Chat Prasátek

Matematická sekce

<< < 1 2 ... 6 7 8 ... 36 37 > >>

David Hruška | org | 7. 6. 2016 01:13:36

Každou chvilku začne další TriKS! Ukažte, že vás písemky úplně nezničily :-)
http://iksko.org/triks/current.php

Marián Poppr | 16. 5. 2016 22:35:51

Hola hola,
je libo nejčerstvější vydání Hintů? Už i poslední série své má ->

Úloha 1a)+ skrytý text

Jde to+ skrytý text

Nakresli si plášť krychle

Úloha 1b)+ skrytý text

Nejde to+ skrytý text

Všimni si, jakým způsobem lze zatapetovat vrchol, a ukaž, že 3 trojúhelníky mají příliš malý součet vnitřních úhlů na to, aby zatapetovaly všech 8 vrcholů krychle

Úloha 2a)+ skrytý text

Vytkni z výrazu pětku a zkoumej to, co ti zbylo+ skrytý text

Z Euklidova algoritmu ukaž, že stačí rozebrat příklady kdy 5m+n dělí 24 a úlohu dořeš :)

Úloha 2b)+ skrytý text

1/3+ skrytý text

Alternativně: Skus použít afinní zobrazení, o tom víme, že zachovává poměry mezi obsahy a také rovnoběžnost+ skrytý text

Vyber si nějaký pěkný trojúhelník a pro něj tvrzení dokaž+ skrytý text

Např. rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník + skrytý text

Výraz odhadni třeba CS nerovností

Úloha 3a)+ skrytý text

Jde to+ skrytý text

Nakresli si vhodně uzavřenou cestu přes celou šachovnici+ skrytý text

Postupně ji s krály procházej, a když narazíš na situaci, která už nastala, tak se posuň se jedním králem na druhou stranu

Úloha 3b)+ skrytý text

Nejde to+ skrytý text

Při pohybu se vždy střídají pozice, kdy oba princové stojí na stejnobarevném a různobarevné políčku. Je obou možných stavů stejně?+ skrytý text

Ne, 64*32>64*31

Úloha 4a)+ skrytý text

Jsou stejné+ skrytý text

Jaký je obsah 4 malých kruhů a velkého kruhu?+ skrytý text

Jakou část tedy mezi sebou malé kruhy překryjí?

Úloha 4b)+ skrytý text

zabal každý patvar do obdelníku, v jakém vztahu jsou obsah a obvod obdélníku s patvarem?+ skrytý text

Když máme daný obvod pravoúhelníku, tak odhadni pomocí AG obsah, kdy nastává největší obsah?+ skrytý text

Použij obě úvahy, zatni zuby a chvilku pracuj nerovnostmi

Úloha 5a)+ skrytý text

Ano+ skrytý text

Ukaž, že se musí zacyklit+ skrytý text

Zbývá rozhodnout, jestli v daném cyklu je i hospoda Na mýtince

Úloha 5b)+ skrytý text

Použij indukci podle počtu branců+ skrytý text

Najdi mezi n branci stojí na jednom políčku a n+1-ním brancem nejkratší cestu a nech n branců po ní putovat. Doženou n+1-tého brance?

Úloha 6a)+ skrytý text

skus to ukázat třeba indukcí+ skrytý text

Použij AG na výrazy (1+x1+....+xm) a (1+x1+....+xm+1) ty porovnej, a poté spolu vynásob n-1 nerovností, až získáme nerovost hledanou

Úloha 7a)+ skrytý text

Jde 332

Úloha 7b)+ skrytý text

Pro body H a O je dobré vědět, že jsou isogonal conjugates (což v tomto případě znamená, že HB svírá s BC stejný úhel jako OB s BA). Tedy, ke štěstí by nám třeba úplně stačilo, kdyby trojúhelník BPQ byl rovnoramenný+ skrytý text

Skus použít nějak velikost úhlu u B, co ti říká o bodech H a O?+ skrytý text

Body C,H,O,A leží na kružnici, nakonec doúhli, že trojúhelník PQB je rovnostranný

Marián Poppr | 18. 4. 2016 21:01:54

Ahoj ahoj,
je tu rozšířené vydání Hintů k 3.jarní serii s Tipy k závěrečnému dílu seriálu. Pro bližší informace račte shlédnout níže.

1. úloha+ skrytý text

vezmi špetku jedné kružnice a tři díly rovnoběžných přímek..

2. úloha+ skrytý text

vrchol C je vrcholem nějakého pravoúhlého trojúhelníka+ skrytý text

Použij obvodové úhly v tětivovém čtyřúhelníku

3. úloha+ skrytý text

označme P jako průsečík AX a BY, stačilo by nám kdyby úhel APB měl stále stejně velkou velikost+ skrytý text

Jaké vnitřní úhly má trojúhelník AYP?

4. úloha+ skrytý text

ukaž, že čtyřúhelník MPOC je rovnoběžník+ skrytý text

Čtyřúhelník POMN je tětivový, v jakém vztahu jsou úhly trojúhelníku NOC?

5. úloha+ skrytý text

pokud promítneme úsečku délky jedna na sousedící strany čtverce, jak velké budou dohromady tyto promítnuté díly?+ skrytý text

Jaký je součet obrazů všech promítnutých úseček?

6. úloha+ skrytý text

mějme bod M na CB, tak že DC=CM a AB=BM, jaké jsou pak trojúhelníky DCE, MCE a ABE, MBE a z toho se už dopočítej součtu úhlů FDE a FAE+ skrytý text

DCE, MCE a ABE, MBE jsou shodné, proč?+ skrytý text

Všimni si, že E je střed kružnice opsané v trojúhelníku DMA

7. úloha+ skrytý text

stačí ukázat, že úhel QDP je menší než QBP, jakou velikost má první jmenovaný?+ skrytý text

90°

+ skrytý text

Všimni si, že body P a Q jsou středy kružnic připsaných nějakých trojúhelníků, najdi je a zbytek doúhli

8. úloha+ skrytý text

2016 průsečíků jde+ skrytý text

i. Vezměme 504 rovnostranných trojúhelníků a umístíme na každý umístěte 4 kružnice, tak aby tvořili dohromady 4 průsečíky

+ skrytý text

Pro ukázání, že méně už nejde, přiřaď každé kružnici skóre 1 a rovnoměrně ho rozděl mezi průsečíky. Za skóre průsečíku pak měj součet přiřazených skóre ze všech kružnic průsečíkem procházejících. Ukaž, že každý průsečík má skóre maximálně 1+ skrytý text

Když průsečíkem prochází n kružnic, tak kolik průsečíků alespoň leží na daných kružnicích

+ skrytý text

Závěrem si všimni, v jakém vztahu jsou součty skóre kružnic a průsečíků.

1. úloha+ skrytý text

Vytvoř si vícerozměrnou funkci z w->x, která k danému přirozenému číslu přiřadí všechny čísla z X větší nebo rovná danému přirozenému číslu+ skrytý text

Axiom výběru

+ skrytý text

Poté vytvoř požadovanou rekurentní posloupnost

2. úloha+ skrytý text

Použij Cauchyovu rovnici a rozděl R+ na ty, pro která ti nějaká funkce dá záporné hodnoty a na ty co ti dá nezáporné

3. úloha+ skrytý text

Použij transfinitní rekurzy na kardinál c (|R×R×R|=c) a pomocí principu dobrého uspořádání
uspořádej body v prostoru xa kružnic ka, tak že xa E ka+ skrytý text

Pokud bodem xa NEprochází žádná kružnice Ka={kB, B<a}, ukaž že jím lze proložit rovinu kde zatím neleží žádná kružnice+ skrytý text

Kružnic jsme zatím určili méně než kontinuum a vzhledem k nějaké ose (třeba z) kartézské soustavy souřadnic se středem xa, svírají úhel z [0,pi), který je kontinuum

+ skrytý text

Rozmysli si, že ve zvolené rovině leží z každé kružnice Ka nejvýše 2 body, kolik je tedy bodů celkem?+ skrytý text

|2a|<c

+ skrytý text

Nyní ukaž, že lze najít hledanou kružnici ka v dané rovině+ skrytý text

Vybíráme z kontinua možných kružnic a |4a|<c

Radek Olšák | org | 9. 4. 2016 18:56:35

Zdravím,
nedávno náhodou vyšlo pěkné video, které se tématem hodí k seriálu. K 3. dílu sice už moc ne, ale předchozí dva hezky shrnuje. https://www.youtube.com/watch?v=SrU9YDoXE88

Radek

David Hruška | org | 30. 3. 2016 02:06:07

Ahoj, je tady nové kolo TriKS jako trénink na celostátní kolo MO! http://iksko.org/triks/current.php

E.T. | org | 15. 3. 2016 02:12:37

Baví tě matika, ale ne dlouhé sepisování? Jsi týmový hráč? Chceš vyhrát super ceny? Pak neváhej ani minutu a přihlaš se spolu s týmem ze své školy na Náboj.
Že nevíš o co jde? Podívej se na následující odkaz a vše se dozvíš. https://math.naboj.org/.

Marián Poppr | 14. 3. 2016 13:01:19

Ahoj, jsou tady zbrusu nové nápovědy k 2.jarní serii

Úloha 1+ skrytý text

Napiš si všechny dvojciferné druhé mocniny přirozených čísel

Úloha 2+ skrytý text

Nejprve vyzkoušej p rovno 2 nebo 3, a potom ukaž, že pro p>4 by byl výraz dělitelný 3

Úloha 3+ skrytý text

Umocni první nerovnost na c-tou a druhou na a-tou

Úloha 4+ skrytý text

Rozmysli, si že můžeš výraz upravovat tak, že v každém kroku ho umocníš podle vnější odmocniny a pak od obou stran odečteš mocninu, na kterou si umocňoval+ skrytý text

Na konci získáš na levé straně 0, zbývá ukázat, že napravo je číslo kladné+ skrytý text

Po každém kroku se však pravá strana nezmenší-proč?

Úloha 5+ skrytý text

Koukni se, jaký zbytek budou dávat čísla ze součtu po dělení 10^1008+ skrytý text

2016 je 1008*2 :)

Úloha 6+ skrytý text

Co kdyby se nám náhodou povedlo najít čísla A a B, pro která platí, že A-B=(sqrt(2)-1)^2016 a
A+B=(sqrt(2)+1)^2016, jak velké je pak A^2-B^2?
+ skrytý text

Pro nalezení hledaných čísel skus třeba binomickou větu

Úloha 7+ skrytý text

Hodilo by se třeba, kdyby součet Matějových a Radových čísel dával stejný zbytek po dělení nějakým větším číslem než je milion+ skrytý text

2*3*5*7*13*19*37=1919190>10^6 ,co mají tyto čísla společné?+ skrytý text

Každé z čísel v součinu bez jedné dělí 36, teď by se nějak šikovně hodilo použít Malou Fermatovu větu+ skrytý text

A nakonec si vzpomeň na Čínskou zbytkovou větu

Úloha 8+ skrytý text

2 a 4 úlohu řeší+ skrytý text

Polož n=p(p-1)+2 kde p je dostatečně velké prvočíslo, jaké? + skrytý text

Liché a větší než abs z 2^a-a^2

+ skrytý text

Jaký zbytek pak dává a^n-n^a po dělení p?+ skrytý text

Malá Fermatova věta

+ skrytý text

Ukaž, že p dělí 2^a-a^2+ skrytý text

Skus položit a=2

+ skrytý text

Jak velké je tedy 2^a-a^2? + skrytý text

Kolik takových p je?

+ skrytý text

Zbytek dořeš trochou počítání

Jirka | 7. 3. 2016 14:49:55

Mirek: Lepší by bylo 28*36, pro podobnější poměr stran papíru :-D

David Hruška | org | 2. 3. 2016 15:57:46

Ahoj, chceš jet v září na zbrusu nové polsko-česko-slovenské matematické soustředění? Tak neváhej a vyřeš co nejvíce úloh z http://atrey.karlin.mff.cuni.cz/~stepan/Quali.... Více informací najdeš na plakátu https://drive.google.com/folderview?id=0Bxord....

Miroslav Olšák | org | 27. 2. 2016 18:04:14

Nemusíš, stačí, když srozumitelně popíšeš, jak budou vypadat.
Ale zas můžeš, jestli chceš. Takových 21*48 cifer se na papír vejde :-)

MarieH | 26. 2. 2016 19:53:51

Ahoj, chtela jsem se zeptat, jestli u ulohy 5 mam opravdu psat vsech 1008 cifer ?

Miroslav Olšák | org | 16. 2. 2016 12:17:18

Zkus třeba server Matematika
http://www.matematika.cz/mocniny

Pro řešení rovnic jako $2^x = 5$ se pak používá funkce logaritmus (o tom se tam když tak taky dá něco najít).

Martin Zimen | 15. 2. 2016 22:22:50

Ahoj,
začal jsem řešit sérii (Od)mocniny a uvědomil jsem si, že vlastně vůbec netuším co mám dělat, když je neznámá exponent. Jsem v prváku a vždy jsem se setkal pouze s 2 mocninou, nedejbože 3. Neporadili byste nějaké obecné rady a triky nebo materiál, ze kterého bych se mohl přiučit.
Díky, Martin

Miroslav Olšák | org | 15. 2. 2016 16:48:24

Ahoj, nabízím ještě svoje alternativní hinty k seriálu :-)

1. úloha + skrytý text

Množina b má být množina všech podmnožin prvků množiny a. Jsou dvě možné cesty, jak ji získat:
(i) + skrytý text

a -> sjednocení -> potence -> vydělení -> b

(ii) + skrytý text

a -> (nahrazení + potence) -> sjednocení -> b

2. úloha + skrytý text

Uvědom si, že každé lokální maximum je maximem na nějakém intervalu s racionálními konci. Těch již je jenom spočetně mnoho.

3. úloha + skrytý text

Vlastnost (ii) musí nutně platit (stačí si rozmyslet, co říká). Je třeba hlavně dokázat nespočetnost.
(1) + skrytý text

Uvědom si, že nespočetnost je totéž, co neomezenost

(2) + skrytý text

Vezmi prvek $x\in\omega_1$ , stačí ukázat, že v průniku leží prvek větší než $x$ .

(3) + skrytý text

Najdi nekonečnou posloupnost $x < a_0 < b_0 < a_1 < b_1 < \cdots$ , ve které se střídají prvky z obou pronikaných množin.

(4) + skrytý text

Ukaž, že sjednocení této posloupnosti leží v průniku.

Marián Poppr | 15. 2. 2016 16:14:12

Ahoj,
právě přibyla tradiční várka nápověd k první jarní serii a k ní hinty pro druhou seriálovou serii:

první jarní serie

1. úloha+ skrytý text

Hraj si+ skrytý text

Existují tři způsoby

2. úloha+ skrytý text

Pro spor mějme dvě města, co nejsou propojena, existuje nutně mezi těmito dvěmi městy město, přes které můžeme mezi zvolenými městy cestovat?

3. úloha+ skrytý text

Ukaž, že se potkají právě jednou+ skrytý text

A to když Bára dožene Kubu+ skrytý text

Ještě by se mohli potkat uprostřed+ skrytý text

Sestav rovnici a zkoumej paritu

4. úloha+ skrytý text

Všimni si, že pokud by se Jerry k sýru nedostal hned v prvním tahu, tak mu Tom už vždy zabrání+ skrytý text

Stačí tedy, aby vždy existovaly právě dvě místnosti, mezi kterými není chodba

5. úloha+ skrytý text

Vezmi dvě místnosti A a B a nejkratší cestu délky s, poté pro libovolnou místnost (=C) mezi nimi, ukaž, že existují dvě cesty přes všechny místnosti o délce 3s+ skrytý text

Cesta C->A->B a C->B->A+ skrytý text

Je pak nejkratší cesta z C už určitě kratší než 1,5s?

6. úloha+ skrytý text

Pokud by se Štěpán s Filipem potkali v X, jak rychle by Viki prošel trasu A->B->X->C?+ skrytý text

A->B->X->C je delší než A->B->C, teď už to stačí jen dát dohromady a vysporovat

7. úloha+ skrytý text

Použij indukci a rozliš dva případy, pokud existuje org, který jde vždy s někým+ skrytý text

Pokud ano, odeberem ho a použijem indukci+ skrytý text

Pokud ne, vytvoř dvě skupiny (A,B) orgů, kde spolu orgové nikdy nešli.+ skrytý text

i. Vždy se podívej kdo z dané skupinky orgů došel nejdál

8. úloha+ skrytý text

Ukaž, že kdyby d a h nedávali stejný zbytek po dělení 4, tak že se David s Honzou zacyklí na cestě o délce 4dh a dál se nedostanou+ skrytý text

Podívej se, jak se pohybuje auto každých dh kilometrů+ skrytý text

Je patrné, že d a h musí dávat tedy zbytek 1 a 3 po dělení 4, zbývá tedy ukázat, že za prvních dh tahů se posune vždy o 1 kilometr po přímce mezi startem a cílem+ skrytý text

Nyní si můžeme například znázornit situaci do komplexní roviny kde se chceme dostat z (0,0) do (1,0) a o směrech (1,i,-1,-i). Zvolme si například variantu kdy d a h dávají zbytek 1, pak chcem ukázat že součet směrů je roven jedné, nebo-li součet mk:=(-i)^(k div h) i^(k div d) pro k od 0 do kh-1+ skrytý text

Uprav mk jako (-i)^(ak) i^(bk) (kde ak a bk jsou zbytky po dělení k čísly h a d), zbytek dořeš čínskou zbytkovou větou+ skrytý text

i. Dvojici (ak,bk) odpovídá (k mod h, k mod d)

seriál

1. úloha+ skrytý text

Tvrzení říká, že ke každé množině A existuje množina B, která obsahuje všechny podmnožiny množin náležících A+ skrytý text

Vytvoř si podmnožinu každého prvku A+ skrytý text

Použij axiom potence a schéma axiomu nahrazení+ skrytý text

Zbytek dořeš axiomem sjednocení

2. úloha+ skrytý text

Zobraz lokalní maximum x do dvojice racionálních čísel+ skrytý text

x je v prvek z intervalu (a,b), kde f(x)<f(c) pro všechny c z (a,b) různá od x. Jak tedy najdeme hledaná rac. čísla?+ skrytý text

Mezi každými dvěmi reálnými čísli je alespoň jedno rac. tedy i mezi a a x a b a x

3. úloha+ skrytý text

Nejprve zkoumej, jak velké bude sjednocení spočetné množiny spočetných ordinálů+ skrytý text

Což je spočetný ordinál+ skrytý text

Použij definici suprema

+ skrytý text

Zkoumej, jak velké bude supremum nejmenší spočetné podmnožiny X (=Nx)+ skrytý text

Použij transfinní indukci a dokaž, že lib. Konečný ordinál větší než supremum N náleží do X

+ skrytý text

Konečně ukaž, že průnik dvou šikovných množin X a Y bude nespočetný, tedy bude obsahovat všechny spočetné ordinály větší než max(sup(Nx,Ny))+ skrytý text

Podmínka ii už není příliš obtížná :)

Evžen Wybitul | 4. 2. 2016 08:06:45

Dobře, příště si dam pozor. Promiň a díky za odpověď :)

E.T. | org | 3. 2. 2016 04:24:14

Ahoj Evžene,

Tom umísťuje Jerryho i sýr sám dle vlastního výběru. Příště se nás ale, prosím, ptej na nejasnosti k aktuálním úlohám pomocí e-mailu (mks (zavináč) mff.cuni.cz). (V sekci chatu "Pokec" je tato výzva dokonce zvýrazněna.) Nechceme účastníky zbytečně otravovat a omezovat v používání chatu, ale špatně položený dotaz by mohl ostatním prozradit řešení. Tvůj dotaz je celkem nevinný, takže se nic neděje, ale příště nám pro jistotu piš na e-mail.

Hodně štěstí při řešení!

Evžen Wybitul | 1. 2. 2016 21:57:35

Ahoj

Moc mi není jasné zadání úlohy číslo 4 z první jarní série (Tom a Jerry). Umisťuje Tom sýr i Jerryho sám, nebo je jejich umístění náhodné?

Díky

Daniel Herman | 31. 1. 2016 23:49:38

Ďakujem :)

Miroslav Olšák | org | 31. 1. 2016 18:59:38

Tohle je nahlížecí úloha, přečtu a vidím, že to platí, žádné převádění na jiné vzorečky :-)

Konkrétně tedy příklad 2: Máš dvě n-prvkové hromádky bílých kamínků. Tak to, že si z nich dohromady vezmeš m kamínků znamená, že si jich z první vezmeš nějaké k a z druhé n-k.

<< < 1 2 ... 6 7 8 ... 36 37 > >>

Kontakt

email	info (zavináč) prase.cz
pošta	Matematický korespondenční seminář KAM MFF UK Malostranské náměstí 25 118 00 Praha 1

Organizátoři

Matematický korespondenční seminář je organizovaný studenty Matematicko-fyzikální fakulty UK pod záštitou Informatického ústavu UK a Oddělení propagace a mediální komunikace MFF UK.

Partneři

Realizace projektu byla podpořena Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy

Matematický korespondenční seminář

Kalendář

Z naší fotogalerie

Kontakt

Organizátoři

Partneři