Chat Prasátek

Matematická sekce

<< < 1 2 ... 5 6 7 ... 36 37 > >>

madam Verča | org | 16. 2. 2018 01:32:53

Milá PraSátka,
další měsíc již uběhl a zde jsou hinty ke dvoum dalším sériím!
3. podzimní série
Úloha 1.+ skrytý text

Co třeba rovnoběžné s nějakou stranou ?

Úloha 2.+ skrytý text

Spočítejte úhel u vrcholu $\textstyle P$ .

Úloha 3.+ skrytý text

Použijte kružnice vepsané.

Úloha 4.+ skrytý text

Může Rado zašlápnout Michala?
+ skrytý text

Obarvěte šachovnicově políčka.

Úloha 5.+ skrytý text

Úhlete pomocí velikostí oblouků na kružnici.

Úloha 6.+ skrytý text

Dokresli si rovnoběžky se stranami procházející $\textstyle P$ .

Úloha 7.+ skrytý text

Překlopte $\textstyle C$ podle osy strany $\textstyle AB$ , čímž získáte čtvrtý bod lichoběžníku $\textstyle D$ . + skrytý text

S využitím zadané podmínky na úhly nahlédněte, že tři strany tohoto lichoběžníku jsou stejně dlouhé.+ skrytý text

Trojúhelník $\textstyle PCD$ je rovnostranný.+ skrytý text

Dopočtěte.

Úloha 8.+ skrytý text

Přímky $\textstyle OI$ a $\textstyle AI$ protínají $\textstyle XY$ pod stejným úhlem.

1. seriálová série
Úloha 1.+ skrytý text

Chceme $\textstyle gh=hg$ pro všechna $\textstyle g,h\in G$ . Rozmyslete si, že $\textstyle ghgh$ a $\textstyle gghh$ se rovnají.

Úloha 2.+ skrytý text

Každé racionální číslo se dá zapsat jednoznačně jako součin prvočísel umocněných na celočíselné exponenty.

Úloha 3.+ skrytý text

$\textstyle G/N$ nekonečná cyklická je izomorfmí se $\textstyle Z$ (celá čísla se sčítáním), takže z ní vede surjektivní homomorfismus do $\textstyle Z_n$ (celá čísla modulo n) daný dělením se zbytkem.+ skrytý text

Jádro tohoto homomorfismu je podgrupa grupy $\textstyle G/N$ tvaru $\textstyle K/N$ pro nějakou $\textstyle K \leq G$ . Podle první a druhé věty o izomorfismu je potom $\textstyle Z_n \simeq (G/N)/(K/N) \simeq G/K$ , tedy tato $\textstyle K$ má v $\textstyle G$ index $\textstyle n$ .

madam Verča | org | 8. 11. 2017 20:52:17

Ahoj ahoj!
tady je další várka hintů, tentokrát k 2. podzimní sérii ;)
Úloha 1.+ skrytý text

Když jsou vedle osmičky čtyřky, nemusí být ta osmička číslice nějakého dvouciferného čísla? Jaká čísla to mohou být?

Úloha 2.+ skrytý text

Jak se dají získat malé součty?

Úloha 3.+ skrytý text

Kolik existuje uspořádaných čtveřic čísel z množiny $\textstyle \{0, 1, 2,\dots, 9\}$ takových, že jejich součet je dělitelný třemi?

Úloha 4.+ skrytý text

Kolika způsoby lze umístit $\textstyle 8$ věží na jednu barvu, aby se neohrožovaly?+ skrytý text

Na šachovnici $\textstyle 8 \times 8$ by šlo $\textstyle 8$ věží umístit $\textstyle 2\cdot (4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)^2$ způsoby (tak, aby v každém rozmístění byly pouze na jedné barvě).

Úloha 5.+ skrytý text

Zkus si označit $\textstyle n$ počet druháků a $\textstyle k$ počet bodů, které získal každý z nich. Potom lze zadání přepsat do rovnice (napovím, že celkem bylo rozdáno $\textstyle \frac {(n+2)(n+1)}2$ bodů), ze které vyplyne, že počet druháků musí být dělitelem $\textstyle 14$ .

Úloha 6.+ skrytý text

Kolikrát se započítá jeden konkrétní prvek množiny $\textstyle \{1, 2, \dots, 2017\}$ do hledaného součtu?+ skrytý text

Když umístíme jeden prvek do průniku $\textstyle A\cap B$ , máme přesně čtyři možnosti, kam dát libovolný další prvek: do $\textstyle A\cap B$ , $\textstyle A\setminus B$ , $\textstyle B\setminus A$ , nebo do $\textstyle \{1, 2, \dots, 2017\}\setminus (A\cup B)$ .

Úloha 7.+ skrytý text

Součin faktoriálů stupňů vrcholů.

Úloha 8.+ skrytý text

Kolika způsoby můžete obarvit náhrdelník o $\textstyle n$ kamíncích $\textstyle 2017$ barvami tak, aby se při žádném netriviálním pootočení nepřenesl na stejně vypadající?

madam Verča | org | 29. 10. 2017 22:45:16

Ahoj!
Nepodařilo se ti vyřešit nějakou úlohu z 1. podzimní série a nemůžeš se dočkat vzorových řešení ? Pak tady máš pár hintů a můžeš se o to znovu pokusit mimo soutěž :)
Úloha 1.+ skrytý text

Zeptej se postupně na 16 trojic krabiček a zbylou dvojici vyřeš samostatně. + skrytý text

Zbylou dvojici krabiček dosaď po jedné do známé trojice.

Úloha 2.+ skrytý text

Vepiš stůl do čtverce, a ten čtverec rozděl na malé čtverce o velikosti plácačky. + skrytý text

Použij Dirichletův princip.

Úloha 3.+ skrytý text

Kdyby ciferný součet šestkrát za sebou vzrostl o jedna, musí jednou být dělitelný 7. + skrytý text

Kromě případů, kdy se přechází přes desítku, se nemůže ciferný součet změnit jinak než zvětšit o jedna.

Úloha 4.+ skrytý text

$481=13\cdot 37$ + skrytý text

Použij Dirichletův princip.

Úloha 5.+ skrytý text

V důkazu potřebujeme využít dvě věci: + skrytý text

Najít dvojici po sobě jdoucích ptakopysků, mezi kterými je největší mezera.

+ skrytý text

Orientovat si kružnici.

Úloha 6.+ skrytý text

Pro lichá n: rozmístěte 2x2 čtverce tak aby jste právě n políček buď nezahrnuli do žádného čtverce nebo zahrnuli do dvou čtverců. + skrytý text

Tato políčka budou na diagonále.

Úloha 7.+ skrytý text

Řešte indukcí. + skrytý text

Najděte řešení, kde každý další prvek bude roven součinu předchozích - někdy zmenšený o jedna, někdy zvětšený o jedna.

Úloha 8.+ skrytý text

Dokreslete si kružnice opsané ABD a CBD. Ukažte, že EA a EC se jich dotýkají. + skrytý text

Označte X a Y průsečíky těchto kružnic s l.

Miroslav Olšák | org | 30. 9. 2017 21:13:39

Ahoj, první díl seriálu "Do nekonečna a ještě dál" se dočkal video verze. Nechť se líbí :-)
https://www.youtube.com/playlist?list=PL2m0Oz...
Snad se někdy dostanu i na zbytek...

Jakub Krásenský | org | 1. 7. 2017 21:08:33

Ahoj!
Byli jste napjatí, o čem bude v příštím ročníku seriál? Teď vám to řekneme, abyste se mohli začít těšit (nebo psychicky připravovat):

V letošním seriálu vás provedeme velmi zajímavou oblastí matematiky: teorií grup. Jedná se o rozsáhlou teorii s rozmanitými důsledky v mnoha odvětvích; v seriálu se budeme zabývat jejími základními aspekty a podíváme se na některá hezká využití. Abstraktní přístup, který je dnes běžný, pochází až z devatenáctého století a umožňuje nám popisovat základní vlastnosti mnoha pravidelných objektů naráz. Vybudovaná teorie má přitom navzdory své obecné formulaci mnoho pěkných, hravých a velmi konkrétních důsledků například v kombinatorice nebo teorii čísel, a umožňuje nám tak lépe pochopit, jak spolu různé oblasti matematiky souvisí.

David Hruška | org | 20. 5. 2017 02:11:08

Ahoj Michale, jednak je něco v seriálu (http://mks.mff.cuni.cz/commentary/C/serie2s/u...), pak třeba na http://www.talnet.cz/documents/18/17100201-b6... a pak třeba náhodná úloha, co mě napadá: Máš tětivový čtyřúhelník a spojíš středy protějších oblouků (tedy nějaké body Š_a a Š_c). Dokaž, že tyto dvě spojnice jsou na sebe kolmé.

Marián Poppr | 17. 5. 2017 20:34:43

Ahoj,
již i letošní závěrečná série má své hinty:

Úloha 1a)+ skrytý text

Má tabulka sloupec s různými čísly? A když ne, tak skus přeuspořádat nějaké tři sloupce.

Úloha 1b)+ skrytý text

Nepodaří.
+ skrytý text

Vezmi si tabulku vyplněnou jen $\frac{2017\times2018}{2}-1$ jedničkami a zbytek nulami. Jakých součtů mohou nabývat řádky a sloupce a jak by mohly nasčítat $\frac{2017\times2018}{2}-1$ ?

Úloha 2a)+ skrytý text

Vyhovují jen 1 a 2.

Úloha 2b)+ skrytý text

Očísluj orgy 1 až 2n, pak počet úloh, pro které hlasovalo všech prvních x orgů (kde x<k) je ${2k-x \choose k}\cdot\frac{1}{k+1}$ , což musím být celé číslo.
+ skrytý text

Zbytek dořeš Krummerovou větou.

Úloha 3a)+ skrytý text

Rozděl cifry a dvě skupiny a zkoumej rozdíl jejich součtů.

Úloha 3b)+ skrytý text

2 dny stačí.
+ skrytý text

Podle požadavků ptakopysků vytvoř cykly (p1,p2 až pk) a první den prohoď dvojice ptakopysků tak, aby ti cyklus rozpadl na dvojcykly.
+ skrytý text

pi prohoď s pk-i+1.

Úloha 4a)+ skrytý text

Sporem. Pak v 0 nabývá fce minima, z toho ukaž, že záporná čísla nabývají minima též. Srovnej s kladnými a ukaž sporem vhodným dosazením.

Úloha 4b)+ skrytý text

Existuje.
+ skrytý text

Vyřeš zvlášť pro {+-1,+-1/2} a zbylé body vyřeší "ořezaný kosočtverec".

Úloha 5a)+ skrytý text

Nejde.
+ skrytý text

Jaké budou nsd počtů kamenů v hromádkách po prvním kroku?

Úloha 5b)+ skrytý text

Přímky se musí protnout ve středu čtverce.
+ skrytý text

Kdyby ne, otoč podle středu každou přímku a spočítej obsahy úseků rozdělených těmito 4 přímkami.

Úloha 6a)+ skrytý text

Vměstnej do čtyřstěnu následující útvary 4 malé čtyřstěny a 4 trojúhelníky ze středních příček.

Úloha 6b)+ skrytý text

Zobraz například A podle středu N jako T a ukaž, že TEB leží na přímce.
+ skrytý text

Trojúhelníky TSE a CBE jsou shodné.
+ skrytý text

K tomu se hodí vědět jak daleko od roviny AMN leží body D,C,S.

Úloha 7a)+ skrytý text

Neexistuje
+ skrytý text

Jaké zbytky po dělení 4 může dávat hledaný součet?

Úloha 7b)+ skrytý text

n=9999
+ skrytý text

S(9999m)=36 pro m<10000

+ skrytý text

Jak k tomu dojít? Nejprve si všimni, že jde o nejmenší n, které splňuje S(n)=S(n1001).
+ skrytý text

Zkoumej zbytky po dělení 9.

+ skrytý text

Dále všimni si, že ciferný součet n s první jeho cifrou je roven první cifře.

Michal Töpfer | org | 8. 5. 2017 12:07:16

Ahoj,
chtěl bych se zeptat, jestli někdo nemáte tipy na nějaké lehké úlohy na Švrčkův bod. Koukal jsem do letošního seriálu i do knihovničky a tam je většina dost těžká (úlohy z IMO). Potřeboval bych úlohy tak pro prvák SŠ, takže možná něco z MO nebo minulých let PraSete, ale klidně i lehčí, pokud si na něco vzpomenete. Předem děkuji za rady.

Miroslav Olšák | org | 6. 5. 2017 11:56:35

Ahoj,
rozhodl jsem se vydat animovanou verzi své přednášky "Komplexní čísla geometricky". Enjoy!
http://atrey.karlin.mff.cuni.cz/~mirecek/Komp...

Marián Poppr | 17. 4. 2017 21:51:05

Ahoj,
Hinty k 3.jarní sérii spolu se závěrečnou seriálovou sérií jsou nýčko k nahlédnutí:

1. úloha+ skrytý text

Všimni si, že L leží na AA´. V jakém vztahu je L a Gergonnův bod trojúhelníku A´B´C´? + skrytý text

Jsou totožné. Zbytek řeší záporná stejnolehlost z kamaráda Gergonnova bodu.

2. úloha + skrytý text

Jak vypadá feuerbachova křužnice trojúhelníku XYZ?+ skrytý text

Má poloviční poloměr oproti kružnici opsané a je pevně daná dvěma středy ze zadání. Mohla by být různá od $\gamma$ ?+ skrytý text

Ne. Zobraz kružnici opsanou ve stejnolehlosti podle bodu X s vhodným koeficientem a použij ostroúhlou trojúhelníků.

3. úloha + skrytý text

OH prochází opsištěm A1B1C1+ skrytý text

Jak vypadá pedal triangle k bodu X v trojúhelníku A1B1C1?+ skrytý text

Nakonec použij druhou Fontenovu větu

1. úloha + skrytý text

chvilku si hraj
+ skrytý text

např 4066

2. úloha+ skrytý text

Neexistuje
+ skrytý text

Muselo by být tvaru pq^4 a zároveň dělitelné deseti

3. úloha + skrytý text

Kdy je číslo 700..0 -1 dělitelné 7?

4. úloha + skrytý text

n musí dělit rozdíl nějakých dvou čísel vybraných z n+1 nejmenších jedničkových čísel
+ skrytý text

dirichletův princip

5. úloha + skrytý text

Skus přičítání opakovat dokud nebude na tabuli číslo s větším počtem cifer.

6. úloha + skrytý text

50 jde a více ne
+ skrytý text

například prvních deset nech normálně a pak na střídačku vždy dalších deset buď nech jak jsou a nebo napiš pozpátku

+ skrytý text

spáruj čísla s čísly od 10 vyššími nebo menšími a použij dirichletův princip

+ skrytý text

jak se spárovaná čísla liší?

7. úloha + skrytý text

Řeš pro k>2 a všimni si, že n má stejný zbytek pod dělení k-1 jako jeho ciferný součet v soustavě o základu k.
+ skrytý text

Dále nahlédni, že k-kruté číslo nemůže mít více než 2k-2 cifer
+ skrytý text

Dirichletovým principem vyber 3 čísla se stejným zbytkem po dělení k-1 a zkoumej rozdíl největšího s nejmenším

8. úloha + skrytý text

+ skrytý text

N>=101
spoiler]Stačí ukázat pro 101. Pepa vysčítá desetinásobky čísel na lichých pozic a čísla na sudých pozicích, výsledek vymodulí 100 a zakryje čísla na výsledné a plus-první pozici

+ skrytý text

Pro N<100 srovnej počet možných stavů, které může Pepa vytvořit s počtem možných čísel
+ skrytý text

$(N-1)10^{(N-2)}$ a $10^N$

Štěpán Šimsa | org | 25. 3. 2017 00:45:53

Ahoj,
kdo by chtěl na poslední chvíli potrénovat před celostátkem MO, může si udělat k tomu určený TRiKS http://iksko.org/triks/current.php.

Marián Poppr | 7. 3. 2017 20:24:17

Hle,
nové Hinty,
zde.

1.úloha + skrytý text

$\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2}}$

2.úloha + skrytý text

posuň vrchol jehlanu nad jeden z vrcholů podstavy

3.úloha + skrytý text

Z vrcholů krychle vyber ty, co tvoří pravidelný čtyřstěn a promítni ho na jednu stanu krychle.

4.úloha + skrytý text

Vezměme rovinu danou středem slunce a libovolnými dvěma planetami. Tato rovina protne slunce na rovníku, kolik pak planet vidíme z jednotlivých pólů?

5.úloha + skrytý text

Pepa propadne hrdlem+ skrytý text

srovnej objem, jaký největší mohou zabírat jehlany, s objemem hranolu

6.úloha + skrytý text

body D leží na kouli s průměrem AB+ skrytý text

zbytek obstará stereografická projekce

7.úloha + skrytý text

Množiny bodů dotyků z A,B,C,D se sférou tvoří vně se dotýkající kružnice kA,kB,kC,kD. Zvolme si například bod A1, jakožto bod dotyku kA a kB. Jak se zobrazí ve stereografické projekci na rovinu kružnice kA, kB, kC, kD, když A1 je severní pól?+ skrytý text

k´A a k´B budou rovnoběžky a k´C a k´D jsou kružnice navzájem se vně dotýkající, k´C se dotýká k´B a k´D se dotýká k´A.+ skrytý text

Tyto tři body dotyku leží ze stejnolehlosti na přímce, což řeší úlohu

8.úloha + skrytý text

Zvolme si vrchol A1 u našeho mnohostěnu M a nafoukněme M ve stejnolehlosti se středem v A1 a koeficientem 2. Tím získáme mnohoúhelník M´.+ skrytý text

Jak velký je objem M vzhledem k M´+ skrytý text

8 krát menší

+ skrytý text

S každým bodem z M´ je v M jeho polovina+ skrytý text

Tedy objem M´je patrně menší než objem všech devíti zformovaných mnohoúhelníků

Marián Poppr | 20. 2. 2017 20:33:31

Ahoj,
s lehkým zpozděním, ale přece, světlo světa spatřily nové Hinty a Nápovědy k 1. jarní a 2. seriálové sérii. Nechť milý čtenář shlédne níže.

1. úloha + skrytý text

Kdy sní mravenečník jiný počet mravenců než předešlý den?

2. úloha + skrytý text

3. úloha + skrytý text

Kolik vede cest z každého města?+ skrytý text

celkem je 5 měst

4. úloha + skrytý text

Seřaď sýry od nejlehčího sýra po nejtěžší a všechny liché (bez nejtěžšího sýra). Poté dej liché do jedné a všechny sudé do druhé skupiny. Všimni si, že rozdíl těchto skupin musí být lehčí než poslední sýr, což řeší úlohu

5. úloha + skrytý text

Kdyby v každé skupině existovalo nějaké číslo s konečným počtem násobků, tak kolikrát by byl zastoupen součin násobků všech těchto čísel v daných skupinách?

6. úloha + skrytý text

MaM :)

7. úloha + skrytý text

Použij mocnost bodu ke kružnici pro každý z vrcholů n-úhelníku. Co tím získáme pro přečuhující úseky tras ptakopysků?

8. úloha + skrytý text

Snaž se najít dokonalé párování v bipartijním grafu s partitami podle obou návrhů. Hranu mezi nimi povedeš, pokud mají odpovídající okresy nenulový průnik+ skrytý text

Použij Hallovu větu

1. úloha + skrytý text

Daná opsiště leží na ose BP+ skrytý text

Nechť N je antišvrk pro bod B, všimni si, že osy stran ICB,IAB a BN procházejí odpovídajícími opsištěmi, tedy stačilo by ukázat, že osa BN půlí pás mezi ICB a IAB+ skrytý text

stejnolehlost se středem v B a koeficientem 2

2. úloha + skrytý text

PQ a RS se protínají na AB v bodě T+ skrytý text

Simpsonova přímka

+ skrytý text

pětiúhelníky QYSBM a APYRS leží na kružnicích
+ skrytý text

Pravé úhly

+ skrytý text

A nakonec trochu úhlení

3. úloha + skrytý text

P a V jsou kamarádi
+ skrytý text

six feet tvorem

+ skrytý text

Zbytek troška hraní si s úhly kamarádů

Marián Poppr | 10. 1. 2017 13:01:32

Ahoj,
poslední podzimní - 4. série je již za námi, a proto se již tradičně objevili k ní odkazující Hinty a Nápovědy. Račte číst dále.

1. úloha+ skrytý text

g(f(x)) nemůže být prostá, f(g(x)) může
+ skrytý text

např. g(x)=x

2. úloha+ skrytý text

zkoumej nejmenší číslo, ve kterém funkce dosáhne svého minima

3. úloha + skrytý text

Například f(x) jako $|x-1|$

4. úloha+ skrytý text

dosaď do rovnice l a 1/l kde l je různé od nuly

5. úloha+ skrytý text

Všimni si, že stačí ukázat, že f je vždy menší než jedna
+ skrytý text

dokaž sporem, nechť k=f(c) <1 pak f(ck)>f(y+c) což nelze
+ skrytý text

najdi y tak že y+c=ck

6. úloha+ skrytý text

stačí 2 otázky
+ skrytý text

Kdyby se Áďa zeptala na hodnotu Lucienova polynomu v dostatečně velké mocnině 10, tak by pak z výsledku mohla přečíst dané koeficienty. Avšak jak Áďa zjistí jakou mocninu 10 alespoň zvolit?+ skrytý text

Nejprve se zeptá na hodnotu Lucienova polynomu v 1

7. úloha+ skrytý text

Nejprve si všimni, že krutopřísná funkce je bijekce a můžeš si ji představit jako šipečky mezi čísly 1 až n, takto patrně vznikne spoustu cyklu, co o nich říká vlastnost krutopřísné funkce?
+ skrytý text

Délka cyklu dělí všechny čísla v cyklu. V jakých cyklech pak mohou být prvočísla p z daného intervalu?
+ skrytý text

Mohly by být v cyklech délky p nebo 1 a z výše napsané podmínky je vidět, že v cyklu délky p být nemohou
+ skrytý text

Zbývá si všimnout, že 1 musí být též v cyklu délky 1

8. úloha + skrytý text

Polož si $g(n,k)=\sqrt{k\sqrt{(k+1)\cdots \sqrt{(n-1)\sqrt{n}}}}$ a sporem pomocí indukce ukaž, že pak $g(n,k)\geq 1$ + skrytý text

využij indukčního předpokladu a odhadni $g(k+1,n)\geq\frac{(k+1)^2}{k}$ + skrytý text

Spor pak dostaň, když položíš n=k

Marián Poppr | 12. 12. 2016 20:48:56

Ahoj,
Hinty k 3. třetí podzimní sérii jsou již na světě, tentokrát však v rozšířeném vydání a to o nic jiného než o samotnou první sérii seriálovou. Bližší informace níže k nahlédnutí.

1. úloha+ skrytý text

V jakém poměru dělí těžiště těžnici?+ skrytý text

Trojúhelníky ABC a ADE mají společné těžiště

2. úloha+ skrytý text

Zobraz přímky ve stejnolehlosti podle opsiště s koeficientem 1/2+ skrytý text

Obrazy protínají na středu těžnice z bodu A

3. úloha + skrytý text

Všimni si, že Q je připsištěm trojúhelníku ADC.+ skrytý text

Ukaž, že trojúhelníky XQD a ADQ jsou shodné+ skrytý text

usu

1. úloha+ skrytý text

čokoládová hvězda Orion

2. úloha+ skrytý text

Ukaž, že existují alespoň dvě dvojice červeně obarvených bodů, takových že jejich spojnice prochází středem 2016úhelníku

3. úloha+ skrytý text

Jak hezky nakreslit Z?

4. úloha+ skrytý text

Lze sestrojit+ skrytý text

Například první dvě strany délky 1 a další rovny součtu stran předešlých, zbývá doladit, jakou délku může mít poslední strana?+ skrytý text

Trošku ji prodluž

5. úloha + skrytý text

63 den už umí být vlk na každém políčku+ skrytý text

Vezmi si osu od -1008 do 1008 a začni na 0. Všimni si, že vlk se umí dostat postupně na všechna políčka se stejnou paritou daného kroku. Aby se dostal i na políčka s jinou paritou tak musí oběhnout dokola

6. úloha + skrytý text

N-úhelníky tvoří 2n-cípou hvězdu. V jakém vztahu jsou trojúhelníky s vrcholy v těchto cípech?+ skrytý text

Jsou podobné

+ skrytý text

Pomocí poměrů stran (k, l) sudé/liché strany s ostatními stranami trojúhelníku vyjádři délku strany původního n-úhelníka. Získáš 2n rovnic které vhodně sečti a uprav.+ skrytý text

Zbývá ukázat že k+l-1 je různé od 0+ skrytý text

Trojúhelníková nerovnost

7. úloha + skrytý text

Pokrývací trojúhelníky triangulují mnohoúhelník+ skrytý text

Žádné dvě strany dobrých trojúhelníků se neprotínají+ skrytý text

Každá úhlopříčka v n-úhelníku, když je součástí dobrého trojúhelníka, se kouká na dva vrcholy na protějších stranách v součtu větším než 180+ skrytý text

A tak, každá taková úhlopříčka je součástí právě dvou dobrých trojúhelníků

8. úloha + skrytý text

Kaktus vyhraje+ skrytý text

Vyhraje ten ,kdo začerní jako první n vrcholů+ skrytý text

Trojúhelník je ostroúhlý právě tehdy, když obsahuje svůj střed

+ skrytý text

Zbytek udělej indukcí+ skrytý text

Pro n>2 kaktus zahraje co nejvíc naproti tahu Rada

Marián Poppr | 16. 11. 2016 09:33:04

Ahoj,
k 2. podzimní sérii přibyla nová kolekce Hintů, Tipů a Triků.

1. úloha+ skrytý text

Co se stane s dvojkou po prvním zaklínadle?

2. úloha+ skrytý text

Když od dostatečně velkého prvočísla odečteme liché číslo, tak dostaneme sudé číslo.+ skrytý text

Kdy jsou pro prvočíslo p čísla p-9 a 9 složená?

3. úloha+ skrytý text

Jak se mění parita počtu prvočísel v jednotlivých městech?

4. úloha+ skrytý text

Mezi 6 po sobě jdoucími čísly jsou zastoupeny všechny zbytky po dělení 6, ukaž, že jedno z čísel 6k+1 a 6k+5 musí být dělitelné prvočíslem větším než 6.+ skrytý text

Jak velký je rozdíl těchto čísel, mohou být obě dělitelné 5?

5. úloha+ skrytý text

Skus vyjádřit 5n+3 jako rozdíl nějakých dvou čtverců.+ skrytý text

Když 2n+1=A^2 a 3n+1=B^2, tak 5n+3=(2A-B)(2A+B)

+ skrytý text

Pro spor, kolik by muselo být (2A-B)?+ skrytý text

Dosaď zpátky a ukaž, že nějaká kvadratická rovnice nemá reálný kořen

6. úloha+ skrytý text

Nechť existuje konečně mnoho počtů hrušek, kdy má Martin prohrávající strategii a n je největší z nich. Tedy všechny počty větší než n jsou pro Martina vyhrávající, tedy musí existovat tah do prohrávající pozice. Najdi číslo, ze kterého se pak už Martin nemůže dostat do žádné pozice 1 až n.+ skrytý text

Např. (n+1)! + n+1 . Jaké dělitele pak mají čísla od (n+1)! +2 do (n+1)! +n+1?

7. úloha+ skrytý text

Stačí sledovat nesoudělné 2016-tice+ skrytý text

Mějme nějaké prvočíslo p, které dělí jedno z 2016-tice, ukaž, že 4-té mocniny libovolných jiných čísel z 2016-tice dávají stejný zbytek po dělení p+ skrytý text

Potom však už p musí být rovno 3+ skrytý text

Jedinými řešeními jsou sety, kdy jsou všechny čísla stejná a přirozená anebo právě jedno je třikrát větší než libovolné jiné.

8. úloha+ skrytý text

Nechť p je prvočíslo větší než 2, pak úlohu řeší všechny čísla n rovna p^2^k kde k je nějaké přirozené číslo. Polož f(k)= p^2^k+1. Ukaž, že existuje k takové, že f(k) je dělitelné prvočíslem větším než p+ skrytý text

f(k) není děl 2+ skrytý text

kvadratické zbytky

+ skrytý text

Všimni si, že f(k)=(p-1)*(p+1)*(p^2+1)*.*(p^2^(k-1)+1) a pomocí dirichletova principu ukaž, že f(k) větší než p nemůžou mít dělitele jen menší než p+ skrytý text

Nakonec si vezmi to k, které je nejmenší a pro p(n-1) opět použij rozklad a využij toho, že k bylo voleno nejmenší možné

Marián Poppr | 9. 10. 2016 22:31:22

Ahoj,
v závěsu za 1. podzimní série tu jsou první letošní Hinty. Nepodařilo se Ti vše vyřešit všechny úlohy a nedá Ti nějaká úloha spát? Pak máš skvělou příležitost, jak si úlohy ještě jednou, mimo soutěž, vyzkoušet.

1. úloha+ skrytý text

Co zjistíme, když vytáhneme kus pokladu z truhly pro zlaté mince a diamanty?

2. úloha+ skrytý text

Spoj Rada a Sofii přímkou.

3. úloha+ skrytý text

Kolikáté by dojely první a poslední startující kanoe?

4. úloha+ skrytý text

Pro jaká tři trojciferná čísla platí obdobná vlastnost?+ skrytý text

Zkus je složit z cifer 4,5,9

5. úloha+ skrytý text

Jakou barvu má jednička?+ skrytý text

Když n je nejmenší červené číslo, indukcí ukaž, že červené jsou právě násobky n

6. úloha+ skrytý text

Úhel u A je pravý+ skrytý text

Jak odříznout od strany PE dva trojúhelníky, abychom pak mohli získat čtverec s vrcholem u A?

7. úloha+ skrytý text

Stačí 2n-3 billboardů+ skrytý text

Ukaž, že pro každé uspořádání vesnic a billboardů existuje promítnutí na nějakou přímku, tak aby se počet billboardů nezvětšil.+ skrytý text

Kolik středů stačí na přímce? Seřaď si města, jdi například zleva doprava a vždy si zafixuj jedno město, kolik takto nesplývajících středů jistě dostaneš?+ skrytý text

Konstrukcí ukaž, že 2n-3 pro n>1 jde sestrojit.

8. úloha+ skrytý text

Opakuj postup, kdy v každém kroku dorazí nějaký vietnamec do čtverce o dané velikosti s informací, že se pořádá party. Podle počtu vietnamců ve čtverci ho rozděl případně na 4 menší, kde postup zopakuješ+ skrytý text

Odhadni maximální možnou uraženou cestu a sečti geometrickou posloupnost.

Wiki | 30. 8. 2016 23:12:19

https://cs.wikipedia.org/wiki/Parci%C3%A1ln%C...

Daniel Herman | 24. 8. 2016 19:33:37

Ahoj,
nedá mi spať a neviem koho sa opýtať, tak sa obraciam na vás. Uvažujme, že viem ako derivovať funkciu podľa x aj y. Ako môžem potom zderivovať napr. f(x,y)=xy/(x^2+y^2). Musím si rozdeliť plochu tejto funkcie na rôzne časti? Celkovo ma zaujíma ako sa dá zderivovať funkcia kde máme rôzny počet premenných a aj umocnených. Ako sa postupuje v R^3 alebo R^n?

Vďaka za každú pomoc :)

David Hruška | org | 7. 6. 2016 01:13:36

Každou chvilku začne další TriKS! Ukažte, že vás písemky úplně nezničily :-)
http://iksko.org/triks/current.php

<< < 1 2 ... 5 6 7 ... 36 37 > >>

Kontakt

email	info (zavináč) prase.cz
pošta	Matematický korespondenční seminář KAM MFF UK Malostranské náměstí 25 118 00 Praha 1

Organizátoři

Matematický korespondenční seminář je organizovaný studenty Matematicko-fyzikální fakulty UK pod záštitou Informatického ústavu UK a Oddělení propagace a mediální komunikace MFF UK.

Partneři

Realizace projektu byla podpořena Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy

Matematický korespondenční seminář

Kalendář

Z naší fotogalerie

Kontakt

Organizátoři

Partneři