Jméno:

b i u AA AA \TeX link skrytý text
Anti-spamová kontrola: Kolik je jedna a čtyři? (slovy)
Matematická sekcerss-icon
<< < 1 2 ... 35 36 > >>
Zdeněk Pezlar | org | 22. 11. 2022 13:06:52
Ahoj!
Již tradiční internetová soutěž Mathrace (http://brkos.math.muni.cz/mathrace/)
proběhne už za týden v úterý 30.11.! Soutěž je určena pro nejvýše čtyřčlenné týmy středoškoláků, pro nadšence mimo střední školu je tu kategorie Underground. Soutěž organizují studenti Přf MUNI.
Čím se liší Mathrace od jiných matematických soutěží? Na řešení úloh jsou povolené libovolné zdroje - kalkulačky, Geogebra, WolframAlpha, programování - můžete si proto být jistí, že i s pomocí těchto nástrojů budete muset nad úlohami přemýšlet.
Soutěž probíhá online, nemusíte se svým týmem sejít na jednom místě. Týmy ale musí pocházet z jedné školy.
Tak na co čekáš, registruj se na Mathrace!
Áďa | org | 15. 11. 2022 12:46:01
Ahoj! Druhá podzimní série je za námi. Pokud si s nějakým příkladem marně lámeš hlavu, níže si můžeš prohlédnout hinty, které Ti pomůžou vydat se správným směrem.

Úloha 1.+ skrytý text
Popáruj si vzdálenosti, aby se sečetly na 9

Úloha 2.+ skrytý text
Dokresli čtverec, jehož úhlopříčka je \textstyle BK.

Úloha 3.+ skrytý text
Parita (sudost/lichost)

Úloha 4.+ skrytý text
Ukaž, že chatrč může být kdekoli mezi 1011. a 1012. hruškou.

Úloha 5.+ skrytý text
Dokresli si průsečíky úhlopříček zadaných obdélníků. Pomocí nich dokaž, že \textstyle BG je rovnoběžná s \textstyle FC.

Úloha 6.+ skrytý text
Buďte \textstyle X, \textstyle Y středy \textstyle AC, \textstyle BE; potom ukaž, že \textstyle XOYD je rovnoběžník.

Úloha 7.+ skrytý text
Dokažte tětivovost \textstyle ABCM a \textstyle AO_1NO_2M

Úloha 8.+ skrytý text
\textstyle |X_AA_0| = |X_AA_1|+ skrytý text
Chordála Feuerbachovy kružnice a kružnice opsané
Michal Janík | 19. 7. 2022 22:29:35
Řešení 15:
+ skrytý text
n^n-m^n můžeme zapsat jako (n-m)\left(n^{n-1}+n^{n-2}m+\cdots+nm^{n-2}+m^{n-1}\right). Teď dokážeme, že tyto dvě závorky jsou nesoudělné. Skutečně n^{n-1}+n^{n-2}m+\cdots+nm^{n-2}+m^{n-1}\equiv n\cdot n^{n-1}=n^n\bmod{(n-m)}. Proto \gcd(n-m,n^{n-1}+n^{n-2}m+\cdots+nm^{n-2}+m^{n-1})=\gcd(n-m,n^n) (Eukleidův algoritmus). Pokud by ale nějaké prvočíslo dělilo jak n-m, tak n^n, pak by dělilo i n a m, což je spor s jejich nesoudělností. Tudíž jsou závorky vskutku nesoudělné. Jelikož jejich součin je čtverec, i obě závorky jsou čtverce, tedy skutečně je n-m čtverec.


Zadání 16:
V rovině leží několik přímek tak, že každá přímka protíná přesně n jiných přímek. V závislosti na n určete, kolik přímek může v rovině ležet.
Erik Ježek | 27. 5. 2022 20:04:00
Řešení 14:
+ skrytý text
Když za b budeme dosazovat čísla od 0 do p-1, tak dostaneme p různých zbytků modulo p, protože: Pro spor předpokládejme, že existují různá celá čísla -1 < x,y < p, taková že xq a yq dávají stejný zbytek, pak ale musí platit, že p dělí q(x-y) a z toho že p a q jsou různá prvočísla, tak p dělí x - y, to ale už znamená x = y, což je spor. Zbývá ukázat, že každý z těchto zbytků je menší než (p-1)(q-1), nebo je prvním větším číslem než tento součin, které dává stejný zbytek modulo p jako bq (proto je v následující nerovnosti na levé straně -p), pak bude jistě stačit zvolit a nezáporně pro každé k. Podmínku stačí ověřit pro nejvyšší b, tedy pro b = p - 1, pak chceme dokázat: (p-1)q - p < (p-1)(q-1), což ale triviálně platí a tím jsme hotovi

Zadání 15:
Mějme přirozená čísla n, m, x, taková že splňují n^n - m^n = x^2 a čísla n, m jsou nesoudělná. Dokažte že n - m je druhou mocninou přirozeného čísla
Patrik Štencel | 22. 5. 2022 23:33:25
Řešení 13:
+ skrytý text
Rozdělme si políčka na rohová, okrajová(nepatří do nich rohová) a vnitřní. Rohová mají pouze 2 sousedy, takže nemůže být obarvené. Okrajové má 3 sousedy, takže všichni 3 musí být obarveni. Tabulka je konečná, takže se dostaneme k rohovému políčku, které nemůže být obarvené a tedy ani okrajové nemůže být. Nyní se podívejme na vnitřní políčka. Představme si, že tvoří nějaký mnohoúhelník, kde jeho úhly jsou násobky 90°. Představme si, že nějaký vnitřní úhel má 90°. To by znamenalo, že nějaké políčko má kolem sebe 2 čtverečky. To odporuje zadání, takže jeho jediné vnitřní úhly jsou 180°, 270°,360°(uvnitř). Pokud bychom šli po jeho vnějším obvodu(nepočítáme vnitřní záhyby), mohli bychom sečíst úhly na které narazíme. Pokud bychom brali ty úhly, které nejsou přímé a náš mnohoúhelník by měl n vrcholů, získali bychom tento součet jako n270°. Součet úhlů v mnohoúhelníku je (n-2)180°. Tedy náš útvar nemůže být mnohoúhelník, ale zároveň jediný útvar, který by to mohl být je mnohoúhelník. To je spor a tedy nejde to. (Alternativní metoda by spočívala, že půjdeme po obvodu a vždy budeme zabočovat o 90° na jednu stranu a na druhé straně se bude rozkládat náš obarvený mnohoúhelník. Nyní bychom potřebovali obalit náš mnohoúhelník tím, že uzavřeme jeho obvod. Problém by nastal v tom, že u každého takového uzavření by obarvená část nebyla uvnitř uzavřené části, ale venku(táhla by se do nekonečna/krajů(obojí nejde)).)

Zadání 14:
Mějme dvě prvočísla p,q. Dokažme, že pro každé k>(p-1)(q-1) lze k zapsat jako k=ap+bq pro nezáporná celá čísla a,b.
Erik Ježek | 22. 5. 2022 20:24:20
Řešení 12:
+ skrytý text
Stačí zvolit a = n^2, b = n-1, pak rovnost jistě bude platit a jmenovatel zlomku bude vždy vyšší než 0 (z přirozenosti n).


Zadání 13:
Uvažme tabulku s n řádky a m sloupci. Lze tuto tabulku obarvit, tak aby každé obarvené políčko (existuje aspoň jedno) sousedilo s aspoň 3 jinými obarvenými políčky? (Políčko sousedí s jiným políčkem, pokud mají společnou stranu)
Matěj Doležálek | org | 15. 5. 2022 01:05:18
Řešení 11:
+ skrytý text
Pojmenujme středy \textstyle \alpha, \textstyle \beta, \textstyle \gamma jako \textstyle D, \textstyle E, \textstyle F a jejich společný bod označme \textstyle O. Obě \textstyle \beta, \textstyle \gamma jsou osově souměrné podle \textstyle EF, takže jejich druhý průsečík musí být obrazem \textstyle O podle téhle osy -- můžeme tedy \textstyle A alternativně pojmenovat jako \textstyle O_d. Obdobně mějme \textstyle O_e=B, \textstyle O_f=C. Zjevně je \textstyle O opsiště trojúhelníku \textstyle DEF, ukažme, že opsištěm \textstyle ABC je kolmiště \textstyle H trojúhelníku \textstyle DEF. Označíme-li jeho obrazy v osových souměrnostech podle stran \textstyle DEF jako \textstyle H_d, \textstyle H_e, \textstyle H_f, pak máme \textstyle |HO_d|=|H_dO|, což je jen poloměr opsané kružnice \textstyle DEF, protože \textstyle H_d leží na kružnici opsané (to je známé). Tím je dokázáno, že \textstyle H je středem kružnice opsané \textstyle ABC a její poloměr je \textstyle |H_dO|=|OD|, což je původní poloměr našich kružnic.


Zadání 12:
Je dáno přirozené číslo \textstyle n>1. Dokaž, že lze zvolit přirozená \textstyle a, \textstyle b tak, že \textstyle n^2+n+1=\frac{a^2+a+1}{b^2+b+1}.
Michal Janík | 14. 5. 2022 12:21:45
11:
Kružnice \alpha, \beta, \gamma se stejným poloměrem se protínají v jednom bodě. Jejich další průsečíky jsou A, B, C. Dokažte, že kružnice opsaná ABC má stejný poloměr.
Michal Janík | 14. 5. 2022 12:18:36
Když už skončil myšmaš, mohli bychom zkusit obnovit maraton, ne? : D

Řešení 10:
+ skrytý text
Je známé, že 1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6, nerovnost ze zadání můžeme upravit na \left(\frac{(n+1)(2n+1)}6\right)^n\geq(n!)^2. Navíc \frac{(n+1)(2n+1)}6=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n}=\frac{1^2+2^2+\cdots+n^2}n\geq \sqrt[n]{1^2\cdot2^2\cdots n^2}. Umocněním na n-tou dostáváme přesně to, co jsme chtěli.
Kateřina Panešová | org | 7. 4. 2022 10:40:15
Ahoj! Jistě se už nemůžeš dočkat dvojité várky hintů, a to ke 3. jarní a 3. seriálové sérii!

Úloha 1. + skrytý text
Použij mocniny dvojky.

Úloha 2. + skrytý text
\textstyle (a-b)(a+b) = a^2 - b^2

Úloha 3. + skrytý text
Modulo 4.

Úloha 4. + skrytý text
Mocni a zbavuj se racionálních čísel.

Úloha 5. + skrytý text
Označ \textstyle r = \sqrt{xy}, \textstyle s = x+y a vyjádři v \textstyle r a \textstyle s rovnice ze zadání.

Úloha 6. + skrytý text
Dokresli PA a PB a hledej podobné trojúhelníky.

Úloha 7. + skrytý text
Podívej se na cestu délky L a délku cyklu, na němž leží první a poslední vrchol, označ jako K. Ukaž, že existuje cyklus délky alespoň \textstyle \ell/K + K/2.

Úloha 8.+ skrytý text
Levou stranu zdola odhadni jako \textstyle (n^2d-a^2)/2, kde a = dolní celá část z \textstyle n\sqrt{d}.+ skrytý text
Vyluč malé hodnoty \textstyle n^2d-a^2 pomocí kvadratických zbytků pro vhodnou zbytkovou třídu d mod 20.


Úloha 1. + skrytý text
Rozepiš Eukleidův algoritmus pro \textstyle m_1 a \textstyle m_2 a všechny rovnosti vynásob \textstyle n.

Úloha 2. + skrytý text
Použij Eukleidův algoritmus a všimni si, že Eukleidův algoritmus platí i u exponentů.

Úloha 3. + skrytý text
Všimni si, že součet a+b se zachovává a zároveň jsou obě čísla nezáporná. + skrytý text
Proto to nemůže skončit jinak, než že první číslo je nula a druhé je \textstyle a+b.

+ skrytý text
Pokud se (a,b) změní na (c,d), tak NSD(c,d) dělí 2*NSD(a,b).+ skrytý text
Na konci tedy musí platit a+b dělí NSD(a,b)*2^k.
Áďa | org | 8. 3. 2022 09:20:28
Vrtá Ti stále hlavou nějaký příklad ze 2. jarní série? Nevěš ramena a prohlédni si hinty:
Úloha 1. + skrytý text
Zkus za většinu hledaných čísel zvolit jedničku.

Úloha 2. + skrytý text
\textstyle a+24b musí být násobkem \textstyle 11 i \textstyle 13.

Úloha 3. + skrytý text
V zápisu čísla zkus použít co nejvíc devítek.

Úloha 4. + skrytý text
Všimni si, že body \textstyle B, \textstyle C, \textstyle H a \textstyle I leží na kružnici.

Úloha 5. + skrytý text
Dokresli střed jedné úhlopříčky a uvaž střední příčky, které tím vzniknou.

Úloha 6. + skrytý text
Dvakrát si rozepiš rekurenci a potom rozlož na součin.

Úloha 7. + skrytý text
Nahlédni, že \textstyle f musí být 3-periodická.+ skrytý text
Vyjádři dvěma způsoby \textstyle ((p-1)!)^3.

Úloha 8. + skrytý text
Vyřeš zvlášť případ, kdy jedno z prvočísel je \textstyle 2.+ skrytý text
Pokud jsou obě prvočísla lichá, najdi spor pomocí 2-valuace rozdílu \textstyle p-q a řádů dvojky modulo \textstyle p a \textstyle q.
Áďa | org | 9. 2. 2022 11:38:55
Ahoj! Nepochybně i Ty netrpělivě vyhlížíš hinty k 1. jarní a 2. seriálové sérii. Zde jsou:
1j
Úloha 1. + skrytý text
Zkus párovat vybarvené a nevybarvené trojúhelníčky.

Úloha 2. + skrytý text
Chytře vyjádři \textstyle -k^2+(k+1)^2.

Úloha 3. + skrytý text
Spočítej počet průsečíků.

Úloha 4. + skrytý text
Podívej se, kde může být n a n-1. Dokaž rekurenci.

Úloha 5. + skrytý text
Podívej se na rozdíl osamělosti sousedů.

Úloha 6. + skrytý text
Seřaď stromy podle výšky.

Úloha 7. + skrytý text
Přičti ke všem rovnicím 1. Nově získané rovnice vynásob. Použij AG nerovnost.

Úloha 8. + skrytý text
Uprav na \textstyle \frac{1}{n-1}\leq \sum\frac{x_i^2}{1-a_i}.+ skrytý text
Použij Cauchy-Schwarzovu nerovnost.


2s
Úloha 1. + skrytý text
Použij indukci na \textstyle n.+ skrytý text
V základním kroku ukaž, že rovnost platí pro \textstyle n=1 a všechna \textstyle k neboli \textstyle P(1,k), v indukčním kroku ukaž implikaci \textstyle P(N,k) \implies P(N+1, k) pro všechna \textstyle k.

Úloha 2. + skrytý text
Pro první, druhý i třetí vztah použij indukci podle \textstyle r. Nezapomeň zmínit, kde používáš vlastnosti již dříve dokázané v seriálu (např. komutativita násobení).

Úloha 3. + skrytý text
Přenásob \textstyle y_{n+1} číslem \textstyle (x_1 + x_2) a použij Vietovy vztahy.
Áďa | org | 12. 1. 2022 20:06:27
Lámeš si stále hlavu nad některými úložkami ze 4. podzimní série? Nová várka hintů Ti spěchá na pomoc.
Úloha 1. + skrytý text
Součet stupňů je menší než stupeň součtu.

Úloha 2. + skrytý text
Rozlož polynom na součin.

Úloha 3. + skrytý text
\textstyle a-b \mid P(a) - P(b)

Úloha 4. + skrytý text
\textstyle P(x) = a_n \cdot (x-x_1) \cdot \dots \cdot (x-x_n)

Úloha 5. + skrytý text
Ze zadaného vztahu zjisti součet \textstyle a_1+a_2+\dots+a_n. + skrytý text
Pro \textstyle n>2 zjisti součet \textstyle a_i\cdota_j pro všechna \textstyle i, j, případ \textstyle n\leq2 rozeber zvlášť.

Úloha 6. + skrytý text
Podívej se na stupně polynomů. Ukaž, že P má kořen v 0.

Úloha 7. + skrytý text
\textstyle P(n) nemůže mít velkého dělitele menšího než \textstyle n.+ skrytý text
\textstyle P(a) bude nutně dělit i nějaké další \textstyle P(n).

Úloha 8. + skrytý text
Na lichých mocninách nezáleží.+ skrytý text
\textstyle a=-b \pmod{a+b}+ skrytý text
Pokud máš víc než jeden člen se sudou mocninou, vyděl vhodnou mocninou \textstyle b a polož rovnost.
Kateřina Panešová | org | 8. 12. 2021 18:49:36
Zdravím všechny příznivce hintů 3. podzimní a 1. seriálové série!
3p
Úloha 1. + skrytý text
Vytvořte dlouhý rovnoběžník a poté na něj postupně přidávejte zuby.

Úloha 2. + skrytý text
Vyberte průměr, a poté libovolný ze zbylých vrcholů. Vyřeště kvadratickou rovnici.

Úloha 3. + skrytý text
1,4,5,2,3,6

Úloha 4. + skrytý text
Dokresli úsečku \textstyle AE a vyčísli úhly. + skrytý text
Ukaž, že trojúhelník \textstyle AXE je rovnoramenný.

Úloha 5. + skrytý text
Uvažujte cykly vzniklé přeskakováním vždy o \textstyle k vrcholů doprava. Všimněte si, že rozdíl počtu dvojic červených vrcholů po sobě a modrých vrcholů po sobě je roven rozdílu počtu červených a modrých vrcholů v cyklu.

Úloha 6.+ skrytý text
Ukažte, že kružnice se středem v A a poloměrem \textstyle 1 se dotýká úsečky \textstyle EF. (Např. pomocí překlopení bodu \textstyle B podél \textstyle AE a \textstyle C podél \textstyle AF.)

Úloha 7. + skrytý text
Podívejte se na středové úhly jednotlivých tětiv kružnice. Musí být po dvou různé a dva vedlejší musí mít vždy celočíselný průměr.+ skrytý text
Pro \textstyle n=20 lze udělat konstrukce, pro \textstyle n=19 musíme volit celočíselné velikosti jednotlivých úhlů a do plného úhlu \textstyle 360 se nemůžou vejít.

Úloha 8. + skrytý text
Uvažujte cestičky vytvořené paralelním přesouváním úseček délky jedna podél dlaždiček libovolného dláždění. + skrytý text
Každé dvě cestičky, které nemají stejně orientované úsečky, se protínají právě na jednom místě a jednoznačně určují typ dlaždičky. Počet cestiček různých typů nezávisí na vydláždění.

1s
Úloha 1. + skrytý text
Indukce na n=počet prvků S.

Úloha 2. + skrytý text
Silná indukce pro n větší než 10, které zapiš jako 10a+b.

Úloha 3. + skrytý text
Ukaž, že pro sudý počet palačinek otočených spálenou stranou vyhrát nemůže, a naopak zkonstruuj strategii, podle které vyhraje, pokud je palačinek otočených spálenou stranou nahoru lichý počet. Silná indukce.
Kateřina Panešová | org | 7. 10. 2021 09:56:12
Ahoj! Jistě již netrpělivě očekáváte hinty k 1. podzimní sérii! Pro nové řešitele: Po termínu odeslání zveřejňujeme malé nápovědy k soutěžním úlohám, takže si můžete zkusit vyřešit i úlohy, u kterých jste si nevěděli rady :)
Umění
Úloha 1. + skrytý text
Opačná úhlopříčka

Úloha 2. + skrytý text
Slož dvě osové souměrnosti.

Úloha 3. + skrytý text
Nejbližší dva body

Úloha 4. + skrytý text
Vietovy vztahy a mocnost

Úloha 5. + skrytý text
8 a 7 nefungují; 5 a 6 nelze použít zároveň

Úloha 6. + skrytý text
Přesubstituuj do částečných součtů.

Úloha 7. + skrytý text
Dokresli středy BC a MK.

Úloha 8. + skrytý text
Dokresli přes trojúhelníky větší útvary, které se stále nebudou překrývat. + skrytý text
Rozšiř na šestiúhelník tak, aby se ani žádné dva šestiúhelníky nepřekrývaly.
Dominik Stejskal | org | 13. 5. 2021 03:36:46
Než dojde další ročník ke svému konci, je tu ještě jedna várka hintů ke 4. jarní sérii. :)

Úloha 1.
(a) + skrytý text
Ukaž, že body \textstyle M, \textstyle E, \textstyle C a \textstyle F leží na jedné kružnici.

(b) + skrytý text
Překlop body \textstyle B a \textstyle D po řadě podle úseček \textstyle AE a \textstyle AF a označ obrazy \textstyle B, \textstyle D. Ukaž, že \textstyle A, \textstyle B, \textstyle D leží na přímce a \textstyle B je rovnoběžník. + skrytý text
V rovnoběžníku se půlí úhlopříčky. Následně hledej shodné trojúhelníky.

Úloha 2.
(a) + skrytý text
V pravoúhlém trojúhelníku je poloměr kružnice vepsané = (odvěsna + odvěsna - přepona) / 2.

(b) + skrytý text
Rozděl vyhovující permutace na skupinky po \textstyle p^2. + skrytý text
Pokud \textstyle (a_1, a_2, \dots, a_p) vyhovuje, pak vyhovují i permutace tvaru \textstyle (a_{1 + 1}, a_{2 + 1}, \dots, a_{p + 1}) a \textstyle (a_1 + 1, a_2 + 1, \dots, a_p + 1), kde \textstyle p + 1 = 1. + skrytý text
Rozmysli si, že opakovanou aplikací tohoto algoritmu lze dostat přesně permutace tvaru \textstyle (a_{1 + k} + \ell, a_{2 + k} + \ell, \dots, a_{p + k} + \ell), kde \textstyle k, \ell \in \{0, 1, \dots, p - 1 \} a všechny indexy a hodnoty bereme modulo \textstyle p mezi \textstyle 1 a \textstyle p. Takto vyrobíme spoustu disjunktních skupinek vyhovujících permutací, které jsou velké nejvýše \textstyle p^2. Které z nich jsou menší než \textstyle p^2? + skrytý text
Ukaž, že to jsou přesně permutace s konstantní diferencí \textstyle d = a_{i + 1} - a_i pro všechna \textstyle i \in \{2, 3, \dots, p\}.

Úloha 3.
(a) + skrytý text
Podívej se na cestu mezi políčky s čísly \textstyle 1 a \textstyle n^2.

(b) + skrytý text
Kolik je kostiček potřeba k tomu, aby se už další nedala přiložit do jednoho čtverce \textstyle 4\times 4?

Úloha 4.
(a) + skrytý text
\textstyle XY prochází středem čtverce.

(b) + skrytý text
Uvažme nejmenší kruh obsahující všechny body. Můžou všechny body na okraji být součástí jedné půlkružnice?

Úloha 5.
(a) + skrytý text
V některou hodinu budou u trezoru 3 orgové. + skrytý text
Jednoho z nich lze propustit.

Úloha 6.
(a) + skrytý text
Velká prvočísla by bylo potřeba spárovat s jedničkou. + skrytý text
Jde zařídit 12 celočíselných zlomků.

(b) + skrytý text
Jde to pro všechna \textstyle n. Konstruuj \textstyle n-tici induktivně. + skrytý text
Přidej nulu a ke všemu přičti vhodné číslo.

Úloha 7.
(a) + skrytý text
\textstyle MN je těžnice v \textstyle ANB i \textstyle CMD.

(b) + skrytý text
Chceš dokázat \textstyle \frac{|AX|}{|AY|}=\frac{|BX|}{|BY|}. + skrytý text
\textstyle XY a společné tečny z bodů \textstyle A, \textstyle B se protínají v jediném bodě \textstyle T.
Kateřina Panešová | org | 14. 4. 2021 10:39:28
Dvojitá dávka čerstvých hintů k 3. jarní a 3. seriálové sérii!

Úloha 1.+ skrytý text
Rovnoramenný trojúhelník. + skrytý text
Úhel \textstyle 120^\circ.

Úloha 2.+ skrytý text
Spočítej celkový počet stran trojúhelníků na obvodu n-úhelníku.

Úloha 3.+ skrytý text
Uvaž trojúhelníky o straně dva.

Úloha 4.+ skrytý text
\textstyle BI, \textstyle CI jsou výšky v trojúhelníku \textstyle BCM.

Úloha 5.+ skrytý text
Vyúhli, že trojúhelníky \textstyle ACK a \textstyle DEL jsou shodné.+ skrytý text
Využij úsekové úhly.

Úloha 6.+ skrytý text
\textstyle O leží na \textstyle AX.+ skrytý text
\textstyle OO_1 i \textstyle CX jsou kolmé na \textstyle XY.

Úloha 7.+ skrytý text
Dokresli \textstyle K průsečík \textstyle DF a \textstyle \omega.+ skrytý text
Trojúhelníky \textstyle KBC a \textstyle ANM jsou podobné s SUS.

Úloha 8.+ skrytý text
Počítejte obsah doplňku trojúhelníku \textstyle CPQ vzhledem ke kosočtverci \textstyle ABCD.+ skrytý text
Ukažte, že hledaná nezávislost je ekvivalentní tomu, že hodnota \textstyle |AP|*|BQ| nezávisí na poloze \textstyle P.+ skrytý text
Překlopte body \textstyle P, \textstyle Q podle úsečky \textstyle AB na body \textstyle P, \textstyle Q.+ skrytý text
Ukažte, že body \textstyle P, \textstyle Q, \textstyle P, \textstyle Q a střed \textstyle O kosočtverce \textstyle ABCD leží na jedné kružnici.+ skrytý text
\textstyle O je Švrčkův bod trojúhelníku \textstyle PQP.+ skrytý text
Nezávislost prokažte pomocí mocnosti z \textstyle A.


Úloha 1.+ skrytý text
Nejprve vyřeš prvočíselné mocniny, potom použij Čínskou zbytkovou větu.

Úloha 2.+ skrytý text
Zkus jako prvky krutopřísné posloupnosti použít 1 a prvočíslo p.+ skrytý text
Pro důkaz ireducibility se na to podívej mod p.

Úloha 3.+ skrytý text
3. Zvol \textstyle z = \phi(x).+ skrytý text
Použij \textstyle x-a \mid f(x)-f(a).
Dominik Stejskal | org | 13. 3. 2021 23:37:52
Nové hinty ke druhé jarní sérii jistě pomůžou rozbít i ty odolnější úlohy...

Úloha 1. + skrytý text
Co umíš říct o a + b + c?

Úloha 2. + skrytý text
Šimpanzovi naproti Radečkovi dej co nejvíce banánů.

Úloha 3. + skrytý text
Rozlož povrch čtyřstěnu na síť. + skrytý text
Nahlédni, že Pavel si nepomůže přecházením přes více hran.

Úloha 4. + skrytý text
Rozdíl základů pátých mocnin by musel dělit p.

Úloha 5. + skrytý text
V kolika takových dvojicích je na začátku každá karta?

Úloha 6. + skrytý text
Počítej modulo d-1.

Úloha 7. + skrytý text
Čísla lze vydělit jejich společným dělitelem. + skrytý text
Dívej se na čísla modulo 2. Co se stane po dvou krocích?

Úloha 8. + skrytý text
Vyhovují právě dvojice splňující p = q \neq 2 . + skrytý text
Zkoumej řád 2p^2 - 1 modulo p+q.
Lenka Kopfová | org | 25. 2. 2021 18:42:36
Ahoj,
pokud chceš potrénovat před celostátkem nebo si jen započítat pro radost je zde nová série TRiKSka http://iksko.org/triks/current.php. Pokud nevíš, co je TRiKS, můžeš se kouknout do pravidel pro bližší info http://iksko.org/triks/pravidla.pdf. Navíc máme exkluzivní nabídku - vítěz každého dalšího TRiKS získá TRiKS šátek!
Lenka Kopfová | org | 23. 2. 2021 14:50:01
Řešení 9:
+ skrytý text

Uvažujme stejnolehlosti z bodů P, Q, které zobrazují k_1 resp. k_2 na k. První stejnolehlost zobrazuje A\mapsto M, D\mapsto N a druhá zobrazuje B\mapsto M, C\mapsto N. Tedy platí AD\parallel MN\parallel BC. Dále si všimněme, že XY je chordála kružnic k_1, k_2, tedy |MA|\cdot |MP| = |MB|\cdot |MQ|, takže APQB je tětivový. Obdobně i DPQC je tětivový. Odtud |\sphericalangle BCD| = 180^{\circ} - |\sphericalangle QCB|-|\sphericalangle DCN| = 180^{\circ} - |\sphericalangle QNM|-|\sphericalangle NPQ| = 180^{\circ} - |\sphericalangle QNM|-|\sphericalangle NMQ| = |\sphericalangle NQM|. Jinak řečeno CD je tečna k_2 (tedy i ke k_1) a obdobně AB je společná tečna k_1,k_2. Takže |\sphericalangle BCD|=|\sphericalangle MQN| = 180^{\circ}-|\sphericalangle MPN| = 180^{\circ}-|\sphericalangle BAD|, tedy ABCD je tětivový, navíc AD\parallel BC, takže se jedná o rovnoramenný lichoběžník a |AB|=|CD|.

10:
Dokaž, že pro každé přirozené číslo n platí:
(2n^{2}+3n+1)^{n}\geq 6^{n}(n!)^2
<< < 1 2 ... 35 36 > >>

Kontakt

email info (zavináč) prase.cz
pošta Korespondenční seminář
KAM MFF UK
Malostranské náměstí 25
118 00   Praha 1

Organizátoři

mff

Matematický korespondenční seminář je organizovaný studenty Matematicko-fyzikální fakulty UK pod záštitou Informatického ústavu UK a Oddělení propagace a mediální komunikace MFF UK.

Partneři

pix
Realizace projektu byla podpořena Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy