Chat Prasátek

Matematická sekce

Pepa T. | 22. 5. 2011 23:41:27

Jinak Myšmaš byl letos fakt docela masakr... Smekám před všemi jedenácti hrdiny, kteří zvládli alespoň jednu úlohu vyřešit na alespoň čtyři body! Takhle náročný byl myšmaš naposledy před pěti lety (tj. ve 25. ročníku). Zájemcům doporučuju obzvláště tehdejší pětku a sedmičku ;).

Štěpán | 19. 5. 2011 18:32:45

jo, stačilo, děkuju

Pepa T. | 18. 5. 2011 23:43:38

Věnuju dokonce (byť schematický) popis řešení: Dokresli připsiště $E_b$ , $E_c$ trojúhelníka $ABC$ vzhledem k $B$ a $C$ a ukaž, že kružnice opsaná $PIQ$ je vlastně kružnicí opsanou $E_bIE_c$ (přímka $DE$ je chordála). A pak si už jen vzpomeň na Feuerbachovu kružnici :). Stačilo? Nebo ještě?

Tonda | 18. 5. 2011 18:58:05

Štěpán: No už vím jak se dělá 3b, dám ti hint jestli chceš :)

Štěpán | 18. 5. 2011 18:33:55

Pepo, nechceš věnovat nějaký hint k 3b?

pavel | 18. 5. 2011 13:15:38

Ja teda nevim, ktery z tech kroku presne wolfram neumi. Nejspis asi proste neumi zkombinovat vsechny tri, ale kazdopadne
$\sum_{n=1}^{49} \sqrt{n-\sqrt{n^2-1}}$
uz zvladne :) (http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum_{n%3...)

Pepa T. | 17. 5. 2011 19:04:49

Tak ať tu ta úloha nesmrdí tak dlouho, tak já popíšu tři triky, které se při řešení použijou:

1) Usměrnit zlomek: vynásobit jeho čitatel i jmenovatel výrazem

$\sqrt{n -\sqrt{n^2 - 1}}.$

2) Odmocnit druhou mocninu: např.

$\sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} +1)^2} = \sqrt{3} + 1.$

Tady je to podobné, akorát se přišmelí nějaká $\sqrt{2}$ , aby to vyšlo líp. Pak totiž docela funguje, že $(n+1)\cdot(n-1)=n^2-1$ a $(n+1)+(n-1)=2n$ (tohle je ten krok, který wolfram neumí).

3) Zteleskopovat: Tím se myslí takový ten trik, že

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = (\frac11 - \frac12) + (\frac12 - \frac13) + \dots + (\frac1k - \frac1{k+1}) = \frac{k}{k+1}.$

S tímhle návodem už by to nemělo být náročné ;-).

miso | 16. 5. 2011 17:22:57

kdo bych chtel resit maxima, minima, neco z funkcii najme operacie s funkciami aneb vse co vi nech se ozvi. Dam mu moj ID skype.Najme pre druhakov, tretiakov na strednych skolach.

Mirek Olšák | 13. 5. 2011 22:15:40

Je to tak, taky to uz umim, ale mam pocit, ze Wolfram to v zasade vyresil za mne. Holt v (olympiadni) algebre se tezko hleda Mathematico-vzdorna uloha podobne jako v geometrii geogebro-vzdorna...

Ale poscita se to pekne.

pavel | 13. 5. 2011 20:27:31

Ale po prvnim kroku uz to Wolfram zvladne :-) (pokud nahodou neznate, urcite vyzkousejte http://www.wolframalpha.com/)

Vejtek | 13. 5. 2011 19:17:20

Ha, pěkný trik, který ani wolfram neumí!

PS: $5+3\sqrt{2}$

Pepa T. | 13. 5. 2011 13:18:24

Haha, našel jsem dobrou legrácku, tak se o ní nemůžu nepodělit :).

$\sum_{n=1}^{49} \frac{1}{\sqrt{n+\sqrt{n^2-1}}}=?$

Za správný výsledek je čest a sláva, ale nepište postup, ať to neprokecnete ostatním :).

Štěpán | 11. 5. 2011 14:05:27

Olin: no to sice jo, ale to už je jen jednoduchá finta...
Mirek: nevím, jestli je platnost oné věty opravdu očividná, každopádně i kdyby byla, tak to neznamená, že je úloha lehká, protože se ještě člověk musí vydat tímto směrem...

Olin | 11. 5. 2011 12:21:32

Mirek, Štěpán: Samozřejmě je zapotřebí to ještě trochu poupravit, protože Ramseyovka nám neříká, jakou "barvu" ta klika bude mít, zatímco v zadání je "barva" už stanovena.

Miroslav Olšák | 10. 5. 2011 22:05:00

Štěpán: Když myslíš... Ale jestli je platnost oné věty i její použití očividné, tak jak to, že to byla tak nezdolatelná úloha? Jinak, Anička Zavadilová prý to 4b vyřešila, tak jsem zvědavý.

Kenny | 10. 5. 2011 21:33:17

A vítězí Tondaaa, který tak vyřešil jedničku z amerického celostátka 2011!

Ale orgové se nenechávají zahanbit a vypisují druhou výzvu platnou do dnešní půlnoci!

Součet reálných čísel $x,y,z$ je 0. Dokažte, že platí

$\dfrac{x(x+2)}{2x^2+1}+\dfrac{y(y+2)}{2y^2+1}+\dfrac{z(z+2)}{2z^2+1}\ge 0$

a najděte všechny případy, kdy nastává rovnost.

Dá to někdo za dvě a půl hodiny?

Tonda | 10. 5. 2011 20:50:48

Ahojte,
Nejprve podmínku opravíme na:
$a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\leq2$
Dále celou nerovnost vynásobíme dvěma a po odečtení 3 od každé strany (od každého zlomku 1 )dostaneme ekvivalentní nerovnost
$\displaystyle\sum_{cyclic}\frac{2ab+2-(a+b)^2}{(a+b)^2}\geq 3$
Nyní použijeme podmínku na pravou stranu
$\displaystyle\sum_{cyclic}\frac{2ab+2-(a+b)^2}{(a+b)^2}\geq\displaystyle\sum_{cyclic}\frac{2ab+a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca-(a+b)^2}{(a+b)^2}=\displaystyle\sum_{cyclic}\frac{c^2+ab+bc+ab}{(a+b)^2}=\sum_{cyclic}\frac{(c+a)(c+b)}{(a+b)^2}$
Po použití přimého AG na výše uvedený výraz dostaneme, že výraz je větší než 3, což chceme dokázat a celý postup můžeme obrátit, aproto náš důkaz platí. Rovnost nastane, právě tehdy, když nastane rovnost v posledním AG a při rovnosti v podmínce, aproto není těžké dopočítat, že to je: $a=b=c=\frac{1}{\sqrt3}$

Kenny | 10. 5. 2011 19:44:54

A já hned přidám jednu lehkou úlohu z celkem aktuální soutěže! Takže, řešitelé, pokud ji nevyřešíte do dnešní půlnoci (sem na chat), jste pěkné lamy! Tak dotoho!

Kladná reálná čísla $a,b,c$ splňují $a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2\leq4$

Dokažte, že

$\frac{ab+1}{(a+b)^2}+\frac{bc+1}{(b+c)^2}+\frac{ca+1}{(c+a)^2}\geq 3.$

A přidám ještě drobnou motivaci. S Pavlem se chystáme vydat náš loňský seriál jako samostatnou brožurku, tak můžeme vítězi slíbit, že dostane podepsané vydání :P

Štěpán | 10. 5. 2011 19:01:46

to je v podstatě spíš řešení než hint, ne? :D

Miroslav Olšák | 10. 5. 2011 00:55:52

Velká cena 4b) byla nepokořena. Nechce-li se vám čekat na vzoráky, můžete ji zkusit vyřešit s hintem: Ramseyova věta říká, že pokud obarvíme hrany nekonečného úplněho grafu konečně mnoha barvami, pak bude existovat nekonečná jednobarevná klika (úplný podgraf).

<< < 1 2 ... 34 35 36 > >>

Kontakt

email	info (zavináč) prase.cz
pošta	Matematický korespondenční seminář KAM MFF UK Malostranské náměstí 25 118 00 Praha 1

Organizátoři

Matematický korespondenční seminář je organizovaný studenty Matematicko-fyzikální fakulty UK pod záštitou Informatického ústavu UK a Oddělení propagace a mediální komunikace MFF UK.

Partneři

Realizace projektu byla podpořena Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy

Matematický korespondenční seminář

Kalendář

Z naší fotogalerie

Kontakt

Organizátoři

Partneři