Tonda | 14. 10. 2011 00:30:25
takže to je část a), část b) zní: dokažte, že dvě zmíněné kružnice se splývají.
Tonda | 13. 10. 2011 18:16:31
Ahoj,
Zkuste geometrickou úlohu, kterou jsem vymyslel já.
Mějme tětivový čtyřúhelník
,
je průsečík přímek
a
. Dále nechť
jsou paty kolmic z E na přímky
a
jsou středy kružnic opsaných trojúhelníkům
. Dokažte, že
leží na jedné kružnici právě tehdy, když
leží na jedné kružnici.
Zkuste geometrickou úlohu, kterou jsem vymyslel já.
Mějme tětivový čtyřúhelník
Miško | org | 5. 10. 2011 22:29:37
Chybicka sa vludila, ma to byt +1 a nie -1, opravim...
šnEk | 5. 10. 2011 21:57:54
Ten odhad v levelu 2 nefunguje pro n < 4, nechybí tam nějakej předpoklad o velikosti n?
Šavlík | org | 5. 10. 2011 20:35:48
aha, tak to jsem špatně pochopil úlohu. Myslel jsem, že z každého stavu se musím dostat zpátky na to samé místo...
Miško | org | 5. 10. 2011 20:23:12
Prázdne slovo sa pripúšťa, ale samozrejme nie je synchronizujúce, pretože každý stav skončí tam, kde začal (t.j. ani náhodou sa nespoja do jedného).
Šavlík | org | 5. 10. 2011 18:14:34
ještě s dovolením přidám level pro sraby :-)
Level 0:
jsem na levelu 0!
(předpokládám ale, že prázdná slova se nepočítají :-))
Level 0:
jsem na levelu 0!
(předpokládám ale, že prázdná slova se nepočítají :-))
Miško | org | 5. 10. 2011 17:41:35
Októbrový otvorený problém - Černého hypotéza
Je zaujímavé, koľko je v matematike otvorených problémov s jednoduchým zadaním, ktoré môže pochopiť (a možno aj vyriešiť :)) aj stredoškolák. Jedným z nich je aj Černého hypotéza, tu ukážem jednu verziu zadania.
Najprv definujeme automat. To bude orientovaný graf so sľučkami. Bude mať
vrcholov, ktoré budeme nazývať stavmi a z každého stavu budú vychádzať dve šípky do nejakého iného alebo aj rovnakého stavu, pričom jedna bude ozačená
a druhá
. Keď nám teraz niekto zadá počiatočný stav a slovo z písmen
a
, môžeme postupne čítať písmená a posúvať sa príslušnými šípkami, až na konci zase skončíme v nejakom stave.
Slovo nazveme synchronizujúce, ak nezávisle na voľbe počiatočného stavu po jeho prečítaní skončíme vždy v jednom danom stave. Nuž a Černého hypotéza znie:
Ak má
-stavový automat synchronizujúce slovo, tak má synchronizujúce slovo dĺžky nanajvýš
.
Zatiaľ neprezradím, aký je najlepší dokázaný odhad, dám vám ale nejaké návodné úlohy... Nezabudnite vaše riešenia napísať na chat a pochváliť sa s levelom!
==============================
Level 1: Dokážte odhad
.
Level 2: Dokážte odhad
. Hint: + skrytý text
-stavový automat, ktorého minimálne synchronizujúce slovo má dĺžku
.
Je zaujímavé, koľko je v matematike otvorených problémov s jednoduchým zadaním, ktoré môže pochopiť (a možno aj vyriešiť :)) aj stredoškolák. Jedným z nich je aj Černého hypotéza, tu ukážem jednu verziu zadania.
Najprv definujeme automat. To bude orientovaný graf so sľučkami. Bude mať
Slovo nazveme synchronizujúce, ak nezávisle na voľbe počiatočného stavu po jeho prečítaní skončíme vždy v jednom danom stave. Nuž a Černého hypotéza znie:
Ak má
Zatiaľ neprezradím, aký je najlepší dokázaný odhad, dám vám ale nejaké návodné úlohy... Nezabudnite vaše riešenia napísať na chat a pochváliť sa s levelom!
==============================
Level 1: Dokážte odhad
Level 2: Dokážte odhad
Aké krátke môže byť slovo, ktoré spojí dva stavy do jedného?
Level 3: Nájdite Kenny | 4. 10. 2011 11:07:14
K úloze od BakyX. Esence problému se skrývá v následujícím tvrzení
+ skrytý text
+ skrytý text
Jacobi's theorem:
. Najdeme body
tak, že
,
,
.
Pak
procházejí jedním bodem.
Důkaz tvrzení pomocí goniometrického tvaru Cevovy věty jistě zvládnete, stejně jako jeho aplikaci pro trojúhelník
v zadané úloze.
Pak
Důkaz tvrzení pomocí goniometrického tvaru Cevovy věty jistě zvládnete, stejně jako jeho aplikaci pro trojúhelník
BakyX | 30. 9. 2011 00:07:51
Ja som si to všimol. A aj to, že s nimi to každý vyrieši :)
Josef Tkadlec | 29. 9. 2011 18:32:51
Fííha... To jste si všimli, že na stránkách olympiády (http://www.math.muni.cz/~rvmo/) se objevily návodné a doplňující úlohy k domácímu kolu?
Josef Tkadlec | 27. 9. 2011 14:26:43
Jinak koukám, že nám tady ještě zbyla jedna otevřená úloha od BakyXe z konce července. A je to geometrie, to je potřeba podporovat!
V ostrojuholnom trojuholníku
označme
,
,
päty výšok na strany
,
,
. Označme
,
,
stredy kružníc vpísanych trojuholníkom
,
,
. Dokáž, že priamky
,
,
prechádzajú jedným bodom.
Následuje řešení. Není zrovna rychlé, ale zato je poměrně standardní a poučné, byť vyžaduje trochu pokročilejší nástoroje. Jestli někdo máte nějaké elementárnější řešení, sem s ním!
+ skrytý text
V ostrojuholnom trojuholníku
Následuje řešení. Není zrovna rychlé, ale zato je poměrně standardní a poučné, byť vyžaduje trochu pokročilejší nástoroje. Jestli někdo máte nějaké elementárnější řešení, sem s ním!
+ skrytý text
Kresli si obrázek :). Chceme dokázat, že v trojúhelníku
se přímky
,
a
protínají v jednom bodě. Na to je "známé" kritérium -- jmenuje se Cevova věta (viz http://en.wikipedia.org/wiki/Ceva's_theorem). My použijeme její trigonometrickou verzi. Stačí tedy ukázat, že

Úhly, jejichž siny ve vztahu vystupují, jsou dost nepříjemné, zkusme se jich proto zbavit. Použitím sinové věty pro trojúhelník
máme

Představme si teď, že podobnými výrazy nahradíme všechny siny v dokazovaném vztahu. Chceme říct, že se na jeho levé straně všechno pokrátí a opravdu dostaneme jedničku.
Délky hlavních úhlopříček
,
,
se pokrátí, protože každá z nich bude vystupovat jednou v čitateli a jednou ve jmenovateli. Podobně se pokrátí siny úhlů, neboť
(rozmysli si :) ). Zbývá dokázat, že

Povšimněme si, že trojúhelníky
,
a
jsou všechny podobné trojúhelníku
(s vrcholy v tomto pořadí). Označíme-li
střed kružnice vepsané celému trojúhelníku
, můžeme díky těmto podobnostem psát

Vynásobením těchto tří vztahů jsme hotovi. Byla to fuška, ale máme to :).
Úhly, jejichž siny ve vztahu vystupují, jsou dost nepříjemné, zkusme se jich proto zbavit. Použitím sinové věty pro trojúhelník
Představme si teď, že podobnými výrazy nahradíme všechny siny v dokazovaném vztahu. Chceme říct, že se na jeho levé straně všechno pokrátí a opravdu dostaneme jedničku.
Délky hlavních úhlopříček
Povšimněme si, že trojúhelníky
Vynásobením těchto tří vztahů jsme hotovi. Byla to fuška, ale máme to :).
Šavlík | org | 25. 9. 2011 15:02:06
Pavel: Střídají se po jednom podání.
Pavel Šalom | 25. 9. 2011 14:50:21
Co znamená pravidelné střídání podání? Znamená to, že se střídají přesně po jednom podání, nebo to znamená, že se mohou střídat třeba vždy po třech podáních?
Josef Tkadlec | 25. 9. 2011 01:01:06
Tak to abychom ji využili! :) Neváhejte sem (schovaně) psát nápady, dílčí řešení, komentáře nebo vlastně cokoliv k následující úloze:
Dva hráči (
a
) hrají proti sobě něco jako tenis. Oba mají nějakou (ne nutně stejnou) pevnou šanci na to, že míček, který sami podávají, vyhrajou. Kdo první vyhraje
míčků, vyhrává celkově. Podání se střídá podle jednoho ze dvou schémat: Buď pravidelně, nebo vždycky podává ten, kdo vyhrál minulý míček (vždy začíná podávat
).
Dokažte, že šance hráčů na celkovou výhru nezávisí na volbě schématu.
Dva hráči (
Dokažte, že šance hráčů na celkovou výhru nezávisí na volbě schématu.
Miško | org | 24. 9. 2011 13:20:30
Ahoj, máme pre vás novú feature:
+ skrytý text
+ skrytý text
Šavlík pre vás naprogramoval skrývanie textu!
Josef Tkadlec | 20. 9. 2011 21:50:16
Že jsem se ale musel snažit... A co, bolelo to? :D
Martin Čech | 20. 9. 2011 21:34:48
Pepa mě donutil, abych sem napsal, že jsem to vyřešil bez hintu, a že to čtvrté číslo je 164. Jsou to jediná trojciferná čísla s různými ciframi, která když zapíšeme v desítkovém zápisu ve tvaru ABC, tak platí, že A*BC=C*AB.
Miroslav Olšák | org | 20. 9. 2011 14:04:00
Dobra, tak s hintem uz jsem Pepovu trojcifernou hricku vyresil. Kdo dal?
Zbyněk | 15. 9. 2011 17:18:47
@Pepa: docela zajímavý, že se z té české olympiády dostala do sbírky PEN (stojí za stáhnutí)
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/view...
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/view...