Chat Prasátek

Matematická sekce

Miroslav Olšák | org | 14. 1. 2016 21:06:23

Tak když jste se popasovali s krajským kolem, nezapomeňte na seriál ;-)
Vím, že je to netriviální téma. Rád tedy tady na chatu zodpovím jakékoli dotazy k seriálu, krom těch, které by se přímo týkaly řešení 2. série seriálových úloh nebo 2. čokoládové výzvy.

Čokoládovou výzvu zatím nikdo nevyřešil. Rozhodl jsem se tedy, že za týden -- ve čtvrtek 21. 1. zveřejním drobnou nápovědu, která sice neodkryje klíčové myšlenky řešení, ale pomůže s technickými obtížemi.

P.S. Oba odstavce se sice týkají primárně řešitelů, ale ne jenom jich. I pro organizátory probíhá soutěž o čokolády, zapoj se ;-)

Štěpán Šimsa | org | 12. 1. 2016 15:52:41

Taky se mi úlohy moc nelíbí, akorát dvojka je fajn. Na postup tipuju 12 bodů.

Danil | 12. 1. 2016 15:06:42

Jo, beru svá slova o dvojce zpět, to jen já jsem zabiják geometrií :D
Když tak vzoráky už jsou na http://skmo.sk/dokument.php?id=1732

Lucien Šíma | 12. 1. 2016 14:59:50

Dvojku jsem udělal podobností a pythagorovou větou... a to prý existuje ještě hezčí řešení

Lucien Šíma | 12. 1. 2016 14:57:52

Mně se úlohy taky moc nelíbily (i když dvojka byla podle mě celkem pěkná). Snad mám taky všechno a hranici tipuju na něco kolem 18 bodů...

Danil | 12. 1. 2016 14:55:25

Ahoj všichni, já budu trochu větší optimista a tipnu hranici na 15-16 bodů, neboli 2.5 úlohy.
Jednička byla taková poměrně přímočará, ale přesto poměrně hezká, i když na mě asi příliš numerického počítán.
Dvojka byla fakt odporně nechutná, nebo alespoň zatím neznám žádné hezké řešení... Přišli jste někdo na něco hezčího, než sinovka a pak Jensen+AG (respektive místo toho derivace), Jensen na divnou funkci, nebo hardcore analytika?
Trojka nějak moc lehká, proto taky ten vysoký bodový odhad, v podstatě jedna úloha byla fakt zadarmo.
Čtyřka mi jako jediná dala celkem zabrat, taky se mi ze všeho nejvíc líbila, snad jsem i přišel na to trikovější řešení bez jakékoliv mlhy :D
Jinak se mi dařilo celkem dobře, doufám v plný počet :)
Co vy ostatní?

Jan Petr | 12. 1. 2016 13:57:41

Popravdě se mi úlohy moc nelíbily (ale možná jsem minul nějaké hezké řešení – věřím, že u dvojky něco hezčího bylo – což by mě mrzelo)... Nějak jsem je nakonec všechny vyřešil (a výsledky souhlasí s těmi od Danila), ale vysvětlení (zvláště čtyřky) může být místy mlhavé. Hranici tipnu na 13 bodů, pro začátek.

Lucien Šíma | 12. 1. 2016 13:36:46

Co říkate na krajské kolo áčka? Jak se vám dařilo? Kolik tipujete bodů potřebných na postup? ;)

Marián Poppr | 11. 1. 2016 14:38:02

Ahoj,
jsou tu Hinty, Nápovědy, Tipy a Triky k poslední podzimní serii

Úloha 1+ skrytý text

Jsou stejné

Úloha 2+ skrytý text

Všimni si, že spojnice středů 2 kružnic prochází přes bod dotyku jim společný+ skrytý text

Jaký je trojúhelník s vrcholy ve středech kružnic?

Úloha 3+ skrytý text

Skus po obvodu obložit čtverec čtyřmi obdelníky o stranách 1 a 1-x, a doprostřed umístit za sebe zbylé obdelníky, zbývá zjistit jak velké je x?+ skrytý text

a. 4023/4024

Úloha 4+ skrytý text

Nestačilo by nám ukázat, že trojúhelníky ADE a ACB jsou podobné?+ skrytý text

Doúhly, že čtyřúhelník DBCE je tětivový (obvodové úhly)

Úloha 5+ skrytý text

Ukaž, že trojúhelníky ADM a MCB mají dohromady stejný obsah jako trojúhelník ABN+ skrytý text

Zkoumej, jak vysoko jsou body D a C nad AB oproti N

Úloha 6+ skrytý text

Nejprve ukaž, že trojúhelníky ABC a KLM jsou podobné s koeficientem podobnosti 2S + skrytý text

Tedy kružnice vepsané jsou ve stejném poměru, z toho už jde lehce dopočítat zbytek :)

Úloha 7+ skrytý text

Ukažte například, že počet otázek může být 23+ skrytý text

Zvolme si vrchol A a nejprve se pokuste najít stranu, na které je bod (řekněmě třeba P) na mnohoúhelníku, tak aby AP půlilo obsah n-úhelníku+ skrytý text

Přidejme na mnohoúhelník vrcholy tak aby měl 2050(drobný trik)a očíslujme od od vrcholu A vrcholy B0,B2048. Poté se zeptejme na obsahy když vedeme přímku AB512, AB1024,AB1536+ skrytý text

Podle toho, který obsah je nejmenší, najděte mezi jakými body Bx bude P (rozpůlíme počet možných stran, které kandidují+ skrytý text

Po 21 krocích zbydou dvě strany, zeptejte se na obsahy A + střed strany a zjistěte posléze obsah mnohoúhelníku

Úloha 8+ skrytý text

X je alespoň 2 a půl+ skrytý text

To funguje když rozřízneme čtverec na půl, stačí tedy ukázat, že lépe to už nejde+ skrytý text

Proložme vodorovnými přímkami čtverec, co nám to řekne o šířkách modrých a výškách žlutých obdelníků?+ skrytý text

Alespoň jeden součet je větší než jedna, BÚNO modré šířky. Skuste šikovně použít CS nerovnost+ skrytý text

A konečně si rozmyslete, že součet žlutých poměrů je alespoň 1/2

Štěpán Šimsa | org | 6. 1. 2016 00:30:30

A pokud jste se TRiKSů dosud báli, je tu pro vás další série http://iksko.org/triks/current.php, která je jednodušší než ty předchozí -- ideální čas se zapojit.

Štěpán Šimsa | org | 4. 1. 2016 22:43:10

Ahoj,
pro příznivce TRiKSu upozorňuji, že aktuální soutěž http://iksko.org/triks/current.php je možné řešit i zítra, takže se nemusíte rozhodovat, jestli radši zkusit vyřešit ještě jednu úlohu do PraSátka nebo si radši vyzkoušet TRiKSoutěž.

Matěj Konečný | 3. 1. 2016 10:07:43

Ahoj,
děkujeme za upozornění, už je to opravené, termín odeslání je vskutku už zítra. Ta konkrétní stránka bohužel ještě nepřešla na novou verzi systému, takže se na ní věci dělají ručně a vloudil se nám tam překlep :(.
Matěj

Lucien | 2. 1. 2016 23:38:55

máte tady špatný datum odeslání 4. série:
http://mks.mff.cuni.cz/commentary/commentary.php
(je tam uvedeno 6.ledna, mohlo by to někoho zmást)

Radovan Švarc | 1. 1. 2016 16:14:19

Přichází rok 2016. A protože všechna přirozená čísla jsou zajímavá (to se dokáže jednoduchou indukcí), je i 2016 zajímavé číslo. Mezi jeho vlastnosti patří:

Všechny jeho dělitele jsou jednociferná čísla, konkréteně $\textstyle 2016=2^5\cdot 3^2\cdot 7$ .

Je skoro symetrické v dvojkové ( $\textstyle 2016=11111100000_2$ ), trojkové ( $\textstyle 2016=2202200_3$ ) i pětkové ( $\textstyle 2016=31031_5$ ) soustavě.

Jedná se o 63. trojúhelníkové číslo ( $\textstyle 2016=\frac{64\cdot 63}{2}$ ) a 32. šestiúhelníkové číslo ( $\textstyle 2016=32\cdot(2\cdot 32-1)$ )

A nakonec platí tahle kúl rovnost: $\textstyle 2016={9\choose 5}\cdot 2^{9-5}$ .

Tak si celý ten rok užijte!

Miško | org | 19. 12. 2015 12:11:24

Ahoj, narazil som na takúto základnú vec, a až ma zaráža, že som o nej nevedel na strednej :)

Otázka: Aké sú vnútorné uhly trojuholníka so stranami $\textstyle 1,\varphi,\varphi$ ? A trojuholníka $\textstyle 1,1,\varphi$ ?
( $\textstyle \varphi$ je zlatý rez, t.j. jediné kladné číslo, čo spĺňa $\textstyle \varphi^2 = \varphi + 1$ .)
Odpoveď: + skrytý text

$\textstyle 36^\circ, 72^\circ, 72^\circ$ resp. $\textstyle 36^\circ, 36^\circ, 108^\circ$ .

Marián Poppr | 15. 12. 2015 19:02:32

Ano, jsou tu vždy po uzávěrce a před hotovými vzoráky, aby si každý mohl buď skusit dořešit úlohy, s kterými třeba válčil. A nebo když je nedočkavý, tak pomocí hintů nahlédl, že měl odeslané řešení správné.

Marco Souza de Joode | 14. 12. 2015 22:03:09

Hele, vy zveřejňujete ty nápovědy až po uzávěrce?

Marián Poppr | 14. 12. 2015 21:09:14

Ahoj!

Na povrch vyplavaly a světlo světa spatřily NÁPOVĚDY k nejen 3. sérii, ale dokonce i 1. seriálové serii..

3.série

Úloha 1+ skrytý text

Jde to...

Úloha 2+ skrytý text

Nejde to...+ skrytý text

Jak by vypadal graf, kde vrcholy reprezentují políčka šachovnice a hrany odpovídají skokům koně mezi políčky?

Úloha 3+ skrytý text

Jde to...+ skrytý text

Neklesat na mysli a chvilku si hrát :)

Úloha 4+ skrytý text

Lze to pro všechny čtverce o straně 4n-2 + skrytý text

Pro konstrukci tohoto případu skus např. z T tetronim složit čtverec 4*4 a ten obalit čtverci 2*2+ skrytý text

Snadno lze nahlédnout, že čtverce o liché straně nejdou poskládat+ skrytý text

Zbývající případ 4n skus vyvrátit obarvením šachovnice a zkoumej kolik je potřeba nahradit čtverců za t-tetronima, a jak se ti při tom mění parita barev na šachovnici.

Úloha 5+ skrytý text

Bára má vyhrávající strategii+ skrytý text

Co kdyby se jí podařilo vytvořit si nějaké volné políčko pro L u rohu, které nelze ani z části překrýt čtvercem?

Úloha 6+ skrytý text

Jak se změní aritmetický průměr všech políček po Mínusíkově nebo Plusíkově tahu? A jak se změní hodnota prostředního políčka?+ skrytý text

Jelikož na konci se průměr bude rovnat prostřednímu políčku, tak zkuste zjistit, jakou hodnotu mělo na začátku?+ skrytý text

Zbývá ukázat, že konečná hodnota všech políček může být pouze 5

Úloha 7+ skrytý text

Skuste úlohu vyřešit sporema.+ skrytý text

Tedy věže by se na řádcích a sloupcích pouze zpermutovali, jaká by pak byla hodnota výrazu, když bychom sečetly všechny absolutní hodnoty rozdílů Pi-i a qi-i (kde Pi a qi jsou permutace na řádcích a sloupcích pro odpovídající políčko na šachovnici) + skrytý text

Dostaneme liché číslo 3*2015+ skrytý text

Ukažte však, že každá suma (přes řádky a sloupce) má hodnotu sudého čísla

Úloha 8 + skrytý text

Úloha má řešení jen pro šachovnice o rozměrech stran, které jsou mocninou dvojky+ skrytý text

Kolik je možností jak zakódovat šachovnici?+ skrytý text

Pak by musel Štěpán otočením jednoho políčka získat n^2 zakódovaných stavů, co z toho pak pro rozměry šachovnice? + skrytý text

Zbývá najít pro n mocninu dvojky strategii Štěpána a Davida. Označ si políčka 0 až n^2-1 a zkoumej jejich binární zápis.+ skrytý text

David si zvolí políčko s hodnotou XOR všech políček třeba s bílou barvou. Když Štěpán dostane stav s hodnotou XORu bílých políček a ,a Rado si vybere políčko b, tak zbývá ukázat, že stačí změnit knoflík na políčku aXORb.

Seriál

Úloha 1 + skrytý text

Skus vyplňovat číselnou od nějakého bodu na obě dvě strany, tak aby si v nějakém kroku určitě pastmi přeskočil blechu a zároveň jí stihl uzavřít.+ skrytý text

Zvol si nějakou dostatečně rychle rostoucí funkci

Úloha 2 + skrytý text

Najdi prosté zobrazení z P(R+) do X + skrytý text

Skus si vzít zobrazení takové, které by každé podmonožině M z R+ přiřadilo bijekci, jež pro všechny kladná a přiřadila identitu nebo zapornoua, podle toho jestli jsou v M nebo ne.

Úloha 3 + skrytý text

Mějme rekurzivně w^n=w*w^(n-1) , je w^n DUMa?+ skrytý text

Porovnáváme lexikograficky zprava

+ skrytý text

Položme potom w^w jakožto, posloupnost přirozených čísel s jen konečným počtem nenulových čísel a opět ukažme, že jde o DUMu+ skrytý text

Stačí tedy najít rostoucí bijekci :)+ skrytý text

Vezměme si zobrazení (n,ai) na (bi) pro i jdoucí do nekonečna a zároveň b1=n a bx=ax-1 pro x>1, ukaž že je bijekcí a poté trochu zatněme zuby a dopočítejme, že je toto zobrazení opravdu rostoucí

Marián Poppr | 15. 11. 2015 15:30:32

Ahoj,
slyšte tu užasnou a skvělou, jedinečnou a neopakovatelnou novinu, jsou tady NÁPOVĚDY k 2. sérii!! Tak neváhejte a využijte tuto fantastickou příležitost.

Úloha 1+ skrytý text

Ukažte, že takový organizátor nemusí existovat.

Úloha 2+ skrytý text

165 vyhraných zápasů už je moc..

Úloha 3+ skrytý text

Označme bodem F střed BC a bodem H průsečík přímek AF a BD, co víme o trojúhelnících AHB a FHD?+ skrytý text

V jakém jsou poměru?

Úloha 4+ skrytý text

Jaké jsou trojúhelníky AM1M2 a AN1N2 nebo AM2M3 s AN2N3?+ skrytý text

Skus to zjistit přes obvodové úhly.

Úloha 5+ skrytý text

Jaký je trojúhelník KLP? A co se dá říct o bodu M ve vztahu k tomuto trojúhelníku?+ skrytý text

Ukaž, že Q je těžiště trojúhelníku KPN.

Úloha 6+ skrytý text

Ukaž, že pro libovolná 4 x,y,z,w čísla z vykutálené množiny platí, že xy-zw je racionální.+ skrytý text

Nepomohlo by nám náhodou, kdyby i x(y-z) bylo racionální?

Úloha 7+ skrytý text

Ukaž, že trojúhelníky ABK a CAK jsou podobné, co z toho pak plyne pro strany AK,BK,CK?+ skrytý text

Použijte kosinovou větu pro trojúhelníky ABC, AKC, ABK, BCK a ACE (kde E je obraz bodu A ve středové souměrnosti podle M). Pak zatněte zuby a dopočítejte se výsledku :)

Úloha 8+ skrytý text

Pro začátek si rozmysli několik vlastností ciferných součtů: (1) pokud číslo vynásobíme 10, tak se jeho cif. součet nezmění. (2) S(a+b)<=S(a)+S(b). (3) S(ab)<=S(a)S(b) (použij tvrzení (1) a (2))+ skrytý text

No a teď se můžeme vrhnout zpátky na úlohu, zbývá ukázat, že S(n)/S(16n)<=S(625)

Ondra | 20. 10. 2015 20:42:03

Jestli to má řešení nevím, já se spíš pokouším dokázat, že žádné neexistuje. Původní myšlenka byla sevřít to mezi dvě po sobě jdoucí druhé mocniny, ale to se bohužel nepovedlo. Ještě mě napadlo $\textstyle a!$ vyjádřit pomocí dostatečně 'jemného' Stirlinga (označme tu aproximaci jako $\textstyle f(a)$ ) a pak nějakou ošklivou indukcí zkusit dokázat nerovnosti $\textstyle a^a+a!<a^a+f(a)<\left(\left\lfloor\sqrt{a^a+a!-1}\right\rfloor+1\right)^2$ , ale do toho se mi zatím moc nechce...

<< < 1 2 ... 7 8 9 ... 35 36 > >>

Kontakt

email	info (zavináč) prase.cz
pošta	Matematický korespondenční seminář KAM MFF UK Malostranské náměstí 25 118 00 Praha 1

Organizátoři

Matematický korespondenční seminář je organizovaný studenty Matematicko-fyzikální fakulty UK pod záštitou Informatického ústavu UK a Oddělení propagace a mediální komunikace MFF UK.

Partneři

Realizace projektu byla podpořena Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy

Matematický korespondenční seminář

Kalendář

Z naší fotogalerie

Kontakt

Organizátoři

Partneři