Chat Prasátek

Matematická sekce

Zdeněk Pezlar | org | 29. 12. 2022 19:27:13

Ahoj,

chceš trochu potrénovat před blížícím se krajským kolem Matematické olympiády A? Potom je tu právě pro tebe TRiKSko -- tréninková online soutěž semináře iKS. Bližší informace najdeš na https://iksko.org/triks/current.php.

Denisa Hanušková | org | 6. 12. 2022 20:37:09

Ahoj, stále se trápíš nad některou z úloh? Pak Tě jistě potěší pozdní dárek od Mikuláše, který Ti u nás v podobě hintů zanechal.
Úloha 1. + skrytý text

Vypiš si, jaká prvočísla spolu mohou sousedit.

Úloha 2. + skrytý text

Zvol za $p$ postupně $3, 5, 7.$

Úloha 3. + skrytý text

Pokrať 19, rozlož na součin.

Úloha 4. + skrytý text

Podívej se na paritu.

Úloha 5. + skrytý text

V posloupnosti $p_n$ se od nějaké chvíle bude opakovat $2,2,3,2,2,3,2,2,3,\dots$

Úloha 6. + skrytý text

Označ si ony čtverce $a^2$ a $b^2$ ,pak odečti a faktorizuj.

+ skrytý text

Odhadni $a+b<2p$

Úloha 7. + skrytý text

Faktorizuj $n^6-1=(n-1)(n+1)(n^2-n+1)(n^2+n+1)$

+ skrytý text

Vyjádři $p=nk+1$ , dosaď a rozeber případy podle toho, kterou závorku $p$ dělí.

Úloha 8. + skrytý text

Přepiš na součin kombinačních čísel.

+ skrytý text

Přidej k součinům $p$ , abys dostal kombinační čísla s $p.$

Úloha 1.+ skrytý text

Nemusí.

+ skrytý text

Protipříklad je i na čtyřech vrcholech.

Úloha 2. + skrytý text

Extremální princip.

+ skrytý text

Dívej se na úhly.

Úloha 3. + skrytý text

Udělej strom na triangulaci.

+ skrytý text

Hledej vrchol, co je "uprostřed".

Zdeněk Pezlar | org | 22. 11. 2022 13:06:52

Ahoj!
Již tradiční internetová soutěž Mathrace (http://brkos.math.muni.cz/mathrace/)
proběhne už za týden v úterý 30.11.! Soutěž je určena pro nejvýše čtyřčlenné týmy středoškoláků, pro nadšence mimo střední školu je tu kategorie Underground. Soutěž organizují studenti Přf MUNI.
Čím se liší Mathrace od jiných matematických soutěží? Na řešení úloh jsou povolené libovolné zdroje - kalkulačky, Geogebra, WolframAlpha, programování - můžete si proto být jistí, že i s pomocí těchto nástrojů budete muset nad úlohami přemýšlet.
Soutěž probíhá online, nemusíte se svým týmem sejít na jednom místě. Týmy ale musí pocházet z jedné školy.
Tak na co čekáš, registruj se na Mathrace!

Áďa | org | 15. 11. 2022 12:46:01

Ahoj! Druhá podzimní série je za námi. Pokud si s nějakým příkladem marně lámeš hlavu, níže si můžeš prohlédnout hinty, které Ti pomůžou vydat se správným směrem.

Úloha 1.+ skrytý text

Popáruj si vzdálenosti, aby se sečetly na 9

Úloha 2.+ skrytý text

Dokresli čtverec, jehož úhlopříčka je $\textstyle BK$ .

Úloha 3.+ skrytý text

Parita (sudost/lichost)

Úloha 4.+ skrytý text

Ukaž, že chatrč může být kdekoli mezi 1011. a 1012. hruškou.

Úloha 5.+ skrytý text

Dokresli si průsečíky úhlopříček zadaných obdélníků. Pomocí nich dokaž, že $\textstyle BG$ je rovnoběžná s $\textstyle FC$ .

Úloha 6.+ skrytý text

Buďte $\textstyle X$ , $\textstyle Y$ středy $\textstyle AC$ , $\textstyle BE$ ; potom ukaž, že $\textstyle XOYD$ je rovnoběžník.

Úloha 7.+ skrytý text

Dokažte tětivovost $\textstyle ABCM$ a $\textstyle AO_1NO_2M$

Úloha 8.+ skrytý text

$\textstyle |X_AA_0| = |X_AA_1|$ + skrytý text

Chordála Feuerbachovy kružnice a kružnice opsané

Michal Janík | org | 19. 7. 2022 22:29:35

Řešení 15:
+ skrytý text

$n^n-m^n$ můžeme zapsat jako $(n-m)\left(n^{n-1}+n^{n-2}m+\cdots+nm^{n-2}+m^{n-1}\right)$ . Teď dokážeme, že tyto dvě závorky jsou nesoudělné. Skutečně $n^{n-1}+n^{n-2}m+\cdots+nm^{n-2}+m^{n-1}\equiv n\cdot n^{n-1}=n^n\bmod{(n-m)}$ . Proto $\gcd(n-m,n^{n-1}+n^{n-2}m+\cdots+nm^{n-2}+m^{n-1})=\gcd(n-m,n^n)$ (Eukleidův algoritmus). Pokud by ale nějaké prvočíslo dělilo jak $n-m$ , tak $n^n$ , pak by dělilo i $n$ a $m$ , což je spor s jejich nesoudělností. Tudíž jsou závorky vskutku nesoudělné. Jelikož jejich součin je čtverec, i obě závorky jsou čtverce, tedy skutečně je $n-m$ čtverec.

Zadání 16:
V rovině leží několik přímek tak, že každá přímka protíná přesně $n$ jiných přímek. V závislosti na $n$ určete, kolik přímek může v rovině ležet.

Erik Ježek | 27. 5. 2022 20:04:00

Řešení 14:
+ skrytý text

Když za $b$ budeme dosazovat čísla od 0 do $p-1$ , tak dostaneme $p$ různých zbytků modulo $p$ , protože: Pro spor předpokládejme, že existují různá celá čísla $-1 < x,y < p$ , taková že $xq$ a $yq$ dávají stejný zbytek, pak ale musí platit, že $p$ dělí $q(x-y)$ a z toho že $p$ a $q$ jsou různá prvočísla, tak $p$ dělí $x - y$ , to ale už znamená $x = y$ , což je spor. Zbývá ukázat, že každý z těchto zbytků je menší než $(p-1)(q-1)$ , nebo je prvním větším číslem než tento součin, které dává stejný zbytek modulo $p$ jako $bq$ (proto je v následující nerovnosti na levé straně $-p$ ), pak bude jistě stačit zvolit $a$ nezáporně pro každé $k$ . Podmínku stačí ověřit pro nejvyšší $b$ , tedy pro $b = p - 1$ , pak chceme dokázat: $(p-1)q - p < (p-1)(q-1)$ , což ale triviálně platí a tím jsme hotovi

Zadání 15:
Mějme přirozená čísla $n, m, x$ , taková že splňují $n^n - m^n = x^2$ a čísla $n, m$ jsou nesoudělná. Dokažte že $n - m$ je druhou mocninou přirozeného čísla

Patrik Štencel | 22. 5. 2022 23:33:25

Řešení 13:
+ skrytý text

Rozdělme si políčka na rohová, okrajová(nepatří do nich rohová) a vnitřní. Rohová mají pouze 2 sousedy, takže nemůže být obarvené. Okrajové má 3 sousedy, takže všichni 3 musí být obarveni. Tabulka je konečná, takže se dostaneme k rohovému políčku, které nemůže být obarvené a tedy ani okrajové nemůže být. Nyní se podívejme na vnitřní políčka. Představme si, že tvoří nějaký mnohoúhelník, kde jeho úhly jsou násobky 90°. Představme si, že nějaký vnitřní úhel má 90°. To by znamenalo, že nějaké políčko má kolem sebe 2 čtverečky. To odporuje zadání, takže jeho jediné vnitřní úhly jsou 180°, 270°,360°(uvnitř). Pokud bychom šli po jeho vnějším obvodu(nepočítáme vnitřní záhyby), mohli bychom sečíst úhly na které narazíme. Pokud bychom brali ty úhly, které nejsou přímé a náš mnohoúhelník by měl n vrcholů, získali bychom tento součet jako n270°. Součet úhlů v mnohoúhelníku je (n-2)180°. Tedy náš útvar nemůže být mnohoúhelník, ale zároveň jediný útvar, který by to mohl být je mnohoúhelník. To je spor a tedy nejde to. (Alternativní metoda by spočívala, že půjdeme po obvodu a vždy budeme zabočovat o 90° na jednu stranu a na druhé straně se bude rozkládat náš obarvený mnohoúhelník. Nyní bychom potřebovali obalit náš mnohoúhelník tím, že uzavřeme jeho obvod. Problém by nastal v tom, že u každého takového uzavření by obarvená část nebyla uvnitř uzavřené části, ale venku(táhla by se do nekonečna/krajů(obojí nejde)).)

Zadání 14:
Mějme dvě prvočísla $p,q$ . Dokažme, že pro každé $k>(p-1)(q-1)$ lze $k$ zapsat jako $k=ap+bq$ pro nezáporná celá čísla $a,b$ .

Erik Ježek | 22. 5. 2022 20:24:20

Řešení 12:
+ skrytý text

Stačí zvolit $a = n^2$ , $b = n-1$ , pak rovnost jistě bude platit a jmenovatel zlomku bude vždy vyšší než 0 (z přirozenosti $n$ ).

Zadání 13:
Uvažme tabulku s $n$ řádky a $m$ sloupci. Lze tuto tabulku obarvit, tak aby každé obarvené políčko (existuje aspoň jedno) sousedilo s aspoň 3 jinými obarvenými políčky? (Políčko sousedí s jiným políčkem, pokud mají společnou stranu)

Matěj Doležálek | org | 15. 5. 2022 01:05:18

Řešení 11:
+ skrytý text

Pojmenujme středy $\textstyle \alpha$ , $\textstyle \beta$ , $\textstyle \gamma$ jako $\textstyle D$ , $\textstyle E$ , $\textstyle F$ a jejich společný bod označme $\textstyle O$ . Obě $\textstyle \beta$ , $\textstyle \gamma$ jsou osově souměrné podle $\textstyle EF$ , takže jejich druhý průsečík musí být obrazem $\textstyle O$ podle téhle osy -- můžeme tedy $\textstyle A$ alternativně pojmenovat jako $\textstyle O_d$ . Obdobně mějme $\textstyle O_e=B$ , $\textstyle O_f=C$ . Zjevně je $\textstyle O$ opsiště trojúhelníku $\textstyle DEF$ , ukažme, že opsištěm $\textstyle ABC$ je kolmiště $\textstyle H$ trojúhelníku $\textstyle DEF$ . Označíme-li jeho obrazy v osových souměrnostech podle stran $\textstyle DEF$ jako $\textstyle H_d$ , $\textstyle H_e$ , $\textstyle H_f$ , pak máme $\textstyle |HO_d|=|H_dO|$ , což je jen poloměr opsané kružnice $\textstyle DEF$ , protože $\textstyle H_d$ leží na kružnici opsané (to je známé). Tím je dokázáno, že $\textstyle H$ je středem kružnice opsané $\textstyle ABC$ a její poloměr je $\textstyle |H_dO|=|OD|$ , což je původní poloměr našich kružnic.

Zadání 12:
Je dáno přirozené číslo $\textstyle n>1$ . Dokaž, že lze zvolit přirozená $\textstyle a$ , $\textstyle b$ tak, že $\textstyle n^2+n+1=\frac{a^2+a+1}{b^2+b+1}$ .

Michal Janík | org | 14. 5. 2022 12:21:45

11:
Kružnice $\alpha, \beta, \gamma$ se stejným poloměrem se protínají v jednom bodě. Jejich další průsečíky jsou $A, B, C$ . Dokažte, že kružnice opsaná $ABC$ má stejný poloměr.

Michal Janík | org | 14. 5. 2022 12:18:36

Když už skončil myšmaš, mohli bychom zkusit obnovit maraton, ne? : D

Řešení 10:
+ skrytý text

Je známé, že $1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$ , nerovnost ze zadání můžeme upravit na $\left(\frac{(n+1)(2n+1)}6\right)^n\geq(n!)^2$ . Navíc $\frac{(n+1)(2n+1)}6=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n}=\frac{1^2+2^2+\cdots+n^2}n\geq \sqrt[n]{1^2\cdot2^2\cdots n^2}$ . Umocněním na $n$ -tou dostáváme přesně to, co jsme chtěli.

Kateřina Panešová | 7. 4. 2022 10:40:15

Ahoj! Jistě se už nemůžeš dočkat dvojité várky hintů, a to ke 3. jarní a 3. seriálové sérii!

Úloha 1. + skrytý text

Použij mocniny dvojky.

Úloha 2. + skrytý text

$\textstyle (a-b)(a+b) = a^2 - b^2$

Úloha 3. + skrytý text

Modulo 4.

Úloha 4. + skrytý text

Mocni a zbavuj se racionálních čísel.

Úloha 5. + skrytý text

Označ $\textstyle r = \sqrt{xy}$ , $\textstyle s = x+y$ a vyjádři v $\textstyle r$ a $\textstyle s$ rovnice ze zadání.

Úloha 6. + skrytý text

Dokresli PA a PB a hledej podobné trojúhelníky.

Úloha 7. + skrytý text

Podívej se na cestu délky L a délku cyklu, na němž leží první a poslední vrchol, označ jako K. Ukaž, že existuje cyklus délky alespoň $\textstyle \ell/K + K/2$ .

Úloha 8.+ skrytý text

Levou stranu zdola odhadni jako $\textstyle (n^2d-a^2)/2$ , kde a = dolní celá část z $\textstyle n\sqrt{d}$ .+ skrytý text

Vyluč malé hodnoty $\textstyle n^2d-a^2$ pomocí kvadratických zbytků pro vhodnou zbytkovou třídu d mod 20.

Úloha 1. + skrytý text

Rozepiš Eukleidův algoritmus pro $\textstyle m_1$ a $\textstyle m_2$ a všechny rovnosti vynásob $\textstyle n$ .

Úloha 2. + skrytý text

Použij Eukleidův algoritmus a všimni si, že Eukleidův algoritmus platí i u exponentů.

Úloha 3. + skrytý text

Všimni si, že součet a+b se zachovává a zároveň jsou obě čísla nezáporná. + skrytý text

Proto to nemůže skončit jinak, než že první číslo je nula a druhé je $\textstyle a+b$ .

+ skrytý text

Pokud se (a,b) změní na (c,d), tak NSD(c,d) dělí 2*NSD(a,b).+ skrytý text

Na konci tedy musí platit a+b dělí NSD(a,b)*2^k.

Áďa | org | 8. 3. 2022 09:20:28

Vrtá Ti stále hlavou nějaký příklad ze 2. jarní série? Nevěš ramena a prohlédni si hinty:
Úloha 1. + skrytý text

Zkus za většinu hledaných čísel zvolit jedničku.

Úloha 2. + skrytý text

$\textstyle a+24b$ musí být násobkem $\textstyle 11$ i $\textstyle 13$ .

Úloha 3. + skrytý text

V zápisu čísla zkus použít co nejvíc devítek.

Úloha 4. + skrytý text

Všimni si, že body $\textstyle B$ , $\textstyle C$ , $\textstyle H$ a $\textstyle I$ leží na kružnici.

Úloha 5. + skrytý text

Dokresli střed jedné úhlopříčky a uvaž střední příčky, které tím vzniknou.

Úloha 6. + skrytý text

Dvakrát si rozepiš rekurenci a potom rozlož na součin.

Úloha 7. + skrytý text

Nahlédni, že $\textstyle f$ musí být 3-periodická.+ skrytý text

Vyjádři dvěma způsoby $\textstyle ((p-1)!)^3$ .

Úloha 8. + skrytý text

Vyřeš zvlášť případ, kdy jedno z prvočísel je $\textstyle 2$ .+ skrytý text

Pokud jsou obě prvočísla lichá, najdi spor pomocí 2-valuace rozdílu $\textstyle p-q$ a řádů dvojky modulo $\textstyle p$ a $\textstyle q$ .

Áďa | org | 9. 2. 2022 11:38:55

Ahoj! Nepochybně i Ty netrpělivě vyhlížíš hinty k 1. jarní a 2. seriálové sérii. Zde jsou:
1j
Úloha 1. + skrytý text

Zkus párovat vybarvené a nevybarvené trojúhelníčky.

Úloha 2. + skrytý text

Chytře vyjádři $\textstyle -k^2+(k+1)^2$ .

Úloha 3. + skrytý text

Spočítej počet průsečíků.

Úloha 4. + skrytý text

Podívej se, kde může být n a n-1. Dokaž rekurenci.

Úloha 5. + skrytý text

Podívej se na rozdíl osamělosti sousedů.

Úloha 6. + skrytý text

Seřaď stromy podle výšky.

Úloha 7. + skrytý text

Přičti ke všem rovnicím 1. Nově získané rovnice vynásob. Použij AG nerovnost.

Úloha 8. + skrytý text

Uprav na $\textstyle \frac{1}{n-1}\leq \sum\frac{x_i^2}{1-a_i}$ .+ skrytý text

Použij Cauchy-Schwarzovu nerovnost.

2s
Úloha 1. + skrytý text

Použij indukci na $\textstyle n$ .+ skrytý text

V základním kroku ukaž, že rovnost platí pro $\textstyle n=1$ a všechna $\textstyle k$ neboli $\textstyle P(1,k)$ , v indukčním kroku ukaž implikaci $\textstyle P(N,k) \implies P(N+1, k)$ pro všechna $\textstyle k$ .

Úloha 2. + skrytý text

Pro první, druhý i třetí vztah použij indukci podle $\textstyle r$ . Nezapomeň zmínit, kde používáš vlastnosti již dříve dokázané v seriálu (např. komutativita násobení).

Úloha 3. + skrytý text

Přenásob $\textstyle y_{n+1}$ číslem $\textstyle (x_1 + x_2)$ a použij Vietovy vztahy.

Áďa | org | 12. 1. 2022 20:06:27

Lámeš si stále hlavu nad některými úložkami ze 4. podzimní série? Nová várka hintů Ti spěchá na pomoc.
Úloha 1. + skrytý text

Součet stupňů je menší než stupeň součtu.

Úloha 2. + skrytý text

Rozlož polynom na součin.

Úloha 3. + skrytý text

$\textstyle a-b \mid P(a) - P(b)$

Úloha 4. + skrytý text

$\textstyle P(x) = a_n \cdot (x-x_1) \cdot \dots \cdot (x-x_n)$

Úloha 5. + skrytý text

Ze zadaného vztahu zjisti součet $\textstyle a_1+a_2+\dots+a_n$ . + skrytý text

Pro $\textstyle n>2$ zjisti součet $\textstyle a_i\cdota_j$ pro všechna $\textstyle i, j$ , případ $\textstyle n\leq2$ rozeber zvlášť.

Úloha 6. + skrytý text

Podívej se na stupně polynomů. Ukaž, že P má kořen v 0.

Úloha 7. + skrytý text

$\textstyle P(n)$ nemůže mít velkého dělitele menšího než $\textstyle n$ .+ skrytý text

$\textstyle P(a)$ bude nutně dělit i nějaké další $\textstyle P(n)$ .

Úloha 8. + skrytý text

Na lichých mocninách nezáleží.+ skrytý text

$\textstyle a=-b \pmod{a+b}$ + skrytý text

Pokud máš víc než jeden člen se sudou mocninou, vyděl vhodnou mocninou $\textstyle b$ a polož rovnost.

Kateřina Panešová | 8. 12. 2021 18:49:36

Zdravím všechny příznivce hintů 3. podzimní a 1. seriálové série!
3p
Úloha 1. + skrytý text

Vytvořte dlouhý rovnoběžník a poté na něj postupně přidávejte zuby.

Úloha 2. + skrytý text

Vyberte průměr, a poté libovolný ze zbylých vrcholů. Vyřeště kvadratickou rovnici.

Úloha 3. + skrytý text

1,4,5,2,3,6

Úloha 4. + skrytý text

Dokresli úsečku $\textstyle AE$ a vyčísli úhly. + skrytý text

Ukaž, že trojúhelník $\textstyle AXE$ je rovnoramenný.

Úloha 5. + skrytý text

Uvažujte cykly vzniklé přeskakováním vždy o $\textstyle k$ vrcholů doprava. Všimněte si, že rozdíl počtu dvojic červených vrcholů po sobě a modrých vrcholů po sobě je roven rozdílu počtu červených a modrých vrcholů v cyklu.

Úloha 6.+ skrytý text

Ukažte, že kružnice se středem v A a poloměrem $\textstyle 1$ se dotýká úsečky $\textstyle EF$ . (Např. pomocí překlopení bodu $\textstyle B$ podél $\textstyle AE$ a $\textstyle C$ podél $\textstyle AF$ .)

Úloha 7. + skrytý text

Podívejte se na středové úhly jednotlivých tětiv kružnice. Musí být po dvou různé a dva vedlejší musí mít vždy celočíselný průměr.+ skrytý text

Pro $\textstyle n=20$ lze udělat konstrukce, pro $\textstyle n=19$ musíme volit celočíselné velikosti jednotlivých úhlů a do plného úhlu $\textstyle 360$ se nemůžou vejít.

Úloha 8. + skrytý text

Uvažujte cestičky vytvořené paralelním přesouváním úseček délky jedna podél dlaždiček libovolného dláždění. + skrytý text

Každé dvě cestičky, které nemají stejně orientované úsečky, se protínají právě na jednom místě a jednoznačně určují typ dlaždičky. Počet cestiček různých typů nezávisí na vydláždění.

1s
Úloha 1. + skrytý text

Indukce na n=počet prvků S.

Úloha 2. + skrytý text

Silná indukce pro n větší než 10, které zapiš jako 10a+b.

Úloha 3. + skrytý text

Ukaž, že pro sudý počet palačinek otočených spálenou stranou vyhrát nemůže, a naopak zkonstruuj strategii, podle které vyhraje, pokud je palačinek otočených spálenou stranou nahoru lichý počet. Silná indukce.

Kateřina Panešová | 7. 10. 2021 09:56:12

Ahoj! Jistě již netrpělivě očekáváte hinty k 1. podzimní sérii! Pro nové řešitele: Po termínu odeslání zveřejňujeme malé nápovědy k soutěžním úlohám, takže si můžete zkusit vyřešit i úlohy, u kterých jste si nevěděli rady :)
Umění
Úloha 1. + skrytý text

Opačná úhlopříčka

Úloha 2. + skrytý text

Slož dvě osové souměrnosti.

Úloha 3. + skrytý text

Nejbližší dva body

Úloha 4. + skrytý text

Vietovy vztahy a mocnost

Úloha 5. + skrytý text

8 a 7 nefungují; 5 a 6 nelze použít zároveň

Úloha 6. + skrytý text

Přesubstituuj do částečných součtů.

Úloha 7. + skrytý text

Dokresli středy $BC$ a $MK$ .

Úloha 8. + skrytý text

Dokresli přes trojúhelníky větší útvary, které se stále nebudou překrývat. + skrytý text

Rozšiř na šestiúhelník tak, aby se ani žádné dva šestiúhelníky nepřekrývaly.

Dominik Stejskal | 13. 5. 2021 03:36:46

Než dojde další ročník ke svému konci, je tu ještě jedna várka hintů ke 4. jarní sérii. :)

Úloha 1.
(a) + skrytý text

Ukaž, že body $\textstyle M$ , $\textstyle E$ , $\textstyle C$ a $\textstyle F$ leží na jedné kružnici.

(b) + skrytý text

Překlop body $\textstyle B$ a $\textstyle D$ po řadě podle úseček $\textstyle AE$ a $\textstyle AF$ a označ obrazy $\textstyle B$ , $\textstyle D$ . Ukaž, že $\textstyle A$ , $\textstyle B$ , $\textstyle D$ leží na přímce a $\textstyle B$ je rovnoběžník. + skrytý text

V rovnoběžníku se půlí úhlopříčky. Následně hledej shodné trojúhelníky.

Úloha 2.
(a) + skrytý text

V pravoúhlém trojúhelníku je poloměr kružnice vepsané = (odvěsna + odvěsna - přepona) / 2.

(b) + skrytý text

Rozděl vyhovující permutace na skupinky po $\textstyle p^2$ . + skrytý text

Pokud $\textstyle (a_1, a_2, \dots, a_p)$ vyhovuje, pak vyhovují i permutace tvaru $\textstyle (a_{1 + 1}, a_{2 + 1}, \dots, a_{p + 1})$ a $\textstyle (a_1 + 1, a_2 + 1, \dots, a_p + 1)$ , kde $\textstyle p + 1 = 1$ . + skrytý text

Rozmysli si, že opakovanou aplikací tohoto algoritmu lze dostat přesně permutace tvaru $\textstyle (a_{1 + k} + \ell, a_{2 + k} + \ell, \dots, a_{p + k} + \ell)$ , kde $\textstyle k, \ell \in \{0, 1, \dots, p - 1 \}$ a všechny indexy a hodnoty bereme modulo $\textstyle p$ mezi $\textstyle 1$ a $\textstyle p$ . Takto vyrobíme spoustu disjunktních skupinek vyhovujících permutací, které jsou velké nejvýše $\textstyle p^2$ . Které z nich jsou menší než $\textstyle p^2$ ? + skrytý text

Ukaž, že to jsou přesně permutace s konstantní diferencí $\textstyle d = a_{i + 1} - a_i$ pro všechna $\textstyle i \in \{2, 3, \dots, p\}$ .

Úloha 3.
(a) + skrytý text

Podívej se na cestu mezi políčky s čísly $\textstyle 1$ a $\textstyle n^2$ .

(b) + skrytý text

Kolik je kostiček potřeba k tomu, aby se už další nedala přiložit do jednoho čtverce $\textstyle 4\times 4$ ?

Úloha 4.
(a) + skrytý text

$\textstyle XY$ prochází středem čtverce.

(b) + skrytý text

Uvažme nejmenší kruh obsahující všechny body. Můžou všechny body na okraji být součástí jedné půlkružnice?

Úloha 5.
(a) + skrytý text

V některou hodinu budou u trezoru 3 orgové. + skrytý text

Jednoho z nich lze propustit.

Úloha 6.
(a) + skrytý text

Velká prvočísla by bylo potřeba spárovat s jedničkou. + skrytý text

Jde zařídit 12 celočíselných zlomků.

(b) + skrytý text

Jde to pro všechna $\textstyle n$ . Konstruuj $\textstyle n$ -tici induktivně. + skrytý text

Přidej nulu a ke všemu přičti vhodné číslo.

Úloha 7.
(a) + skrytý text

$\textstyle MN$ je těžnice v $\textstyle ANB$ i $\textstyle CMD$ .

(b) + skrytý text

Chceš dokázat $\textstyle \frac{|AX|}{|AY|}=\frac{|BX|}{|BY|}$ . + skrytý text

$\textstyle XY$ a společné tečny z bodů $\textstyle A$ , $\textstyle B$ se protínají v jediném bodě $\textstyle T$ .

Kateřina Panešová | 14. 4. 2021 10:39:28

Dvojitá dávka čerstvých hintů k 3. jarní a 3. seriálové sérii!

Úloha 1.+ skrytý text

Rovnoramenný trojúhelník. + skrytý text

Úhel $\textstyle 120^\circ$ .

Úloha 2.+ skrytý text

Spočítej celkový počet stran trojúhelníků na obvodu n-úhelníku.

Úloha 3.+ skrytý text

Uvaž trojúhelníky o straně dva.

Úloha 4.+ skrytý text

$\textstyle BI$ , $\textstyle CI$ jsou výšky v trojúhelníku $\textstyle BCM$ .

Úloha 5.+ skrytý text

Vyúhli, že trojúhelníky $\textstyle ACK$ a $\textstyle DEL$ jsou shodné.+ skrytý text

Využij úsekové úhly.

Úloha 6.+ skrytý text

$\textstyle O$ leží na $\textstyle AX$ .+ skrytý text

$\textstyle OO_1$ i $\textstyle CX$ jsou kolmé na $\textstyle XY$ .

Úloha 7.+ skrytý text

Dokresli $\textstyle K$ průsečík $\textstyle DF$ a $\textstyle \omega$ .+ skrytý text

Trojúhelníky $\textstyle KBC$ a $\textstyle ANM$ jsou podobné s SUS.

Úloha 8.+ skrytý text

Počítejte obsah doplňku trojúhelníku $\textstyle CPQ$ vzhledem ke kosočtverci $\textstyle ABCD$ .+ skrytý text

Ukažte, že hledaná nezávislost je ekvivalentní tomu, že hodnota $\textstyle |AP|*|BQ|$ nezávisí na poloze $\textstyle P$ .+ skrytý text

Překlopte body $\textstyle P$ , $\textstyle Q$ podle úsečky $\textstyle AB$ na body $\textstyle P$ , $\textstyle Q$ .+ skrytý text

Ukažte, že body $\textstyle P$ , $\textstyle Q$ , $\textstyle P$ , $\textstyle Q$ a střed $\textstyle O$ kosočtverce $\textstyle ABCD$ leží na jedné kružnici.+ skrytý text

$\textstyle O$ je Švrčkův bod trojúhelníku $\textstyle PQP$ .+ skrytý text

Nezávislost prokažte pomocí mocnosti z $\textstyle A$ .

Úloha 1.+ skrytý text

Nejprve vyřeš prvočíselné mocniny, potom použij Čínskou zbytkovou větu.

Úloha 2.+ skrytý text

Zkus jako prvky krutopřísné posloupnosti použít 1 a prvočíslo p.+ skrytý text

Pro důkaz ireducibility se na to podívej mod p.

Úloha 3.+ skrytý text

3. Zvol $\textstyle z = \phi(x)$ .+ skrytý text

Použij $\textstyle x-a \mid f(x)-f(a)$ .

Dominik Stejskal | 13. 3. 2021 23:37:52

Nové hinty ke druhé jarní sérii jistě pomůžou rozbít i ty odolnější úlohy...

Úloha 1. + skrytý text

Co umíš říct o $a + b + c$ ?

Úloha 2. + skrytý text

Šimpanzovi naproti Radečkovi dej co nejvíce banánů.

Úloha 3. + skrytý text

Rozlož povrch čtyřstěnu na síť. + skrytý text

Nahlédni, že Pavel si nepomůže přecházením přes více hran.

Úloha 4. + skrytý text

Rozdíl základů pátých mocnin by musel dělit $p$ .

Úloha 5. + skrytý text

V kolika takových dvojicích je na začátku každá karta?

Úloha 6. + skrytý text

Počítej modulo $d-1$ .

Úloha 7. + skrytý text

Čísla lze vydělit jejich společným dělitelem. + skrytý text

Dívej se na čísla modulo 2. Co se stane po dvou krocích?

Úloha 8. + skrytý text

Vyhovují právě dvojice splňující $p = q \neq 2$ . + skrytý text

Zkoumej řád $2p^2 - 1$ modulo $p+q$ .

<< < 1 2 3 ... 36 37 > >>

Kontakt

email	info (zavináč) prase.cz
pošta	Matematický korespondenční seminář KAM MFF UK Malostranské náměstí 25 118 00 Praha 1

Organizátoři

Matematický korespondenční seminář je organizovaný studenty Matematicko-fyzikální fakulty UK pod záštitou Informatického ústavu UK a Oddělení propagace a mediální komunikace MFF UK.

Partneři

Realizace projektu byla podpořena Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy

Matematický korespondenční seminář

Kalendář

Z naší fotogalerie

Kontakt

Organizátoři

Partneři