Chat Prasátek

Matematická sekce

madam Verča | 16. 2. 2018 01:34:28

První jarní hinty letošního ročníku již spatřili světlo světa! A s nima i hinty k 2. seriálové sérii.
1. jarní série
Úloha 1.+ skrytý text

Jak to vypadá ve chvíli, kdy oba týmy daly dohromady osm gólů?

Úloha 2.+ skrytý text

$\textstyle n=n\cdot1$

Úloha 3.+ skrytý text

Tři body položce na přímku a čtvrtý mimo takovým způsobem, aby všechny trojúhelníky byly rovnoramenné.

Úloha 4.+ skrytý text

Rozdělte pracovní dobu na půlky, půlky půlek, půlky půlek půlek, ... a rozdělte lidi odpovídajícím způsobem do nich.

Úloha 5.+ skrytý text

Hamlet se nikdy nezastaví, takže se časem objeví v situaci, ve které už někdy byl.+ skrytý text

Rozmyslete si, že umíme po každém kroku určit, jak vypadala situace před tímto krokem.

Úloha 6.+ skrytý text

Předpokládejte, že posloupnost existuje a ukažte, že posloupnost je rostoucí a z toho, že všechny její členy jsou menší než 1. Následně uvažte součet prvních $\textstyle n$ členů.

Úloha 7.+ skrytý text

Vezměte za $\textstyle B$ čtverec, za $\textstyle O$ střed čtverce. Rozpůlme $\textstyle B$ na dva trojúhelníky libovolnou jeho úhlopříčkou a uvažujme trojúhelník $\textstyle T$ , který vznikne tím, že jeden z takto vzniklých trojúhelníků nafoukneme na dvojnásobek stejnolehlostí z bodu $\textstyle O$ . Nakonec zvolme $\textstyle A$ jako "skoro" $\textstyle T$ .

Úloha 8.+ skrytý text

Nechť $\textstyle n=2k+1$ . Zvolme všechna $\textstyle b_i$ rovna jedné a $\textstyle a_{i,j}$ rovna mínus jedné pokud zbytek $\textstyle j-i$ po dělení $\textstyle n$ je menší než $\textstyle k$ . Abyste ukázali, že toto funguje, ukažte, že kdykoliv je $\textstyle i-j$ kongruentní $\textstyle \pm k$ modulo $\textstyle n$ , tak alespoň jedno z čísel $\textstyle y_i$ a $\textstyle y_j$ je rovno $\textstyle x_1x_2\dots x_n$ .

2. seriálová série
Úloha 1.+ skrytý text

Pokud si vybereme jednu stěnu kostky, máme 6 možností, na kterou jinou stěnu ji zobrazit, posléze máme 4 možnosti, jak ji pootočit, příslušná grupa G má tedy 24 prvků.+ skrytý text

Rozmyslete si, jakým způsobem prvky grupy G permutují stěny krychle a příklad dokončete Burnsideoým lematem.

Úloha 2.+ skrytý text

Z prvních dvou vlastností je jasné, že f je permutace tvořená samými dvojcykly. Číslo $\textstyle n$ je proto sudé.+ skrytý text

Zobrazení $\textstyle g: x \mapsto x+1$ je také permutce, která je díky sudosti n lichá.+ skrytý text

Ze třetí podmínky a multiplikativity znaménka určete paritu permutace f. Pak už je díky cyklové struktuře f vše jasné."

Úloha 3.+ skrytý text

Předpokládejte pro spor, že jich existuje víc, a použijte vlastnost ze zadání pro normalizátor jedné sylowovské p-podgrupy.

madam Verča | 16. 2. 2018 01:33:52

Ahoj!
Už i poslední podzimní série má své hinty!

Úloha 1.+ skrytý text

Co lze odebrat, lze taky přidat.

Úloha 2.+ skrytý text

Uvažujte zbytky po dělení třemi.

Úloha 3.+ skrytý text

Jak se dá $\textstyle 462$ zapsat jako součet dvou svých dělitelů?

Úloha 4.+ skrytý text

Využijte kritérium pro dělitelnost jedenácti.

Úloha 5.+ skrytý text

Zkoumejte paritu.

Úloha 6.+ skrytý text

Jen jedna z množin může mít víc než jeden prvek.+ skrytý text

Uvažujme kterýkoli prvek, který nepatří do oné jednoprvkové množiny. Co lze říct o menších číslech?

Úloha 7.+ skrytý text

$\textstyle n$ musí být prvočíslo a pak pracujte modulo $\textstyle n-1$ .

Úloha 8.+ skrytý text

Nejprve si ke každému políčku přiřaďte unikátní prvočíslo. Pomocí nich si zajistěte druhou podmínku, bez ohledu na první. Nyní zvolte dostatečně velké prvočíslo P, nesoudělné se všemi prozatím napsanými čísly a vynásobte každé políčko takovým koeficientem, aby součet v každém dominu byl P.

madam Verča | 16. 2. 2018 01:32:53

Milá PraSátka,
další měsíc již uběhl a zde jsou hinty ke dvoum dalším sériím!
3. podzimní série
Úloha 1.+ skrytý text

Co třeba rovnoběžné s nějakou stranou ?

Úloha 2.+ skrytý text

Spočítejte úhel u vrcholu $\textstyle P$ .

Úloha 3.+ skrytý text

Použijte kružnice vepsané.

Úloha 4.+ skrytý text

Může Rado zašlápnout Michala?
+ skrytý text

Obarvěte šachovnicově políčka.

Úloha 5.+ skrytý text

Úhlete pomocí velikostí oblouků na kružnici.

Úloha 6.+ skrytý text

Dokresli si rovnoběžky se stranami procházející $\textstyle P$ .

Úloha 7.+ skrytý text

Překlopte $\textstyle C$ podle osy strany $\textstyle AB$ , čímž získáte čtvrtý bod lichoběžníku $\textstyle D$ . + skrytý text

S využitím zadané podmínky na úhly nahlédněte, že tři strany tohoto lichoběžníku jsou stejně dlouhé.+ skrytý text

Trojúhelník $\textstyle PCD$ je rovnostranný.+ skrytý text

Dopočtěte.

Úloha 8.+ skrytý text

Přímky $\textstyle OI$ a $\textstyle AI$ protínají $\textstyle XY$ pod stejným úhlem.

1. seriálová série
Úloha 1.+ skrytý text

Chceme $\textstyle gh=hg$ pro všechna $\textstyle g,h\in G$ . Rozmyslete si, že $\textstyle ghgh$ a $\textstyle gghh$ se rovnají.

Úloha 2.+ skrytý text

Každé racionální číslo se dá zapsat jednoznačně jako součin prvočísel umocněných na celočíselné exponenty.

Úloha 3.+ skrytý text

$\textstyle G/N$ nekonečná cyklická je izomorfmí se $\textstyle Z$ (celá čísla se sčítáním), takže z ní vede surjektivní homomorfismus do $\textstyle Z_n$ (celá čísla modulo n) daný dělením se zbytkem.+ skrytý text

Jádro tohoto homomorfismu je podgrupa grupy $\textstyle G/N$ tvaru $\textstyle K/N$ pro nějakou $\textstyle K \leq G$ . Podle první a druhé věty o izomorfismu je potom $\textstyle Z_n \simeq (G/N)/(K/N) \simeq G/K$ , tedy tato $\textstyle K$ má v $\textstyle G$ index $\textstyle n$ .

madam Verča | 8. 11. 2017 20:52:17

Ahoj ahoj!
tady je další várka hintů, tentokrát k 2. podzimní sérii ;)
Úloha 1.+ skrytý text

Když jsou vedle osmičky čtyřky, nemusí být ta osmička číslice nějakého dvouciferného čísla? Jaká čísla to mohou být?

Úloha 2.+ skrytý text

Jak se dají získat malé součty?

Úloha 3.+ skrytý text

Kolik existuje uspořádaných čtveřic čísel z množiny $\textstyle \{0, 1, 2,\dots, 9\}$ takových, že jejich součet je dělitelný třemi?

Úloha 4.+ skrytý text

Kolika způsoby lze umístit $\textstyle 8$ věží na jednu barvu, aby se neohrožovaly?+ skrytý text

Na šachovnici $\textstyle 8 \times 8$ by šlo $\textstyle 8$ věží umístit $\textstyle 2\cdot (4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)^2$ způsoby (tak, aby v každém rozmístění byly pouze na jedné barvě).

Úloha 5.+ skrytý text

Zkus si označit $\textstyle n$ počet druháků a $\textstyle k$ počet bodů, které získal každý z nich. Potom lze zadání přepsat do rovnice (napovím, že celkem bylo rozdáno $\textstyle \frac {(n+2)(n+1)}2$ bodů), ze které vyplyne, že počet druháků musí být dělitelem $\textstyle 14$ .

Úloha 6.+ skrytý text

Kolikrát se započítá jeden konkrétní prvek množiny $\textstyle \{1, 2, \dots, 2017\}$ do hledaného součtu?+ skrytý text

Když umístíme jeden prvek do průniku $\textstyle A\cap B$ , máme přesně čtyři možnosti, kam dát libovolný další prvek: do $\textstyle A\cap B$ , $\textstyle A\setminus B$ , $\textstyle B\setminus A$ , nebo do $\textstyle \{1, 2, \dots, 2017\}\setminus (A\cup B)$ .

Úloha 7.+ skrytý text

Součin faktoriálů stupňů vrcholů.

Úloha 8.+ skrytý text

Kolika způsoby můžete obarvit náhrdelník o $\textstyle n$ kamíncích $\textstyle 2017$ barvami tak, aby se při žádném netriviálním pootočení nepřenesl na stejně vypadající?

madam Verča | 29. 10. 2017 22:45:16

Ahoj!
Nepodařilo se ti vyřešit nějakou úlohu z 1. podzimní série a nemůžeš se dočkat vzorových řešení ? Pak tady máš pár hintů a můžeš se o to znovu pokusit mimo soutěž :)
Úloha 1.+ skrytý text

Zeptej se postupně na 16 trojic krabiček a zbylou dvojici vyřeš samostatně. + skrytý text

Zbylou dvojici krabiček dosaď po jedné do známé trojice.

Úloha 2.+ skrytý text

Vepiš stůl do čtverce, a ten čtverec rozděl na malé čtverce o velikosti plácačky. + skrytý text

Použij Dirichletův princip.

Úloha 3.+ skrytý text

Kdyby ciferný součet šestkrát za sebou vzrostl o jedna, musí jednou být dělitelný 7. + skrytý text

Kromě případů, kdy se přechází přes desítku, se nemůže ciferný součet změnit jinak než zvětšit o jedna.

Úloha 4.+ skrytý text

$481=13\cdot 37$ + skrytý text

Použij Dirichletův princip.

Úloha 5.+ skrytý text

V důkazu potřebujeme využít dvě věci: + skrytý text

Najít dvojici po sobě jdoucích ptakopysků, mezi kterými je největší mezera.

+ skrytý text

Orientovat si kružnici.

Úloha 6.+ skrytý text

Pro lichá n: rozmístěte 2x2 čtverce tak aby jste právě n políček buď nezahrnuli do žádného čtverce nebo zahrnuli do dvou čtverců. + skrytý text

Tato políčka budou na diagonále.

Úloha 7.+ skrytý text

Řešte indukcí. + skrytý text

Najděte řešení, kde každý další prvek bude roven součinu předchozích - někdy zmenšený o jedna, někdy zvětšený o jedna.

Úloha 8.+ skrytý text

Dokreslete si kružnice opsané ABD a CBD. Ukažte, že EA a EC se jich dotýkají. + skrytý text

Označte X a Y průsečíky těchto kružnic s l.

Miroslav Olšák | org | 30. 9. 2017 21:13:39

Ahoj, první díl seriálu "Do nekonečna a ještě dál" se dočkal video verze. Nechť se líbí :-)
https://www.youtube.com/playlist?list=PL2m0Oz...
Snad se někdy dostanu i na zbytek...

Jakub Krásenský | org | 1. 7. 2017 21:08:33

Ahoj!
Byli jste napjatí, o čem bude v příštím ročníku seriál? Teď vám to řekneme, abyste se mohli začít těšit (nebo psychicky připravovat):

V letošním seriálu vás provedeme velmi zajímavou oblastí matematiky: teorií grup. Jedná se o rozsáhlou teorii s rozmanitými důsledky v mnoha odvětvích; v seriálu se budeme zabývat jejími základními aspekty a podíváme se na některá hezká využití. Abstraktní přístup, který je dnes běžný, pochází až z devatenáctého století a umožňuje nám popisovat základní vlastnosti mnoha pravidelných objektů naráz. Vybudovaná teorie má přitom navzdory své obecné formulaci mnoho pěkných, hravých a velmi konkrétních důsledků například v kombinatorice nebo teorii čísel, a umožňuje nám tak lépe pochopit, jak spolu různé oblasti matematiky souvisí.

David Hruška | org | 20. 5. 2017 02:11:08

Ahoj Michale, jednak je něco v seriálu (http://mks.mff.cuni.cz/commentary/C/serie2s/u...), pak třeba na http://www.talnet.cz/documents/18/17100201-b6... a pak třeba náhodná úloha, co mě napadá: Máš tětivový čtyřúhelník a spojíš středy protějších oblouků (tedy nějaké body Š_a a Š_c). Dokaž, že tyto dvě spojnice jsou na sebe kolmé.

Marián Poppr | 17. 5. 2017 20:34:43

Ahoj,
již i letošní závěrečná série má své hinty:

Úloha 1a)+ skrytý text

Má tabulka sloupec s různými čísly? A když ne, tak skus přeuspořádat nějaké tři sloupce.

Úloha 1b)+ skrytý text

Nepodaří.
+ skrytý text

Vezmi si tabulku vyplněnou jen $\frac{2017\times2018}{2}-1$ jedničkami a zbytek nulami. Jakých součtů mohou nabývat řádky a sloupce a jak by mohly nasčítat $\frac{2017\times2018}{2}-1$ ?

Úloha 2a)+ skrytý text

Vyhovují jen 1 a 2.

Úloha 2b)+ skrytý text

Očísluj orgy 1 až 2n, pak počet úloh, pro které hlasovalo všech prvních x orgů (kde x<k) je ${2k-x \choose k}\cdot\frac{1}{k+1}$ , což musím být celé číslo.
+ skrytý text

Zbytek dořeš Krummerovou větou.

Úloha 3a)+ skrytý text

Rozděl cifry a dvě skupiny a zkoumej rozdíl jejich součtů.

Úloha 3b)+ skrytý text

2 dny stačí.
+ skrytý text

Podle požadavků ptakopysků vytvoř cykly (p1,p2 až pk) a první den prohoď dvojice ptakopysků tak, aby ti cyklus rozpadl na dvojcykly.
+ skrytý text

pi prohoď s pk-i+1.

Úloha 4a)+ skrytý text

Sporem. Pak v 0 nabývá fce minima, z toho ukaž, že záporná čísla nabývají minima též. Srovnej s kladnými a ukaž sporem vhodným dosazením.

Úloha 4b)+ skrytý text

Existuje.
+ skrytý text

Vyřeš zvlášť pro {+-1,+-1/2} a zbylé body vyřeší "ořezaný kosočtverec".

Úloha 5a)+ skrytý text

Nejde.
+ skrytý text

Jaké budou nsd počtů kamenů v hromádkách po prvním kroku?

Úloha 5b)+ skrytý text

Přímky se musí protnout ve středu čtverce.
+ skrytý text

Kdyby ne, otoč podle středu každou přímku a spočítej obsahy úseků rozdělených těmito 4 přímkami.

Úloha 6a)+ skrytý text

Vměstnej do čtyřstěnu následující útvary 4 malé čtyřstěny a 4 trojúhelníky ze středních příček.

Úloha 6b)+ skrytý text

Zobraz například A podle středu N jako T a ukaž, že TEB leží na přímce.
+ skrytý text

Trojúhelníky TSE a CBE jsou shodné.
+ skrytý text

K tomu se hodí vědět jak daleko od roviny AMN leží body D,C,S.

Úloha 7a)+ skrytý text

Neexistuje
+ skrytý text

Jaké zbytky po dělení 4 může dávat hledaný součet?

Úloha 7b)+ skrytý text

n=9999
+ skrytý text

S(9999m)=36 pro m<10000

+ skrytý text

Jak k tomu dojít? Nejprve si všimni, že jde o nejmenší n, které splňuje S(n)=S(n1001).
+ skrytý text

Zkoumej zbytky po dělení 9.

+ skrytý text

Dále všimni si, že ciferný součet n s první jeho cifrou je roven první cifře.

Michal Töpfer | org | 8. 5. 2017 12:07:16

Ahoj,
chtěl bych se zeptat, jestli někdo nemáte tipy na nějaké lehké úlohy na Švrčkův bod. Koukal jsem do letošního seriálu i do knihovničky a tam je většina dost těžká (úlohy z IMO). Potřeboval bych úlohy tak pro prvák SŠ, takže možná něco z MO nebo minulých let PraSete, ale klidně i lehčí, pokud si na něco vzpomenete. Předem děkuji za rady.

Miroslav Olšák | org | 6. 5. 2017 11:56:35

Ahoj,
rozhodl jsem se vydat animovanou verzi své přednášky "Komplexní čísla geometricky". Enjoy!
http://atrey.karlin.mff.cuni.cz/~mirecek/Komp...

Marián Poppr | 17. 4. 2017 21:51:05

Ahoj,
Hinty k 3.jarní sérii spolu se závěrečnou seriálovou sérií jsou nýčko k nahlédnutí:

1. úloha+ skrytý text

Všimni si, že L leží na AA´. V jakém vztahu je L a Gergonnův bod trojúhelníku A´B´C´? + skrytý text

Jsou totožné. Zbytek řeší záporná stejnolehlost z kamaráda Gergonnova bodu.

2. úloha + skrytý text

Jak vypadá feuerbachova křužnice trojúhelníku XYZ?+ skrytý text

Má poloviční poloměr oproti kružnici opsané a je pevně daná dvěma středy ze zadání. Mohla by být různá od $\gamma$ ?+ skrytý text

Ne. Zobraz kružnici opsanou ve stejnolehlosti podle bodu X s vhodným koeficientem a použij ostroúhlou trojúhelníků.

3. úloha + skrytý text

OH prochází opsištěm A1B1C1+ skrytý text

Jak vypadá pedal triangle k bodu X v trojúhelníku A1B1C1?+ skrytý text

Nakonec použij druhou Fontenovu větu

1. úloha + skrytý text

chvilku si hraj
+ skrytý text

např 4066

2. úloha+ skrytý text

Neexistuje
+ skrytý text

Muselo by být tvaru pq^4 a zároveň dělitelné deseti

3. úloha + skrytý text

Kdy je číslo 700..0 -1 dělitelné 7?

4. úloha + skrytý text

n musí dělit rozdíl nějakých dvou čísel vybraných z n+1 nejmenších jedničkových čísel
+ skrytý text

dirichletův princip

5. úloha + skrytý text

Skus přičítání opakovat dokud nebude na tabuli číslo s větším počtem cifer.

6. úloha + skrytý text

50 jde a více ne
+ skrytý text

například prvních deset nech normálně a pak na střídačku vždy dalších deset buď nech jak jsou a nebo napiš pozpátku

+ skrytý text

spáruj čísla s čísly od 10 vyššími nebo menšími a použij dirichletův princip

+ skrytý text

jak se spárovaná čísla liší?

7. úloha + skrytý text

Řeš pro k>2 a všimni si, že n má stejný zbytek pod dělení k-1 jako jeho ciferný součet v soustavě o základu k.
+ skrytý text

Dále nahlédni, že k-kruté číslo nemůže mít více než 2k-2 cifer
+ skrytý text

Dirichletovým principem vyber 3 čísla se stejným zbytkem po dělení k-1 a zkoumej rozdíl největšího s nejmenším

8. úloha + skrytý text

+ skrytý text

N>=101
spoiler]Stačí ukázat pro 101. Pepa vysčítá desetinásobky čísel na lichých pozic a čísla na sudých pozicích, výsledek vymodulí 100 a zakryje čísla na výsledné a plus-první pozici

+ skrytý text

Pro N<100 srovnej počet možných stavů, které může Pepa vytvořit s počtem možných čísel
+ skrytý text

$(N-1)10^{(N-2)}$ a $10^N$

Štěpán Šimsa | org | 25. 3. 2017 00:45:53

Ahoj,
kdo by chtěl na poslední chvíli potrénovat před celostátkem MO, může si udělat k tomu určený TRiKS http://iksko.org/triks/current.php.

Marián Poppr | 7. 3. 2017 20:24:17

Hle,
nové Hinty,
zde.

1.úloha + skrytý text

$\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2}}$

2.úloha + skrytý text

posuň vrchol jehlanu nad jeden z vrcholů podstavy

3.úloha + skrytý text

Z vrcholů krychle vyber ty, co tvoří pravidelný čtyřstěn a promítni ho na jednu stanu krychle.

4.úloha + skrytý text

Vezměme rovinu danou středem slunce a libovolnými dvěma planetami. Tato rovina protne slunce na rovníku, kolik pak planet vidíme z jednotlivých pólů?

5.úloha + skrytý text

Pepa propadne hrdlem+ skrytý text

srovnej objem, jaký největší mohou zabírat jehlany, s objemem hranolu

6.úloha + skrytý text

body D leží na kouli s průměrem AB+ skrytý text

zbytek obstará stereografická projekce

7.úloha + skrytý text

Množiny bodů dotyků z A,B,C,D se sférou tvoří vně se dotýkající kružnice kA,kB,kC,kD. Zvolme si například bod A1, jakožto bod dotyku kA a kB. Jak se zobrazí ve stereografické projekci na rovinu kružnice kA, kB, kC, kD, když A1 je severní pól?+ skrytý text

k´A a k´B budou rovnoběžky a k´C a k´D jsou kružnice navzájem se vně dotýkající, k´C se dotýká k´B a k´D se dotýká k´A.+ skrytý text

Tyto tři body dotyku leží ze stejnolehlosti na přímce, což řeší úlohu

8.úloha + skrytý text

Zvolme si vrchol A1 u našeho mnohostěnu M a nafoukněme M ve stejnolehlosti se středem v A1 a koeficientem 2. Tím získáme mnohoúhelník M´.+ skrytý text

Jak velký je objem M vzhledem k M´+ skrytý text

8 krát menší

+ skrytý text

S každým bodem z M´ je v M jeho polovina+ skrytý text

Tedy objem M´je patrně menší než objem všech devíti zformovaných mnohoúhelníků

Marián Poppr | 20. 2. 2017 20:33:31

Ahoj,
s lehkým zpozděním, ale přece, světlo světa spatřily nové Hinty a Nápovědy k 1. jarní a 2. seriálové sérii. Nechť milý čtenář shlédne níže.

1. úloha + skrytý text

Kdy sní mravenečník jiný počet mravenců než předešlý den?

2. úloha + skrytý text

3. úloha + skrytý text

Kolik vede cest z každého města?+ skrytý text

celkem je 5 měst

4. úloha + skrytý text

Seřaď sýry od nejlehčího sýra po nejtěžší a všechny liché (bez nejtěžšího sýra). Poté dej liché do jedné a všechny sudé do druhé skupiny. Všimni si, že rozdíl těchto skupin musí být lehčí než poslední sýr, což řeší úlohu

5. úloha + skrytý text

Kdyby v každé skupině existovalo nějaké číslo s konečným počtem násobků, tak kolikrát by byl zastoupen součin násobků všech těchto čísel v daných skupinách?

6. úloha + skrytý text

MaM :)

7. úloha + skrytý text

Použij mocnost bodu ke kružnici pro každý z vrcholů n-úhelníku. Co tím získáme pro přečuhující úseky tras ptakopysků?

8. úloha + skrytý text

Snaž se najít dokonalé párování v bipartijním grafu s partitami podle obou návrhů. Hranu mezi nimi povedeš, pokud mají odpovídající okresy nenulový průnik+ skrytý text

Použij Hallovu větu

1. úloha + skrytý text

Daná opsiště leží na ose BP+ skrytý text

Nechť N je antišvrk pro bod B, všimni si, že osy stran ICB,IAB a BN procházejí odpovídajícími opsištěmi, tedy stačilo by ukázat, že osa BN půlí pás mezi ICB a IAB+ skrytý text

stejnolehlost se středem v B a koeficientem 2

2. úloha + skrytý text

PQ a RS se protínají na AB v bodě T+ skrytý text

Simpsonova přímka

+ skrytý text

pětiúhelníky QYSBM a APYRS leží na kružnicích
+ skrytý text

Pravé úhly

+ skrytý text

A nakonec trochu úhlení

3. úloha + skrytý text

P a V jsou kamarádi
+ skrytý text

six feet tvorem

+ skrytý text

Zbytek troška hraní si s úhly kamarádů

Marián Poppr | 10. 1. 2017 13:01:32

Ahoj,
poslední podzimní - 4. série je již za námi, a proto se již tradičně objevili k ní odkazující Hinty a Nápovědy. Račte číst dále.

1. úloha+ skrytý text

g(f(x)) nemůže být prostá, f(g(x)) může
+ skrytý text

např. g(x)=x

2. úloha+ skrytý text

zkoumej nejmenší číslo, ve kterém funkce dosáhne svého minima

3. úloha + skrytý text

Například f(x) jako $|x-1|$

4. úloha+ skrytý text

dosaď do rovnice l a 1/l kde l je různé od nuly

5. úloha+ skrytý text

Všimni si, že stačí ukázat, že f je vždy menší než jedna
+ skrytý text

dokaž sporem, nechť k=f(c) <1 pak f(ck)>f(y+c) což nelze
+ skrytý text

najdi y tak že y+c=ck

6. úloha+ skrytý text

stačí 2 otázky
+ skrytý text

Kdyby se Áďa zeptala na hodnotu Lucienova polynomu v dostatečně velké mocnině 10, tak by pak z výsledku mohla přečíst dané koeficienty. Avšak jak Áďa zjistí jakou mocninu 10 alespoň zvolit?+ skrytý text

Nejprve se zeptá na hodnotu Lucienova polynomu v 1

7. úloha+ skrytý text

Nejprve si všimni, že krutopřísná funkce je bijekce a můžeš si ji představit jako šipečky mezi čísly 1 až n, takto patrně vznikne spoustu cyklu, co o nich říká vlastnost krutopřísné funkce?
+ skrytý text

Délka cyklu dělí všechny čísla v cyklu. V jakých cyklech pak mohou být prvočísla p z daného intervalu?
+ skrytý text

Mohly by být v cyklech délky p nebo 1 a z výše napsané podmínky je vidět, že v cyklu délky p být nemohou
+ skrytý text

Zbývá si všimnout, že 1 musí být též v cyklu délky 1

8. úloha + skrytý text

Polož si $g(n,k)=\sqrt{k\sqrt{(k+1)\cdots \sqrt{(n-1)\sqrt{n}}}}$ a sporem pomocí indukce ukaž, že pak $g(n,k)\geq 1$ + skrytý text

využij indukčního předpokladu a odhadni $g(k+1,n)\geq\frac{(k+1)^2}{k}$ + skrytý text

Spor pak dostaň, když položíš n=k

Marián Poppr | 12. 12. 2016 20:48:56

Ahoj,
Hinty k 3. třetí podzimní sérii jsou již na světě, tentokrát však v rozšířeném vydání a to o nic jiného než o samotnou první sérii seriálovou. Bližší informace níže k nahlédnutí.

1. úloha+ skrytý text

V jakém poměru dělí těžiště těžnici?+ skrytý text

Trojúhelníky ABC a ADE mají společné těžiště

2. úloha+ skrytý text

Zobraz přímky ve stejnolehlosti podle opsiště s koeficientem 1/2+ skrytý text

Obrazy protínají na středu těžnice z bodu A

3. úloha + skrytý text

Všimni si, že Q je připsištěm trojúhelníku ADC.+ skrytý text

Ukaž, že trojúhelníky XQD a ADQ jsou shodné+ skrytý text

usu

1. úloha+ skrytý text

čokoládová hvězda Orion

2. úloha+ skrytý text

Ukaž, že existují alespoň dvě dvojice červeně obarvených bodů, takových že jejich spojnice prochází středem 2016úhelníku

3. úloha+ skrytý text

Jak hezky nakreslit Z?

4. úloha+ skrytý text

Lze sestrojit+ skrytý text

Například první dvě strany délky 1 a další rovny součtu stran předešlých, zbývá doladit, jakou délku může mít poslední strana?+ skrytý text

Trošku ji prodluž

5. úloha + skrytý text

63 den už umí být vlk na každém políčku+ skrytý text

Vezmi si osu od -1008 do 1008 a začni na 0. Všimni si, že vlk se umí dostat postupně na všechna políčka se stejnou paritou daného kroku. Aby se dostal i na políčka s jinou paritou tak musí oběhnout dokola

6. úloha + skrytý text

N-úhelníky tvoří 2n-cípou hvězdu. V jakém vztahu jsou trojúhelníky s vrcholy v těchto cípech?+ skrytý text

Jsou podobné

+ skrytý text

Pomocí poměrů stran (k, l) sudé/liché strany s ostatními stranami trojúhelníku vyjádři délku strany původního n-úhelníka. Získáš 2n rovnic které vhodně sečti a uprav.+ skrytý text

Zbývá ukázat že k+l-1 je různé od 0+ skrytý text

Trojúhelníková nerovnost

7. úloha + skrytý text

Pokrývací trojúhelníky triangulují mnohoúhelník+ skrytý text

Žádné dvě strany dobrých trojúhelníků se neprotínají+ skrytý text

Každá úhlopříčka v n-úhelníku, když je součástí dobrého trojúhelníka, se kouká na dva vrcholy na protějších stranách v součtu větším než 180+ skrytý text

A tak, každá taková úhlopříčka je součástí právě dvou dobrých trojúhelníků

8. úloha + skrytý text

Kaktus vyhraje+ skrytý text

Vyhraje ten ,kdo začerní jako první n vrcholů+ skrytý text

Trojúhelník je ostroúhlý právě tehdy, když obsahuje svůj střed

+ skrytý text

Zbytek udělej indukcí+ skrytý text

Pro n>2 kaktus zahraje co nejvíc naproti tahu Rada

Marián Poppr | 16. 11. 2016 09:33:04

Ahoj,
k 2. podzimní sérii přibyla nová kolekce Hintů, Tipů a Triků.

1. úloha+ skrytý text

Co se stane s dvojkou po prvním zaklínadle?

2. úloha+ skrytý text

Když od dostatečně velkého prvočísla odečteme liché číslo, tak dostaneme sudé číslo.+ skrytý text

Kdy jsou pro prvočíslo p čísla p-9 a 9 složená?

3. úloha+ skrytý text

Jak se mění parita počtu prvočísel v jednotlivých městech?

4. úloha+ skrytý text

Mezi 6 po sobě jdoucími čísly jsou zastoupeny všechny zbytky po dělení 6, ukaž, že jedno z čísel 6k+1 a 6k+5 musí být dělitelné prvočíslem větším než 6.+ skrytý text

Jak velký je rozdíl těchto čísel, mohou být obě dělitelné 5?

5. úloha+ skrytý text

Skus vyjádřit 5n+3 jako rozdíl nějakých dvou čtverců.+ skrytý text

Když 2n+1=A^2 a 3n+1=B^2, tak 5n+3=(2A-B)(2A+B)

+ skrytý text

Pro spor, kolik by muselo být (2A-B)?+ skrytý text

Dosaď zpátky a ukaž, že nějaká kvadratická rovnice nemá reálný kořen

6. úloha+ skrytý text

Nechť existuje konečně mnoho počtů hrušek, kdy má Martin prohrávající strategii a n je největší z nich. Tedy všechny počty větší než n jsou pro Martina vyhrávající, tedy musí existovat tah do prohrávající pozice. Najdi číslo, ze kterého se pak už Martin nemůže dostat do žádné pozice 1 až n.+ skrytý text

Např. (n+1)! + n+1 . Jaké dělitele pak mají čísla od (n+1)! +2 do (n+1)! +n+1?

7. úloha+ skrytý text

Stačí sledovat nesoudělné 2016-tice+ skrytý text

Mějme nějaké prvočíslo p, které dělí jedno z 2016-tice, ukaž, že 4-té mocniny libovolných jiných čísel z 2016-tice dávají stejný zbytek po dělení p+ skrytý text

Potom však už p musí být rovno 3+ skrytý text

Jedinými řešeními jsou sety, kdy jsou všechny čísla stejná a přirozená anebo právě jedno je třikrát větší než libovolné jiné.

8. úloha+ skrytý text

Nechť p je prvočíslo větší než 2, pak úlohu řeší všechny čísla n rovna p^2^k kde k je nějaké přirozené číslo. Polož f(k)= p^2^k+1. Ukaž, že existuje k takové, že f(k) je dělitelné prvočíslem větším než p+ skrytý text

f(k) není děl 2+ skrytý text

kvadratické zbytky

+ skrytý text

Všimni si, že f(k)=(p-1)*(p+1)*(p^2+1)*.*(p^2^(k-1)+1) a pomocí dirichletova principu ukaž, že f(k) větší než p nemůžou mít dělitele jen menší než p+ skrytý text

Nakonec si vezmi to k, které je nejmenší a pro p(n-1) opět použij rozklad a využij toho, že k bylo voleno nejmenší možné

Marián Poppr | 9. 10. 2016 22:31:22

Ahoj,
v závěsu za 1. podzimní série tu jsou první letošní Hinty. Nepodařilo se Ti vše vyřešit všechny úlohy a nedá Ti nějaká úloha spát? Pak máš skvělou příležitost, jak si úlohy ještě jednou, mimo soutěž, vyzkoušet.

1. úloha+ skrytý text

Co zjistíme, když vytáhneme kus pokladu z truhly pro zlaté mince a diamanty?

2. úloha+ skrytý text

Spoj Rada a Sofii přímkou.

3. úloha+ skrytý text

Kolikáté by dojely první a poslední startující kanoe?

4. úloha+ skrytý text

Pro jaká tři trojciferná čísla platí obdobná vlastnost?+ skrytý text

Zkus je složit z cifer 4,5,9

5. úloha+ skrytý text

Jakou barvu má jednička?+ skrytý text

Když n je nejmenší červené číslo, indukcí ukaž, že červené jsou právě násobky n

6. úloha+ skrytý text

Úhel u A je pravý+ skrytý text

Jak odříznout od strany PE dva trojúhelníky, abychom pak mohli získat čtverec s vrcholem u A?

7. úloha+ skrytý text

Stačí 2n-3 billboardů+ skrytý text

Ukaž, že pro každé uspořádání vesnic a billboardů existuje promítnutí na nějakou přímku, tak aby se počet billboardů nezvětšil.+ skrytý text

Kolik středů stačí na přímce? Seřaď si města, jdi například zleva doprava a vždy si zafixuj jedno město, kolik takto nesplývajících středů jistě dostaneš?+ skrytý text

Konstrukcí ukaž, že 2n-3 pro n>1 jde sestrojit.

8. úloha+ skrytý text

Opakuj postup, kdy v každém kroku dorazí nějaký vietnamec do čtverce o dané velikosti s informací, že se pořádá party. Podle počtu vietnamců ve čtverci ho rozděl případně na 4 menší, kde postup zopakuješ+ skrytý text

Odhadni maximální možnou uraženou cestu a sečti geometrickou posloupnost.

Wiki | 30. 8. 2016 23:12:19

https://cs.wikipedia.org/wiki/Parci%C3%A1ln%C...

<< < 1 2 ... 5 6 7 ... 36 37 > >>

Kontakt

email	info (zavináč) prase.cz
pošta	Matematický korespondenční seminář KAM MFF UK Malostranské náměstí 25 118 00 Praha 1

Organizátoři

Matematický korespondenční seminář je organizovaný studenty Matematicko-fyzikální fakulty UK pod záštitou Informatického ústavu UK a Oddělení propagace a mediální komunikace MFF UK.

Partneři

Realizace projektu byla podpořena Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy

Matematický korespondenční seminář

Kalendář

Z naší fotogalerie

Kontakt

Organizátoři

Partneři