the sum. + skrytý text
Get a bound on the sum using floor(n/d) - floor(n/(d+1)) >= 0.

Problem 7. + skrytý text
Square the given recurrence relations. + skrytý text
You only need to show (x_n)^2 + (y_n)^2 + (z_n)^2 > 6n+39.

Problem 8. + skrytý text
Use the sum formula. + skrytý text
And apply Cauchy–Schwarz.
Denisa Hanušková | org | 6. 12. 2023 21:47:20
Netrpělivě očekáváš hinty z 3. podzimní série a 1. seriálové série? Zde jsou:
Úloha 1. + skrytý text
Pythagorův trojúhelník.

Úloha 2. + skrytý text
Lze to. + skrytý text
Minimální počet kružnic je 6. + skrytý text
Existuje konfigurace se dvěma různými poloměry kružnic.

Úloha 3. + skrytý text
Ukažte, že poloměry kružnic tvoří geometrickou posloupnost.

Úloha 4. + skrytý text
Dokaž, že A, B, S, T a střed \textstyle \Omega leží na jedné kružnici.

Úloha 5. + skrytý text
Překlop podle \textstyle AB. Srovnej velikosti kružnic.

Úloha 6. + skrytý text
Dokaž, že součet úhlů \textstyle AXB, \textstyle AYB a \textstyle XBY je 180 stupňů.

Úloha 7. + skrytý text
Nejdřív vyúhli kolmost stran+ skrytý text
vzdálenost protějších přímek spočti dokreslením tětiv \textstyle P_1Q_1, \textstyle HE, \textstyle FG a společné tečny \textstyle \Omega, \textstyle \omega_1 v bodě \textstyle T_1.

Úloha 8. + skrytý text
Střed strany \textstyle BC leží na pevné kružnici, stejnolehli ho na těžiště a Feuerbašiště.+ skrytý text
Podruhé stejnolehli pevnou kružnici z opsiště, je pevné. Poloměr Feuerbachovy kružnice taky znáš.


Úloha 1.+ skrytý text
Obsah trojúhelníka a sinová věta.

Úloha 2.+ skrytý text
Hýbej bodem \textstyle B. Když \textstyle t_b značí délku tečny z \textstyle B k \textstyle \omega_2, je \textstyle \frac{|BA|}{|BA|+t_b} konstanta.

Úloha 3.+ skrytý text
Najdi tu kružnici a prostě to spočítej. Co by se mohlo pokazit?
José | org | 17. 11. 2023 17:53:23
Stále bádáš nad nějakou úlohou z 2. podzimní série? Další hinty už ti spěchají na pomoc!
Úloha 1. + skrytý text
Smaž čtvereček na levé hraně.

Úloha 2. + skrytý text
Jsou-li \textstyle a, b nesoudělná, co musí platit aby \textstyle 110 dělilo \textstyle 10a + 11b?

Úloha 3. + skrytý text
Rozmysli si, jak se ciferné součty mění při přechodu přes desítky a že aspoň 20 po sobě jdoucích čísel nepřejde přes stovky.

Úloha 4. + skrytý text
Ukaž, že je to součet lichých čísel menších než 2n.

Úloha 5. + skrytý text
Najít množinu 2n-1 obdélníků je snadné, zkus potom nějaký přidat. + skrytý text
Setřiď velikosti stran a_1 \le \dots \le a_n, b_1 \le \dots \le b_n. BÚNO b_1 \le a_1, najdi b_i \le a_i \le a_{i+1} \le b_{i+1}.

Úloha 6. + skrytý text
Musí mít všechny stejný zbytek po dělení p. Počítejte s polynomy těch čísel a jejich kořeny modulo p.

Úloha 7. + skrytý text
Stačí čtyři díly. Čtverec 5x5 vyřízne v celku. + skrytý text
Schodiště je výhodný řez, díly se dají posunout o jeden schod a zase spojit.

Úloha 8. + skrytý text
Indukuj podle k. + skrytý text
Dokazuj kombinatoricky: kolika způsoby lze \textstyle n^{k} lidí rozdělit do \textstyle n-tic?
Denisa Hanušková | org | 8. 10. 2023 22:15:55
Ahoj, trápíš se stále s nějakou úlohou z 1. podzimní série? Hinty Ti pomohou vydat se správným směrem.
Úloha 1. + skrytý text
Trojúhelníky AEB a ACB mají společnou výšku.

Úloha 2.+ skrytý text
Cesta se nemá kde zacyklit.+ skrytý text
Začneme v \textstyle 1, kde je vůbec možné skončit?

Úloha 3. + skrytý text
Může. Jaké znáš Pythagorejské trojice?

Úloha 4. + skrytý text
Vietovy vztahy

Úloha 5. + skrytý text
Nakreslete si graf množství vody v dromedárově hrbu v závislosti na čase. Předpokládejte, že voda nedojde.

Úloha 6. + skrytý text
Zakresli si mrakodrapy do grafu, kde hrana bude mezi mrakodrapy, pokud je rozdíl jejich výšek mocnina dvou.
+ skrytý text
Když v grafu necháme každou mocninu dvou pouze jednou, musí být acyklický.

Úloha 7. + skrytý text
Nakreslete si do n-úhelníka obdélníky tvaru (délka strany) x \frac{S}{o}.

Úloha 8. + skrytý text
Odpověď je 2. Podívej se na stát s nejmenším počtem základen. + skrytý text
Pro základnu patřící jinému státu vezmi nejkratší část pobřeží, který dostáváš ze zadání.
Áďa | org | 24. 5. 2023 16:41:55
Vrtá Ti stále hlavou nějaká úložka z finálního myšmaše? Pak zde jsou hinty právě pro Tebe!

Úloha 1.
a) + skrytý text
Zkus přepnout jednu žárovku na obvodu, aniž bys změnil stav jiných.

b) + skrytý text
Dokresli průsečíky výšek trojúhelníků \textstyle ABE a \textstyle CDE.


Úloha 2.
a) + skrytý text
Rozmysli si, který bod musí být růžový, aby v dalším kroku byl obarvený střed. Pak ukaž, že tak daleko růžový bod nikdy nebude.

b) + skrytý text
Najdi potenční střed \textstyle \omega_1, \textstyle \omega_2 a \textstyle \Gamma.


Úloha 3.
a)+ skrytý text
Rozlož rozdíl čtverců.+ skrytý text
modulo 4

b)+ skrytý text
Posloupnost nemůže růst velkými skoky.+ skrytý text
Najdi dost dlouhý úsek složených čísel.


Úloha 4.
a)+ skrytý text
Rozeber součty 3, 4, 5, 6 a 12, 13, 14, 15.

b)+ skrytý text
Osoba s největším počtem známostí v rámci jedné skupiny.


Úloha 5.
a)+ skrytý text
Podmínky s celočíselnými průměry vyřeší množina plná násobků \textstyle n!.+ skrytý text
Nesoudělnosti docílíš posunutím.

b)+ skrytý text
\textstyle n-2 zakroužkovaných lze docílit -- najdi konstrukci.+ skrytý text
K důkazu, že \textstyle n-1 dosáhnout nelze, uvažuj vrchol s nejmenším stupněm a potom ten s druhým nejmenším.


Úloha 6.
a)+ skrytý text
Omez shora hodnotu tohoto zlomku. Tato hodnota musí dělit číslo tvaru \textstyle 100\dots001, které má o cifru víc než \textstyle a.

b)+ skrytý text
Dokresli rovnoběžku k \textstyle EF skrz \textstyle B.


Úloha 7.
a)+ skrytý text
Podívej se na hodnoty \textstyle f+g.

b)+ skrytý text
Uvaž \textstyle x=y a \textstyle x=\frac{1-x}{1+x}.
Denisa Hanušková | org | 6. 4. 2023 21:24:19
Ahoj! Skončili nám další série a hinty se hlásí o slovo.

Úloha 1. + skrytý text
Dej všem funkcím \{ 1, 2, 3, 4\} a cyklicky je vůči sobě posuň.

Úloha 2. + skrytý text
Uspořádej kořeny do dvojic, které jsou osově souměrné podle \textstyle 2023.

Úloha 3. + skrytý text
Použij dolní celou část. Jak se chová na záporných číslech?

Úloha 4. + skrytý text
Použij Vietovy vztahy pro zadané kvadratické trojčleny.

Úloha 5. + skrytý text
Získej nějaké \textstyle c splňující \textstyle f(c)=0 a dosaď ho za \textstyle y.

Úloha 6. + skrytý text
Dosazením \textstyle x=0 uvidíš, co se děje na nezáporných číslech.

Úloha 7. + skrytý text
\textstyle f je prostá a \textstyle f(x)>x.+ skrytý text
Prohoď \textstyle a a \textstyle b.

Úloha 8. + skrytý text
Označme P(x) = x^2 - x - 2023, jaké jsou hodnoty P(\sqrt{2023}) a \textstyle P(-\sqrt{2023})?+ skrytý text
Uvaž pevné body \textstyle P(P(x)).+ skrytý text
P(P(x)) - x je polynom čtvrtého stupně, nemůže tedy mít více než 4 kořeny. Má P(x) nějaké pevné body?


Úloha 1.+ skrytý text
Existuje třeba pro k = 3.
+ skrytý text
Skoro cokoli jiného než pravidelný šestiúhelník bude fungovat.

Úloha 2.+ skrytý text
Rozmysli si, proč to platí pro rovinné nakreslení.+ skrytý text
Zkus odebrat nějakou hranu tak, aby se levá strana nerovnosti zvětšila.+ skrytý text
Odeber hranu e, pro kterou je cr(e) největší.

Úloha 3.+ skrytý text
Postupuj podobně jako v posledních příkladech v seriálu.+ skrytý text
Když zafixuješ dva vrcholy trojúhelníku, množina bodů v rovině, kde by mohl být ten třetí, je elipsa.
Áďa | org | 10. 3. 2023 00:17:12
Ahoj, ahoj! Stále si lámeš hlavu nad některou z úložek 2. jarní série? Pak je tu další várka hintů právě pro Tebe!

Úloha 1. + skrytý text
Podívej se na \textstyle N modulo \textstyle 9 a \textstyle 3.

Úloha 2. + skrytý text
\textstyle (a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)

Úloha 3. + skrytý text
Pro horní odhad posčítej všechny obvody dohromady a zjisti, co dostaneš v obrázku. + skrytý text
Pro dolní odhad se podívej na čtyřúhelníček v rohu ohrádky.

Úloha 4.+ skrytý text
Roznásob a substituuj \textstyle x=da, \textstyle y=db, kde \textstyle d=\NSD(x,y).

Úloha 5. + skrytý text
Nakresli si z PraSátka přímky rovnoběžné s diagonálami čtverce.

Úloha 6. + skrytý text
Protni přímky \textstyle KL a \textstyle BC a hledej rovnoramenné trojúhelníky.

Úloha 7. + skrytý text
Uvaž funkci \textstyle g: \mathbb{N} \to \mathbb{N} takovou, že \textstyle g(n)^2 = f(1)+f(2)+\cdots+f(n), a zkus na ni získat nějaké odhady. + skrytý text
Rozeber hodnoty \textstyle g v prvočíslech.+ skrytý text
Domysli, že to už vynucuje všechny hodnoty.

Úloha 8. + skrytý text
Vyjde to \textstyle 2n-2. Zobecni konstrukci pro \textstyle n=3. Zafixuj počet svislých a vodorovných segmentů.
Denisa Hanušková | org | 8. 2. 2023 17:39:30
Ahoj, s koncem serií se k Vám blíží další hinty. Zde jsou:

Úloha 1.+ skrytý text
Dívej se na rozdíly sousedních průměrů.

Úloha 2.+ skrytý text
Popáruj dělitele d s \frac nd.

Úloha 3.+ skrytý text
Zprůměruj první a třetí nejvyšší a redukuj postupně dolů. Pro číslo 1000 opakuj postup z obou stran.

Úloha 4.+ skrytý text
Popáruj podmnožiny, které obsahují svůj aritmetický průměr s těmi, který jej neobsahují.

Úloha 5.+ skrytý text
Rozděl čísla na sudá a lichá.

Úloha 6.+ skrytý text
Spočítej a_1-a_3

Úloha 7.+ skrytý text
Rozmysli si, že m se nezvětšuje.

Úloha 8.+ skrytý text
Více, než k^2 jich být nemůže, takže každá trojice, která může být pěkná, musí.+ skrytý text
Uspořádej si reálná čísla podle velikosti. Podívej se na vzdálenosti a_k a a_{k+1}. Jak pak musí vypadat ostatní mezery?


Úloha 1. + skrytý text
Fíla skutečně mohl takovou množinu najít.+ skrytý text
Zkus nějakou množinu bez okraje.

Úloha 2. + skrytý text
Postupně přidávej body z konvexního obalu, když to je potřeba, tak dva najednou.+ skrytý text
Přidávej body tak, aby poslední dvě písmena napsaného textu byla stejná.

Úloha 3. + skrytý text
Uvaž libovolný bod na povrchu mnohostěnu a zobraz mnohostěn ve stejnolehlosti se středem v tomto bodě a koeficientem 3/4.+ skrytý text
Použij nekonečnou Hellyho větu.+ skrytý text
Libovolné 4 obrazy se protínají v těžišti příslušného čtyřstěnu.
Áďa | org | 10. 1. 2023 11:17:38
Ahojky, už určitě netrpělivě očekáváš hintíky 4. podzimní série. Mám pro Tebe dobrou zprávu! Už nemusíš čekat déle!

Úloha 1. + skrytý text
Jaké dvojice můžou vzniknout při prvním rozdělení? A při druhém?

Úloha 2. + skrytý text
Čtvrté číslo zvol co nejvyšší.

Úloha 3. + skrytý text
Za jak dlouho alespoň někdo ví vše?

Úloha 4. + skrytý text
Jak musí vypadat graf, kde je mezi dvěma týmy hrana, právě když spolu hrály v některém z prvních dvou dnů?

Úloha 5. + skrytý text
Ukaž, že pokud je \textstyle M město, do kterého doletí nejvíc letadel, a \textstyle A, \textstyle B nějaká jiná města, ze kterých letí letadla do \textstyle M, pak úhel \textstyle \sphericalangle AMB musí být vyšší než \textstyle 60^\circ.

Úloha 6. + skrytý text
Smaž právě jednu šipku mezi každými dvěma týmy. + skrytý text
Rozděl si to na dvojice, kde pokaždé vyhrál jiný tým, a na ty zbylé.

Úloha 7. + skrytý text
Využij faktu, že počet přijatých GIFů je stejný jako počet odeslaných, k dokázání \textstyle 7|n(n-1). Najdi konstrukci pro vyhovující \textstyle n

Úloha 8. + skrytý text
Indukcí. Rozděl si maximální kliky podle toho, jak vznikly z menšího grafu.
Zdeněk Pezlar | org | 29. 12. 2022 19:27:13
Ahoj,

chceš trochu potrénovat před blížícím se krajským kolem Matematické olympiády A? Potom je tu právě pro tebe TRiKSko -- tréninková online soutěž semináře iKS. Bližší informace najdeš na https://iksko.org/triks/current.php.
Denisa Hanušková | org | 6. 12. 2022 20:37:09
Ahoj, stále se trápíš nad některou z úloh? Pak Tě jistě potěší pozdní dárek od Mikuláše, který Ti u nás v podobě hintů zanechal.
Úloha 1. + skrytý text
Vypiš si, jaká prvočísla spolu mohou sousedit.

Úloha 2. + skrytý text
Zvol za p postupně 3, 5, 7.

Úloha 3. + skrytý text
Pokrať 19, rozlož na součin.

Úloha 4. + skrytý text
Podívej se na paritu.

Úloha 5. + skrytý text
V posloupnosti p_n se od nějaké chvíle bude opakovat 2,2,3,2,2,3,2,2,3,\dots

Úloha 6. + skrytý text
Označ si ony čtverce a^2 a b^2,pak odečti a faktorizuj.

+ skrytý text
Odhadni a+b<2p

Úloha 7. + skrytý text
Faktorizuj n^6-1=(n-1)(n+1)(n^2-n+1)(n^2+n+1)

+ skrytý text
Vyjádři p=nk+1, dosaď a rozeber případy podle toho, kterou závorku p dělí.

Úloha 8. + skrytý text
Přepiš na součin kombinačních čísel.

+ skrytý text
Přidej k součinům p, abys dostal kombinační čísla s p.


Úloha 1.+ skrytý text
Nemusí.

+ skrytý text
Protipříklad je i na čtyřech vrcholech.

Úloha 2. + skrytý text
Extremální princip.

+ skrytý text
Dívej se na úhly.

Úloha 3. + skrytý text
Udělej strom na triangulaci.

+ skrytý text
Hledej vrchol, co je "uprostřed".
Zdeněk Pezlar | org | 22. 11. 2022 13:06:52
Ahoj!
Již tradiční internetová soutěž Mathrace (http://brkos.math.muni.cz/mathrace/)
proběhne už za týden v úterý 30.11.! Soutěž je určena pro nejvýše čtyřčlenné týmy středoškoláků, pro nadšence mimo střední školu je tu kategorie Underground. Soutěž organizují studenti Přf MUNI.
Čím se liší Mathrace od jiných matematických soutěží? Na řešení úloh jsou povolené libovolné zdroje - kalkulačky, Geogebra, WolframAlpha, programování - můžete si proto být jistí, že i s pomocí těchto nástrojů budete muset nad úlohami přemýšlet.
Soutěž probíhá online, nemusíte se svým týmem sejít na jednom místě. Týmy ale musí pocházet z jedné školy.
Tak na co čekáš, registruj se na Mathrace!
Áďa | org | 15. 11. 2022 12:46:01
Ahoj! Druhá podzimní série je za námi. Pokud si s nějakým příkladem marně lámeš hlavu, níže si můžeš prohlédnout hinty, které Ti pomůžou vydat se správným směrem.

Úloha 1.+ skrytý text
Popáruj si vzdálenosti, aby se sečetly na 9

Úloha 2.+ skrytý text
Dokresli čtverec, jehož úhlopříčka je \textstyle BK.

Úloha 3.+ skrytý text
Parita (sudost/lichost)

Úloha 4.+ skrytý text
Ukaž, že chatrč může být kdekoli mezi 1011. a 1012. hruškou.

Úloha 5.+ skrytý text
Dokresli si průsečíky úhlopříček zadaných obdélníků. Pomocí nich dokaž, že \textstyle BG je rovnoběžná s \textstyle FC.

Úloha 6.+ skrytý text
Buďte \textstyle X, \textstyle Y středy \textstyle AC, \textstyle BE; potom ukaž, že \textstyle XOYD je rovnoběžník.

Úloha 7.+ skrytý text
Dokažte tětivovost \textstyle ABCM a \textstyle AO_1NO_2M

Úloha 8.+ skrytý text
\textstyle |X_AA_0| = |X_AA_1|+ skrytý text
Chordála Feuerbachovy kružnice a kružnice opsané
Michal Janík | 19. 7. 2022 22:29:35
Řešení 15:
+ skrytý text
n^n-m^n můžeme zapsat jako (n-m)\left(n^{n-1}+n^{n-2}m+\cdots+nm^{n-2}+m^{n-1}\right). Teď dokážeme, že tyto dvě závorky jsou nesoudělné. Skutečně n^{n-1}+n^{n-2}m+\cdots+nm^{n-2}+m^{n-1}\equiv n\cdot n^{n-1}=n^n\bmod{(n-m)}. Proto \gcd(n-m,n^{n-1}+n^{n-2}m+\cdots+nm^{n-2}+m^{n-1})=\gcd(n-m,n^n) (Eukleidův algoritmus). Pokud by ale nějaké prvočíslo dělilo jak n-m, tak n^n, pak by dělilo i n a m, což je spor s jejich nesoudělností. Tudíž jsou závorky vskutku nesoudělné. Jelikož jejich součin je čtverec, i obě závorky jsou čtverce, tedy skutečně je n-m čtverec.


Zadání 16:
V rovině leží několik přímek tak, že každá přímka protíná přesně n jiných přímek. V závislosti na n určete, kolik přímek může v rovině ležet.
Erik Ježek | 27. 5. 2022 20:04:00
Řešení 14:
+ skrytý text
Když za b budeme dosazovat čísla od 0 do p-1, tak dostaneme p různých zbytků modulo p, protože: Pro spor předpokládejme, že existují různá celá čísla -1 < x,y < p, taková že xq a yq dávají stejný zbytek, pak ale musí platit, že p dělí q(x-y) a z toho že p a q jsou různá prvočísla, tak p dělí x - y, to ale už znamená x = y, což je spor. Zbývá ukázat, že každý z těchto zbytků je menší než (p-1)(q-1), nebo je prvním větším číslem než tento součin, které dává stejný zbytek modulo p jako bq (proto je v následující nerovnosti na levé straně -p), pak bude jistě stačit zvolit a nezáporně pro každé k. Podmínku stačí ověřit pro nejvyšší b, tedy pro b = p - 1, pak chceme dokázat: (p-1)q - p < (p-1)(q-1), což ale triviálně platí a tím jsme hotovi

Zadání 15:
Mějme přirozená čísla n, m, x, taková že splňují n^n - m^n = x^2 a čísla n, m jsou nesoudělná. Dokažte že n - m je druhou mocninou přirozeného čísla
Patrik Štencel | 22. 5. 2022 23:33:25
Řešení 13:
+ skrytý text
Rozdělme si políčka na rohová, okrajová(nepatří do nich rohová) a vnitřní. Rohová mají pouze 2 sousedy, takže nemůže být obarvené. Okrajové má 3 sousedy, takže všichni 3 musí být obarveni. Tabulka je konečná, takže se dostaneme k rohovému políčku, které nemůže být obarvené a tedy ani okrajové nemůže být. Nyní se podívejme na vnitřní políčka. Představme si, že tvoří nějaký mnohoúhelník, kde jeho úhly jsou násobky 90°. Představme si, že nějaký vnitřní úhel má 90°. To by znamenalo, že nějaké políčko má kolem sebe 2 čtverečky. To odporuje zadání, takže jeho jediné vnitřní úhly jsou 180°, 270°,360°(uvnitř). Pokud bychom šli po jeho vnějším obvodu(nepočítáme vnitřní záhyby), mohli bychom sečíst úhly na které narazíme. Pokud bychom brali ty úhly, které nejsou přímé a náš mnohoúhelník by měl n vrcholů, získali bychom tento součet jako n270°. Součet úhlů v mnohoúhelníku je (n-2)180°. Tedy náš útvar nemůže být mnohoúhelník, ale zároveň jediný útvar, který by to mohl být je mnohoúhelník. To je spor a tedy nejde to. (Alternativní metoda by spočívala, že půjdeme po obvodu a vždy budeme zabočovat o 90° na jednu stranu a na druhé straně se bude rozkládat náš obarvený mnohoúhelník. Nyní bychom potřebovali obalit náš mnohoúhelník tím, že uzavřeme jeho obvod. Problém by nastal v tom, že u každého takového uzavření by obarvená část nebyla uvnitř uzavřené části, ale venku(táhla by se do nekonečna/krajů(obojí nejde)).)

Zadání 14:
Mějme dvě prvočísla p,q. Dokažme, že pro každé k>(p-1)(q-1) lze k zapsat jako k=ap+bq pro nezáporná celá čísla a,b.
Erik Ježek | 22. 5. 2022 20:24:20
Řešení 12:
+ skrytý text
Stačí zvolit a = n^2, b = n-1, pak rovnost jistě bude platit a jmenovatel zlomku bude vždy vyšší než 0 (z přirozenosti n).


Zadání 13:
Uvažme tabulku s n řádky a m sloupci. Lze tuto tabulku obarvit, tak aby každé obarvené políčko (existuje aspoň jedno) sousedilo s aspoň 3 jinými obarvenými políčky? (Políčko sousedí s jiným políčkem, pokud mají společnou stranu)
Matěj Doležálek | org | 15. 5. 2022 01:05:18
Řešení 11:
+ skrytý text
Pojmenujme středy \textstyle \alpha, \textstyle \beta, \textstyle \gamma jako \textstyle D, \textstyle E, \textstyle F a jejich společný bod označme \textstyle O. Obě \textstyle \beta, \textstyle \gamma jsou osově souměrné podle \textstyle EF, takže jejich druhý průsečík musí být obrazem \textstyle O podle téhle osy -- můžeme tedy \textstyle A alternativně pojmenovat jako \textstyle O_d. Obdobně mějme \textstyle O_e=B, \textstyle O_f=C. Zjevně je \textstyle O opsiště trojúhelníku \textstyle DEF, ukažme, že opsištěm \textstyle ABC je kolmiště \textstyle H trojúhelníku \textstyle DEF. Označíme-li jeho obrazy v osových souměrnostech podle stran \textstyle DEF jako \textstyle H_d, \textstyle H_e, \textstyle H_f, pak máme \textstyle |HO_d|=|H_dO|, což je jen poloměr opsané kružnice \textstyle DEF, protože \textstyle H_d leží na kružnici opsané (to je známé). Tím je dokázáno, že \textstyle H je středem kružnice opsané \textstyle ABC a její poloměr je \textstyle |H_dO|=|OD|, což je původní poloměr našich kružnic.


Zadání 12:
Je dáno přirozené číslo \textstyle n>1. Dokaž, že lze zvolit přirozená \textstyle a, \textstyle b tak, že \textstyle n^2+n+1=\frac{a^2+a+1}{b^2+b+1}.
Michal Janík | 14. 5. 2022 12:21:45
11:
Kružnice \alpha, \beta, \gamma se stejným poloměrem se protínají v jednom bodě. Jejich další průsečíky jsou A, B, C. Dokažte, že kružnice opsaná ABC má stejný poloměr.
<< < 1 2 ... 35 36 > >>

Kontakt

email info (zavináč) prase.cz
pošta Matematický korespondenční seminář
KAM MFF UK
Malostranské náměstí 25
118 00   Praha 1

Organizátoři

mff

Matematický korespondenční seminář je organizovaný studenty Matematicko-fyzikální fakulty UK pod záštitou Informatického ústavu UK a Oddělení propagace a mediální komunikace MFF UK.

Partneři

pix
Realizace projektu byla podpořena Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy