Michal Janík | org | 19. 7. 2022 22:29:35
Řešení 15:
+ skrytý text
Zadání 16:
V rovině leží několik přímek tak, že každá přímka protíná přesně jiných přímek. V závislosti na určete, kolik přímek může v rovině ležet.
+ skrytý text
můžeme zapsat jako . Teď dokážeme, že tyto dvě závorky jsou nesoudělné. Skutečně . Proto (Eukleidův algoritmus). Pokud by ale nějaké prvočíslo dělilo jak , tak , pak by dělilo i a , což je spor s jejich nesoudělností. Tudíž jsou závorky vskutku nesoudělné. Jelikož jejich součin je čtverec, i obě závorky jsou čtverce, tedy skutečně je čtverec.
Zadání 16:
V rovině leží několik přímek tak, že každá přímka protíná přesně jiných přímek. V závislosti na určete, kolik přímek může v rovině ležet.
Erik Ježek | 27. 5. 2022 20:04:00
Řešení 14:
+ skrytý text
Zadání 15:
Mějme přirozená čísla , taková že splňují a čísla jsou nesoudělná. Dokažte že je druhou mocninou přirozeného čísla
+ skrytý text
Když za budeme dosazovat čísla od 0 do , tak dostaneme různých zbytků modulo , protože: Pro spor předpokládejme, že existují různá celá čísla , taková že a dávají stejný zbytek, pak ale musí platit, že dělí a z toho že a jsou různá prvočísla, tak dělí , to ale už znamená , což je spor. Zbývá ukázat, že každý z těchto zbytků je menší než , nebo je prvním větším číslem než tento součin, které dává stejný zbytek modulo jako (proto je v následující nerovnosti na levé straně ), pak bude jistě stačit zvolit nezáporně pro každé . Podmínku stačí ověřit pro nejvyšší , tedy pro , pak chceme dokázat: , což ale triviálně platí a tím jsme hotovi
Zadání 15:
Mějme přirozená čísla , taková že splňují a čísla jsou nesoudělná. Dokažte že je druhou mocninou přirozeného čísla
Patrik Štencel | 22. 5. 2022 23:33:25
Řešení 13:
+ skrytý text
Zadání 14:
Mějme dvě prvočísla . Dokažme, že pro každé lze zapsat jako pro nezáporná celá čísla .
+ skrytý text
Rozdělme si políčka na rohová, okrajová(nepatří do nich rohová) a vnitřní. Rohová mají pouze 2 sousedy, takže nemůže být obarvené. Okrajové má 3 sousedy, takže všichni 3 musí být obarveni. Tabulka je konečná, takže se dostaneme k rohovému políčku, které nemůže být obarvené a tedy ani okrajové nemůže být. Nyní se podívejme na vnitřní políčka. Představme si, že tvoří nějaký mnohoúhelník, kde jeho úhly jsou násobky 90°. Představme si, že nějaký vnitřní úhel má 90°. To by znamenalo, že nějaké políčko má kolem sebe 2 čtverečky. To odporuje zadání, takže jeho jediné vnitřní úhly jsou 180°, 270°,360°(uvnitř). Pokud bychom šli po jeho vnějším obvodu(nepočítáme vnitřní záhyby), mohli bychom sečíst úhly na které narazíme. Pokud bychom brali ty úhly, které nejsou přímé a náš mnohoúhelník by měl n vrcholů, získali bychom tento součet jako n270°. Součet úhlů v mnohoúhelníku je (n-2)180°. Tedy náš útvar nemůže být mnohoúhelník, ale zároveň jediný útvar, který by to mohl být je mnohoúhelník. To je spor a tedy nejde to. (Alternativní metoda by spočívala, že půjdeme po obvodu a vždy budeme zabočovat o 90° na jednu stranu a na druhé straně se bude rozkládat náš obarvený mnohoúhelník. Nyní bychom potřebovali obalit náš mnohoúhelník tím, že uzavřeme jeho obvod. Problém by nastal v tom, že u každého takového uzavření by obarvená část nebyla uvnitř uzavřené části, ale venku(táhla by se do nekonečna/krajů(obojí nejde)).)
Zadání 14:
Mějme dvě prvočísla . Dokažme, že pro každé lze zapsat jako pro nezáporná celá čísla .
Erik Ježek | 22. 5. 2022 20:24:20
Řešení 12:
+ skrytý text
Zadání 13:
Uvažme tabulku s řádky a sloupci. Lze tuto tabulku obarvit, tak aby každé obarvené políčko (existuje aspoň jedno) sousedilo s aspoň 3 jinými obarvenými políčky? (Políčko sousedí s jiným políčkem, pokud mají společnou stranu)
+ skrytý text
Stačí zvolit , , pak rovnost jistě bude platit a jmenovatel zlomku bude vždy vyšší než 0 (z přirozenosti ).
Zadání 13:
Uvažme tabulku s řádky a sloupci. Lze tuto tabulku obarvit, tak aby každé obarvené políčko (existuje aspoň jedno) sousedilo s aspoň 3 jinými obarvenými políčky? (Políčko sousedí s jiným políčkem, pokud mají společnou stranu)
Matěj Doležálek | org | 15. 5. 2022 01:05:18
Řešení 11:
+ skrytý text
Zadání 12:
Je dáno přirozené číslo . Dokaž, že lze zvolit přirozená , tak, že .
+ skrytý text
Pojmenujme středy , , jako , , a jejich společný bod označme . Obě , jsou osově souměrné podle , takže jejich druhý průsečík musí být obrazem podle téhle osy -- můžeme tedy alternativně pojmenovat jako . Obdobně mějme , . Zjevně je opsiště trojúhelníku , ukažme, že opsištěm je kolmiště trojúhelníku . Označíme-li jeho obrazy v osových souměrnostech podle stran jako , , , pak máme , což je jen poloměr opsané kružnice , protože leží na kružnici opsané (to je známé). Tím je dokázáno, že je středem kružnice opsané a její poloměr je , což je původní poloměr našich kružnic.
Zadání 12:
Je dáno přirozené číslo . Dokaž, že lze zvolit přirozená , tak, že .
Michal Janík | org | 14. 5. 2022 12:21:45
11:
Kružnice se stejným poloměrem se protínají v jednom bodě. Jejich další průsečíky jsou . Dokažte, že kružnice opsaná má stejný poloměr.
Kružnice se stejným poloměrem se protínají v jednom bodě. Jejich další průsečíky jsou . Dokažte, že kružnice opsaná má stejný poloměr.
Michal Janík | org | 14. 5. 2022 12:18:36
Když už skončil myšmaš, mohli bychom zkusit obnovit maraton, ne? : D
Řešení 10:
+ skrytý text
Řešení 10:
+ skrytý text
Je známé, že , nerovnost ze zadání můžeme upravit na . Navíc . Umocněním na -tou dostáváme přesně to, co jsme chtěli.
Kateřina Panešová | 7. 4. 2022 10:40:15
Ahoj! Jistě se už nemůžeš dočkat dvojité várky hintů, a to ke 3. jarní a 3. seriálové sérii!
Úloha 1. + skrytý text
Úloha 2. + skrytý text
Úloha 3. + skrytý text
Úloha 4. + skrytý text
Úloha 5. + skrytý text
Úloha 6. + skrytý text
Úloha 7. + skrytý text
Úloha 8.+ skrytý text
Úloha 1. + skrytý text
Úloha 2. + skrytý text
Úloha 3. + skrytý text
+ skrytý text
Úloha 1. + skrytý text
Použij mocniny dvojky.
Úloha 2. + skrytý text
Úloha 3. + skrytý text
Modulo 4.
Úloha 4. + skrytý text
Mocni a zbavuj se racionálních čísel.
Úloha 5. + skrytý text
Označ , a vyjádři v a rovnice ze zadání.
Úloha 6. + skrytý text
Dokresli PA a PB a hledej podobné trojúhelníky.
Úloha 7. + skrytý text
Podívej se na cestu délky L a délku cyklu, na němž leží první a poslední vrchol, označ jako K. Ukaž, že existuje cyklus délky alespoň .
Úloha 8.+ skrytý text
Levou stranu zdola odhadni jako , kde a = dolní celá část z .+ skrytý text
Vyluč malé hodnoty pomocí kvadratických zbytků pro vhodnou zbytkovou třídu d mod 20.
Úloha 1. + skrytý text
Rozepiš Eukleidův algoritmus pro a a všechny rovnosti vynásob .
Úloha 2. + skrytý text
Použij Eukleidův algoritmus a všimni si, že Eukleidův algoritmus platí i u exponentů.
Úloha 3. + skrytý text
Všimni si, že součet a+b se zachovává a zároveň jsou obě čísla nezáporná. + skrytý text
Proto to nemůže skončit jinak, než že první číslo je nula a druhé je .
+ skrytý text
Pokud se (a,b) změní na (c,d), tak NSD(c,d) dělí 2*NSD(a,b).+ skrytý text
Na konci tedy musí platit a+b dělí NSD(a,b)*2^k.
Áďa | org | 8. 3. 2022 09:20:28
Vrtá Ti stále hlavou nějaký příklad ze 2. jarní série? Nevěš ramena a prohlédni si hinty:
Úloha 1. + skrytý text
Úloha 2. + skrytý text
Úloha 3. + skrytý text
Úloha 4. + skrytý text
Úloha 5. + skrytý text
Úloha 6. + skrytý text
Úloha 7. + skrytý text
Úloha 8. + skrytý text
Úloha 1. + skrytý text
Zkus za většinu hledaných čísel zvolit jedničku.
Úloha 2. + skrytý text
musí být násobkem i .
Úloha 3. + skrytý text
V zápisu čísla zkus použít co nejvíc devítek.
Úloha 4. + skrytý text
Všimni si, že body , , a leží na kružnici.
Úloha 5. + skrytý text
Dokresli střed jedné úhlopříčky a uvaž střední příčky, které tím vzniknou.
Úloha 6. + skrytý text
Dvakrát si rozepiš rekurenci a potom rozlož na součin.
Úloha 7. + skrytý text
Nahlédni, že musí být 3-periodická.+ skrytý text
Vyjádři dvěma způsoby .
Úloha 8. + skrytý text
Vyřeš zvlášť případ, kdy jedno z prvočísel je .+ skrytý text
Pokud jsou obě prvočísla lichá, najdi spor pomocí 2-valuace rozdílu a řádů dvojky modulo a .
Áďa | org | 9. 2. 2022 11:38:55
Ahoj! Nepochybně i Ty netrpělivě vyhlížíš hinty k 1. jarní a 2. seriálové sérii. Zde jsou:
1j
Úloha 1. + skrytý text
Úloha 2. + skrytý text
Úloha 3. + skrytý text
Úloha 4. + skrytý text
Úloha 5. + skrytý text
Úloha 6. + skrytý text
Úloha 7. + skrytý text
Úloha 8. + skrytý text
2s
Úloha 1. + skrytý text
Úloha 2. + skrytý text
Úloha 3. + skrytý text
1j
Úloha 1. + skrytý text
Zkus párovat vybarvené a nevybarvené trojúhelníčky.
Úloha 2. + skrytý text
Chytře vyjádři .
Úloha 3. + skrytý text
Spočítej počet průsečíků.
Úloha 4. + skrytý text
Podívej se, kde může být n a n-1. Dokaž rekurenci.
Úloha 5. + skrytý text
Podívej se na rozdíl osamělosti sousedů.
Úloha 6. + skrytý text
Seřaď stromy podle výšky.
Úloha 7. + skrytý text
Přičti ke všem rovnicím 1. Nově získané rovnice vynásob. Použij AG nerovnost.
Úloha 8. + skrytý text
Uprav na .+ skrytý text
Použij Cauchy-Schwarzovu nerovnost.
2s
Úloha 1. + skrytý text
Použij indukci na .+ skrytý text
V základním kroku ukaž, že rovnost platí pro a všechna neboli , v indukčním kroku ukaž implikaci pro všechna .
Úloha 2. + skrytý text
Pro první, druhý i třetí vztah použij indukci podle . Nezapomeň zmínit, kde používáš vlastnosti již dříve dokázané v seriálu (např. komutativita násobení).
Úloha 3. + skrytý text
Přenásob číslem a použij Vietovy vztahy.
Áďa | org | 12. 1. 2022 20:06:27
Lámeš si stále hlavu nad některými úložkami ze 4. podzimní série? Nová várka hintů Ti spěchá na pomoc.
Úloha 1. + skrytý text
Úloha 2. + skrytý text
Úloha 3. + skrytý text
Úloha 4. + skrytý text
Úloha 5. + skrytý text
Úloha 6. + skrytý text
Úloha 7. + skrytý text
Úloha 8. + skrytý text
Úloha 1. + skrytý text
Součet stupňů je menší než stupeň součtu.
Úloha 2. + skrytý text
Rozlož polynom na součin.
Úloha 3. + skrytý text
Úloha 4. + skrytý text
Úloha 5. + skrytý text
Ze zadaného vztahu zjisti součet . + skrytý text
Pro zjisti součet pro všechna , případ rozeber zvlášť.
Úloha 6. + skrytý text
Podívej se na stupně polynomů. Ukaž, že P má kořen v 0.
Úloha 7. + skrytý text
nemůže mít velkého dělitele menšího než .+ skrytý text
bude nutně dělit i nějaké další .
Úloha 8. + skrytý text
Na lichých mocninách nezáleží.+ skrytý text
+ skrytý text
Pokud máš víc než jeden člen se sudou mocninou, vyděl vhodnou mocninou a polož rovnost.
Kateřina Panešová | 8. 12. 2021 18:49:36
Zdravím všechny příznivce hintů 3. podzimní a 1. seriálové série!
3p
Úloha 1. + skrytý text
Úloha 2. + skrytý text
Úloha 3. + skrytý text
Úloha 4. + skrytý text
Úloha 5. + skrytý text
Úloha 6.+ skrytý text
Úloha 7. + skrytý text
Úloha 8. + skrytý text
1s
Úloha 1. + skrytý text
Úloha 2. + skrytý text
Úloha 3. + skrytý text
3p
Úloha 1. + skrytý text
Vytvořte dlouhý rovnoběžník a poté na něj postupně přidávejte zuby.
Úloha 2. + skrytý text
Vyberte průměr, a poté libovolný ze zbylých vrcholů. Vyřeště kvadratickou rovnici.
Úloha 3. + skrytý text
1,4,5,2,3,6
Úloha 4. + skrytý text
Dokresli úsečku a vyčísli úhly. + skrytý text
Ukaž, že trojúhelník je rovnoramenný.
Úloha 5. + skrytý text
Uvažujte cykly vzniklé přeskakováním vždy o vrcholů doprava. Všimněte si, že rozdíl počtu dvojic červených vrcholů po sobě a modrých vrcholů po sobě je roven rozdílu počtu červených a modrých vrcholů v cyklu.
Úloha 6.+ skrytý text
Ukažte, že kružnice se středem v A a poloměrem se dotýká úsečky . (Např. pomocí překlopení bodu podél a podél .)
Úloha 7. + skrytý text
Podívejte se na středové úhly jednotlivých tětiv kružnice. Musí být po dvou různé a dva vedlejší musí mít vždy celočíselný průměr.+ skrytý text
Pro lze udělat konstrukce, pro musíme volit celočíselné velikosti jednotlivých úhlů a do plného úhlu se nemůžou vejít.
Úloha 8. + skrytý text
Uvažujte cestičky vytvořené paralelním přesouváním úseček délky jedna podél dlaždiček libovolného dláždění. + skrytý text
Každé dvě cestičky, které nemají stejně orientované úsečky, se protínají právě na jednom místě a jednoznačně určují typ dlaždičky. Počet cestiček různých typů nezávisí na vydláždění.
1s
Úloha 1. + skrytý text
Indukce na n=počet prvků S.
Úloha 2. + skrytý text
Silná indukce pro n větší než 10, které zapiš jako 10a+b.
Úloha 3. + skrytý text
Ukaž, že pro sudý počet palačinek otočených spálenou stranou vyhrát nemůže, a naopak zkonstruuj strategii, podle které vyhraje, pokud je palačinek otočených spálenou stranou nahoru lichý počet. Silná indukce.
Kateřina Panešová | 7. 10. 2021 09:56:12
Ahoj! Jistě již netrpělivě očekáváte hinty k 1. podzimní sérii! Pro nové řešitele: Po termínu odeslání zveřejňujeme malé nápovědy k soutěžním úlohám, takže si můžete zkusit vyřešit i úlohy, u kterých jste si nevěděli rady :)
Umění
Úloha 1. + skrytý text
Úloha 2. + skrytý text
Úloha 3. + skrytý text
Úloha 4. + skrytý text
Úloha 5. + skrytý text
Úloha 6. + skrytý text
Úloha 7. + skrytý text
Úloha 8. + skrytý text
Umění
Úloha 1. + skrytý text
Opačná úhlopříčka
Úloha 2. + skrytý text
Slož dvě osové souměrnosti.
Úloha 3. + skrytý text
Nejbližší dva body
Úloha 4. + skrytý text
Vietovy vztahy a mocnost
Úloha 5. + skrytý text
8 a 7 nefungují; 5 a 6 nelze použít zároveň
Úloha 6. + skrytý text
Přesubstituuj do částečných součtů.
Úloha 7. + skrytý text
Dokresli středy a .
Úloha 8. + skrytý text
Dokresli přes trojúhelníky větší útvary, které se stále nebudou překrývat. + skrytý text
Rozšiř na šestiúhelník tak, aby se ani žádné dva šestiúhelníky nepřekrývaly.
Dominik Stejskal | 13. 5. 2021 03:36:46
Než dojde další ročník ke svému konci, je tu ještě jedna várka hintů ke 4. jarní sérii. :)
Úloha 1.
(a) + skrytý text
(b) + skrytý text
Úloha 2.
(a) + skrytý text
(b) + skrytý text
Úloha 3.
(a) + skrytý text
(b) + skrytý text
Úloha 4.
(a) + skrytý text
(b) + skrytý text
Úloha 5.
(a) + skrytý text
Úloha 6.
(a) + skrytý text
(b) + skrytý text
Úloha 7.
(a) + skrytý text
(b) + skrytý text
Úloha 1.
(a) + skrytý text
Ukaž, že body , , a leží na jedné kružnici.
(b) + skrytý text
Překlop body a po řadě podle úseček a a označ obrazy , . Ukaž, že , , leží na přímce a je rovnoběžník. + skrytý text
V rovnoběžníku se půlí úhlopříčky. Následně hledej shodné trojúhelníky.
Úloha 2.
(a) + skrytý text
V pravoúhlém trojúhelníku je poloměr kružnice vepsané = (odvěsna + odvěsna - přepona) / 2.
(b) + skrytý text
Rozděl vyhovující permutace na skupinky po . + skrytý text
Pokud vyhovuje, pak vyhovují i permutace tvaru a , kde . + skrytý text
Rozmysli si, že opakovanou aplikací tohoto algoritmu lze dostat přesně permutace tvaru , kde a všechny indexy a hodnoty bereme modulo mezi a . Takto vyrobíme spoustu disjunktních skupinek vyhovujících permutací, které jsou velké nejvýše . Které z nich jsou menší než ? + skrytý text
Ukaž, že to jsou přesně permutace s konstantní diferencí pro všechna .
Úloha 3.
(a) + skrytý text
Podívej se na cestu mezi políčky s čísly a .
(b) + skrytý text
Kolik je kostiček potřeba k tomu, aby se už další nedala přiložit do jednoho čtverce ?
Úloha 4.
(a) + skrytý text
prochází středem čtverce.
(b) + skrytý text
Uvažme nejmenší kruh obsahující všechny body. Můžou všechny body na okraji být součástí jedné půlkružnice?
Úloha 5.
(a) + skrytý text
V některou hodinu budou u trezoru 3 orgové. + skrytý text
Jednoho z nich lze propustit.
Úloha 6.
(a) + skrytý text
Velká prvočísla by bylo potřeba spárovat s jedničkou. + skrytý text
Jde zařídit 12 celočíselných zlomků.
(b) + skrytý text
Jde to pro všechna . Konstruuj -tici induktivně. + skrytý text
Přidej nulu a ke všemu přičti vhodné číslo.
Úloha 7.
(a) + skrytý text
je těžnice v i .
(b) + skrytý text
Chceš dokázat . + skrytý text
a společné tečny z bodů , se protínají v jediném bodě .
Kateřina Panešová | 14. 4. 2021 10:39:28
Dvojitá dávka čerstvých hintů k 3. jarní a 3. seriálové sérii!
Úloha 1.+ skrytý text
Úloha 2.+ skrytý text
Úloha 3.+ skrytý text
Úloha 4.+ skrytý text
Úloha 5.+ skrytý text
Úloha 6.+ skrytý text
Úloha 7.+ skrytý text
Úloha 8.+ skrytý text
Úloha 1.+ skrytý text
Úloha 2.+ skrytý text
Úloha 3.+ skrytý text
Úloha 1.+ skrytý text
Rovnoramenný trojúhelník. + skrytý text
Úhel .
Úloha 2.+ skrytý text
Spočítej celkový počet stran trojúhelníků na obvodu n-úhelníku.
Úloha 3.+ skrytý text
Uvaž trojúhelníky o straně dva.
Úloha 4.+ skrytý text
, jsou výšky v trojúhelníku .
Úloha 5.+ skrytý text
Vyúhli, že trojúhelníky a jsou shodné.+ skrytý text
Využij úsekové úhly.
Úloha 6.+ skrytý text
leží na .+ skrytý text
i jsou kolmé na .
Úloha 7.+ skrytý text
Dokresli průsečík a .+ skrytý text
Trojúhelníky a jsou podobné s SUS.
Úloha 8.+ skrytý text
Počítejte obsah doplňku trojúhelníku vzhledem ke kosočtverci .+ skrytý text
Ukažte, že hledaná nezávislost je ekvivalentní tomu, že hodnota nezávisí na poloze .+ skrytý text
Překlopte body , podle úsečky na body , .+ skrytý text
Ukažte, že body , , , a střed kosočtverce leží na jedné kružnici.+ skrytý text
je Švrčkův bod trojúhelníku .+ skrytý text
Nezávislost prokažte pomocí mocnosti z .
Úloha 1.+ skrytý text
Nejprve vyřeš prvočíselné mocniny, potom použij Čínskou zbytkovou větu.
Úloha 2.+ skrytý text
Zkus jako prvky krutopřísné posloupnosti použít 1 a prvočíslo p.+ skrytý text
Pro důkaz ireducibility se na to podívej mod p.
Úloha 3.+ skrytý text
3. Zvol .+ skrytý text
Použij .
Dominik Stejskal | 13. 3. 2021 23:37:52
Nové hinty ke druhé jarní sérii jistě pomůžou rozbít i ty odolnější úlohy...
Úloha 1. + skrytý text
Úloha 2. + skrytý text
Úloha 3. + skrytý text
Úloha 4. + skrytý text
Úloha 5. + skrytý text
Úloha 6. + skrytý text
Úloha 7. + skrytý text
Úloha 8. + skrytý text
Úloha 1. + skrytý text
Co umíš říct o ?
Úloha 2. + skrytý text
Šimpanzovi naproti Radečkovi dej co nejvíce banánů.
Úloha 3. + skrytý text
Rozlož povrch čtyřstěnu na síť. + skrytý text
Nahlédni, že Pavel si nepomůže přecházením přes více hran.
Úloha 4. + skrytý text
Rozdíl základů pátých mocnin by musel dělit .
Úloha 5. + skrytý text
V kolika takových dvojicích je na začátku každá karta?
Úloha 6. + skrytý text
Počítej modulo .
Úloha 7. + skrytý text
Čísla lze vydělit jejich společným dělitelem. + skrytý text
Dívej se na čísla modulo 2. Co se stane po dvou krocích?
Úloha 8. + skrytý text
Vyhovují právě dvojice splňující . + skrytý text
Zkoumej řád modulo .
Lenka Kopfová | org | 25. 2. 2021 18:42:36
Ahoj,
pokud chceš potrénovat před celostátkem nebo si jen započítat pro radost je zde nová série TRiKSka http://iksko.org/triks/current.php. Pokud nevíš, co je TRiKS, můžeš se kouknout do pravidel pro bližší info http://iksko.org/triks/pravidla.pdf. Navíc máme exkluzivní nabídku - vítěz každého dalšího TRiKS získá TRiKS šátek!
pokud chceš potrénovat před celostátkem nebo si jen započítat pro radost je zde nová série TRiKSka http://iksko.org/triks/current.php. Pokud nevíš, co je TRiKS, můžeš se kouknout do pravidel pro bližší info http://iksko.org/triks/pravidla.pdf. Navíc máme exkluzivní nabídku - vítěz každého dalšího TRiKS získá TRiKS šátek!
Lenka Kopfová | org | 23. 2. 2021 14:50:01
Řešení 9:
+ skrytý text
Uvažujme stejnolehlosti z bodů , které zobrazují resp. na . První stejnolehlost zobrazuje a druhá zobrazuje . Tedy platí . Dále si všimněme, že je chordála kružnic , tedy , takže je tětivový. Obdobně i je tětivový. Odtud . Jinak řečeno je tečna (tedy i ke ) a obdobně je společná tečna . Takže , tedy je tětivový, navíc , takže se jedná o rovnoramenný lichoběžník a .
10:
Dokaž, že pro každé přirozené číslo platí:
+ skrytý text
Uvažujme stejnolehlosti z bodů , které zobrazují resp. na . První stejnolehlost zobrazuje a druhá zobrazuje . Tedy platí . Dále si všimněme, že je chordála kružnic , tedy , takže je tětivový. Obdobně i je tětivový. Odtud . Jinak řečeno je tečna (tedy i ke ) a obdobně je společná tečna . Takže , tedy je tětivový, navíc , takže se jedná o rovnoramenný lichoběžník a .
10:
Dokaž, že pro každé přirozené číslo platí:
šimon | 22. 2. 2021 14:03:57
Dobrý den, potřeboval bych vypočítat tento příklad i s řešením: Jestliže zvětšíme jednu stranu čtverce o 20 cm a sousední stranu zmenšíme o 6 cm, dostaneme rozměry obdélníku, který má obsah 1,4krát větší než obsah původního čtverce. Určete délku jeho strany. Předem děkuji. Počítání s kvadratickými rovnicemi
Kateřina Panešová | 11. 2. 2021 12:50:13
Ahoj! Čeká na vás dvojitá várka hintů, a to k 1. jarní a 2. seriálové sérii!
1. jarní série
Úloha 1.+ skrytý text
Úloha 2.+ skrytý text
Úloha 3.+ skrytý text
Úloha 4.+ skrytý text
Úloha 5.+ skrytý text
Úloha 6.+ skrytý text
Ůloha 7.+ skrytý text
Úloha 8.+ skrytý text
2. seriálová série
Úloha 1.+ skrytý text
Úloha 2.+ skrytý text
Úloha 3.+ skrytý text
1. jarní série
Úloha 1.+ skrytý text
Všichni mají stejnou pravdomluvnost.
Úloha 2.+ skrytý text
Přelož si všechna tvrzení mudrců do tvaru "je mezi námi tolik a tolik pravdomluvců".
Úloha 3.+ skrytý text
Zkus nejdřív menší čtverec 5x5.
Úloha 4.+ skrytý text
Nahlédni, že celá trasa paprsku musí být středově souměrná. + skrytý text
Jaký bod je potom přesně v polovině trasy?
Úloha 5.+ skrytý text
Můžou vedle sebe sedět dva kluci? + skrytý text
Jaké posloupnosti dívek a chlapců lze sestavit? + skrytý text
Podívej se na to modulo 3.
Úloha 6.+ skrytý text
Pro sudá n využij . + skrytý text
Pro lichá n se podívej modulo 8 na sudá a, b.
Ůloha 7.+ skrytý text
Ukaž, že pro dokáže Pavel vybrat všechny pěšce. + skrytý text
Důkaz sporem a Dirichletův princip.
+ skrytý textNajdi konstrukci pro .
Úloha 8.+ skrytý text
Vyjde, že takové existuje.
+ skrytý text
+ skrytý text
Uvažuj 2021 záhadných čísel tvaru až .
+ skrytý text
+ skrytý text
Abys zajistil/a nesoudělnost, vzpomeň si na úlohy s hledáním čísla nesoudělného s nějakými malými čísly, kde jde zvolit faktoriál malých čísel + 1.+ skrytý text
+ skrytý text
Zvol , kde je liché a dělitelné všemi lichými čísly od do .
+ skrytý text
Následně ukaž, že pro libovolné sudé číslo tvaru mezi nimi už musí být splňující soudělná.
+ skrytý text
+ skrytý text
+ skrytý text
Pro se stačí podívat na rovnici modulo .
+ skrytý text
Pro by stačilo, aby existovalo prvočíslo tvaru , které dělí . Potom totiž dělí jak , tak . Jak najít takové ?
+ skrytý text
+ skrytý text
V tomto případě existuje něco, co je určitě tvaru . Pak stačí zvolit libovolné prvočíslo tvaru , které dělí to něco.
+ skrytý text
+ skrytý text
Konkrétně je tvaru . Tedy už stačí jen zajistit, aby dělilo . Jak můžeme definovat , aby to bylo splněno?
+ skrytý text
+ skrytý text
Ukaž, že vyhovuje.
2. seriálová série
Úloha 1.+ skrytý text
Použij malou Fermatovu větu. + skrytý text
V druhé kongruenci umocni na druhou a získej .
Úloha 2.+ skrytý text
Fundamentální jednotka je . + skrytý text
bude její mocninou se sudým exponentem. + skrytý text
Rozepiš binomickou větu a posbírej racionální členy -- skoro všechny jsou násobky .
Úloha 3.+ skrytý text
Dívej se v a rozmysli si, že je -tá mocnina. + skrytý text
Interpretuj podmínku jako multiplikativní množinu v . + skrytý text
Tato multiplikativní množina má prvků, zatímco .