Kateřina Panešová | org | 8. 12. 2021 18:49:36
Zdravím všechny příznivce hintů 3. podzimní a 1. seriálové série!
3p
Úloha 1. + skrytý text
Úloha 2. + skrytý text
Úloha 3. + skrytý text
Úloha 4. + skrytý text
Úloha 5. + skrytý text
Úloha 6.+ skrytý text
Úloha 7. + skrytý text
Úloha 8. + skrytý text
1s
Úloha 1. + skrytý text
Úloha 2. + skrytý text
Úloha 3. + skrytý text
3p
Úloha 1. + skrytý text
Vytvořte dlouhý rovnoběžník a poté na něj postupně přidávejte zuby.
Úloha 2. + skrytý text
Vyberte průměr, a poté libovolný ze zbylých vrcholů. Vyřeště kvadratickou rovnici.
Úloha 3. + skrytý text
1,4,5,2,3,6
Úloha 4. + skrytý text
Dokresli úsečku
a vyčísli úhly. + skrytý text
Ukaž, že trojúhelník
je rovnoramenný.
Úloha 5. + skrytý text
Uvažujte cykly vzniklé přeskakováním vždy o
vrcholů doprava. Všimněte si, že rozdíl počtu dvojic červených vrcholů po sobě a modrých vrcholů po sobě je roven rozdílu počtu červených a modrých vrcholů v cyklu.
Úloha 6.+ skrytý text
Ukažte, že kružnice se středem v A a poloměrem
se dotýká úsečky
. (Např. pomocí překlopení bodu
podél
a
podél
.)
Úloha 7. + skrytý text
Podívejte se na středové úhly jednotlivých tětiv kružnice. Musí být po dvou různé a dva vedlejší musí mít vždy celočíselný průměr.+ skrytý text
Pro
lze udělat konstrukce, pro
musíme volit celočíselné velikosti jednotlivých úhlů a do plného úhlu
se nemůžou vejít.
Úloha 8. + skrytý text
Uvažujte cestičky vytvořené paralelním přesouváním úseček délky jedna podél dlaždiček libovolného dláždění. + skrytý text
Každé dvě cestičky, které nemají stejně orientované úsečky, se protínají právě na jednom místě a jednoznačně určují typ dlaždičky. Počet cestiček různých typů nezávisí na vydláždění.
1s
Úloha 1. + skrytý text
Indukce na n=počet prvků S.
Úloha 2. + skrytý text
Silná indukce pro n větší než 10, které zapiš jako 10a+b.
Úloha 3. + skrytý text
Ukaž, že pro sudý počet palačinek otočených spálenou stranou vyhrát nemůže, a naopak zkonstruuj strategii, podle které vyhraje, pokud je palačinek otočených spálenou stranou nahoru lichý počet. Silná indukce.
Kateřina Panešová | org | 7. 10. 2021 09:56:12
Ahoj! Jistě již netrpělivě očekáváte hinty k 1. podzimní sérii! Pro nové řešitele: Po termínu odeslání zveřejňujeme malé nápovědy k soutěžním úlohám, takže si můžete zkusit vyřešit i úlohy, u kterých jste si nevěděli rady :)
Umění
Úloha 1. + skrytý text
Úloha 2. + skrytý text
Úloha 3. + skrytý text
Úloha 4. + skrytý text
Úloha 5. + skrytý text
Úloha 6. + skrytý text
Úloha 7. + skrytý text
Úloha 8. + skrytý text
Umění
Úloha 1. + skrytý text
Opačná úhlopříčka
Úloha 2. + skrytý text
Slož dvě osové souměrnosti.
Úloha 3. + skrytý text
Nejbližší dva body
Úloha 4. + skrytý text
Vietovy vztahy a mocnost
Úloha 5. + skrytý text
8 a 7 nefungují; 5 a 6 nelze použít zároveň
Úloha 6. + skrytý text
Přesubstituuj do částečných součtů.
Úloha 7. + skrytý text
Dokresli středy
a
.
Úloha 8. + skrytý text
Dokresli přes trojúhelníky větší útvary, které se stále nebudou překrývat. + skrytý text
Rozšiř na šestiúhelník tak, aby se ani žádné dva šestiúhelníky nepřekrývaly.
Dominik Stejskal | org | 13. 5. 2021 03:36:46
Než dojde další ročník ke svému konci, je tu ještě jedna várka hintů ke 4. jarní sérii. :)
Úloha 1.
(a) + skrytý text
(b) + skrytý text
Úloha 2.
(a) + skrytý text
(b) + skrytý text
Úloha 3.
(a) + skrytý text
(b) + skrytý text
Úloha 4.
(a) + skrytý text
prochází středem čtverce.
(b) + skrytý text
Úloha 5.
(a) + skrytý text
Úloha 6.
(a) + skrytý text
(b) + skrytý text
Úloha 7.
(a) + skrytý text
je těžnice v
i
.
(b) + skrytý text
Úloha 1.
(a) + skrytý text
Ukaž, že body
,
,
a
leží na jedné kružnici.
(b) + skrytý text
Překlop body
a
po řadě podle úseček
a
a označ obrazy
,
. Ukaž, že
,
,
leží na přímce a
je rovnoběžník. + skrytý text
V rovnoběžníku se půlí úhlopříčky. Následně hledej shodné trojúhelníky.
Úloha 2.
(a) + skrytý text
V pravoúhlém trojúhelníku je poloměr kružnice vepsané = (odvěsna + odvěsna - přepona) / 2.
(b) + skrytý text
Rozděl vyhovující permutace na skupinky po
. + skrytý text
Pokud
vyhovuje, pak vyhovují i permutace tvaru
a
, kde
. + skrytý text
Rozmysli si, že opakovanou aplikací tohoto algoritmu lze dostat přesně permutace tvaru
, kde
a všechny indexy a hodnoty bereme modulo
mezi
a
. Takto vyrobíme spoustu disjunktních skupinek vyhovujících permutací, které jsou velké nejvýše
. Které z nich jsou menší než
? + skrytý text
Ukaž, že to jsou přesně permutace s konstantní diferencí
pro všechna
.
Úloha 3.
(a) + skrytý text
Podívej se na cestu mezi políčky s čísly
a
.
(b) + skrytý text
Kolik je kostiček potřeba k tomu, aby se už další nedala přiložit do jednoho čtverce
?
Úloha 4.
(a) + skrytý text
(b) + skrytý text
Uvažme nejmenší kruh obsahující všechny body. Můžou všechny body na okraji být součástí jedné půlkružnice?
Úloha 5.
(a) + skrytý text
V některou hodinu budou u trezoru 3 orgové. + skrytý text
Jednoho z nich lze propustit.
Úloha 6.
(a) + skrytý text
Velká prvočísla by bylo potřeba spárovat s jedničkou. + skrytý text
Jde zařídit 12 celočíselných zlomků.
(b) + skrytý text
Jde to pro všechna
. Konstruuj
-tici induktivně. + skrytý text
Přidej nulu a ke všemu přičti vhodné číslo.
Úloha 7.
(a) + skrytý text
(b) + skrytý text
Chceš dokázat
. + skrytý text
a společné tečny z bodů
,
se protínají v jediném bodě
.
Kateřina Panešová | org | 14. 4. 2021 10:39:28
Dvojitá dávka čerstvých hintů k 3. jarní a 3. seriálové sérii!
Úloha 1.+ skrytý text
Úloha 2.+ skrytý text
Úloha 3.+ skrytý text
Úloha 4.+ skrytý text
,
jsou výšky v trojúhelníku
.
Úloha 5.+ skrytý text
Úloha 6.+ skrytý text
leží na
.+ skrytý text
i
jsou kolmé na
.
Úloha 7.+ skrytý text
Úloha 8.+ skrytý text
Úloha 1.+ skrytý text
Úloha 2.+ skrytý text
Úloha 3.+ skrytý text
Úloha 1.+ skrytý text
Rovnoramenný trojúhelník. + skrytý text
Úhel
.
Úloha 2.+ skrytý text
Spočítej celkový počet stran trojúhelníků na obvodu n-úhelníku.
Úloha 3.+ skrytý text
Uvaž trojúhelníky o straně dva.
Úloha 4.+ skrytý text
Úloha 5.+ skrytý text
Vyúhli, že trojúhelníky
a
jsou shodné.+ skrytý text
Využij úsekové úhly.
Úloha 6.+ skrytý text
Úloha 7.+ skrytý text
Dokresli
průsečík
a
.+ skrytý text
Trojúhelníky
a
jsou podobné s SUS.
Úloha 8.+ skrytý text
Počítejte obsah doplňku trojúhelníku
vzhledem ke kosočtverci
.+ skrytý text
Ukažte, že hledaná nezávislost je ekvivalentní tomu, že hodnota
nezávisí na poloze
.+ skrytý text
Překlopte body
,
podle úsečky
na body
,
.+ skrytý text
Ukažte, že body
,
,
,
a střed
kosočtverce
leží na jedné kružnici.+ skrytý text
je Švrčkův bod trojúhelníku
.+ skrytý text
Nezávislost prokažte pomocí mocnosti z
.
Úloha 1.+ skrytý text
Nejprve vyřeš prvočíselné mocniny, potom použij Čínskou zbytkovou větu.
Úloha 2.+ skrytý text
Zkus jako prvky krutopřísné posloupnosti použít 1 a prvočíslo p.+ skrytý text
Pro důkaz ireducibility se na to podívej mod p.
Úloha 3.+ skrytý text
3. Zvol
.+ skrytý text
Použij
.
Dominik Stejskal | org | 13. 3. 2021 23:37:52
Nové hinty ke druhé jarní sérii jistě pomůžou rozbít i ty odolnější úlohy...
Úloha 1. + skrytý text
Úloha 2. + skrytý text
Úloha 3. + skrytý text
Úloha 4. + skrytý text
Úloha 5. + skrytý text
Úloha 6. + skrytý text
Úloha 7. + skrytý text
Úloha 8. + skrytý text
Úloha 1. + skrytý text
Co umíš říct o
?
Úloha 2. + skrytý text
Šimpanzovi naproti Radečkovi dej co nejvíce banánů.
Úloha 3. + skrytý text
Rozlož povrch čtyřstěnu na síť. + skrytý text
Nahlédni, že Pavel si nepomůže přecházením přes více hran.
Úloha 4. + skrytý text
Rozdíl základů pátých mocnin by musel dělit
.
Úloha 5. + skrytý text
V kolika takových dvojicích je na začátku každá karta?
Úloha 6. + skrytý text
Počítej modulo
.
Úloha 7. + skrytý text
Čísla lze vydělit jejich společným dělitelem. + skrytý text
Dívej se na čísla modulo 2. Co se stane po dvou krocích?
Úloha 8. + skrytý text
Vyhovují právě dvojice splňující
. + skrytý text
Zkoumej řád
modulo
.
Lenka Kopfová | org | 25. 2. 2021 18:42:36
Ahoj,
pokud chceš potrénovat před celostátkem nebo si jen započítat pro radost je zde nová série TRiKSka http://iksko.org/triks/current.php. Pokud nevíš, co je TRiKS, můžeš se kouknout do pravidel pro bližší info http://iksko.org/triks/pravidla.pdf. Navíc máme exkluzivní nabídku - vítěz každého dalšího TRiKS získá TRiKS šátek!
pokud chceš potrénovat před celostátkem nebo si jen započítat pro radost je zde nová série TRiKSka http://iksko.org/triks/current.php. Pokud nevíš, co je TRiKS, můžeš se kouknout do pravidel pro bližší info http://iksko.org/triks/pravidla.pdf. Navíc máme exkluzivní nabídku - vítěz každého dalšího TRiKS získá TRiKS šátek!
Lenka Kopfová | org | 23. 2. 2021 14:50:01
Řešení 9:
+ skrytý text
Uvažujme stejnolehlosti z bodů
, které zobrazují
resp.
na
. První stejnolehlost zobrazuje
a druhá zobrazuje
. Tedy platí
. Dále si všimněme, že
je chordála kružnic
, tedy
, takže
je tětivový. Obdobně i
je tětivový. Odtud
. Jinak řečeno
je tečna
(tedy i ke
) a obdobně
je společná tečna
. Takže
, tedy
je tětivový, navíc
, takže se jedná o rovnoramenný lichoběžník a
.
10:
Dokaž, že pro každé přirozené číslo
platí:

+ skrytý text
Uvažujme stejnolehlosti z bodů
10:
Dokaž, že pro každé přirozené číslo
šimon | 22. 2. 2021 14:03:57
Dobrý den, potřeboval bych vypočítat tento příklad i s řešením: Jestliže zvětšíme jednu stranu čtverce o 20 cm a sousední stranu zmenšíme o 6 cm, dostaneme rozměry obdélníku, který má obsah 1,4krát větší než obsah původního čtverce. Určete délku jeho strany. Předem děkuji. Počítání s kvadratickými rovnicemi
Kateřina Panešová | org | 11. 2. 2021 12:50:13
Ahoj! Čeká na vás dvojitá várka hintů, a to k 1. jarní a 2. seriálové sérii!
1. jarní série
Úloha 1.+ skrytý text
Úloha 2.+ skrytý text
Úloha 3.+ skrytý text
Úloha 4.+ skrytý text
Úloha 5.+ skrytý text
Úloha 6.+ skrytý text
Ůloha 7.+ skrytý text
Úloha 8.+ skrytý text
2. seriálová série
Úloha 1.+ skrytý text
Úloha 2.+ skrytý text
Úloha 3.+ skrytý text
1. jarní série
Úloha 1.+ skrytý text
Všichni mají stejnou pravdomluvnost.
Úloha 2.+ skrytý text
Přelož si všechna tvrzení mudrců do tvaru "je mezi námi tolik a tolik pravdomluvců".
Úloha 3.+ skrytý text
Zkus nejdřív menší čtverec 5x5.
Úloha 4.+ skrytý text
Nahlédni, že celá trasa paprsku musí být středově souměrná. + skrytý text
Jaký bod je potom přesně v polovině trasy?
Úloha 5.+ skrytý text
Můžou vedle sebe sedět dva kluci? + skrytý text
Jaké posloupnosti dívek a chlapců lze sestavit? + skrytý text
Podívej se na to modulo 3.
Úloha 6.+ skrytý text
Pro sudá n využij
. + skrytý text
Pro lichá n se podívej modulo 8 na sudá a, b.
Ůloha 7.+ skrytý text
Ukaž, že pro
dokáže Pavel vybrat všechny pěšce. + skrytý text
Důkaz sporem a Dirichletův princip.
+ skrytý textNajdi konstrukci pro
.
Úloha 8.+ skrytý text
Vyjde, že takové
existuje.
+ skrytý text
+ skrytý text
Uvažuj 2021 záhadných čísel tvaru
až
.
+ skrytý text
+ skrytý text
Abys zajistil/a nesoudělnost, vzpomeň si na úlohy s hledáním čísla nesoudělného s nějakými malými čísly, kde jde zvolit faktoriál malých čísel + 1.+ skrytý text
+ skrytý text
Zvol
, kde
je liché a dělitelné všemi lichými čísly od
do
.
+ skrytý text
Následně ukaž, že pro libovolné sudé číslo tvaru
mezi nimi už musí být
splňující
soudělná.
+ skrytý text
+ skrytý text
+ skrytý text
Pro
se stačí podívat na rovnici modulo
.
+ skrytý text
Pro
by stačilo, aby existovalo prvočíslo
tvaru
, které dělí
. Potom totiž
dělí jak
, tak
. Jak najít takové
?
+ skrytý text
+ skrytý text
V tomto případě existuje něco, co je určitě tvaru
. Pak stačí zvolit libovolné prvočíslo tvaru
, které dělí to něco.
+ skrytý text
+ skrytý text
Konkrétně
je tvaru
. Tedy už stačí jen zajistit, aby
dělilo
. Jak můžeme definovat
, aby to bylo splněno?
+ skrytý text
+ skrytý text
Ukaž, že
vyhovuje.
2. seriálová série
Úloha 1.+ skrytý text
Použij malou Fermatovu větu. + skrytý text
V druhé kongruenci umocni na druhou a získej
.
Úloha 2.+ skrytý text
Fundamentální jednotka je
. + skrytý text
bude její mocninou se sudým exponentem. + skrytý text
Rozepiš binomickou větu a posbírej racionální členy -- skoro všechny jsou násobky
.
Úloha 3.+ skrytý text
Dívej se v
a rozmysli si, že
je
-tá mocnina. + skrytý text
Interpretuj podmínku
jako multiplikativní množinu v
. + skrytý text
Tato multiplikativní množina má
prvků, zatímco
.
Dominik Stejskal | org | 15. 1. 2021 01:06:53
Nový rok přináší spoustu zajímavých věcí, jako třeba hinty ke 4. podzimní sérii! :)
Úloha 1. + skrytý text
,
.
Úloha 2. + skrytý text
Úloha 3. + skrytý text
Úloha 4. + skrytý text
Úloha 5. + skrytý text
Úloha 6. + skrytý text
Úloha 7. + skrytý text
Úloha 8. + skrytý text
Úloha 1. + skrytý text
Úloha 2. + skrytý text
Podívej se na dvojici s minimální vzdáleností. + skrytý text
Buď je některý zasažen dvakrát, nebo je můžeš odebrat.
Úloha 3. + skrytý text
Kolik červených bodů může být ve vzdálenosti přesně 1 od jednoho daného červeného bodu?
Úloha 4. + skrytý text
Dokresli si středy úseček
a
a úhlením hledej podobné (a shodné) trojúhelníky.
Úloha 5. + skrytý text
Body
leží na ose
. + skrytý text
Úhly
a
se rovnají. Ukaž, že kružnice
a
mají stejný poloměr.
Úloha 6. + skrytý text
Uvažuj všech 100 rotací, které zobrazí 100-úhelník na sebe. + skrytý text
Kolikrát se zobrazí modrý vrchol na červený?
Úloha 7. + skrytý text
Dokresli bod
překlopený přes
. + skrytý text
Přenášej délky pomocí rovnoběžek a kolmic.
Úloha 8. + skrytý text
Odhadni dvěma způsoby počet rovnoramenných trojúhelníků.
Kateřina Panešová | 9. 12. 2020 23:31:55
HINTY! Nevěděl/a sis rady s některou z úloh 3. podzimní a 1. seriálové série? Dej jí ještě jednu šanci!
3. podzimní série
Úloha 1. + skrytý text
Úloha 2. + skrytý text
Úloha 3. + skrytý text
Úloha 4. + skrytý text
Úloha 5. + skrytý text
Úloha 6. + skrytý text
Úloha 7. + skrytý text
Úloha 8. + skrytý text
1. seriálová série
Úloha 1. + skrytý text
Úloha 2. + skrytý text
Úloha 3. + skrytý text
3. podzimní série
Úloha 1. + skrytý text
Dej kouli do středu stolu, pak už to jde samo...
Úloha 2. + skrytý text
Nechť je
minimální počet soutěžících, který je potřeba, aby celkový vítěz měl
výher. Najdi rekurenci pro
.+ skrytý text
Jsou to Fibonacciho čísla.
Úloha 3. + skrytý text
Uprav na společného jmenovatele a dívej se na dělitelnost
.
Úloha 4. + skrytý text
Všimni si, že pro
je na šachovnici víc než 111 mincí. Co
? A co
?+ skrytý text
Pro
je počet mincí sudý.+ skrytý text
Najdi konstrukci pro
.
Úloha 5. + skrytý text
Substituuj
,
.+ skrytý text
Dostaneš lineární lomený výraz v
, zatímco podmínka omezuje
na nějaký interval.
Úloha 6. + skrytý text
Je to
.+ skrytý text
Vezmi silnici s limitem
a odhadni tím průměry dvojic silnic z krajních měst do nějakého třetího.
Úloha 7. + skrytý text
Dej rovničku do tvaru
, vynásob všechny tyhle věci přes všechna
a použij racionalitu
.
Úloha 8. + skrytý text
Dokresli O opsiště ABC.+ skrytý text
Trojúhelníky
jsou podobné nezávisle na P.
1. seriálová série
Úloha 1. + skrytý text
Zkus mod 3, anebo trikový rozklad
.
Úloha 2. + skrytý text
Nechť je
kořenem
. Dokaž, že
je eukleidovský, rozlož a použij tvrzení o mocninách.
Úloha 3. + skrytý text
3. Uprav na čtverec + čtverec = čtverec + 1, poté využij vztahů prvočíselného rozkladu čísla a možností jeho vyjádření jako čtverec + čtverec.
Dominik Stejskal | org | 14. 11. 2020 20:31:54
Hinty jsou zpět! S nimi už zbytek druhé podzimní série snadno rozlouskneš.
Úloha 1. + skrytý text
Úloha 2. + skrytý text
Úloha 3. + skrytý text
Úloha 4. + skrytý text
Úloha 5. + skrytý text
Úloha 6. + skrytý text
Úloha 7. + skrytý text
Úloha 8. + skrytý text
Úloha 1. + skrytý text
Podívej se na osovou souměrnost podle kolmice k
. Vhodně zvol
,
,
.
Úloha 2. + skrytý text
Co kdyby Terka začínala na úhlopříčce?
Úloha 3. + skrytý text
Hledej pravoúhlé trojúhelníky. + skrytý text
Opiš 2020-úhelníku kružnici, použij Thaletovu a Pythagorovu větu.
Úloha 4. + skrytý text
Sečti všechny rovnice. + skrytý text
Uprav na součiny a využij
.
Úloha 5. + skrytý text
Dokresli překlopení
bodu
přes osu úsečky
.
Úloha 6. + skrytý text
Označ si průsečík úseček
a
a hledej podobné trojúhelníky.
Úloha 7. + skrytý text
Vezmi diagonálu, domy mimo ní popáruj symetricky a domy na ní vyřeš zvlášť.
Úloha 8. + skrytý text
Lichý cyklus neexistuje právě tehdy, když jdou letiště obarvit dvěma barvami tak, aby každá dvě spojená letiště měla různou barvu. + skrytý text
Pro sudá n může libovolný z hráčů zařídit, že těsně před koncem hry bude stejně letišť od každé z těchto dvou barev.
Václav Janáček | org | 9. 8. 2020 12:56:52
Samozřejmě máme ukázat
, ale jinak skoro dobře :D
Václav Janáček | org | 7. 8. 2020 14:30:13
Řešení 8:
+ skrytý text
9:
Nechť
,
jsou kružnice protínající se v bodech
,
. Nechť s nimi kružnice
svírá vnitřní dotek postupně v bodech
,
. Nechť
protíná
v bodech
a 
Polopřímky
a
protínají
postupně v
a
. Obdobně polopřímky
a
protnou
v
a
. Ukažte
.
+ skrytý text
Ukáži, že je to
. Nejdříve předpokládejme, že existuje šachovnice, na kterou je možno umístit víc věží. Vezměme nejmenší takovou šachovnici (nejmenší
). BÚNO nechť
. Poté jsou v některém řádku více než
věže, jinak jich je nejvýše
.
Vyberme některou z nekrajních věží v tomto řádku. Ta ohrožuje jednu věž vlevo a jednu vpravo. Musí být tedy ve sloupci sama. Odstraněním tohoto sloupce získáme menší tabulku s více než
věžemi, přitom stále každá věž zjevně ohrožuje právě dvě jiné. Spor.
Rozmístění věží do celého levého sloupce, celého spodního řádku a na políčko vpravo nahoře je platné rozmístění
věží.
Vyberme některou z nekrajních věží v tomto řádku. Ta ohrožuje jednu věž vlevo a jednu vpravo. Musí být tedy ve sloupci sama. Odstraněním tohoto sloupce získáme menší tabulku s více než
Rozmístění věží do celého levého sloupce, celého spodního řádku a na políčko vpravo nahoře je platné rozmístění
9:
Nechť
Polopřímky
Josef Minařík | org | 28. 7. 2020 20:46:36
Řešení 7:
+ skrytý text
8.
Kolik nejvíce šachových věží je možné umístit na šachovnici
, kde
, tak, aby každá věž ohrožovala právě dvě další? Dvě věže se navzájem ohrožují, pokud jsou ve stejném sloupci nebo řádku a není mezi nimi žádná jiná věž.
+ skrytý text
Nejprve si všimněme, že pokud
, potom
, protože
. Dále předpokládejme, že
a
je minimální. To je ovšem spor, protože jeden ze zlomků
je menší než 1, není v
, a má menší součet čitatele a jmenovatele. Tím jsme dokázali, že neexistuje uvažovaný zlomek
, a úloha je vyřešena.
8.
Kolik nejvíce šachových věží je možné umístit na šachovnici
Michal Janík | 24. 7. 2020 10:55:39
Řešení 6:
+ skrytý text
7.
Množina
, která obsahuje jen racionální čísla má následující vlastnosti:
a)
b) Pokud
, tak
a
.
Dokažte, že
obsahuje všechna racionální čísla z intervalu
.
+ skrytý text
Pro nenulové
vydělíme celou nerovnost kladným výrazem
a zavedeme si funkci
, čímž dostaneme
. Dosazením
dostaneme
. Dosazením
dostaneme
. Naposledy dosazením
dostaneme
, ale protože platí
, musí platit také
. Z toho plyne
, což zkouškou lehce ověříme.
7.
Množina
a)
b) Pokud
Dokažte, že
Zdeněk Pezlar | org | 21. 7. 2020 20:20:39
Řešení 5:
+ skrytý text
Pokud označíme
prvky naší množiny a
jejich součet, pak
. Tyto množiny jsou shodné a obě mají právě
různých prvků, tedy součet prvků obou množin bude shodný:
, tedy
, máme tedy
. Pokud by jedno z čísel bylo nulové, například
, tak
, součin
prvků obou množin bude shodný,
, jedno z
je
, spor s růzností čísel. Můžeme proto čísla rozdělit na
dvojic
pro nenulová
. Součin všech čísel bude
.
6.
Určete všechny funkce
, které splňují
pro všechna reálná
.
+ skrytý text
Pokud označíme
6.
Určete všechny funkce
Josef Minařík | org | 16. 7. 2020 23:07:19
Řešení 4:
+ skrytý text
5. Množina 1234 (různých) reálných čísel má následující vlastnost. Když nahradíme každé číslo množiny součtem zbývajících 1233 čísel, dostaneme stejnou množinu 1234 čísel. Dokažte, že součin těchto 1234 čísel je záporný.
+ skrytý text
Ukážeme, že
může být nejvýše
. Uvažujme nějakou vyhovující tabulku, nejmenší číslo v každém sloupci je BÚNO 0 (jinak můžeme čísla v daném sloupci posunout), potom žádné číslo nemůže být větší než 1. Pokud je někde v tabulce číslo větší než 0 a menší než 1, můžeme místo něj napsat 0 a tabulka bude pořád splňovat podmínku ze zadání. Stačí nám tedy uvažovat tabulky vyplněné 0 a 1. Pokud by ovšem tabulka měla více než
řádků, budou některé dva řádky stejné, což je spor se zadáním.
Tabulka, jejíž řádky jsou všechny možné posloupnosti 0 a 1, zřejmě vyhovuje zadané podmínce a má
řádků.
Tabulka, jejíž řádky jsou všechny možné posloupnosti 0 a 1, zřejmě vyhovuje zadané podmínce a má
5. Množina 1234 (různých) reálných čísel má následující vlastnost. Když nahradíme každé číslo množiny součtem zbývajících 1233 čísel, dostaneme stejnou množinu 1234 čísel. Dokažte, že součin těchto 1234 čísel je záporný.
Magdaléna Mišinová | org | 12. 7. 2020 20:07:24
Řešení 3:
+ skrytý text
Protože
,
je střed
a
je tětiva této kružnice, tak
je střed
.
Označme
střed
. Víme, že
. Těžiště vždy leží uvnitř trojúhelníku, takže
je střed
. Tím jsme dokázali, že úsečky
a
se navzájem půlí, takže čtyřúhelník
je rovnoběžník.
Platí
a
je střed
, takže
je střed
. Obdobně
je střed
. Opsiště
zkonstruujeme proto tak, že z bodů
a
vedeme kolmice postupně na
a
. Proto body
,
,
a opsiště
určitě leží na kružnici, jak jsme chtěli.
4. Mějme přirozené číslo
. V závislosti na
najděte největší
s následující vlastností. Tabulka s
řádky a
sloupci můžeme být vyplněna reálnými čísly tak, aby pro každé dva řádky, čísla v nichž si označíme
a
, platilo:

+ skrytý text
Protože
Označme
Platí
4. Mějme přirozené číslo
Zdeněk Pezlar | org | 12. 7. 2020 17:52:47
Řešení 2:
+ skrytý text
takže pokud označíme
, tak díky AG a Cauchymu platí:
a jsme doma.
3. V trojúhelníku
s opsištěm
a těžištěm
platí
. Označme
druhý průsečík
s kružnicí
a mějme
průsečík přímek
a
,
průsečík
a
. Ukaž, že opsiště
leží na
.
+ skrytý text
3. V trojúhelníku