Chat Prasátek

Matematická sekce

David Hruška | org | 30. 3. 2016 02:06:07

Ahoj, je tady nové kolo TriKS jako trénink na celostátní kolo MO! http://iksko.org/triks/current.php

E.T. | org | 15. 3. 2016 02:12:37

Baví tě matika, ale ne dlouhé sepisování? Jsi týmový hráč? Chceš vyhrát super ceny? Pak neváhej ani minutu a přihlaš se spolu s týmem ze své školy na Náboj.
Že nevíš o co jde? Podívej se na následující odkaz a vše se dozvíš. https://math.naboj.org/.

Marián Poppr | 14. 3. 2016 13:01:19

Ahoj, jsou tady zbrusu nové nápovědy k 2.jarní serii

Úloha 1+ skrytý text

Napiš si všechny dvojciferné druhé mocniny přirozených čísel

Úloha 2+ skrytý text

Nejprve vyzkoušej p rovno 2 nebo 3, a potom ukaž, že pro p>4 by byl výraz dělitelný 3

Úloha 3+ skrytý text

Umocni první nerovnost na c-tou a druhou na a-tou

Úloha 4+ skrytý text

Rozmysli, si že můžeš výraz upravovat tak, že v každém kroku ho umocníš podle vnější odmocniny a pak od obou stran odečteš mocninu, na kterou si umocňoval+ skrytý text

Na konci získáš na levé straně 0, zbývá ukázat, že napravo je číslo kladné+ skrytý text

Po každém kroku se však pravá strana nezmenší-proč?

Úloha 5+ skrytý text

Koukni se, jaký zbytek budou dávat čísla ze součtu po dělení 10^1008+ skrytý text

2016 je 1008*2 :)

Úloha 6+ skrytý text

Co kdyby se nám náhodou povedlo najít čísla A a B, pro která platí, že A-B=(sqrt(2)-1)^2016 a
A+B=(sqrt(2)+1)^2016, jak velké je pak A^2-B^2?
+ skrytý text

Pro nalezení hledaných čísel skus třeba binomickou větu

Úloha 7+ skrytý text

Hodilo by se třeba, kdyby součet Matějových a Radových čísel dával stejný zbytek po dělení nějakým větším číslem než je milion+ skrytý text

2*3*5*7*13*19*37=1919190>10^6 ,co mají tyto čísla společné?+ skrytý text

Každé z čísel v součinu bez jedné dělí 36, teď by se nějak šikovně hodilo použít Malou Fermatovu větu+ skrytý text

A nakonec si vzpomeň na Čínskou zbytkovou větu

Úloha 8+ skrytý text

2 a 4 úlohu řeší+ skrytý text

Polož n=p(p-1)+2 kde p je dostatečně velké prvočíslo, jaké? + skrytý text

Liché a větší než abs z 2^a-a^2

+ skrytý text

Jaký zbytek pak dává a^n-n^a po dělení p?+ skrytý text

Malá Fermatova věta

+ skrytý text

Ukaž, že p dělí 2^a-a^2+ skrytý text

Skus položit a=2

+ skrytý text

Jak velké je tedy 2^a-a^2? + skrytý text

Kolik takových p je?

+ skrytý text

Zbytek dořeš trochou počítání

Jirka | 7. 3. 2016 14:49:55

Mirek: Lepší by bylo 28*36, pro podobnější poměr stran papíru :-D

David Hruška | org | 2. 3. 2016 15:57:46

Ahoj, chceš jet v září na zbrusu nové polsko-česko-slovenské matematické soustředění? Tak neváhej a vyřeš co nejvíce úloh z http://atrey.karlin.mff.cuni.cz/~stepan/Quali.... Více informací najdeš na plakátu https://drive.google.com/folderview?id=0Bxord....

Miroslav Olšák | org | 27. 2. 2016 18:04:14

Nemusíš, stačí, když srozumitelně popíšeš, jak budou vypadat.
Ale zas můžeš, jestli chceš. Takových 21*48 cifer se na papír vejde :-)

MarieH | 26. 2. 2016 19:53:51

Ahoj, chtela jsem se zeptat, jestli u ulohy 5 mam opravdu psat vsech 1008 cifer ?

Miroslav Olšák | org | 16. 2. 2016 12:17:18

Zkus třeba server Matematika
http://www.matematika.cz/mocniny

Pro řešení rovnic jako $2^x = 5$ se pak používá funkce logaritmus (o tom se tam když tak taky dá něco najít).

Martin Zimen | 15. 2. 2016 22:22:50

Ahoj,
začal jsem řešit sérii (Od)mocniny a uvědomil jsem si, že vlastně vůbec netuším co mám dělat, když je neznámá exponent. Jsem v prváku a vždy jsem se setkal pouze s 2 mocninou, nedejbože 3. Neporadili byste nějaké obecné rady a triky nebo materiál, ze kterého bych se mohl přiučit.
Díky, Martin

Miroslav Olšák | org | 15. 2. 2016 16:48:24

Ahoj, nabízím ještě svoje alternativní hinty k seriálu :-)

1. úloha + skrytý text

Množina b má být množina všech podmnožin prvků množiny a. Jsou dvě možné cesty, jak ji získat:
(i) + skrytý text

a -> sjednocení -> potence -> vydělení -> b

(ii) + skrytý text

a -> (nahrazení + potence) -> sjednocení -> b

2. úloha + skrytý text

Uvědom si, že každé lokální maximum je maximem na nějakém intervalu s racionálními konci. Těch již je jenom spočetně mnoho.

3. úloha + skrytý text

Vlastnost (ii) musí nutně platit (stačí si rozmyslet, co říká). Je třeba hlavně dokázat nespočetnost.
(1) + skrytý text

Uvědom si, že nespočetnost je totéž, co neomezenost

(2) + skrytý text

Vezmi prvek $x\in\omega_1$ , stačí ukázat, že v průniku leží prvek větší než $x$ .

(3) + skrytý text

Najdi nekonečnou posloupnost $x < a_0 < b_0 < a_1 < b_1 < \cdots$ , ve které se střídají prvky z obou pronikaných množin.

(4) + skrytý text

Ukaž, že sjednocení této posloupnosti leží v průniku.

Marián Poppr | 15. 2. 2016 16:14:12

Ahoj,
právě přibyla tradiční várka nápověd k první jarní serii a k ní hinty pro druhou seriálovou serii:

první jarní serie

1. úloha+ skrytý text

Hraj si+ skrytý text

Existují tři způsoby

2. úloha+ skrytý text

Pro spor mějme dvě města, co nejsou propojena, existuje nutně mezi těmito dvěmi městy město, přes které můžeme mezi zvolenými městy cestovat?

3. úloha+ skrytý text

Ukaž, že se potkají právě jednou+ skrytý text

A to když Bára dožene Kubu+ skrytý text

Ještě by se mohli potkat uprostřed+ skrytý text

Sestav rovnici a zkoumej paritu

4. úloha+ skrytý text

Všimni si, že pokud by se Jerry k sýru nedostal hned v prvním tahu, tak mu Tom už vždy zabrání+ skrytý text

Stačí tedy, aby vždy existovaly právě dvě místnosti, mezi kterými není chodba

5. úloha+ skrytý text

Vezmi dvě místnosti A a B a nejkratší cestu délky s, poté pro libovolnou místnost (=C) mezi nimi, ukaž, že existují dvě cesty přes všechny místnosti o délce 3s+ skrytý text

Cesta C->A->B a C->B->A+ skrytý text

Je pak nejkratší cesta z C už určitě kratší než 1,5s?

6. úloha+ skrytý text

Pokud by se Štěpán s Filipem potkali v X, jak rychle by Viki prošel trasu A->B->X->C?+ skrytý text

A->B->X->C je delší než A->B->C, teď už to stačí jen dát dohromady a vysporovat

7. úloha+ skrytý text

Použij indukci a rozliš dva případy, pokud existuje org, který jde vždy s někým+ skrytý text

Pokud ano, odeberem ho a použijem indukci+ skrytý text

Pokud ne, vytvoř dvě skupiny (A,B) orgů, kde spolu orgové nikdy nešli.+ skrytý text

i. Vždy se podívej kdo z dané skupinky orgů došel nejdál

8. úloha+ skrytý text

Ukaž, že kdyby d a h nedávali stejný zbytek po dělení 4, tak že se David s Honzou zacyklí na cestě o délce 4dh a dál se nedostanou+ skrytý text

Podívej se, jak se pohybuje auto každých dh kilometrů+ skrytý text

Je patrné, že d a h musí dávat tedy zbytek 1 a 3 po dělení 4, zbývá tedy ukázat, že za prvních dh tahů se posune vždy o 1 kilometr po přímce mezi startem a cílem+ skrytý text

Nyní si můžeme například znázornit situaci do komplexní roviny kde se chceme dostat z (0,0) do (1,0) a o směrech (1,i,-1,-i). Zvolme si například variantu kdy d a h dávají zbytek 1, pak chcem ukázat že součet směrů je roven jedné, nebo-li součet mk:=(-i)^(k div h) i^(k div d) pro k od 0 do kh-1+ skrytý text

Uprav mk jako (-i)^(ak) i^(bk) (kde ak a bk jsou zbytky po dělení k čísly h a d), zbytek dořeš čínskou zbytkovou větou+ skrytý text

i. Dvojici (ak,bk) odpovídá (k mod h, k mod d)

seriál

1. úloha+ skrytý text

Tvrzení říká, že ke každé množině A existuje množina B, která obsahuje všechny podmnožiny množin náležících A+ skrytý text

Vytvoř si podmnožinu každého prvku A+ skrytý text

Použij axiom potence a schéma axiomu nahrazení+ skrytý text

Zbytek dořeš axiomem sjednocení

2. úloha+ skrytý text

Zobraz lokalní maximum x do dvojice racionálních čísel+ skrytý text

x je v prvek z intervalu (a,b), kde f(x)<f(c) pro všechny c z (a,b) různá od x. Jak tedy najdeme hledaná rac. čísla?+ skrytý text

Mezi každými dvěmi reálnými čísli je alespoň jedno rac. tedy i mezi a a x a b a x

3. úloha+ skrytý text

Nejprve zkoumej, jak velké bude sjednocení spočetné množiny spočetných ordinálů+ skrytý text

Což je spočetný ordinál+ skrytý text

Použij definici suprema

+ skrytý text

Zkoumej, jak velké bude supremum nejmenší spočetné podmnožiny X (=Nx)+ skrytý text

Použij transfinní indukci a dokaž, že lib. Konečný ordinál větší než supremum N náleží do X

+ skrytý text

Konečně ukaž, že průnik dvou šikovných množin X a Y bude nespočetný, tedy bude obsahovat všechny spočetné ordinály větší než max(sup(Nx,Ny))+ skrytý text

Podmínka ii už není příliš obtížná :)

Evžen Wybitul | 4. 2. 2016 08:06:45

Dobře, příště si dam pozor. Promiň a díky za odpověď :)

E.T. | org | 3. 2. 2016 04:24:14

Ahoj Evžene,

Tom umísťuje Jerryho i sýr sám dle vlastního výběru. Příště se nás ale, prosím, ptej na nejasnosti k aktuálním úlohám pomocí e-mailu (mks (zavináč) mff.cuni.cz). (V sekci chatu "Pokec" je tato výzva dokonce zvýrazněna.) Nechceme účastníky zbytečně otravovat a omezovat v používání chatu, ale špatně položený dotaz by mohl ostatním prozradit řešení. Tvůj dotaz je celkem nevinný, takže se nic neděje, ale příště nám pro jistotu piš na e-mail.

Hodně štěstí při řešení!

Evžen Wybitul | 1. 2. 2016 21:57:35

Ahoj

Moc mi není jasné zadání úlohy číslo 4 z první jarní série (Tom a Jerry). Umisťuje Tom sýr i Jerryho sám, nebo je jejich umístění náhodné?

Díky

Daniel Herman | 31. 1. 2016 23:49:38

Ďakujem :)

Miroslav Olšák | org | 31. 1. 2016 18:59:38

Tohle je nahlížecí úloha, přečtu a vidím, že to platí, žádné převádění na jiné vzorečky :-)

Konkrétně tedy příklad 2: Máš dvě n-prvkové hromádky bílých kamínků. Tak to, že si z nich dohromady vezmeš m kamínků znamená, že si jich z první vezmeš nějaké k a z druhé n-k.

Daniel Herman | 31. 1. 2016 16:18:08

Pýtam nejakú dobrú dušu o pomoc. Z knižnice - Počítání dvěma způsoby - Príklad 2. http://mks.mff.cuni.cz/library/Pocitani2Zpuso... Viem, že
$\sum_{k=0}^n {n \choose k}^2 = {2n \choose n}$
ale ďalej sa dostať neviem.
Za každú pomoc ďakujem.

David Hruška | org | 25. 1. 2016 23:33:54

Adam: Jasně, napiš mi na d.hruska@centrum.cz.

Adam | 24. 1. 2016 20:27:10

Zdravím poradil by mi tu někdo z příkladem soustavy rovnic o dvou neznámých ?

Miroslav Olšák | org | 21. 1. 2016 19:43:22

Slíbil jsem nápovědu k čokoládové výzvě ze seriálu, zde je:
(1) Hodí se vědět, že pro nekonečnou množinu $X$ platí $|X\times X| = |X|$ . K dokázání tohoto tvrzení pro množiny, kde to je potřeba žádná teorie nechybí, ale je trochu technické, tak jeho důkaz nebudu vyžadovat.
(2) Návodná úloha: Dokažte, že množinu $\omega_1\times\omega_1$ lze obarvit spočetně mnoha barvami tak, aby se v ní nevyskytoval jednobarevný obdélník, zatímco množinu $\omega_2\times\omega_1$ tak již obarvit nelze. Obdélníkem (či přesněji vrcholy obdélníka) rozumíme obecnou čtyřprvkovou množinu tvaru $A\times B$ , kde $A, B$ jsou dvouprvkové množiny.
Připomínám, že řešení čokoládové výzvy k seriálu se posílá na můj e-mail uvedený v seznamu organizátorů. Tak neváhejte, čokolád je zatím dost (i s iKS dohromady 9), ale časem ubudou... Buď první, kdo to vyřeší!

<< < 1 2 ... 6 7 8 ... 36 37 > >>

Kontakt

email	info (zavináč) prase.cz
pošta	Matematický korespondenční seminář KAM MFF UK Malostranské náměstí 25 118 00 Praha 1

Organizátoři

Matematický korespondenční seminář je organizovaný studenty Matematicko-fyzikální fakulty UK pod záštitou Informatického ústavu UK a Oddělení propagace a mediální komunikace MFF UK.

Partneři

Realizace projektu byla podpořena Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy

Matematický korespondenční seminář

Kalendář

Z naší fotogalerie

Kontakt

Organizátoři

Partneři