Vejtek | 13. 5. 2011 19:17:20
Ha, pěkný trik, který ani wolfram neumí!
PS:![5+3\sqrt{2} 5+3\sqrt{2}](https://prase.cz/chat/texmaker.php?tex=5%2B3%5Csqrt%7B2%7D&hash=d2fc0025b87bd193bbbf)
PS:
Pepa T. | 13. 5. 2011 13:18:24
Haha, našel jsem dobrou legrácku, tak se o ní nemůžu nepodělit :).
![\sum_{n=1}^{49} \frac{1}{\sqrt{n+\sqrt{n^2-1}}}=? \sum_{n=1}^{49} \frac{1}{\sqrt{n+\sqrt{n^2-1}}}=?](https://prase.cz/chat/texmaker.php?tex=%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B49%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bn%2B%5Csqrt%7Bn%5E2-1%7D%7D%7D%3D%3F&hash=9123cc369b6270247499)
Za správný výsledek je čest a sláva, ale nepište postup, ať to neprokecnete ostatním :).
Za správný výsledek je čest a sláva, ale nepište postup, ať to neprokecnete ostatním :).
Štěpán | 11. 5. 2011 14:05:27
Olin: no to sice jo, ale to už je jen jednoduchá finta...
Mirek: nevím, jestli je platnost oné věty opravdu očividná, každopádně i kdyby byla, tak to neznamená, že je úloha lehká, protože se ještě člověk musí vydat tímto směrem...
Mirek: nevím, jestli je platnost oné věty opravdu očividná, každopádně i kdyby byla, tak to neznamená, že je úloha lehká, protože se ještě člověk musí vydat tímto směrem...
Olin | 11. 5. 2011 12:21:32
Mirek, Štěpán: Samozřejmě je zapotřebí to ještě trochu poupravit, protože Ramseyovka nám neříká, jakou "barvu" ta klika bude mít, zatímco v zadání je "barva" už stanovena.
Miroslav Olšák | 10. 5. 2011 22:05:00
Štěpán: Když myslíš... Ale jestli je platnost oné věty i její použití očividné, tak jak to, že to byla tak nezdolatelná úloha? Jinak, Anička Zavadilová prý to 4b vyřešila, tak jsem zvědavý.
Kenny | 10. 5. 2011 21:33:17
A vítězí Tondaaa, který tak vyřešil jedničku z amerického celostátka 2011!
Ale orgové se nenechávají zahanbit a vypisují druhou výzvu platnou do dnešní půlnoci!
Součet reálných čísel
je 0. Dokažte, že platí
![\dfrac{x(x+2)}{2x^2+1}+\dfrac{y(y+2)}{2y^2+1}+\dfrac{z(z+2)}{2z^2+1}\ge 0 \dfrac{x(x+2)}{2x^2+1}+\dfrac{y(y+2)}{2y^2+1}+\dfrac{z(z+2)}{2z^2+1}\ge 0](https://prase.cz/chat/texmaker.php?tex=%5Cdfrac%7Bx%28x%2B2%29%7D%7B2x%5E2%2B1%7D%2B%5Cdfrac%7By%28y%2B2%29%7D%7B2y%5E2%2B1%7D%2B%5Cdfrac%7Bz%28z%2B2%29%7D%7B2z%5E2%2B1%7D%5Cge+0&hash=ded6b2d7de4fc6e1090a)
a najděte všechny případy, kdy nastává rovnost.
Dá to někdo za dvě a půl hodiny?
Ale orgové se nenechávají zahanbit a vypisují druhou výzvu platnou do dnešní půlnoci!
Součet reálných čísel
a najděte všechny případy, kdy nastává rovnost.
Dá to někdo za dvě a půl hodiny?
Tonda | 10. 5. 2011 20:50:48
Ahojte,
Nejprve podmínku opravíme na:
![a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\leq2 a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\leq2](https://prase.cz/chat/texmaker.php?tex=a%5E2%2Bb%5E2%2Bc%5E2%2Bab%2Bbc%2Bca%5Cleq2&hash=1a7dda0173f45e9b4bb4)
Dále celou nerovnost vynásobíme dvěma a po odečtení 3 od každé strany (od každého zlomku 1 )dostaneme ekvivalentní nerovnost
![\displaystyle\sum_{cyclic}\frac{2ab+2-(a+b)^2}{(a+b)^2}\geq 3 \displaystyle\sum_{cyclic}\frac{2ab+2-(a+b)^2}{(a+b)^2}\geq 3](https://prase.cz/chat/texmaker.php?tex=%5Cdisplaystyle%5Csum_%7Bcyclic%7D%5Cfrac%7B2ab%2B2-%28a%2Bb%29%5E2%7D%7B%28a%2Bb%29%5E2%7D%5Cgeq+3&hash=d83961000de5cf61a243)
Nyní použijeme podmínku na pravou stranu
![\displaystyle\sum_{cyclic}\frac{2ab+2-(a+b)^2}{(a+b)^2}\geq\displaystyle\sum_{cyclic}\frac{2ab+a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca-(a+b)^2}{(a+b)^2}=\displaystyle\sum_{cyclic}\frac{c^2+ab+bc+ab}{(a+b)^2}=\sum_{cyclic}\frac{(c+a)(c+b)}{(a+b)^2} \displaystyle\sum_{cyclic}\frac{2ab+2-(a+b)^2}{(a+b)^2}\geq\displaystyle\sum_{cyclic}\frac{2ab+a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca-(a+b)^2}{(a+b)^2}=\displaystyle\sum_{cyclic}\frac{c^2+ab+bc+ab}{(a+b)^2}=\sum_{cyclic}\frac{(c+a)(c+b)}{(a+b)^2}](https://prase.cz/chat/texmaker.php?tex=%5Cdisplaystyle%5Csum_%7Bcyclic%7D%5Cfrac%7B2ab%2B2-%28a%2Bb%29%5E2%7D%7B%28a%2Bb%29%5E2%7D%5Cgeq%5Cdisplaystyle%5Csum_%7Bcyclic%7D%5Cfrac%7B2ab%2Ba%5E2%2Bb%5E2%2Bc%5E2%2Bab%2Bbc%2Bca-%28a%2Bb%29%5E2%7D%7B%28a%2Bb%29%5E2%7D%3D%5Cdisplaystyle%5Csum_%7Bcyclic%7D%5Cfrac%7Bc%5E2%2Bab%2Bbc%2Bab%7D%7B%28a%2Bb%29%5E2%7D%3D%5Csum_%7Bcyclic%7D%5Cfrac%7B%28c%2Ba%29%28c%2Bb%29%7D%7B%28a%2Bb%29%5E2%7D&hash=5d2347613529a478b593)
Po použití přimého AG na výše uvedený výraz dostaneme, že výraz je větší než 3, což chceme dokázat a celý postup můžeme obrátit, aproto náš důkaz platí. Rovnost nastane, právě tehdy, když nastane rovnost v posledním AG a při rovnosti v podmínce, aproto není těžké dopočítat, že to je:![a=b=c=\frac{1}{\sqrt3} a=b=c=\frac{1}{\sqrt3}](https://prase.cz/chat/texmaker.php?tex=a%3Db%3Dc%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt3%7D&hash=cad2d4d2073e5448c34b)
Nejprve podmínku opravíme na:
Dále celou nerovnost vynásobíme dvěma a po odečtení 3 od každé strany (od každého zlomku 1 )dostaneme ekvivalentní nerovnost
Nyní použijeme podmínku na pravou stranu
Po použití přimého AG na výše uvedený výraz dostaneme, že výraz je větší než 3, což chceme dokázat a celý postup můžeme obrátit, aproto náš důkaz platí. Rovnost nastane, právě tehdy, když nastane rovnost v posledním AG a při rovnosti v podmínce, aproto není těžké dopočítat, že to je:
Kenny | 10. 5. 2011 19:44:54
A já hned přidám jednu lehkou úlohu z celkem aktuální soutěže! Takže, řešitelé, pokud ji nevyřešíte do dnešní půlnoci (sem na chat), jste pěkné lamy! Tak dotoho!
Kladná reálná čísla
splňují ![a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2\leq4 a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2\leq4](https://prase.cz/chat/texmaker.php?tex=a%5E2%2Bb%5E2%2Bc%5E2%2B%28a%2Bb%2Bc%29%5E2%5Cleq4&hash=bfe37b42f57fd1defae5)
Dokažte, že
![\frac{ab+1}{(a+b)^2}+\frac{bc+1}{(b+c)^2}+\frac{ca+1}{(c+a)^2}\geq 3. \frac{ab+1}{(a+b)^2}+\frac{bc+1}{(b+c)^2}+\frac{ca+1}{(c+a)^2}\geq 3.](https://prase.cz/chat/texmaker.php?tex=%5Cfrac%7Bab%2B1%7D%7B%28a%2Bb%29%5E2%7D%2B%5Cfrac%7Bbc%2B1%7D%7B%28b%2Bc%29%5E2%7D%2B%5Cfrac%7Bca%2B1%7D%7B%28c%2Ba%29%5E2%7D%5Cgeq+3.&hash=b1307860e489042f345f)
A přidám ještě drobnou motivaci. S Pavlem se chystáme vydat náš loňský seriál jako samostatnou brožurku, tak můžeme vítězi slíbit, že dostane podepsané vydání :P
Kladná reálná čísla
Dokažte, že
A přidám ještě drobnou motivaci. S Pavlem se chystáme vydat náš loňský seriál jako samostatnou brožurku, tak můžeme vítězi slíbit, že dostane podepsané vydání :P
Štěpán | 10. 5. 2011 19:01:46
to je v podstatě spíš řešení než hint, ne? :D
Miroslav Olšák | 10. 5. 2011 00:55:52
Velká cena 4b) byla nepokořena. Nechce-li se vám čekat na vzoráky, můžete ji zkusit vyřešit s hintem: Ramseyova věta říká, že pokud obarvíme hrany nekonečného úplněho grafu konečně mnoha barvami, pak bude existovat nekonečná jednobarevná klika (úplný podgraf).
Pepa T. | 10. 5. 2011 00:54:20
Ahojte,
Tam ta da dá, tímto uzavírám soutěž o velké ceny. Výsledky jsou na http://mks.mff.cuni.cz/velkeceny.php. Pokud se vám nechce čekat na vzorová řešení, nebo chcete k některým úlohám hinty, tažte se :). A komu se nezadařilo, nemusí plakat, brzy si zase dáme nějakou tlustou úlohu :).
Tam ta da dá, tímto uzavírám soutěž o velké ceny. Výsledky jsou na http://mks.mff.cuni.cz/velkeceny.php. Pokud se vám nechce čekat na vzorová řešení, nebo chcete k některým úlohám hinty, tažte se :). A komu se nezadařilo, nemusí plakat, brzy si zase dáme nějakou tlustou úlohu :).
Kenny | 3. 5. 2011 15:57:42
Roznásobíme a jako obvykle sečteme cyklické AG nerovnosti.
Konkrétně
![(a^4+b^2c^2) + \frac12 (a^2b^2+a^2c^2) \buildrel AG \over\geq 2a^2bc + a^2bc = 3a^2bc. (a^4+b^2c^2) + \frac12 (a^2b^2+a^2c^2) \buildrel AG \over\geq 2a^2bc + a^2bc = 3a^2bc.](https://prase.cz/chat/texmaker.php?tex=%28a%5E4%2Bb%5E2c%5E2%29+%2B+%5Cfrac12+%28a%5E2b%5E2%2Ba%5E2c%5E2%29+%5Cbuildrel+AG+%5Cover%5Cgeq+2a%5E2bc+%2B+a%5E2bc+%3D+3a%5E2bc.&hash=ccdf39229ba439230726)
Sečtením tří analogických nerovností skutečně získáme výsledek.
Konkrétně
Sečtením tří analogických nerovností skutečně získáme výsledek.
BakyX | 3. 5. 2011 15:02:29
Ehm..Má tam byť b^2. Prepáčte.
BakyX | 3. 5. 2011 15:01:22
Ahojte..Potreboval by som pomoc pri riešení úlohy zo seriálu Nerovnosti. Je z témy Sčítanie AG. V nerovnostiach som začiatočník a veľmi mi nejdú. Ďakujem za pomoc. Čísla a,b,c sú kladné celé čísla:
![(a^2+b^2+c^2)^2 \ge 3(a^2 bc + b^3 ac + c^2 ab) (a^2+b^2+c^2)^2 \ge 3(a^2 bc + b^3 ac + c^2 ab)](https://prase.cz/chat/texmaker.php?tex=%28a%5E2%2Bb%5E2%2Bc%5E2%29%5E2+%5Cge+3%28a%5E2+bc+%2B+b%5E3+ac+%2B+c%5E2+ab%29&hash=f736fb93c4d1e72b555f)
Kenny | 1. 5. 2011 18:58:02
Tak já si pojistím vedení v počtu příspěvků v matematické sekci a sdělím, že jsem doplnil seznam doporučené literatury v matematickém rozcestníku o jména autorů.
Mrkněte na http://mks.mff.cuni.cz/MO.php
Mrkněte na http://mks.mff.cuni.cz/MO.php
zyxcba | 29. 4. 2011 23:25:51
Vážená AG na číslech (x/a), (y/b), (z/c) s váhama a,b,c:
![\frac{x+y+z}{a+b+c}\ge\sqrt[a+b+c]{(\frac{x}a)^a(\frac{y}b)^b(\frac{z}c)^c} \frac{x+y+z}{a+b+c}\ge\sqrt[a+b+c]{(\frac{x}a)^a(\frac{y}b)^b(\frac{z}c)^c}](https://prase.cz/chat/texmaker.php?tex=%5Cfrac%7Bx%2By%2Bz%7D%7Ba%2Bb%2Bc%7D%5Cge%5Csqrt%5Ba%2Bb%2Bc%5D%7B%28%5Cfrac%7Bx%7Da%29%5Ea%28%5Cfrac%7By%7Db%29%5Eb%28%5Cfrac%7Bz%7Dc%29%5Ec%7D&hash=9dda58204dda725b2f30)
abcxyz | 29. 4. 2011 20:18:07
Ahoj, chtěl bych se zeptat, jak vyřešit tuto nerovnost
Prý by na to měla stačit AG.
díky
díky
Kenny | 27. 4. 2011 15:00:28
Upozorňuji všechny fanoušky teorie čísel, že se na mathlinks objevil článek k takzvanému "Lifting exponent lemma", což je úplně krutá technika, jak si ušetřit spoustu práce v těžkých úlohách z teorie čísel!
Článek najdete na adrese http://www.artofproblemsolving.com/Forum/view...
Článek najdete na adrese http://www.artofproblemsolving.com/Forum/view...
Kenny | 25. 4. 2011 21:38:59
A velkou cenu 2b již pokořil i Štěpán!
Odměnou mu, krom příslušného dílu čokolády, budiž i to, že obsadil první příspěvek v matematické sekci nového chatu!
Odměnou mu, krom příslušného dílu čokolády, budiž i to, že obsadil první příspěvek v matematické sekci nového chatu!