Chat Prasátek

Matematická sekce

Lenka Kopfová | 23. 2. 2021 14:50:01

Řešení 9:
+ skrytý text

Uvažujme stejnolehlosti z bodů $P, Q$ , které zobrazují $k_1$ resp. $k_2$ na $k$ . První stejnolehlost zobrazuje $A\mapsto M, D\mapsto N$ a druhá zobrazuje $B\mapsto M, C\mapsto N$ . Tedy platí $AD\parallel MN\parallel BC$ . Dále si všimněme, že $XY$ je chordála kružnic $k_1, k_2$ , tedy $|MA|\cdot |MP| = |MB|\cdot |MQ|$ , takže $APQB$ je tětivový. Obdobně i $DPQC$ je tětivový. Odtud $|\sphericalangle BCD| = 180^{\circ} - |\sphericalangle QCB|-|\sphericalangle DCN| = 180^{\circ} - |\sphericalangle QNM|-|\sphericalangle NPQ| = 180^{\circ} - |\sphericalangle QNM|-|\sphericalangle NMQ| = |\sphericalangle NQM|$ . Jinak řečeno $CD$ je tečna $k_2$ (tedy i ke $k_1$ ) a obdobně $AB$ je společná tečna $k_1,k_2$ . Takže $|\sphericalangle BCD|=|\sphericalangle MQN| = 180^{\circ}-|\sphericalangle MPN| = 180^{\circ}-|\sphericalangle BAD|$ , tedy $ABCD$ je tětivový, navíc $AD\parallel BC$ , takže se jedná o rovnoramenný lichoběžník a $|AB|=|CD|$ .

10:
Dokaž, že pro každé přirozené číslo $n$ platí:
$(2n^{2}+3n+1)^{n}\geq 6^{n}(n!)^2$

šimon | 22. 2. 2021 14:03:57

Dobrý den, potřeboval bych vypočítat tento příklad i s řešením: Jestliže zvětšíme jednu stranu čtverce o 20 cm a sousední stranu zmenšíme o 6 cm, dostaneme rozměry obdélníku, který má obsah 1,4krát větší než obsah původního čtverce. Určete délku jeho strany. Předem děkuji. Počítání s kvadratickými rovnicemi

Kateřina Panešová | 11. 2. 2021 12:50:13

Ahoj! Čeká na vás dvojitá várka hintů, a to k 1. jarní a 2. seriálové sérii!

1. jarní série
Úloha 1.+ skrytý text

Všichni mají stejnou pravdomluvnost.

Úloha 2.+ skrytý text

Přelož si všechna tvrzení mudrců do tvaru "je mezi námi tolik a tolik pravdomluvců".

Úloha 3.+ skrytý text

Zkus nejdřív menší čtverec 5x5.

Úloha 4.+ skrytý text

Nahlédni, že celá trasa paprsku musí být středově souměrná. + skrytý text

Jaký bod je potom přesně v polovině trasy?

Úloha 5.+ skrytý text

Můžou vedle sebe sedět dva kluci? + skrytý text

Jaké posloupnosti dívek a chlapců lze sestavit? + skrytý text

Podívej se na to modulo 3.

Úloha 6.+ skrytý text

Pro sudá n využij $\textstyle k^2-1 = (k-1)(k+1)$ . + skrytý text

Pro lichá n se podívej modulo 8 na sudá a, b.

Ůloha 7.+ skrytý text

Ukaž, že pro $\textstyle k\leq 12$ dokáže Pavel vybrat všechny pěšce. + skrytý text

Důkaz sporem a Dirichletův princip.

+ skrytý text

Najdi konstrukci pro $\textstyle k=13$ .

Úloha 8.+ skrytý text

Vyjde, že takové $n$ existuje.
+ skrytý text

Uvažuj 2021 záhadných čísel tvaru $x^2 + 1^2$ až $x^2 + 4041^2$ .
+ skrytý text

Abys zajistil/a nesoudělnost, vzpomeň si na úlohy s hledáním čísla nesoudělného s nějakými malými čísly, kde jde zvolit faktoriál malých čísel + 1.+ skrytý text

Zvol $x = A + 1$ , kde $A$ je liché a dělitelné všemi lichými čísly od $3$ do $4041$ .

+ skrytý text

Následně ukaž, že pro libovolné sudé číslo tvaru $(A + 1)^{2} + \ell$ mezi nimi už musí být $x, y$ splňující $(A + 1)^{2} + \ell = x^{2} + y^{2}$ soudělná.
+ skrytý text

Pro $4 \mid \ell$ se stačí podívat na rovnici modulo $4$ .

+ skrytý text

Pro $\ell \equiv 2 \pmod 4$ by stačilo, aby existovalo prvočíslo $p$ tvaru $4k + 3$ , které dělí $x^{2}+y^{2}$ . Potom totiž $p$ dělí jak $x$ , tak $y$ . Jak najít takové $p$ ?
+ skrytý text

V tomto případě existuje něco, co je určitě tvaru $4k + 3$ . Pak stačí zvolit libovolné prvočíslo tvaru $4k + 3$ , které dělí to něco.
+ skrytý text

Konkrétně $\ell + 1$ je tvaru $4k + 3$ . Tedy už stačí jen zajistit, aby $p$ dělilo $(A + 1)^{2} + \ell$ . Jak můžeme definovat $A$ , aby to bylo splněno?
+ skrytý text

Ukaž, že $A = 3\cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot \dots \cdot (4041^{2} - 2).$ vyhovuje.

2. seriálová série
Úloha 1.+ skrytý text

Použij malou Fermatovu větu. + skrytý text

V druhé kongruenci umocni na druhou a získej $\textstyle p\mid \text{konstanta}$ .

Úloha 2.+ skrytý text

Fundamentální jednotka je $\textstyle a+\sqrt{a^2+1}$ . + skrytý text

$\textstyle x+y\sqrt{a^2+1}$ bude její mocninou se sudým exponentem. + skrytý text

Rozepiš binomickou větu a posbírej racionální členy -- skoro všechny jsou násobky $\textstyle a^2$ .

Úloha 3.+ skrytý text

Dívej se v $\textstyle \Bbb Z$ a rozmysli si, že $\textstyle x+yi$ je $\textstyle k$ -tá mocnina. + skrytý text

Interpretuj podmínku $\textstyle p \mid xy(x^2-y^2)$ jako multiplikativní množinu v $\textstyle \Bbb Z/(p)$ . + skrytý text

Tato multiplikativní množina má $\textstyle 4(p-1)$ prvků, zatímco $\textstyle k = \frac{p+1}4$ .

Dominik Stejskal | 15. 1. 2021 01:06:53

Nový rok přináší spoustu zajímavých věcí, jako třeba hinty ke 4. podzimní sérii! :)

Úloha 1. + skrytý text

$6+8<10\sqrt{2}$ ,
$6^2 + 8^2 = 10^2$ .

Úloha 2. + skrytý text

Podívej se na dvojici s minimální vzdáleností. + skrytý text

Buď je některý zasažen dvakrát, nebo je můžeš odebrat.

Úloha 3. + skrytý text

Kolik červených bodů může být ve vzdálenosti přesně 1 od jednoho daného červeného bodu?

Úloha 4. + skrytý text

Dokresli si středy úseček $AB$ a $CD$ a úhlením hledej podobné (a shodné) trojúhelníky.

Úloha 5. + skrytý text

Body $K, L, M, N$ leží na ose $OP$ . + skrytý text

Úhly $OAP$ a $PCO$ se rovnají. Ukaž, že kružnice $AOP$ a $COP$ mají stejný poloměr.

Úloha 6. + skrytý text

Uvažuj všech 100 rotací, které zobrazí 100-úhelník na sebe. + skrytý text

Kolikrát se zobrazí modrý vrchol na červený?

Úloha 7. + skrytý text

Dokresli bod $C$ překlopený přes $E$ . + skrytý text

Přenášej délky pomocí rovnoběžek a kolmic.

Úloha 8. + skrytý text

Odhadni dvěma způsoby počet rovnoramenných trojúhelníků.

Kateřina Panešová | 9. 12. 2020 23:31:55

HINTY! Nevěděl/a sis rady s některou z úloh 3. podzimní a 1. seriálové série? Dej jí ještě jednu šanci!
3. podzimní série
Úloha 1. + skrytý text

Dej kouli do středu stolu, pak už to jde samo...

Úloha 2. + skrytý text

Nechť je $\textstyle a_n$ minimální počet soutěžících, který je potřeba, aby celkový vítěz měl $\textstyle n$ výher. Najdi rekurenci pro $\textstyle a_n$ .+ skrytý text

Jsou to Fibonacciho čísla.

Úloha 3. + skrytý text

Uprav na společného jmenovatele a dívej se na dělitelnost $\textstyle n-1$ .

Úloha 4. + skrytý text

Všimni si, že pro $\textstyle n\geq 15$ je na šachovnici víc než 111 mincí. Co $\textstyle n=14$ ? A co $\textstyle n=13$ ?+ skrytý text

Pro $\textstyle n=14$ je počet mincí sudý.+ skrytý text

Najdi konstrukci pro $\textstyle n=13$ .

Úloha 5. + skrytý text

Substituuj $\textstyle a=\frac xy$ , $\textstyle b=\frac1y$ .+ skrytý text

Dostaneš lineární lomený výraz v $\textstyle a$ , zatímco podmínka omezuje $\textstyle a$ na nějaký interval.

Úloha 6. + skrytý text

Je to $\textstyle 2 - \frac1{2n+1}$ .+ skrytý text

Vezmi silnici s limitem $\textstyle 1$ a odhadni tím průměry dvojic silnic z krajních měst do nějakého třetího.

Úloha 7. + skrytý text

Dej rovničku do tvaru $\textstyle x_n - x_{n+1} = k\frac{x_{n+1}-x_{n+2}}{x_{n+1}x_{n+2}}$ , vynásob všechny tyhle věci přes všechna $\textstyle n$ a použij racionalitu $\textstyle x_i$ .

Úloha 8. + skrytý text

Dokresli O opsiště ABC.+ skrytý text

Trojúhelníky $\textstyle OO_1O_2$ jsou podobné nezávisle na P.

1. seriálová série
Úloha 1. + skrytý text

Zkus mod 3, anebo trikový rozklad $\textstyle (p^2+p+1)(p^2-p+1)$ .

Úloha 2. + skrytý text

Nechť je $\textstyle \alpha$ kořenem $\textstyle x^2+x+3$ . Dokaž, že $\textstyle \zet[\alpha]$ je eukleidovský, rozlož a použij tvrzení o mocninách.

Úloha 3. + skrytý text

3. Uprav na čtverec + čtverec = čtverec + 1, poté využij vztahů prvočíselného rozkladu čísla a možností jeho vyjádření jako čtverec + čtverec.

Dominik Stejskal | 14. 11. 2020 20:31:54

Hinty jsou zpět! S nimi už zbytek druhé podzimní série snadno rozlouskneš.

Úloha 1. + skrytý text

Podívej se na osovou souměrnost podle kolmice k $\textstyle p$ . Vhodně zvol $\textstyle A$ , $\textstyle B$ , $\textstyle C$ .

Úloha 2. + skrytý text

Co kdyby Terka začínala na úhlopříčce?

Úloha 3. + skrytý text

Hledej pravoúhlé trojúhelníky. + skrytý text

Opiš 2020-úhelníku kružnici, použij Thaletovu a Pythagorovu větu.

Úloha 4. + skrytý text

Sečti všechny rovnice. + skrytý text

Uprav na součiny a využij $\textstyle a+b+c=0$ .

Úloha 5. + skrytý text

Dokresli překlopení $\textstyle A$ bodu $\textstyle A$ přes osu úsečky $\textstyle BC$ .

Úloha 6. + skrytý text

Označ si průsečík úseček $\textstyle BT$ a $\textstyle XY$ a hledej podobné trojúhelníky.

Úloha 7. + skrytý text

Vezmi diagonálu, domy mimo ní popáruj symetricky a domy na ní vyřeš zvlášť.

Úloha 8. + skrytý text

Lichý cyklus neexistuje právě tehdy, když jdou letiště obarvit dvěma barvami tak, aby každá dvě spojená letiště měla různou barvu. + skrytý text

Pro sudá n může libovolný z hráčů zařídit, že těsně před koncem hry bude stejně letišť od každé z těchto dvou barev.

Václav Janáček | org | 9. 8. 2020 12:56:52

Samozřejmě máme ukázat $|AB|=|CD|$ , ale jinak skoro dobře :D

Václav Janáček | org | 7. 8. 2020 14:30:13

Řešení 8:
+ skrytý text

Ukáži, že je to $m+n$ . Nejdříve předpokládejme, že existuje šachovnice, na kterou je možno umístit víc věží. Vezměme nejmenší takovou šachovnici (nejmenší $m+n$ ). BÚNO nechť $m \leq n$ . Poté jsou v některém řádku více než $2$ věže, jinak jich je nejvýše $2m \leq m+n$ .
Vyberme některou z nekrajních věží v tomto řádku. Ta ohrožuje jednu věž vlevo a jednu vpravo. Musí být tedy ve sloupci sama. Odstraněním tohoto sloupce získáme menší tabulku s více než $m+n$ věžemi, přitom stále každá věž zjevně ohrožuje právě dvě jiné. Spor.
Rozmístění věží do celého levého sloupce, celého spodního řádku a na políčko vpravo nahoře je platné rozmístění $m+n$ věží.

9:
Nechť $k_1$ , $k_2$ jsou kružnice protínající se v bodech $X$ , $Y$ . Nechť s nimi kružnice $k$ svírá vnitřní dotek postupně v bodech $P$ , $Q$ . Nechť $XY$ protíná $k$ v bodech $M$ a $N$
Polopřímky $PM$ a $PN$ protínají $k_1$ postupně v $A$ a $D$ . Obdobně polopřímky $QM$ a $QN$ protnou $k_2$ v $B$ a $C$ . Ukažte $|AB|=|BC|$ .

Josef Minařík | org | 28. 7. 2020 20:46:36

Řešení 7:
+ skrytý text

Nejprve si všimněme, že pokud $\frac{a}{b} \not \in S, b >a$ , potom $\frac{b-a}{a}, \frac{a}{b-a}\not \in S$ , protože $\frac{1}{\frac{b-a}{a}+1} = \frac{\frac{a}{b-a}}{\frac{a}{b-a}+1} = \frac{a}{b}$ . Dále předpokládejme, že $\frac{a}{b} \not \in S, \frac{a}{b} \neq \frac{1}{2}$ a $a+b$ je minimální. To je ovšem spor, protože jeden ze zlomků $\frac{b-a}{a}, \frac{a}{b-a}$ je menší než 1, není v $S$ , a má menší součet čitatele a jmenovatele. Tím jsme dokázali, že neexistuje uvažovaný zlomek $\frac{a}{b}$ , a úloha je vyřešena.

8.
Kolik nejvíce šachových věží je možné umístit na šachovnici $m\times n$ , kde $m, n > 1$ , tak, aby každá věž ohrožovala právě dvě další? Dvě věže se navzájem ohrožují, pokud jsou ve stejném sloupci nebo řádku a není mezi nimi žádná jiná věž.

Michal Janík | org | 24. 7. 2020 10:55:39

Řešení 6:
+ skrytý text

Pro nenulové $x,y$ vydělíme celou nerovnost kladným výrazem $(xy)^2$ a zavedeme si funkci $g(x)=\frac{f(x)}{x}$ , čímž dostaneme $2g(xy)\geq1+g(x)g(y^2)$ . Dosazením $x,y=1$ dostaneme $2g(1)\geq1+g^2(1) \Leftrightarrow0\geq(g(1)-1)^2\Rightarrow g(1)=1$ . Dosazením $y=1$ dostaneme $g(x)\geq1$ . Naposledy dosazením $x=\frac{1}{y}$ dostaneme $1\geq g\left(\frac{1}{y}\right)g(y^2)$ , ale protože platí $g(x)\geq1$ , musí platit také $g(x)=1$ . Z toho plyne $f(x)=x$ , což zkouškou lehce ověříme.

7.
Množina $S$ , která obsahuje jen racionální čísla má následující vlastnosti:
a) $\frac{1}{2}\in S$
b) Pokud $x\in S$ , tak $\frac{1}{x+1}\in S$ a $\frac{x}{x+1}\in S$ .

Dokažte, že $S$ obsahuje všechna racionální čísla z intervalu $0<x<1$ .

Zdeněk Pezlar | org | 21. 7. 2020 20:20:39

Řešení 5:
+ skrytý text

Pokud označíme $\textstyle a_1,\dots,a_{1234}$ prvky naší množiny a $\textstyle s$ jejich součet, pak $\textstyle \lbrace a_1,\dots,a_{1234} \rbrace = \lbrace s-a_1,\dots,s-a_{1234} \rbrace$ . Tyto množiny jsou shodné a obě mají právě $\textstyle 1234$ různých prvků, tedy součet prvků obou množin bude shodný: $\textstyle s = a_1 + \cdots + a_{1234} = s-a_1 + \cdots + s-a_{1234} = 1233s$ , tedy $\textstyle s=0$ , máme tedy $\textstyle \lbrace a_1,\dots,a_{1234} \rbrace = \lbrace -a_1,\dots,-a_{1234} \rbrace$ . Pokud by jedno z čísel bylo nulové, například $\textstyle a_1$ , tak $\textstyle \lbrace a_2,\dots,a_{1234} \rbrace = \lbrace -a_2,\dots,-a_{1234} \rbrace$ , součin $\textstyle S$ prvků obou množin bude shodný, $\textstyle S = a_2 \cdots a_{1234} =(-a_2)\cdots (-a_{1234})=-S$ , jedno z $\textstyle a_i$ je $\textstyle 0$ , spor s růzností čísel. Můžeme proto čísla rozdělit na $\textstyle 617$ dvojic $\textstyle (b_i,-b_i)$ pro nenulová $\textstyle b_i$ . Součin všech čísel bude $\textstyle (- b_1 ^2) \cdots (- b_{617}^2)= - (b_1 \cdots b_ {617})^2 < 0$ .

6.
Určete všechny funkce $\textstyle f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ , které splňují $\textstyle 2xyf(xy) \geqslant (xy)^2+xf(x)f(y^2)$ pro všechna reálná $\textstyle x,y$ .

Josef Minařík | org | 16. 7. 2020 23:07:19

Řešení 4:
+ skrytý text

Ukážeme, že $m$ může být nejvýše $2^n$ . Uvažujme nějakou vyhovující tabulku, nejmenší číslo v každém sloupci je BÚNO 0 (jinak můžeme čísla v daném sloupci posunout), potom žádné číslo nemůže být větší než 1. Pokud je někde v tabulce číslo větší než 0 a menší než 1, můžeme místo něj napsat 0 a tabulka bude pořád splňovat podmínku ze zadání. Stačí nám tedy uvažovat tabulky vyplněné 0 a 1. Pokud by ovšem tabulka měla více než $2^n$ řádků, budou některé dva řádky stejné, což je spor se zadáním.
Tabulka, jejíž řádky jsou všechny možné posloupnosti 0 a 1, zřejmě vyhovuje zadané podmínce a má $2^n$ řádků.

5. Množina 1234 (různých) reálných čísel má následující vlastnost. Když nahradíme každé číslo množiny součtem zbývajících 1233 čísel, dostaneme stejnou množinu 1234 čísel. Dokažte, že součin těchto 1234 čísel je záporný.

Magdaléna Mišinová | org | 12. 7. 2020 20:07:24

Řešení 3:
+ skrytý text

Protože $AG\perp GO$ , $O$ je střed $(ABC)$ a $AX$ je tětiva této kružnice, tak $G$ je střed $AX$ .
Označme $S$ střed $BC$ . Víme, že $GX:AG:GS=2:2:1$ . Těžiště vždy leží uvnitř trojúhelníku, takže $S$ je střed $GX$ . Tím jsme dokázali, že úsečky $BC$ a $GX$ se navzájem půlí, takže čtyřúhelník $BXCG$ je rovnoběžník.
Platí $BG\parallel DX$ a $G$ je střed $AX$ , takže $B$ je střed $AD$ . Obdobně $C$ je střed $AE$ . Opsiště $ADE$ zkonstruujeme proto tak, že z bodů $B$ a $C$ vedeme kolmice postupně na $AB$ a $AC$ . Proto body $A$ , $B$ , $C$ a opsiště $ADE$ určitě leží na kružnici, jak jsme chtěli.

4. Mějme přirozené číslo $n$ . V závislosti na $\textstyle n$ najděte největší $\textstyle m$ s následující vlastností. Tabulka s $\textstyle m$ řádky a $\textstyle n$ sloupci můžeme být vyplněna reálnými čísly tak, aby pro každé dva řádky, čísla v nichž si označíme $\textstyle a_1,\,a_2,\dots ,a_n$ a $\textstyle b_1,\,b_2,\dots ,b_n$ , platilo:
$\max(|a_1-b_1|,|a_2-b_2|,\dots ,|a_n-b_n|)=1$

Zdeněk Pezlar | org | 12. 7. 2020 17:52:47

Řešení 2:
+ skrytý text

$\textstyle \frac{x+1}{x} = \frac{x+x+y}{x} = 2+\frac{y}{x},$ takže pokud označíme $\textstyle a = \frac{x}{y},$ , tak díky AG a Cauchymu platí:
$(2+a)^2 + (2+\frac{1}{a})^2 \geqslant 2(1+1+a)(1+1+\frac{1}{a}) \geqslant 2 \cdot 3^2$ a jsme doma.

3. V trojúhelníku $\textstyle ABC$ s opsištěm $\textstyle O$ a těžištěm $\textstyle G$ platí $\textstyle AG \perp GO$ . Označme $\textstyle X \not\equiv A$ druhý průsečík $\textstyle AG$ s kružnicí $\textstyle (ABC)$ a mějme $\textstyle D$ průsečík přímek $\textstyle AB$ a $\textstyle CX$ , $\textstyle E$ průsečík $\textstyle AC$ a $\textstyle BX$ . Ukaž, že opsiště $\textstyle ADE$ leží na $\textstyle (ABC)$ .

Huu Quy Nguyen | 12. 7. 2020 15:03:08

Řešení:
+ skrytý text

Dokážeme matematickou indukcí :)
Pro $\textstyle n = 1$ tvrzení zřejmě platí.
Předpokládejme, že tvrzení platí pro $\textstyle n=i$ .

Pak z indukčního předpokladu platí $\textstyle \prod_{k=1}^{i} (a_k^2 - b_k^2) = x^2 - y^2$ pro celá $\textstyle x,y$ .
Nyní pro $\textstyle n = i+1$ platí $\textstyle \prod_{k=1}^{i+1} (a_k^2 - b_k^2) = (a_{i+1}^2 - b_{i+1}^2)\cdot \prod_{k=1}^{i} (a_k^2 - b_k^2) = (a_{i+1}^2 - b_{i+1}^2)(x^2 - y^2)$
Jenže $\textstyle (a_{i+1}^2 - b_{i+1}^2)(x^2 - y^2) = (a_{i+1}x+b_{i+1}y)^2 - (a_{i+1}y+b_{i+1}x)^2$ , což je rozdíl dvou čtverců, čímž jsme hotovi.

2. Pro kladná reálná $\textstyle x,y$ platí $\textstyle x+y=1$ . Dokaž, že platí $\textstyle (\frac{x+1}{x})^2 + (\frac{y+1}{y})^2 \geq 18$

Fíla | org | 11. 7. 2020 22:51:48

Ahoj,
jelikož je ti určitě smutno, že už tento rok skončily prasečí série, nechceš zakrnět, a proto by sis rád vyřešil nějaké úložky navíc. Proto bychom rádi obnovili prasečí maraton.
Pravidla jsou následující. Vždy když vyřešíš nejnovější úlohu, napíšeš její řešení a hned zadáš další. Nějací orgové se určitě připojí také, když se budou moc nudit ;) (prosím abyste řešení dávali formou skrytého textu, aby si ji i ostatní mohli vyřešit a hned neviděli řešení).

1.
Dokažte, že pro libovolná přirozená čísla $\textstyle n$ , $\textstyle a_1$ , $\textstyle a_2$ , $\textstyle \ldots$ , $\textstyle a_n$ , $\textstyle b_1$ , $\textstyle b_2$ , $\textstyle \ldots$ , $\textstyle b_n$ je možné zapsat součin $\textstyle \prod_{k=1}^{n}(a_k^2 - b_k^2)$ jako rozdíl dvou čtverců (celých čísel).

Olin | org | 8. 6. 2020 01:40:58

Na krajská kola MO B+C už se dá i registrovat:
https://mo.mff.cuni.cz/bc/

Miroslav Olšák | org | 6. 6. 2020 15:30:51

Ahoj, po delší době jsem zase udělal animované video inspirované PraSečí přednáškou, tentokrát o Burnsideově lemmatu -- jak počítat se zanedbáváním symetrií:
http://www.olsak.net/mirek/manim/burnside_cz.mp4
Enjoy!

Josef Tkadlec | 4. 6. 2020 00:18:43

Dve novinky ze sveta matematicke olympiady:

1) Na webu ceske MO (http://www.matematickaolympiada.cz/ ) se objevilo info o nahradnich internetovych soutezich za krajska kola B+C (20.6.) a celostatko A (29.+30.6.).

2) IMO 2020 (https://imo2020.ru/ ) je ted naplanovane jako virtualni, v datech 21.+22.9.

Dominik Stejskal | 18. 5. 2020 19:38:40

I k poslední letošní sérii úloh patří série hintů. No a další zase na podzim. :)

Úloha 1.
(a) + skrytý text

Neexistuje. Hledej monovarianty. + skrytý text

Maximální počet brambor na jednom talíři se nezvětšuje, zato celkový počet ano.

(b) + skrytý text

Ukaž, že z konstrukce pro n+1 vznikne odebráním učitele s n+1 klobáskami konstrukce pro n. + skrytý text

Pro sudá n je až na symetrii jen jedna možnost, pro lichá n > 3 jsou dvě.

Úloha 2.
(a) + skrytý text

Ano, může. Postupuj indukcí. + skrytý text

Zvětši si nějaký člen tak, aby byl alespoň o 2 větší než libovolný jiný.

(b) + skrytý text

Neexistuje. Jaké počáteční hodnoty by členy musely mít? + skrytý text

Nechť BÚNO začínáme s nulami a jedničkami. Je možné poslední nulu zvětšit o 2?

Úloha 3.
(a) + skrytý text

Použij šachovnicové obarvení. + skrytý text

Rozdíl součtu čísel na černých a bílých políčkách se nemění.

(b) + skrytý text

Zkus ze dvou pokrytí n (nebo n-1) políček zkonstruovat pokrytí 2n+1 políček.

Úloha 4.
(a) + skrytý text

Pomocí věty o obvodových úhlech ukaž, že úhly DBC a DCB se oba rovnají polovině úhlu ABC.

(b) + skrytý text

Dokresli si střed PS a najdi podobné trojúhelníky.

Úloha 5.
(a) + skrytý text

Použij hrubé horní odhady na jednotlivé ciferné součty. + skrytý text

s(n) dává stejný zbytek po dělení 9 jako n.

(b) + skrytý text

Ukaž, že a,b,c < 1. + skrytý text

(a+1)(b+1)(c+1) - 4 = (a-1)(b-1)(c-1).

Úloha 6.
(a) + skrytý text

Na jedničku je možné se dostat pouze z k-ciferného čísla tvaru 11...1. Ukaž, že takové číslo je pro k > 1 dělitelné prvočíslem větším než 7, a tedy se na něj nedá dostat. + skrytý text

Pokud 3 | k, tak 37 | 11...1. Ukaž, že jinak není 11...1 dělitelné žádným z prvočísel 2, 3, 5, 7.

(b) + skrytý text

Může se mu to podařit. Zaplňuj rovinu po spirále. Při zaplňování bodu by bylo ideální, kdyby Martin mohl použít Čínskou zbytkovou větu a najít tak číslo, které lze do mřížky přidat. To ale není možné udělat přímo. + skrytý text

Martin může Čínskou zbytkovou větu použít na "nejlepší možnou" množinu čtverců. Ukaž, že je úloha nastavena tak, aby to vyšlo. + skrytý text

Nechť největší čtverec obsahující přidávaný bod má rozměr m x m. Použij Čínskou zbytkovou větu tak, aby pro každé prvočíslo p <= m byl součet čísel ve čtverci o rozměrech p^floor(log_p(m)) x p^floor(log_p(m)) dělitelný p^floor(log_p(m)). + skrytý text

Vezmi si libovolný čtverec s x s obsahující přidávaný bod a dokaž, že součet čísel v něm je dělitelný libovolným prvočíslem ve stejné mocnině jako s. Použij, co víš, a šikovně dláždi větší čtverce menšími. + skrytý text

Ukaž, že do "rohů" spirály je možno umístit libovolné číslo. Ukaž, že už tak dokážeš napsat do roviny každé přirozené číslo jednou.

Úloha 7.
(a) + skrytý text

Pokud je jeden čtverec prázdný, jsou dámy jenom ve dvou čtvercích. + skrytý text

Pokryj je diagonálami.

(b) + skrytý text

Poskládej nejdřív kartičky do balíčků se součtem L*n, kde 1 <= L <= n-1. + skrytý text

Potom takový balíček ber jako jednu kartu s hodnotou L a použij indukční předpoklad.

<< < 1 2 3 4 ... 36 37 > >>

Kontakt

email	info (zavináč) prase.cz
pošta	Matematický korespondenční seminář KAM MFF UK Malostranské náměstí 25 118 00 Praha 1

Organizátoři

Matematický korespondenční seminář je organizovaný studenty Matematicko-fyzikální fakulty UK pod záštitou Informatického ústavu UK a Oddělení propagace a mediální komunikace MFF UK.

Partneři

Realizace projektu byla podpořena Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy

Matematický korespondenční seminář

Kalendář

Z naší fotogalerie

Kontakt

Organizátoři

Partneři