Chat Prasátek

Matematická sekce

Dominik Stejskal | 10. 4. 2020 01:30:06

Blížíme se ke konci roku a přichází předposlední, pro velký úspěch dvojitá várka hintů!

3. jarní série:

Úloha 1. + skrytý text

2025 = 45^2.

Úloha 2. + skrytý text

Stačí 1010 vteřin.

Úloha 3. + skrytý text

Vyber si tým, který porazil aspoň 4 týmy. Poté uvažuj pouze tyto týmy a opakuj.

Úloha 4. + skrytý text

Nechť je R průsečík ramen BC, DA. V jakém poměru dělí body, kde míče přešly přes brankovou čáru, úsečku RA?

Úloha 5. + skrytý text

Uvaž polynom P(t+1)-P(t)

.
Úloha 6. + skrytý text

Zjisti, co v tomto kontextu znamená výraz (abc)/(ab + bc + ca). Díky tomu najdi výraz, který se v průběhu procesu nemění. + skrytý text

Dokaž, že součet převrácených hodnot čísel na tabuli se nemění.

Úloha 7. + skrytý text

Žabák může projít všechny kameny tak, aby pouze v jednom skoku vydělal jednu korunu. + skrytý text

Navrhni konstrukci a u ní urči počet skoků délky 2^k. + skrytý text

Spočítej jaký může být počet skoků délky větší než 2^k pro fixní k. + skrytý text

Ukaž, že nalezený počet skoků dané délky je nejlepší možný.

Úloha 8. + skrytý text

V pravoúhlém trojúhelníku je √2-násobek délky přepony větší nebo roven součtu délek odvěsen. + skrytý text

Rozděl si trasu na úseky mezi body kde Filip mění směr jízdy vzhledem ke spádnici.

3. seriálová série:

Úloha 1. + skrytý text

Dokresli střed oblouku BC.

Úloha 2. + skrytý text

Dokresli body naproti bodům B a C.

Úloha 3. + skrytý text

Najdi DDIT, kterým dostaneš dvojice bodů na kružnici Ω (E,F), (A,M), (B,C) v jedné involuci.

Pavel Hudec | 20. 3. 2020 20:18:52

Jsi smutný/á, že příští týden nebude celostátko? Máš teď hromadu času, tápeš a nevíš, co s ním? Chceš se dostat na přespříští IMO (a případně ho vyhrát)?

Pokud jsi alespoň na 0 otázek odpověděl/a ano a jsi středoškolák, pak je tu pro tebe seminář iKS, taková verze PraSátka pro zkušenější řešitele. Právě začíná nový ročník, zadání první série najdeš na http://iksko.org. I jedna vyřešená úloha už může znamenat slušné umístění!

Zároveň je pro vás připraven na iKSkových stránkách celostátkový TRiKS, díky němuž celostátko můžete zkusit nanečisto a přitom potrénovat.

Dominik Stejskal | 6. 3. 2020 00:19:30

Tak jak to v té 2. jarní sérii mělo vyjít? Hinty napoví!

Úloha 1. + skrytý text

Jestliže nějaké k není dělitelem n, tak ani 2k není dělitelem n.

Úloha 2. + skrytý text

Jaká prvočísla se musí objevit v rozkladu? Čím musí být dělitelné exponenty?

Úloha 3. + skrytý text

Jedno vyhovující n se dá přímo vyjádřit pomocí a a b. + skrytý text

n = ab.

Úloha 4. + skrytý text

NSD(n,kn) = ? + skrytý text

A co třeba NSD(a_n, a_(a_n))?

Úloha 5. + skrytý text

Začni zkoumáním parity. + skrytý text

Dále si všimni monotonie vhodné funkce.

Úloha 6. + skrytý text

Uvědom si, že stačí, aby bylo každé n nesoudělné s každým P(...(P(n)...). + skrytý text

Jednička je se vším nesoudělná. + skrytý text

Zajisti, aby P(n) ≡ P(1) ≡ 1 (mod n). + skrytý text

P(n) = n^2020 - n + 1.

Úloha 7. + skrytý text

Smazáním jednotlivých čísel dostaneš jako součty n po sobě jdoucích čísel. + skrytý text

Každé napsané číslo může dělit pouze jeden součet. + skrytý text

Najdi číslo, jehož smazáním vznikne součet dělitelný dvěma napsanými čísly. Ukaž, že to už stačí.

Úloha 8. + skrytý text

Není to pravda. + skrytý text

Najdi vhodný polynom a zkoumej kvadratické zbytky modulo p. + skrytý text

Rozlož x^8 - 16 na součin.

Josef Tkadlec | 16. 2. 2020 22:25:59

Vedeli jste, ze na https://h.evanchen.cc/hydrogen/active/ is dnes a v pondeli muzete online zkusit letosni HMMT (Harvard-MIT Math Tournament)? Tri ruzne testy (algebra+teorie cisel, geometrie. kombinatorika), v kazdem 10 uloh na ciselny vysledek na 50 minut. Idealni trenink na Naboj pro borce :). (Ulohy z lonska na https://www.hmmt.co/www/archive/222.)

Dominik Stejskal | 6. 2. 2020 00:46:32

Pokud pořád nevíš, jak se vypořádat s tou zapeklitou úlohou, zkrať si čekání a mrkni na další hinty!

1. jarní série:

Úloha 1. + skrytý text

Prostřední čtyři políčka mají všechny čtverce 3x3 společné.

Úloha 2. + skrytý text

Použij Pythagorovu větu.

Úloha 3. + skrytý text

Zkus umocnit 38. Dále použij zbytky po dělení 16.

Úloha 4. + skrytý text

Body A', B', C', D' leží na úhlopříčkách.

Úloha 5. + skrytý text

Rozmysli si, že a_{2n} = a_n pro n sudé a a_{2n} = a_n + 1 pro n liché. + skrytý text

Z předchozího odvoď, že libovolná hodnota, která se v posloupnosti vyskytne, se v ní znovu zopakuje, a že posloupnost nabude libovolně velké hodnoty.

Úloha 6. + skrytý text

Uvažuj střetnutí 2 orgů jako hranu v (úplném) grafu. Počet hran musí být dělitelný počtem hran úplného bipartitního grafu K_{4,4}. + skrytý text

Dále počet 'sousedů' každého orga musí být dělitelný čtyřmi. + skrytý text

Vyjde 32k + 1.

Úloha 7. + skrytý text

Podívej se na průsečíky os úhlů s protějšími stranami v jednotlivých trojúhelnících - stěnách. + skrytý text

Nechť je v trojúhelníku ABC bod P průsečíkem osy úhlu BAC a strany BC. Pak |BP| / |CP| = |BA| / |CA|.

Úloha 8. + skrytý text

Využij symetrii výrazu xy - zt vzhledem k proměnným x, y.

2. seriálová série:

Úloha 1. + skrytý text

Zinvertuj se středem v X. + skrytý text

Vyúhli, že výsledný čtyřúhelník bude podobný s původním.

Úloha 2. + skrytý text

Zinvertuj podle Z. + skrytý text

Z kolmých kružnic se stanou kolmé přímky.

Úloha 3. + skrytý text

Dokaž, že úhly PXQ a PYQ jsou pravé. + skrytý text

Zapomeň na Y a zdualizuj podle X. Kružnice nad průměrem převeď na pravé úhly.

Dominik Stejskal | 8. 1. 2020 20:50:58

Nový rok, nové hinty ke 4. podzimní sérii!

Úloha 1. + skrytý text

Zvol jako průsečíky vrcholy rovnostranného trojúhelníku, jeho středy stran a jeho střed.

Úloha 2. + skrytý text

Označ si jeden úhel, všimni si dvou rovnoramenných trojúhelníků a počítej.

Úloha 3. + skrytý text

Uvaž trojúhelník ze středů původních tří kružnic, všimni si, že je rovnoramenný a počítej. Bude se hodit Pythagorova věta.

Úloha 4. + skrytý text

Ukaž, že P, Q, R, S jsou středy stran čtyřúhelníku ABCD.

Úloha 5. + skrytý text

Spoj si body P, T, C se středy kružnic a podívej se na úhly mezi přímkami.

Úloha 6. + skrytý text

Rozmysli si, kdy vznikne součet n^2. + skrytý text

Obarvi si body označené čísly větší než n modře a menší než m červeně a rozmysli si, že můžeš jakkoliv spojit různobarevné body.

Úloha 7. + skrytý text

Dokresli bod Y takový, že BHAY je obdélník. Tento bod leží také na kružnici opsané CDHE.

Úloha 8. + skrytý text

Všimni si, že šestiúhelník z definovaných středů úseček má protější strany rovnoběžné. Poté ukaž, že průsečík dvou z těchto kružnic leží i na té třetí.

Danil Koževnikov | org | 2. 1. 2020 16:26:39

Pojďte potrénovat před krajským kolem kategorie A (to je 14. ledna) ve speciálním TriKSu: http://iksko.org/triks/current.php! Soutěž trvá až do krajského kola a začíná dnes o půlnoci, takže můžete být první, kdo vyřeší všechny úlohy :-) Na řešení čtyř úloh jsou čtyři hodiny.

Michal Buran | 9. 12. 2019 12:26:51

Orgové, jeďte orgovat na PROMYS. Účastníci, jeďte se zúčastnit.

PROMYS Europe 2020 – Advance Notification

PROMYS Europe is designed to encourage mathematically ambitious students who are at least 16 to explore the creative world of mathematics. Participants tackle fundamental mathematical questions within a richly stimulating and supportive community of fellow first-year students, returning students, undergraduate counsellors, research mentors, faculty, and visiting mathematicians.

Please be advised that:
Applications for Counsellors and Returning Students will open on 3 January 2020
Applications for First Year Students will open on 13 January 2020

For more information please visit our website http://www.promys-europe.org.

Dominik Stejskal | 4. 12. 2019 20:56:52

Ani tentokrát nebudou po uplynutých termínech odeslání chybět hinty.

3. Podzimní série:

Úloha 1. + skrytý text

Do tří políček si napiš neznámé a vyjadřuj.

Úloha 2. + skrytý text

Kolik je prvočísel mezi 40 a 81?

Úloha 3. + skrytý text

Podívej se na vrstvu 8x8. Umíš ji celou zaplnit?

Úloha 4. + skrytý text

Cena každé dlaždičky je rovna polovině počtu čtverečků plus jedna.

Úloha 5. + skrytý text

Rozděl tabulku na několik čtverečků, L-triomin a pár přebývajících políček.

Úloha 6. + skrytý text

Podmínku pro řádky interpretuj jako dosazení do polynomu.

Úloha 7. + skrytý text

Obarvování si představuj jako čísla 0, 1, 2. Postupuj od rohu a ve chvíli, kdy se barva musí měnit, měň algoritmus dle parity vzdálenosti od začátku.

Úloha 8. + skrytý text

Rozeber zvlášť liché a sudé. Obarvi vrcholy černě a bíle a rozmysli si, jak často musíš změnit barvu.

1. seriálová série:

Úloha 1. + skrytý text

Afinním zobrazením udělej trojúhelník rovnostranný.

Úloha 2. + skrytý text

Pomocí kolineace zachovej kružnici vepsanou a zobraz XY na nevlastní. + skrytý text

Vznikne kosočtverec.

Úloha 3. + skrytý text

Převeď úhlovou podmínku pomocí "dvě ze tří" na harmonickou čtveřici. + skrytý text

Zobraz ABCD na čtverec. Harmonická čtveřice se zachová.

Dominik Stejskal | 10. 11. 2019 23:21:02

Než budou zveřejněna vzorová řešení, s 2. podzimní sérií poradí další sada hintů. :)

1. úloha:
+ skrytý text

Mohlo. Najdi nějaké vhodné přiřazení čísel.
+ skrytý text

Začít se dá třeba od O a P.

2. úloha:
+ skrytý text

Kolik nejméně dělení třemi je nezbytně třeba?

3. úloha:
+ skrytý text

Jestliže n^2 leží v posloupnosti a d je její diference, co lze říct o (n+d)^2?

4. úloha:
+ skrytý text

Vycházejí samá (sousední) trojúhelníková čísla.

5. úloha:
+ skrytý text

Když umocníme výrazy složené z plus a mínus jedniček na druhou, u smíšených členů se celkově objeví každé ze znamének právě v polovině případů, zato násobením plus/mínus jedničky se sebou vznikají samé jedničky.

6. úloha:
+ skrytý text

Pro b > 1 zkus konstantní posloupnost. Jinak se zamysli nad monotonií a omezeností posloupnosti a dojdi ke sporu.

7. úloha:
+ skrytý text

O kolik nejvýše může podíl v každém kroku vzrůst?
+ skrytý text

Do rozkladu b_n se postupně dostanou všechna prvočísla menší než 2019.

8. úloha:
+ skrytý text

Postupuj indukcí, kde v každém kroku přibydou 4 čísla.
+ skrytý text

S nesoudělností pomůže Euklidův algoritmus.

Dominik Stejskal | 8. 10. 2019 23:58:52

Ahoj,
máš stále chuť vyřešit něco z 1. podzimní série, ale nevíš, jak na to? Nyní můžeš využít hintů! :)

1. úloha:
+ skrytý text

Jakou nejvyšší hodnotu může mít $M$ ? Jakou nejnižší hodnotu může mít $A$ ?

2. úloha:
+ skrytý text

Kolika způsoby se dá vždy sejít o patro níž?

3. úloha:
+ skrytý text

Když mám nemastný úsek, jaký úsek tvoří všechna ostatní čísla?

4. úloha:
+ skrytý text

Může stát lhář za pravdomluvným?

5. úloha:
+ skrytý text

Záleží vůbec na způsobu splácávání?

6. úloha:
+ skrytý text

Zkoumej dvě nejmenší prvočísla.

7. úloha:
+ skrytý text

Hele, střed kružnice připsané!

8. úloha:
+ skrytý text

Důležitý je počet nejmenších hromádek.

Cheero | 21. 6. 2019 12:13:36

Pomůže někdo se složitějším výpočtem a kontrolním součtem ?

HEX : 51 77 00 00 01 02 00 00 00 80

51 77 = 7751 HEX = 30545 DEC

kontrolni soucet je 80, jak vypoctu tento kontrolni soucet ?
01 a 02 je mozna take kontrolni soucet nebo neco podobneho

Pepa Tkadlec | 10. 4. 2019 01:28:46

V noci z patka na sobotu si na AoPS budete moci poslechnout, jak Evan Chen mluvi o ulohach z USAMO:
https://artofproblemsolving.com/school/mathja...
Evan je asi nejvetsi rizek na olympiadni geometrii na svete (a i jinak je fakt dobrej :D), takze doporucuju!

Pavel Turek | org | 26. 3. 2019 10:14:57

Ahoj,
chceš jet v září na matematické soustředění pro evropské středoškoláky Maths Beyond Limits? Pokud ano, více se dozvíš na http://mathsbeyondlimits.eu/, kde se též v sekci application objeví prvního dubna list příkladů a dotazník, které slouží k výběru účastníků.

Pavel Hudec | 11. 3. 2019 22:48:42

Ahoj,
kdo by chtěl potrénovat před celostátkem MO, může si udělat k tomu určený TRiKS http://iksko.org/triks/current.php.

Martin Raška | org | 5. 2. 2019 15:12:47

Ahoj!
S termínem odeslání 1. jarní a 2. seriálové série se vrací hinty :)

1. jarní série

Úloha 1.+ skrytý text

Každá váha poskytuje jednu nerovnici.

Úloha 2.+ skrytý text

Jak lze umístit závažíčka tak, aby mohlo vážení dát tři různé výsledky (v závislosti na Hedvičině volbě)?

Úloha 3.+ skrytý text

Rozděl si medaile na dvě poloviny.

Úloha 4.+ skrytý text

+ skrytý text

Má smysl vážit jenom stejně velké skupiny sušenek.

+ skrytý text

Pro lichá N to nejde.

+ skrytý text

Jde to pouze pokud je N dělitelné 4.+ skrytý text

Rozeber malé případy a indukce.

Úloha 5.+ skrytý text

+ skrytý text

Nemá smysl vážit na každém rameni více než 1 hůlku.+ skrytý text

Nejtěžší hůlka z vážených může být těžší než součet všech ostatních.

+ skrytý text

Najdi konstrukci pro N = 70.

Úloha 6. + skrytý text

Stačí jedno vážení.+ skrytý text

Rozděl si plechovky na tři podobně velké skupinky (667,667,666).

Úloha 7. + skrytý text

+ skrytý text

Pro libovolných prvních pět vážení vždy existuje uspořádání, pro které Pavel vždy dostane negativní odpověď.+ skrytý text

Kolik takových uspořádání vždy minimálně je?

+ skrytý text

Každé následující vážení při Pavlově smůle zredukuje počet možných uspořádání nejvýše na polovinu.

Úloha 8.+ skrytý text

+ skrytý text

Proveďte rozbor pro n = 1.+ skrytý text

Představitelná metoda je dát si mince do tabulky 3x3 a nejdříve porovnat sloupce a řádky.

+ skrytý text

Pro n>1 podobný rozbor a postup indukcí/najitím fungujících vah.

2. seriálová série

Úloha 1.+ skrytý text

Pravděpodobnostní metoda a odhad pravděpodobnosti sjednocení.+ skrytý text

Stačí vyřešit b).

Úloha 2.+ skrytý text

Jaká je u konkrétního druhu pravděpodobnost, že Noe vybere aspoň jednoho z páru?+ skrytý text

Linearita střední hodnoty.

Úloha 3.+ skrytý text

Střední hodnota a pravděpodobnostní metoda.+ skrytý text

Vyber si náhodnou podmnožinu informatiků, připoj vhodné matematiky a spočítej střední hodnotu členů.

Dominik Stejskal | 17. 1. 2019 16:11:34

Ahoj,
co se týče ankety:

1) Podle čísel úloh: 4.(A) > 2.(N) > 3.(G) > 1.(C).
2) Kombinatorika byla lehčí než jsem čekal, teorie čísel hodně podobná domácímu kolu a v algebře jsem se ztrácel v záplavě nerovností :D, zato geometrie, která mi obvykle nejde, se mi dost líbila. Podobné úlohy (hledání kružnic, středů, úhlů) mám raději než ty "geometricko-algebraické".

David Hruška | org | 16. 1. 2019 22:26:24

Ahoj,
kraj je za námi, tak než se dozvíme, kdo postupuje do celostátka, máme tu anketu:

1) Seřaďte sestupně úlohy z kraje podle obtížnosti (tedy první nejtěžší).
2) Jaká úloha se vám nejvíc líbila a proč?

David Hruška | org | 3. 1. 2019 13:38:24

Pojďte potrénovat před krajským kolem kategorie A (to je 15. 1. 2019) ve speciálním TriKSu: http://iksko.org/triks/current.php! Soutěž trvá až do krajského kola a začíná za pár minut, takže můžete být první, kdo vyřeší všechny úlohy :-) Na řešení jsou čtyři hodiny.

Miroslav Olšák | org | 29. 12. 2018 09:29:06

Zdravím, animovaná verze PraSečího seriálu 35. ročníku -- "Do nekonečna a ještě dál" -- je kompletní. K vidění třeba zde:
https://www.youtube.com/playlist?list=PL2m0Oz...
nebo zde:
http://atrey.karlin.mff.cuni.cz/~mirecek/mani...
A pak mám ještě o něco méně výukovou, a více uměleckou verzi:
https://www.youtube.com/watch?v=vZhSA7kNOL8

<< < 1 2 3 4 5 ... 36 37 > >>

Kontakt

email	info (zavináč) prase.cz
pošta	Matematický korespondenční seminář KAM MFF UK Malostranské náměstí 25 118 00 Praha 1

Organizátoři

Matematický korespondenční seminář je organizovaný studenty Matematicko-fyzikální fakulty UK pod záštitou Informatického ústavu UK a Oddělení propagace a mediální komunikace MFF UK.

Partneři

Realizace projektu byla podpořena Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy

Matematický korespondenční seminář

Kalendář

Z naší fotogalerie

Kontakt

Organizátoři

Partneři