Chat Prasátek

Matematická sekce

Michal Buráň | 19. 1. 2016 16:42:59

Otevřelo se přihlašování na matematický tábor pro středoškoláky PROMYS Europe http://promys-europe.org/. Letos se podruhé koná v Oxfordu podle bostonského modelu, kde byl už 27x. Jako nová akce není příliš známý.

Je to šest týdnů intenzivní matiky. Jádro programu tvoří přednášky z teorie čísel a denní sada úloh. Na začátku se nepředpokládají žádně neobyčejné znalosti. Závěr kurzu se věnuje kvadratické reciprocitě.

Každý student si navíc zvolí "exploration project", který simuluje matematický výzkum. Ve trojicích se společně s jedním orgem snaží vyřešit v průběhu tábora obtížný matematický problém. Podobně jako v profesionální vědě je součástí projektu i formulace vlastních otázek a domněnek. Projekty mají záměrně otevřený konec a mnoho možných směřování. Své objevy účastníci sepíší a prezentují ostatním.

Aspoň jednou týdně máme pozvaného přednášejího hosta. Často jsou to matematici v různých fázích akademické kariéry. Loni mezi nimi byl i Andrew Wiles.

Oproti soustředkám je tam daleko víc matiky a míň sportů a her.

A chtěl bych zdůraznit, že: "Full and partial need-based financial aid is also available. PROMYS Europe is dedicated to the principle that no student should be unable to attend for financial reasons."

A neváhejte se mě na cokoli o PROMYSu zeptat. nebo napište Nině Hronkovičové, která se loni zúčastnila.

Radovan Švarc | 18. 1. 2016 20:22:11

Čaute

Máte rádi matiku? Máte rádi iKSko? Máte rádi ČOKOLÁDU!?!?!?! Pokud jste alespoň na jednu otázku odpověděli "ano", "hmm", "jo", nebo "hej", čtěte dál. (V opačném případě taky.)

Už dvakrát v minulosti jste mohli být svědky souboje Čechů proti Slovákům v rámci Velkých cen iKS. Obě zápolení zatím vyhráli Slováci, ale letos může být všechno jinak. O co jde?

Pravidla jsou jednoduchá -- stačí vyřešit úlohu z letošní sedmé série iKS, podívat se na stránku Velké ceny (http://iksko.org/velkeceny.php), který organizátor ji má na starosti a poslat mu mail, ve kterém se ho pokusíte přesvědčit, že jste ji opravdu vyřešili (ačkoli nemusíte zabíhat do všech podrobností). Za to pak (pokud ho přesvědčíte) kromě imaginární Velké ceny za Velkou úlohu vyhráváte navíc 2^(1-n) čokolády, kde n je pořadí, ve kterém jste danou úlohu vyřešili. Celkem se tak rozdá skoro 8 čokolád, přičemž hypotetické maximum pro jednoho řešitele jsou až 4 čokolády!

Na stránce Velké ceny (http://iksko.org/velkeceny.php) se navíc bude počítat česko-slovenské skóre -- Nejprve pro každou úlohu zvlášť a pak celkové podle toho, kdo vede na kolika úlohách.

Pokud nemůžete na stránkách najít zadání 7. série, je to v pořádku. Zadání totiž zveřejníme až o půlnoci -- po termínu odeslání 6. série.

GL&HF

P.S.: Pokud plánujete úlohu skutečně poslat s tím, aby se objevila i nakonec ve výsledovce, potom pozor -- v rámci velkých cen stačí napsat řešení emailem příslušnému organizátorovi, ale před termínem odeslání je stále potřeba řešení sepsat a poslat submitovátkem/poštou jako obvykle. Pokud vám ale jde jen o Velké ceny (http://iksko.org/velkeceny.php), potom skutečně stačí jen email příslušnému orgovi.

Miroslav Olšák | org | 14. 1. 2016 21:06:23

Tak když jste se popasovali s krajským kolem, nezapomeňte na seriál ;-)
Vím, že je to netriviální téma. Rád tedy tady na chatu zodpovím jakékoli dotazy k seriálu, krom těch, které by se přímo týkaly řešení 2. série seriálových úloh nebo 2. čokoládové výzvy.

Čokoládovou výzvu zatím nikdo nevyřešil. Rozhodl jsem se tedy, že za týden -- ve čtvrtek 21. 1. zveřejním drobnou nápovědu, která sice neodkryje klíčové myšlenky řešení, ale pomůže s technickými obtížemi.

P.S. Oba odstavce se sice týkají primárně řešitelů, ale ne jenom jich. I pro organizátory probíhá soutěž o čokolády, zapoj se ;-)

Štěpán Šimsa | org | 12. 1. 2016 15:52:41

Taky se mi úlohy moc nelíbí, akorát dvojka je fajn. Na postup tipuju 12 bodů.

Danil | 12. 1. 2016 15:06:42

Jo, beru svá slova o dvojce zpět, to jen já jsem zabiják geometrií :D
Když tak vzoráky už jsou na http://skmo.sk/dokument.php?id=1732

Lucien Šíma | 12. 1. 2016 14:59:50

Dvojku jsem udělal podobností a pythagorovou větou... a to prý existuje ještě hezčí řešení

Lucien Šíma | 12. 1. 2016 14:57:52

Mně se úlohy taky moc nelíbily (i když dvojka byla podle mě celkem pěkná). Snad mám taky všechno a hranici tipuju na něco kolem 18 bodů...

Danil | 12. 1. 2016 14:55:25

Ahoj všichni, já budu trochu větší optimista a tipnu hranici na 15-16 bodů, neboli 2.5 úlohy.
Jednička byla taková poměrně přímočará, ale přesto poměrně hezká, i když na mě asi příliš numerického počítán.
Dvojka byla fakt odporně nechutná, nebo alespoň zatím neznám žádné hezké řešení... Přišli jste někdo na něco hezčího, než sinovka a pak Jensen+AG (respektive místo toho derivace), Jensen na divnou funkci, nebo hardcore analytika?
Trojka nějak moc lehká, proto taky ten vysoký bodový odhad, v podstatě jedna úloha byla fakt zadarmo.
Čtyřka mi jako jediná dala celkem zabrat, taky se mi ze všeho nejvíc líbila, snad jsem i přišel na to trikovější řešení bez jakékoliv mlhy :D
Jinak se mi dařilo celkem dobře, doufám v plný počet :)
Co vy ostatní?

Jan Petr | 12. 1. 2016 13:57:41

Popravdě se mi úlohy moc nelíbily (ale možná jsem minul nějaké hezké řešení – věřím, že u dvojky něco hezčího bylo – což by mě mrzelo)... Nějak jsem je nakonec všechny vyřešil (a výsledky souhlasí s těmi od Danila), ale vysvětlení (zvláště čtyřky) může být místy mlhavé. Hranici tipnu na 13 bodů, pro začátek.

Lucien Šíma | 12. 1. 2016 13:36:46

Co říkate na krajské kolo áčka? Jak se vám dařilo? Kolik tipujete bodů potřebných na postup? ;)

Marián Poppr | 11. 1. 2016 14:38:02

Ahoj,
jsou tu Hinty, Nápovědy, Tipy a Triky k poslední podzimní serii

Úloha 1+ skrytý text

Jsou stejné

Úloha 2+ skrytý text

Všimni si, že spojnice středů 2 kružnic prochází přes bod dotyku jim společný+ skrytý text

Jaký je trojúhelník s vrcholy ve středech kružnic?

Úloha 3+ skrytý text

Skus po obvodu obložit čtverec čtyřmi obdelníky o stranách 1 a 1-x, a doprostřed umístit za sebe zbylé obdelníky, zbývá zjistit jak velké je x?+ skrytý text

a. 4023/4024

Úloha 4+ skrytý text

Nestačilo by nám ukázat, že trojúhelníky ADE a ACB jsou podobné?+ skrytý text

Doúhly, že čtyřúhelník DBCE je tětivový (obvodové úhly)

Úloha 5+ skrytý text

Ukaž, že trojúhelníky ADM a MCB mají dohromady stejný obsah jako trojúhelník ABN+ skrytý text

Zkoumej, jak vysoko jsou body D a C nad AB oproti N

Úloha 6+ skrytý text

Nejprve ukaž, že trojúhelníky ABC a KLM jsou podobné s koeficientem podobnosti 2S + skrytý text

Tedy kružnice vepsané jsou ve stejném poměru, z toho už jde lehce dopočítat zbytek :)

Úloha 7+ skrytý text

Ukažte například, že počet otázek může být 23+ skrytý text

Zvolme si vrchol A a nejprve se pokuste najít stranu, na které je bod (řekněmě třeba P) na mnohoúhelníku, tak aby AP půlilo obsah n-úhelníku+ skrytý text

Přidejme na mnohoúhelník vrcholy tak aby měl 2050(drobný trik)a očíslujme od od vrcholu A vrcholy B0,B2048. Poté se zeptejme na obsahy když vedeme přímku AB512, AB1024,AB1536+ skrytý text

Podle toho, který obsah je nejmenší, najděte mezi jakými body Bx bude P (rozpůlíme počet možných stran, které kandidují+ skrytý text

Po 21 krocích zbydou dvě strany, zeptejte se na obsahy A + střed strany a zjistěte posléze obsah mnohoúhelníku

Úloha 8+ skrytý text

X je alespoň 2 a půl+ skrytý text

To funguje když rozřízneme čtverec na půl, stačí tedy ukázat, že lépe to už nejde+ skrytý text

Proložme vodorovnými přímkami čtverec, co nám to řekne o šířkách modrých a výškách žlutých obdelníků?+ skrytý text

Alespoň jeden součet je větší než jedna, BÚNO modré šířky. Skuste šikovně použít CS nerovnost+ skrytý text

A konečně si rozmyslete, že součet žlutých poměrů je alespoň 1/2

Štěpán Šimsa | org | 6. 1. 2016 00:30:30

A pokud jste se TRiKSů dosud báli, je tu pro vás další série http://iksko.org/triks/current.php, která je jednodušší než ty předchozí -- ideální čas se zapojit.

Štěpán Šimsa | org | 4. 1. 2016 22:43:10

Ahoj,
pro příznivce TRiKSu upozorňuji, že aktuální soutěž http://iksko.org/triks/current.php je možné řešit i zítra, takže se nemusíte rozhodovat, jestli radši zkusit vyřešit ještě jednu úlohu do PraSátka nebo si radši vyzkoušet TRiKSoutěž.

Matěj Konečný | 3. 1. 2016 10:07:43

Ahoj,
děkujeme za upozornění, už je to opravené, termín odeslání je vskutku už zítra. Ta konkrétní stránka bohužel ještě nepřešla na novou verzi systému, takže se na ní věci dělají ručně a vloudil se nám tam překlep :(.
Matěj

Lucien | 2. 1. 2016 23:38:55

máte tady špatný datum odeslání 4. série:
http://mks.mff.cuni.cz/commentary/commentary.php
(je tam uvedeno 6.ledna, mohlo by to někoho zmást)

Radovan Švarc | 1. 1. 2016 16:14:19

Přichází rok 2016. A protože všechna přirozená čísla jsou zajímavá (to se dokáže jednoduchou indukcí), je i 2016 zajímavé číslo. Mezi jeho vlastnosti patří:

Všechny jeho dělitele jsou jednociferná čísla, konkréteně $\textstyle 2016=2^5\cdot 3^2\cdot 7$ .

Je skoro symetrické v dvojkové ( $\textstyle 2016=11111100000_2$ ), trojkové ( $\textstyle 2016=2202200_3$ ) i pětkové ( $\textstyle 2016=31031_5$ ) soustavě.

Jedná se o 63. trojúhelníkové číslo ( $\textstyle 2016=\frac{64\cdot 63}{2}$ ) a 32. šestiúhelníkové číslo ( $\textstyle 2016=32\cdot(2\cdot 32-1)$ )

A nakonec platí tahle kúl rovnost: $\textstyle 2016={9\choose 5}\cdot 2^{9-5}$ .

Tak si celý ten rok užijte!

Miško | org | 19. 12. 2015 12:11:24

Ahoj, narazil som na takúto základnú vec, a až ma zaráža, že som o nej nevedel na strednej :)

Otázka: Aké sú vnútorné uhly trojuholníka so stranami $\textstyle 1,\varphi,\varphi$ ? A trojuholníka $\textstyle 1,1,\varphi$ ?
( $\textstyle \varphi$ je zlatý rez, t.j. jediné kladné číslo, čo spĺňa $\textstyle \varphi^2 = \varphi + 1$ .)
Odpoveď: + skrytý text

$\textstyle 36^\circ, 72^\circ, 72^\circ$ resp. $\textstyle 36^\circ, 36^\circ, 108^\circ$ .

Marián Poppr | 15. 12. 2015 19:02:32

Ano, jsou tu vždy po uzávěrce a před hotovými vzoráky, aby si každý mohl buď skusit dořešit úlohy, s kterými třeba válčil. A nebo když je nedočkavý, tak pomocí hintů nahlédl, že měl odeslané řešení správné.

Marco Souza de Joode | 14. 12. 2015 22:03:09

Hele, vy zveřejňujete ty nápovědy až po uzávěrce?

Marián Poppr | 14. 12. 2015 21:09:14

Ahoj!

Na povrch vyplavaly a světlo světa spatřily NÁPOVĚDY k nejen 3. sérii, ale dokonce i 1. seriálové serii..

3.série

Úloha 1+ skrytý text

Jde to...

Úloha 2+ skrytý text

Nejde to...+ skrytý text

Jak by vypadal graf, kde vrcholy reprezentují políčka šachovnice a hrany odpovídají skokům koně mezi políčky?

Úloha 3+ skrytý text

Jde to...+ skrytý text

Neklesat na mysli a chvilku si hrát :)

Úloha 4+ skrytý text

Lze to pro všechny čtverce o straně 4n-2 + skrytý text

Pro konstrukci tohoto případu skus např. z T tetronim složit čtverec 4*4 a ten obalit čtverci 2*2+ skrytý text

Snadno lze nahlédnout, že čtverce o liché straně nejdou poskládat+ skrytý text

Zbývající případ 4n skus vyvrátit obarvením šachovnice a zkoumej kolik je potřeba nahradit čtverců za t-tetronima, a jak se ti při tom mění parita barev na šachovnici.

Úloha 5+ skrytý text

Bára má vyhrávající strategii+ skrytý text

Co kdyby se jí podařilo vytvořit si nějaké volné políčko pro L u rohu, které nelze ani z části překrýt čtvercem?

Úloha 6+ skrytý text

Jak se změní aritmetický průměr všech políček po Mínusíkově nebo Plusíkově tahu? A jak se změní hodnota prostředního políčka?+ skrytý text

Jelikož na konci se průměr bude rovnat prostřednímu políčku, tak zkuste zjistit, jakou hodnotu mělo na začátku?+ skrytý text

Zbývá ukázat, že konečná hodnota všech políček může být pouze 5

Úloha 7+ skrytý text

Skuste úlohu vyřešit sporema.+ skrytý text

Tedy věže by se na řádcích a sloupcích pouze zpermutovali, jaká by pak byla hodnota výrazu, když bychom sečetly všechny absolutní hodnoty rozdílů Pi-i a qi-i (kde Pi a qi jsou permutace na řádcích a sloupcích pro odpovídající políčko na šachovnici) + skrytý text

Dostaneme liché číslo 3*2015+ skrytý text

Ukažte však, že každá suma (přes řádky a sloupce) má hodnotu sudého čísla

Úloha 8 + skrytý text

Úloha má řešení jen pro šachovnice o rozměrech stran, které jsou mocninou dvojky+ skrytý text

Kolik je možností jak zakódovat šachovnici?+ skrytý text

Pak by musel Štěpán otočením jednoho políčka získat n^2 zakódovaných stavů, co z toho pak pro rozměry šachovnice? + skrytý text

Zbývá najít pro n mocninu dvojky strategii Štěpána a Davida. Označ si políčka 0 až n^2-1 a zkoumej jejich binární zápis.+ skrytý text

David si zvolí políčko s hodnotou XOR všech políček třeba s bílou barvou. Když Štěpán dostane stav s hodnotou XORu bílých políček a ,a Rado si vybere políčko b, tak zbývá ukázat, že stačí změnit knoflík na políčku aXORb.

Seriál

Úloha 1 + skrytý text

Skus vyplňovat číselnou od nějakého bodu na obě dvě strany, tak aby si v nějakém kroku určitě pastmi přeskočil blechu a zároveň jí stihl uzavřít.+ skrytý text

Zvol si nějakou dostatečně rychle rostoucí funkci

Úloha 2 + skrytý text

Najdi prosté zobrazení z P(R+) do X + skrytý text

Skus si vzít zobrazení takové, které by každé podmonožině M z R+ přiřadilo bijekci, jež pro všechny kladná a přiřadila identitu nebo zapornoua, podle toho jestli jsou v M nebo ne.

Úloha 3 + skrytý text

Mějme rekurzivně w^n=w*w^(n-1) , je w^n DUMa?+ skrytý text

Porovnáváme lexikograficky zprava

+ skrytý text

Položme potom w^w jakožto, posloupnost přirozených čísel s jen konečným počtem nenulových čísel a opět ukažme, že jde o DUMu+ skrytý text

Stačí tedy najít rostoucí bijekci :)+ skrytý text

Vezměme si zobrazení (n,ai) na (bi) pro i jdoucí do nekonečna a zároveň b1=n a bx=ax-1 pro x>1, ukaž že je bijekcí a poté trochu zatněme zuby a dopočítejme, že je toto zobrazení opravdu rostoucí

<< < 1 2 ... 7 8 9 ... 36 37 > >>

Kontakt

email	info (zavináč) prase.cz
pošta	Matematický korespondenční seminář KAM MFF UK Malostranské náměstí 25 118 00 Praha 1

Organizátoři

Matematický korespondenční seminář je organizovaný studenty Matematicko-fyzikální fakulty UK pod záštitou Informatického ústavu UK a Oddělení propagace a mediální komunikace MFF UK.

Partneři

Realizace projektu byla podpořena Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy

Matematický korespondenční seminář

Kalendář

Z naší fotogalerie

Kontakt

Organizátoři

Partneři