Matematický korespondenční seminář

Jak funguje přepočítávání bodů pomocí koeficientu?

Výchozí hodnotu koeficientu můžeš spočíst pomocí vzorce k' = (r-1) + (2z/450), kde r je ročník (přepočítaný tak, aby odpovídal čtyřletému gymnáziu, studenti a žáci plníci povinnou školní docházku mají 1/2) a z je počet bodů, které jsi získal během předchozích ročníků. Jelikož výsledný koeficient je vždy číslo z intervalu ⟨-1/2, 6⟩, výsledný koeficient se položí k = min(k', 6).

Každou úlohu ohodnotíme komplexním číslem ve tvaru (x+yi), kde x vyjadřuje počet bodů a y počet bodů imaginárních. Označíme-li b součet bodů za příklady, za něž se ti započítávají body, spočteme hrubý bodový zisk jako h' = Re(b) + (2-√3)Im(b). Jelikož by toto číslo mohlo být teoreticky záporné nebo větší, než je maximální počet bodů za sérii (označíme ho s, běžně je s = 25), "ořízneme" výchozí hodnotu do tohoto intervalu: h = 0, pokud je h' záporné; h = s, pokud je h' > s; h = h' jindy.

Předpokládejme dále, že k < 3. Pro další výpočet bude podstatné číslo t definované jako t = s[1 + √3 tg(kπ/6)]/2. Hledaný výsledný bodový zisk za sérii (což už je číslo, které se udává ve výsledkové listině) pak dostaneme podle vztahu v = √[t² + (s+t)² - (s+t-h)²] - t.

Jak toto číslo interpretovat geometricky? Uvažujme v rovině čtverec ABCD o straně s. Na přímku BD vyneseme bod S ve vzdálenosti √2 t od bodu B, přičemž celá úsečka BS je vně čtverce. Dále nechť je dána kružnice l o středu S a procházející body A a C. Na úsečce AB najdeme bod X takový, že |AX| = h, a povedeme jím kolmici p (p ⊥ AB). Kružnice l a přímka p se protnou ve dvou bodech, ten uvnitř čtverce označíme Y. Výsledný bodový zisk za sérii je v = |XY|.

V případě, že k > 3, postupujeme takto: číslo t se nyní zvolí jako t = s[1 + √3 tg((6-k)π/6)] a výsledný bodový zisk je v = s - √[t² + (s+t)² - (t+h)²] + t. Tento vzorec lze interpretovat tak, že kružnice l je obrazem kružnice získané dle postupu uvedeného výše pro koeficient 6-k v osové souměrnosti podle osy AC, jinak zůstává postup stejný.

Nakonec zbývá případ k = 3 - tehdy je prostě v = h. Lze si to představit tak, že střed S je "v nekonečnu", tudíž se kružnice změnila na přímku AC.

Tento flash umožňuje spočíst bodový zisk za sérii, navíc demonstruje geometrický význam výpočtu.