Chat Prasátek

Matematická sekce

Martin Raška | org | 10. 12. 2018 22:10:50

Ahoj!
Pokud stále nevíte, co si počít s 3. podzimní nebo 1. seriálovou sérií, tak nové hinty jsou tady :)

3. podzimní série
Úloha 1. + skrytý text

Spočítej si pro každé číslo s kolika ostatními má celočíselný poměr.

Úloha 2. + skrytý text

Zapiš si Martinovo číslo ve tvaru 10a+b.

Úloha 3. + skrytý text

Pokud je n složené, tak Danýlek neskočí na větší číslo.+ skrytý text

Pokud je n prvočíslo, tak po dvou skocích bude na n+2.+ skrytý text

Čísla n, n+2 a n+4 nemůžou být všechna zároveň prvočísla.

Úloha 4. + skrytý text

Když se prvočíslo označí p, tak (p-1)(p+1)=24n.+ skrytý text

Většina prvočísel jde zapsat ve tvaru 6k+1, nebo 6k-1.

Úloha 5. + skrytý text

Pokud je číslo vypečené, tak je vypečený i jeho libovolný násobek.+ skrytý text

Volbou a=1, b=2 jsou vypečená všechna lichá čísla větší než 5.+ skrytý text

Zkus najít vypečené mocniny 2, 3 a 5.

Úloha 6. + skrytý text

Zkoumej dělitelnost 4.

Úloha 7. + skrytý text

f(x)=x-3+ skrytý text

f(p)<p pro nekonečně mnoho prvočísel, jinak spor.+ skrytý text

To může nastat pouze pro lineární nebo konstantní polynomy.+ skrytý text

Použij Wilsonovu větu.

Úloha 8. + skrytý text

n!+a = a(n!/a+1)+ skrytý text

Pro n > 2a není (n!/a+1) dělitelné prvočísly, která jsou menší rovna n.+ skrytý text

Zároveň to dělí 2n!. Je to dělitelné pouze prvočísly mezi n a 2n, každým maximálně jednou.+ skrytý text

Odhadni, že pro vysoká n je součin těchto prvočísel moc malý.

1. seriálová série
Úloha 1. + skrytý text

Jak se chová pravděpodobnost průniku jevů pro nezávislé jevy?+ skrytý text

Označ si počty tuleňů, kteří jsou chlupatí/roztomilí/obojí, a dosaď do vztahu pro pravděpodobnost, že je tuleň zároveň chlupatý i roztomilý.+ skrytý text

29 je prvočíslo.

Úloha 2. + skrytý text

Spočítej pravděpodobnost, že oběma vyjde stejný výsledek.+ skrytý text

Tu dostaneš jako součet pravděpodobností, že oběma vyjde správný (a tj. i stejný), nebo že oběma vyjde špatný a stejný zároveň.

Úloha 3. + skrytý text

Místo následující kartičky mu Vašek může ukázat poslední kartičku, pravděpodobnost je stejná.+ skrytý text

Když si v každé posloupnosti vyměníme vybranou kartičku s poslední, tak se hra zastaví ve stejnou chvíli.

Pepa S. | 30. 11. 2018 16:04:46

Ahoj,

tretaci a ctvrtaci na gymplu, a prvaci na VS, nezapomente se prihlasit do Brem:
http://math.jacobs-university.de/summerschool/

Zatim to nejde, ale v prosinci/lednu asi otevrou prihlasovani a uz ted si muzete precist, co je obvykle treba k prihlasce, a premyslet, jaky je vas oblibeny dukaz apod. Moc podobnych prilezitosti jako je tato skola pro stredoskolske a bakalarske studenty neni, tak toho vyuzijte (navic je ted jen co dva roky) :-) Smysl je podobny jako u soustredeni MKS (neco se naucit a potkat lidi, ktere zajima to, co vas), ale tady je tech lidi o dost vic a z celeho sveta. :-)

Pokud vas k tomu cokoliv zajima, napiste mi (josefsvobod@gmail.com), nebo se zeptejte Adi Kostelecke ci Kuby Lowita, kteri tam byli nedavno, takze maji cerstva data.

Stare PraSe,
Pepa S.

Marian Poljak | 23. 11. 2018 13:33:16

Čau Ondro, je to tak ;) Dokonce kladné, viz upřesnění pod nadpisem série.

OndraD | 22. 11. 2018 00:26:23

Předpokládám, že v 8. úloze (3. série) se chce 'a' nenulové. Je to tak?

Martin Raška | org | 8. 11. 2018 18:35:52

Ahoj!
Hinty k 2. podzímní sérii už jsou taky na světě!

Úloha 1. + skrytý text

Spočti, jak velký obvod mají dlaždičky společný.

Úloha 2. + skrytý text

Najdi dva podobné trojúhelníky.

Úloha 3. + skrytý text

Je to 8.+ skrytý text

Kolik má tabulka sloupců?

+ skrytý text

Najdi funkční konstrukci.+ skrytý text

Sloupce a řádky hned vedle těch okrajových jsou celkem fajn.

Úloha 4. + skrytý text

Trojúhelníky APB a CPD mají dohromady stejný obsah jako půlka ABCD.+ skrytý text

Odhadni obsah trojúhelníka pomocí součinu dvou sousedních stran.

Úloha 5. + skrytý text

Sporem.+ skrytý text

Potom uvnitř mnohoúhelníku existuje bod vzdálený od každé ze stran víc než h.+ skrytý text

Spoj si tento bod se všemi vrcholy mnohoúhelníka.

Úloha 6. + skrytý text

Dokaž, že AXYG je obdélník.+ skrytý text

Dokaž, že jsou všechny zadané obdélníky podobné.

+ skrytý text

Pythagorova věta pro podobné útvary.

Úloha 7. + skrytý text

Střed kružnice vepsané ABC je Švrčkův bod trojúhelníka XBY. + skrytý text

Střed kružnice vepsané XBY leží na vepsané ABC.

Úloha 8. + skrytý text

Dokresli si průsečíky DE, HI, GF.+ skrytý text

Dokresli si trojúhelník složený ze středů kružnic opsaných AEH, GBD, FCI.+ skrytý text

Jak vypadají v tomto trojúhelníku izogonály k daným osám?

+ skrytý text

Jsou to spojnice středů kružnic s příslušným vrcholem ABC.

Jakub Löwit | org | 3. 11. 2018 21:45:32

Ahoj, je to tak, odkaz nefunguje. Tohle by už fungovat mělo :)
http://www.formulo.org/wp-content/uploads/201...

Michal Beránek | 3. 11. 2018 17:51:54

Ahoj, mně ten link na Ruskou MO nefunguje. Díky, Michal

Fíla | org | 2. 11. 2018 21:37:03

Ahoj,

naskytla se nám možnost zapojit se do Ruské matematické olympiády.
Kategorie jsou R11 - 4.ročník SŠ, R10 - 3.ročník SŠ, R9 - 2.ročník SŠ, R8 - 1.ročník. SŠ
Termín na odeslání je 11.11(avšak budeme to přeposílát do Ruska, tak nejlépe dříve) pro řešení v angličtině. Je možné řešení psát i česky, avšak potřebujeme nějaký čas na překlad, tudíž je deadline již 10.11.. Preferujeme však řešení anglicky.
Pokud budete dobří, může se vám stát, že vás pozvou na kemp na přípravu na mezinárodní matematikou olympiádu do Ruska.

Zadání:
http://
[link]http://www.formulo.org/wp-cont...

Řešení posílejte na e-mail filip.cermak2@gmail.com

S pozdravem
Fíla

Martin Raška | org | 7. 10. 2018 19:58:45

Ahoj!
Nepodařilo se ti vyřešit nějakou úlohu z 1. podzimní série a nemůžeš se dočkat vzorových řešení ? Pak tady máš pár hintů a můžeš se o to znovu pokusit mimo soutěž :)

Úloha 1.+ skrytý text

Zkus hledat symetrické řešení.+ skrytý text

Veď přímky tak, aby protínaly dva sousední cípy hvězdy.

Úloha 2.+ skrytý text

Kdy může blecha použít skok délky 2017?

Úloha 3.+ skrytý text

Zkus si nejdříve ježury nějak pravidelně seřadit.+ skrytý text

Začni postupně utlačovat Štěpána jedním směrem.

Úloha 4.+ skrytý text

Dokresli si střed kružnice vepsané.+ skrytý text

Spoj si ho se zadaným bodem průmětu a příslušným bodem dotyku kružnice vepsané. Co mají všechny takovéto trojúhelníky společného?

Úloha 5.+ skrytý text

Kolikrát nejméně musí klokani dohromady skočit vertikálně a kolikrát horizontálně?+ skrytý text

Kolik nejvíce klokanů nemusí nikdy přeskočit do druhého řádku?

Úloha 6.+ skrytý text

$(p+1)(d-k)=4k$ + skrytý text

Kolika způsoby lze $4k$ rozložit na součin dvou přirozených čísel?

Úloha 7.+ skrytý text

Dva termiti se součtem 2019 se musí ve výsledku otočit stejným směrem (po/proti směru hod. ručiček).+ skrytý text

Jaké musí být v součtu celkové otočení všech termitů?+ skrytý text

mod 720°

Úloha 8.+ skrytý text

+ skrytý text

Musí vždy existovat hlava spojená s nejvýše x hlavami nebo nespojená s nejvýše x-1 hlavami. Kolik je nejméně x? + skrytý text

Za kolik ran můžeme takovouto hlavu odpojit od zbytku?

+ skrytý text

Jak funguje bouchnutí v úplném bipartitním grafu?

Michal Beránek | 22. 7. 2018 08:43:00

Ahoj, omlouvám se, už jsem ho našel... Ve složce build je jich hned několik :-D

Michal Beránek | 21. 7. 2018 19:35:17

Ahoj prosím, jak vyexportuju soubor v Texmakeru do pdf? Náhled vidím, ale nevím, jak získat pdf soubor. Zkoušel jsem pdfLatex (F6), ale ukládá se mi prázdné pdf. HELP PLEASE!

Olin | org | 31. 5. 2018 01:18:12

Náhodou jsem po delší době proklikl stránky PraSete, pročež jsem zjistil, že téma seriálu je teorie grup… Co se týče otázky v poznámkách k řešení dvojky (zda podgrupa součinu je izomorfní součinu podgrup), tak podle mě ano pro konečné (konečně generované) grupy čistě z jejich klasifikace, pro nekonečně generované typicky ne.

OndraD | 11. 5. 2018 12:40:42

Ahojte, nesouvisí to přímo s PraSetem, ale letošní konstrukční úloha z Matematiky+ šla krásně zabít použitím Švrčkova bodu. :))

David Hruška | org | 22. 4. 2018 01:46:32

Ahoj, další TriKS začíná už za pár minut! Změřte své síly s ostatními během dvou hodin na pěti úlohách na http://iksko.org/triks/current.php.

madam Verča | org | 10. 3. 2018 08:41:11

Ahoj!
hinty k 2. jarní sérii zde :

Úloha 1.+ skrytý text

16 a 8 musí být na začátku a na konci.

Úloha 2.+ skrytý text

Z odstřižků doskládej další čtverečky.

Úloha 3.+ skrytý text

Rozděl na obdélníky 3x2.

Úloha 4.+ skrytý text

Porovnejte počet možných vzdáleností a počet dvojic.

Úloha 5. + skrytý text

Můžeme si představit, že Kuba kostkami nejprve hodí a teprve potom náhodně vylosuje čísla z klobouku a nalepí je na stěny kostky.

Úloha 6.+ skrytý text

Jaký je součet čísel nad diagonálou?

Úloha 7.+ skrytý text

Máme hyperkrychli, dáme si do grafu ty hrany které spojují vybrané vrcholy. V grafu vezmeme maximální kostru. Ta má max n-1 hran. Tedy v nějakém směru není hrana.

Úloha 8.+ skrytý text

Filip vyhraje pro každé n.+ skrytý text

Podívejte se na projekce na osy, resp. průniky s osami.+ skrytý text

Dokažte si indukcí podle d. pomocné lemma: pro libovolné n, d a l umí Filip vyrobit l skupinek d červených krychliček, jejichž projekce na jednu z os jsou disjunktní, vzdálené alespoň 2n+1 od sebe i od průniku libovolné modré plochy s touto osou.

madam Verča | org | 16. 2. 2018 01:34:28

První jarní hinty letošního ročníku již spatřili světlo světa! A s nima i hinty k 2. seriálové sérii.
1. jarní série
Úloha 1.+ skrytý text

Jak to vypadá ve chvíli, kdy oba týmy daly dohromady osm gólů?

Úloha 2.+ skrytý text

$\textstyle n=n\cdot1$

Úloha 3.+ skrytý text

Tři body položce na přímku a čtvrtý mimo takovým způsobem, aby všechny trojúhelníky byly rovnoramenné.

Úloha 4.+ skrytý text

Rozdělte pracovní dobu na půlky, půlky půlek, půlky půlek půlek, ... a rozdělte lidi odpovídajícím způsobem do nich.

Úloha 5.+ skrytý text

Hamlet se nikdy nezastaví, takže se časem objeví v situaci, ve které už někdy byl.+ skrytý text

Rozmyslete si, že umíme po každém kroku určit, jak vypadala situace před tímto krokem.

Úloha 6.+ skrytý text

Předpokládejte, že posloupnost existuje a ukažte, že posloupnost je rostoucí a z toho, že všechny její členy jsou menší než 1. Následně uvažte součet prvních $\textstyle n$ členů.

Úloha 7.+ skrytý text

Vezměte za $\textstyle B$ čtverec, za $\textstyle O$ střed čtverce. Rozpůlme $\textstyle B$ na dva trojúhelníky libovolnou jeho úhlopříčkou a uvažujme trojúhelník $\textstyle T$ , který vznikne tím, že jeden z takto vzniklých trojúhelníků nafoukneme na dvojnásobek stejnolehlostí z bodu $\textstyle O$ . Nakonec zvolme $\textstyle A$ jako "skoro" $\textstyle T$ .

Úloha 8.+ skrytý text

Nechť $\textstyle n=2k+1$ . Zvolme všechna $\textstyle b_i$ rovna jedné a $\textstyle a_{i,j}$ rovna mínus jedné pokud zbytek $\textstyle j-i$ po dělení $\textstyle n$ je menší než $\textstyle k$ . Abyste ukázali, že toto funguje, ukažte, že kdykoliv je $\textstyle i-j$ kongruentní $\textstyle \pm k$ modulo $\textstyle n$ , tak alespoň jedno z čísel $\textstyle y_i$ a $\textstyle y_j$ je rovno $\textstyle x_1x_2\dots x_n$ .

2. seriálová série
Úloha 1.+ skrytý text

Pokud si vybereme jednu stěnu kostky, máme 6 možností, na kterou jinou stěnu ji zobrazit, posléze máme 4 možnosti, jak ji pootočit, příslušná grupa G má tedy 24 prvků.+ skrytý text

Rozmyslete si, jakým způsobem prvky grupy G permutují stěny krychle a příklad dokončete Burnsideoým lematem.

Úloha 2.+ skrytý text

Z prvních dvou vlastností je jasné, že f je permutace tvořená samými dvojcykly. Číslo $\textstyle n$ je proto sudé.+ skrytý text

Zobrazení $\textstyle g: x \mapsto x+1$ je také permutce, která je díky sudosti n lichá.+ skrytý text

Ze třetí podmínky a multiplikativity znaménka určete paritu permutace f. Pak už je díky cyklové struktuře f vše jasné."

Úloha 3.+ skrytý text

Předpokládejte pro spor, že jich existuje víc, a použijte vlastnost ze zadání pro normalizátor jedné sylowovské p-podgrupy.

madam Verča | org | 16. 2. 2018 01:33:52

Ahoj!
Už i poslední podzimní série má své hinty!

Úloha 1.+ skrytý text

Co lze odebrat, lze taky přidat.

Úloha 2.+ skrytý text

Uvažujte zbytky po dělení třemi.

Úloha 3.+ skrytý text

Jak se dá $\textstyle 462$ zapsat jako součet dvou svých dělitelů?

Úloha 4.+ skrytý text

Využijte kritérium pro dělitelnost jedenácti.

Úloha 5.+ skrytý text

Zkoumejte paritu.

Úloha 6.+ skrytý text

Jen jedna z množin může mít víc než jeden prvek.+ skrytý text

Uvažujme kterýkoli prvek, který nepatří do oné jednoprvkové množiny. Co lze říct o menších číslech?

Úloha 7.+ skrytý text

$\textstyle n$ musí být prvočíslo a pak pracujte modulo $\textstyle n-1$ .

Úloha 8.+ skrytý text

Nejprve si ke každému políčku přiřaďte unikátní prvočíslo. Pomocí nich si zajistěte druhou podmínku, bez ohledu na první. Nyní zvolte dostatečně velké prvočíslo P, nesoudělné se všemi prozatím napsanými čísly a vynásobte každé políčko takovým koeficientem, aby součet v každém dominu byl P.

madam Verča | org | 16. 2. 2018 01:32:53

Milá PraSátka,
další měsíc již uběhl a zde jsou hinty ke dvoum dalším sériím!
3. podzimní série
Úloha 1.+ skrytý text

Co třeba rovnoběžné s nějakou stranou ?

Úloha 2.+ skrytý text

Spočítejte úhel u vrcholu $\textstyle P$ .

Úloha 3.+ skrytý text

Použijte kružnice vepsané.

Úloha 4.+ skrytý text

Může Rado zašlápnout Michala?
+ skrytý text

Obarvěte šachovnicově políčka.

Úloha 5.+ skrytý text

Úhlete pomocí velikostí oblouků na kružnici.

Úloha 6.+ skrytý text

Dokresli si rovnoběžky se stranami procházející $\textstyle P$ .

Úloha 7.+ skrytý text

Překlopte $\textstyle C$ podle osy strany $\textstyle AB$ , čímž získáte čtvrtý bod lichoběžníku $\textstyle D$ . + skrytý text

S využitím zadané podmínky na úhly nahlédněte, že tři strany tohoto lichoběžníku jsou stejně dlouhé.+ skrytý text

Trojúhelník $\textstyle PCD$ je rovnostranný.+ skrytý text

Dopočtěte.

Úloha 8.+ skrytý text

Přímky $\textstyle OI$ a $\textstyle AI$ protínají $\textstyle XY$ pod stejným úhlem.

1. seriálová série
Úloha 1.+ skrytý text

Chceme $\textstyle gh=hg$ pro všechna $\textstyle g,h\in G$ . Rozmyslete si, že $\textstyle ghgh$ a $\textstyle gghh$ se rovnají.

Úloha 2.+ skrytý text

Každé racionální číslo se dá zapsat jednoznačně jako součin prvočísel umocněných na celočíselné exponenty.

Úloha 3.+ skrytý text

$\textstyle G/N$ nekonečná cyklická je izomorfmí se $\textstyle Z$ (celá čísla se sčítáním), takže z ní vede surjektivní homomorfismus do $\textstyle Z_n$ (celá čísla modulo n) daný dělením se zbytkem.+ skrytý text

Jádro tohoto homomorfismu je podgrupa grupy $\textstyle G/N$ tvaru $\textstyle K/N$ pro nějakou $\textstyle K \leq G$ . Podle první a druhé věty o izomorfismu je potom $\textstyle Z_n \simeq (G/N)/(K/N) \simeq G/K$ , tedy tato $\textstyle K$ má v $\textstyle G$ index $\textstyle n$ .

madam Verča | org | 8. 11. 2017 20:52:17

Ahoj ahoj!
tady je další várka hintů, tentokrát k 2. podzimní sérii ;)
Úloha 1.+ skrytý text

Když jsou vedle osmičky čtyřky, nemusí být ta osmička číslice nějakého dvouciferného čísla? Jaká čísla to mohou být?

Úloha 2.+ skrytý text

Jak se dají získat malé součty?

Úloha 3.+ skrytý text

Kolik existuje uspořádaných čtveřic čísel z množiny $\textstyle \{0, 1, 2,\dots, 9\}$ takových, že jejich součet je dělitelný třemi?

Úloha 4.+ skrytý text

Kolika způsoby lze umístit $\textstyle 8$ věží na jednu barvu, aby se neohrožovaly?+ skrytý text

Na šachovnici $\textstyle 8 \times 8$ by šlo $\textstyle 8$ věží umístit $\textstyle 2\cdot (4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)^2$ způsoby (tak, aby v každém rozmístění byly pouze na jedné barvě).

Úloha 5.+ skrytý text

Zkus si označit $\textstyle n$ počet druháků a $\textstyle k$ počet bodů, které získal každý z nich. Potom lze zadání přepsat do rovnice (napovím, že celkem bylo rozdáno $\textstyle \frac {(n+2)(n+1)}2$ bodů), ze které vyplyne, že počet druháků musí být dělitelem $\textstyle 14$ .

Úloha 6.+ skrytý text

Kolikrát se započítá jeden konkrétní prvek množiny $\textstyle \{1, 2, \dots, 2017\}$ do hledaného součtu?+ skrytý text

Když umístíme jeden prvek do průniku $\textstyle A\cap B$ , máme přesně čtyři možnosti, kam dát libovolný další prvek: do $\textstyle A\cap B$ , $\textstyle A\setminus B$ , $\textstyle B\setminus A$ , nebo do $\textstyle \{1, 2, \dots, 2017\}\setminus (A\cup B)$ .

Úloha 7.+ skrytý text

Součin faktoriálů stupňů vrcholů.

Úloha 8.+ skrytý text

Kolika způsoby můžete obarvit náhrdelník o $\textstyle n$ kamíncích $\textstyle 2017$ barvami tak, aby se při žádném netriviálním pootočení nepřenesl na stejně vypadající?

madam Verča | org | 29. 10. 2017 22:45:16

Zeptej se postupně na 16 trojic krabiček a zbylou dvojici vyřeš samostatně. + skrytý text

Zbylou dvojici krabiček dosaď po jedné do známé trojice.

Úloha 2.+ skrytý text

Vepiš stůl do čtverce, a ten čtverec rozděl na malé čtverce o velikosti plácačky. + skrytý text

Použij Dirichletův princip.

Úloha 3.+ skrytý text

Kdyby ciferný součet šestkrát za sebou vzrostl o jedna, musí jednou být dělitelný 7. + skrytý text

Kromě případů, kdy se přechází přes desítku, se nemůže ciferný součet změnit jinak než zvětšit o jedna.

Úloha 4.+ skrytý text

$481=13\cdot 37$ + skrytý text

Použij Dirichletův princip.

Úloha 5.+ skrytý text

V důkazu potřebujeme využít dvě věci: + skrytý text

Najít dvojici po sobě jdoucích ptakopysků, mezi kterými je největší mezera.

+ skrytý text

Orientovat si kružnici.

Úloha 6.+ skrytý text

Pro lichá n: rozmístěte 2x2 čtverce tak aby jste právě n políček buď nezahrnuli do žádného čtverce nebo zahrnuli do dvou čtverců. + skrytý text

Tato políčka budou na diagonále.

Úloha 7.+ skrytý text

Řešte indukcí. + skrytý text

Najděte řešení, kde každý další prvek bude roven součinu předchozích - někdy zmenšený o jedna, někdy zvětšený o jedna.

Úloha 8.+ skrytý text

Dokreslete si kružnice opsané ABD a CBD. Ukažte, že EA a EC se jich dotýkají. + skrytý text

Označte X a Y průsečíky těchto kružnic s l.

<< < 1 2 ... 4 5 6 ... 36 37 > >>

Kontakt

email	info (zavináč) prase.cz
pošta	Matematický korespondenční seminář KAM MFF UK Malostranské náměstí 25 118 00 Praha 1

Organizátoři

Matematický korespondenční seminář je organizovaný studenty Matematicko-fyzikální fakulty UK pod záštitou Informatického ústavu UK a Oddělení propagace a mediální komunikace MFF UK.

Partneři

Realizace projektu byla podpořena Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy

Matematický korespondenční seminář

Kalendář

Z naší fotogalerie

Kontakt

Organizátoři

Partneři