Chat Prasátek

Matematická sekce

Anonym | 28. 11. 2011 23:27:11

Já bych to cvičení řešil následovně:
+ skrytý text

Všimněme si, že otočení o úhel $\pi$ má jediný pevný bod $c$ . To už nám celou rovinu bez bodu $c$ rozdělí na dvojice různých bodů, které se prohazují. Vezměme si tedy nějaké takové dvojice $(a_0, b_0), (a_1, b_1), ...$ a upravme je na $(a_0, c), (a_1, b_0), (a_2, b_1), ...$ . Tím dostaneme zobrazení, co nemá žádné pevné body.

Josef Tkadlec | 27. 11. 2011 19:37:26

Nene, autoři mají zobrazení docela podobné.

Smyslem toho cvičení je přesně to, aby si čtenář uvědomil, co všechno je zobrazení. Asi jsme ho (a některá ostatní) měli nějak označit, aby bylo jasné, že je těžké. Pokud by byl zájem, můžeme k (vybraným) cvičením někam napsat aspoň nahrubo napsaná řešení.

Co čokoládové úlohy? Stále nikdo nic? Ani (i)čko toho posledního?

Jinak pilně řešte, první seriálová série se posílá (spolu s Velkými čísly) už za týden!

Pavel Šalom | 27. 11. 2011 18:39:37

Cau Kubo,
ano, jde to i bez nevlastnich bodu. Problem by mohl byt v tom, ze clovek ma tendenci se omezovat na "tradicni" zobrazeni. Kdyz uz opusti tradicni zobrazeni, porad ma tendenci nejak "spojite menit" rovinu, nebo si preje, aby zobrazeni umel zapsat nejakou rovnici. Ale zadna z tech veci neni nutna.

Jak jsem na to prisel:
+ skrytý text

Zrcadleni dela to, ze body v rovine sparuje do dvojic a potom vlastne rika: v ramci paru prohod body. Bohuzel ale nektere body sparuje samo se sebou.

Moje reseni:
+ skrytý text

Sparuju body treba tak, ze s bodem $[x,y]$ bude v paru bod $[x+1,y]$ . Musim si ale hlidat, aby kazdy bod byl pouze v jednom paru, tak to popisu trochu podrobneji.

Predstavim si nekonecne pasy sirky 1, ktere si ocisluju celymi cisly. Pas $[0,1)\times\mathbb{R}$ nazvu 1.pasem. Pas $[1,2)\times\mathbb{R}$ nazvu 2.pasem, atd. Vlevo cisluju podobne: Pas $[-1,0)\times\mathbb{R}$ nazvu 0.pasem, pas $[-2,-1)\times\mathbb{R}$ nazvu -1.pasem, atd.

Ted reknu, ze cisla z 1.pasu sparuju s cisly z 2.pasu tak, ze bodu $[x,y]$ z 1.pasu priradim bod $[x+1,y]$ z 2.pasu. Podobne 3.pas sparuju se 4.pasem, atd. Stejnetak vlevo -1.pas sparuju s 0.pasem, atd.

Zobrazeni definuju tak, ze prohazuje body, ktere jsou spolu sparovane. Muzu si to teda predstavit tak, ze prohazuje vlastne cele pasy, pricemz vzdy lichy pas posouva o 1 vpravo a sudy pas posouva o 1 vlevo.

Autori serialu mozna maji nejake mnohem jednodussi zobrazeni :)

Kuba | 27. 11. 2011 17:29:34

A teď zase já s matematikou o mnoho úrovní nižší a dotazem daleko přízemnějším... Nejsou někde nějaká vzorová řešení cvičení ze seriálu? Přečetl jsem ho celý, ale s pár úlohama vážně nemůžu hnout a rád bych viděl postup. (Přednášku jsem viděl, byla pěkná, bohužel jste tam nedělali nic z toho, co jsem nezvládl.)

Konkrétně mě zajímá jedno z prvních cvičení: "Nalezněte zobrazení, které nemá žádný pevný bod a provedeno dvakrát za sebou je identitou."

Vymyslel jsem jenom příšernosti typu kruhová inverze spojená se středovou souměrností. Jenomže tam si pomáhám nevlastními body. Jde to bez nich?

Předem díky za odpověď.

Josef Tkadlec | 25. 11. 2011 18:58:45

Ale kdeže, akorát jsem tu úlohu znal :).

BakyX | 25. 11. 2011 18:00:44

Wow. Však to je viac ako geniálné riešenie. Si génius !!!

Josef Tkadlec | 25. 11. 2011 16:18:25

BakyX: Jelikož už je po termínu, tak je snad OK sem řešení napsat. Je to ale dost dobrá úloha, tak to schovám, ať ostatním řešení úlohy nepokazím ;).

Nejdřív hint:
+ skrytý text

CS!

A potom myšlenka řešení:
+ skrytý text

Cauchyho nerovnost nám dá

$LHS\cdot (|BC|\cdot|PD|+|CA|\cdot|PE| + |AB|\cdot|PF|) \geq K,$

kde $\textstyle LHS$ značí levou stranu a $\textstyle K$ nějakou konstantu nezávislou na poloze bodu $\textstyle P$ . Velká závorka je ovšem taky konstanta (obsah!), takže si stačí rozmyslet, že rovnost v Cauchym nastává tehdy, je-li $\textstyle P$ vepsiště $\textstyle ABC$ .

BakyX | 25. 11. 2011 14:31:14

Pítr: Ďakujem

Pavel: Geogebra je super, program ako stvorený pre niečo ako som ja. To "dementný" som napísal preto, lebo ma fakt nahnevalo, koľko času som strávil nad náčrtom, ktorý som neurobil nakoniec..

Chcem sa ešte spýtať, ako by ste riešili 6. úlohu zo 4. strany http://seminar.strom.sk/priklady/archiv/casop... Ďakujem

Pavel Šalom | 23. 11. 2011 10:04:47

Cau,
$\textrm{card}$ tady bude znamenat pocet prvku. Nevim ale presne, co znamena $v_p$ , takze platnost nerovnosti necham na vas.

Kdyz uz jsme u toho, tak kardinalitu (=mohutnost) bych prelozil jako "zobecnena velikost". Pro konecne mnoziny je to pocet prvku, ale pro nekonecne mnoziny umi kardinalita rozlisovat "velikost nekonecna". Definice na wiki http://cs.wikipedia.org/wiki/Mohutnost.

Napriklad se da ukazat, ze $\mathbb{N}$ ma mensi kardinalitu nez $\mathbb{R}$ . Muze ale byt prekvapujici, ze $\mathbb{N}$ ma stejnou kardinalitu jako $\mathbb{Z}$ a dokonce jako $\mathbb{Q}$ (podrobnosti na wiki nebo na pozadani).

Miroslav Olšák | org | 22. 11. 2011 23:27:52

Pravda. Ja mel, nevim proc, pocit, ze tech jednicek vlevo potrebuji jeste o jednu vic.

Tonda | 22. 11. 2011 23:14:59

D9kz. Myslím, že to je opravdu počet prvků té množiny, protože pro každé $\textstyle k$ platí že $\textstyle v_p(2^{k(p-1)}-1)\geq 1$

Miroslav Olšák | org | 22. 11. 2011 23:06:21

Byla dana nejaka podminka na to $n$ ? Pak by to zacalo davat smysl, kdyby se pod pojmem "card" skryval pocet prvku te mnoziny (cardinality).

Ale stejne by to, co se to snazi rict, bylo receno dost kostrbate. Takze se to mozna ma vylozit nejak uplne jinak...

Tonda | 22. 11. 2011 22:35:11

Překlep: znaménko nerovnosti je $\textstyle \geq$ místo $\textstyle \leq$

Tonda | 22. 11. 2011 22:34:23

Zdravím,
Vysvětlíte mi, prosím, někdo termín "card" (a proč vztah platí) v následujícím případě:
$\textstyle \displaystyle\sum_{1\leq k(p-1) \leq n}v_p(2^{k(p-1)}-1)\leq card\lbrace k|1\leq k(p-1)\leq n\rbrace$
Předem děkuju za odpověď

Tonda | 21. 11. 2011 18:08:41

Tak ten odhad je fakt dobrý a docela přirozený podle případu rovnosti.
Zkoušel jsem různá AG, Cauchy,... ale nevyšlo mi to.

Josef Tkadlec | 21. 11. 2011 11:25:01

Ještě k té nerovnosti, taky funguje dokázat si nejdřív pomocnou nerovnost

$(1-t^2)^2 + (1-u^2)^2 \geq (1-0^2)^2 + (1-(t+u)^2)^2$

a potom ověřit rovnost v "extrémním" případě.

Pavel Šalom | 21. 11. 2011 09:51:39

BakyX: Pokud ti ipe6 pripada dementni, doporucuju vyzkouset GeoGebru (http://www.geogebra.org/cms/, je potreba mit nainstalovanou Javu). Pokud by ti i GeoGebra pripadala dementni, tak uz asi muzu doporucit jen kresleni obrazku rukou.

πtr | org | 21. 11. 2011 01:41:19

BakyX: Áno, dokonca pomerne jednoduchý: klikneš na "Lines and polylines" (ikonka má tvar podobný "N"; u mňa je 11. zľava v druhom riadku, prípadne na klávesnici "L"), klikneš jeden koniec a pravým tlačítkom myši vyznačíš koniec druhý. Nie je to priamka v pravom zmysle slova, je to len jej časť, ale ak chceš, vo vlastnostiach čiary si môžeš zadať tvar koncových šípok.

Následne ma ale napadlo, že si možno myslel priamku prechádzajúcu dvoma konkrétnymi bodmi. Tam je postup podobný, opäť nakreslíš čiaru medzi týmito bodmi (postup vyššie, je dobré mať zapnuté "pripínanie k vrcholom" - "snap to vertices", ikona by mala byť hneď prvá po rozlíšení alebo stlač F4). Následne chceme túto spojnicu natiahnuť, aby pokračovala aj za hraničnými bodmi: klikni na "strech objects" (štvrtá ikona druhý riadok alebo "E") a so stlačeným Shiftom natiahni konce na požadovanú dĺžku (sklon by sa zmeniť nemal - to zaručuje práve ten Shift).

Ak by ti to aj napriek tomuto nešlo, určite sa ozvi, kde je problém a pokúsim sa ti pomôcť ešte lepšie :)

BakyX | 21. 11. 2011 00:09:50

Existuje prosím nejaký jednoduchý spôsob, ako v dementom programe IPE 6 urobiť priamku :D ?

Olin | org | 20. 11. 2011 16:09:47

Miško, Pítr: Ano, vskutku je to zřejmé, když uvážíme nezápornost uvedených proměnných :-) Zároveň je dobře vidět, kdy vlastně nastane rovnost.

<< < 1 2 ... 28 29 30 ... 36 37 > >>

Kontakt

email	info (zavináč) prase.cz
pošta	Matematický korespondenční seminář KAM MFF UK Malostranské náměstí 25 118 00 Praha 1

Organizátoři

Matematický korespondenční seminář je organizovaný studenty Matematicko-fyzikální fakulty UK pod záštitou Informatického ústavu UK a Oddělení propagace a mediální komunikace MFF UK.

Partneři

Realizace projektu byla podpořena Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy

Matematický korespondenční seminář

Kalendář

Z naší fotogalerie

Kontakt

Organizátoři

Partneři