Chat Prasátek

Matematická sekce

Miroslav Olšák | org | 29. 11. 2011 22:22:16

Neprijde mi na zadani nic nejasneho, mozna jsi jen prehledl zacatek druhe vety.

πtr | org | 29. 11. 2011 22:22:04

Miso: Nie som si úplne istý, či som správne pochopil otázku (máš ju dosť chaoticky položenú), ale podľa zadania máš ukázať, že existuje taký bod $X$ roviny, že keď zostrojíš ľubovoľný päťuholník $ABCDE$ splňujúci podmienky zadania a k nemu zostrojíš kružnicu $k$ nad priemerom $CE$ , tak $k$ prechádza bodom $X$ .

Toto ešte nebola otázka, ktorá by mohla napovedať, takže sa nič strašné nestalo, najbližšie ale otázky ohľadne aktuálnych zadaní smeruj na adresu http://mks@mff.cuni.cz, kde ti radi odpovieme :)

Miso z PO | 29. 11. 2011 21:24:05

Dakujem a este v 2 ulohe serialova - ukažte, že kružnice nad priemerom CE prechadzaju jednym bodom - znamena že priemer sa musi meniť - zmena jeho polohy? potom sa musia meniť aj body priemeru resp menit sa ich poloha, uvazujeme ze obidva, C,alebo E sa meni poloha? Tomu nerozumiem, lebo podla zadania ak sa nebude menit jeho poloha tak to je jedna kruznica? sry, za banalny otazku, dufam ze som nepomohol nikomu. Ďakujem.

Miroslav Olšák | org | 29. 11. 2011 21:10:07

Vejtek: Pro mne to tedy TeMno je, vzdyt ze se bavime $\mathbb R^2$ , je zcela nepodstatne, muze to byt cokoli nekonecneho.

Anonym | 29. 11. 2011 21:05:53

Štěpán: + skrytý text

To žádný problém není, protože já si beru pouze nějaké dvojice a je mi úplně jedno jaké. Nemusí (a ani nemůžou) tam být všechny.

Vejtek: + skrytý text

Vybrat si konečný počet nestačí. To nekonečno je tam klíčové.

πtr | org | 29. 11. 2011 20:00:23

Miso: Kružnica "vepsaná" (po slovensky "vpísaná") trojuholníku znamená kružnicu, ktorá má s každou stranou trojuholníka spoločný práve jeden bod, pričom jej stred je vnútri trojuholníka.

Miso z PO | 29. 11. 2011 19:34:42

3 ulohe serialovej v tomto ročniku nechapu pojmu "vepsana". Znamená to vpísana kružnica? Zvonku alebo zvnutra?

Pavel Šalom | 29. 11. 2011 19:23:47

Kuba: Ano, treba tak, jak jsi popsal, se da rozumet tomu, co napsal Tonda.

Vejtek | 29. 11. 2011 18:05:45

Teorie množin se zabývá úlpně jinými problémy [o:

Ad Štěpán:
+ skrytý text

Nepotřebujeme vůbec žádné očíslování. Stačí si pouze dvě dvojice vybrat a ty "porušit" popsaným způsobem. Zbytek se nechá tak.

Co se týče "číslování" obecně, tak lze indexovat libovolnnými množinami (takže i $\mathbb{R}$ ), $\mathbb{N}$ se nám však líbí většinou více pro své "pěkné" vlastnosti (tj. je to spočetné dobré uspořádání), které umožnuje například používat princip indukce. Tahle motivace ihned přinese zobecnění ve formě tzv. ordinálních čísel. Indukce je pak hračka i podle libovolně velkých indexových množin.

Kuba | 29. 11. 2011 16:39:49

Moc díky za odpovědi, obě řešení se mi fakt líbí. Ta úloha ale asi není zrovna středoškolská, co? Mě to skoro zavání teorií množin.

+ skrytý text

A mám rozumět Tondovu řešení Štěpánovy připomínky anonymova řešení třeba tak, že celou rovinu vyjma bodů [z;0], kde z je celé číslo, zobrazíme ve středové souměrnosti podle počátku a ty vybrané body ve středové souměrnosti kolem bodu [0.5;0]? Nevím jistě, jestli to funguje...

Tonda | 29. 11. 2011 14:08:01

+ skrytý text

Můžeme si vybrat jen nějakou podmnožinu roviny, která obsahuje jen spočetně mnoho těch dvojic.

Štěpán | 29. 11. 2011 13:14:06

Mě by zajímala jedna věc, ohledně posledně zmíněného řešení.
+ skrytý text

Není v tomto řešení problém to, že dvojic není spočetně mnoho a tedy si je v podstatě nemůže očíslovat, jak to ve svém řešení dělá? Dá se to případně nějak jednoduše obejít?

Pavel Šalom | 29. 11. 2011 10:32:38

anonym: Samozrejme konstrukci s touto myslenkou je mnoho. Libi se mi, ze tvoje konstrukce je strucna :)

Anonym | 28. 11. 2011 23:27:11

Já bych to cvičení řešil následovně:
+ skrytý text

Všimněme si, že otočení o úhel $\pi$ má jediný pevný bod $c$ . To už nám celou rovinu bez bodu $c$ rozdělí na dvojice různých bodů, které se prohazují. Vezměme si tedy nějaké takové dvojice $(a_0, b_0), (a_1, b_1), ...$ a upravme je na $(a_0, c), (a_1, b_0), (a_2, b_1), ...$ . Tím dostaneme zobrazení, co nemá žádné pevné body.

Josef Tkadlec | 27. 11. 2011 19:37:26

Nene, autoři mají zobrazení docela podobné.

Smyslem toho cvičení je přesně to, aby si čtenář uvědomil, co všechno je zobrazení. Asi jsme ho (a některá ostatní) měli nějak označit, aby bylo jasné, že je těžké. Pokud by byl zájem, můžeme k (vybraným) cvičením někam napsat aspoň nahrubo napsaná řešení.

Co čokoládové úlohy? Stále nikdo nic? Ani (i)čko toho posledního?

Jinak pilně řešte, první seriálová série se posílá (spolu s Velkými čísly) už za týden!

Pavel Šalom | 27. 11. 2011 18:39:37

Cau Kubo,
ano, jde to i bez nevlastnich bodu. Problem by mohl byt v tom, ze clovek ma tendenci se omezovat na "tradicni" zobrazeni. Kdyz uz opusti tradicni zobrazeni, porad ma tendenci nejak "spojite menit" rovinu, nebo si preje, aby zobrazeni umel zapsat nejakou rovnici. Ale zadna z tech veci neni nutna.

Jak jsem na to prisel:
+ skrytý text

Zrcadleni dela to, ze body v rovine sparuje do dvojic a potom vlastne rika: v ramci paru prohod body. Bohuzel ale nektere body sparuje samo se sebou.

Moje reseni:
+ skrytý text

Sparuju body treba tak, ze s bodem $[x,y]$ bude v paru bod $[x+1,y]$ . Musim si ale hlidat, aby kazdy bod byl pouze v jednom paru, tak to popisu trochu podrobneji.

Predstavim si nekonecne pasy sirky 1, ktere si ocisluju celymi cisly. Pas $[0,1)\times\mathbb{R}$ nazvu 1.pasem. Pas $[1,2)\times\mathbb{R}$ nazvu 2.pasem, atd. Vlevo cisluju podobne: Pas $[-1,0)\times\mathbb{R}$ nazvu 0.pasem, pas $[-2,-1)\times\mathbb{R}$ nazvu -1.pasem, atd.

Ted reknu, ze cisla z 1.pasu sparuju s cisly z 2.pasu tak, ze bodu $[x,y]$ z 1.pasu priradim bod $[x+1,y]$ z 2.pasu. Podobne 3.pas sparuju se 4.pasem, atd. Stejnetak vlevo -1.pas sparuju s 0.pasem, atd.

Zobrazeni definuju tak, ze prohazuje body, ktere jsou spolu sparovane. Muzu si to teda predstavit tak, ze prohazuje vlastne cele pasy, pricemz vzdy lichy pas posouva o 1 vpravo a sudy pas posouva o 1 vlevo.

Autori serialu mozna maji nejake mnohem jednodussi zobrazeni :)

Kuba | 27. 11. 2011 17:29:34

A teď zase já s matematikou o mnoho úrovní nižší a dotazem daleko přízemnějším... Nejsou někde nějaká vzorová řešení cvičení ze seriálu? Přečetl jsem ho celý, ale s pár úlohama vážně nemůžu hnout a rád bych viděl postup. (Přednášku jsem viděl, byla pěkná, bohužel jste tam nedělali nic z toho, co jsem nezvládl.)

Konkrétně mě zajímá jedno z prvních cvičení: "Nalezněte zobrazení, které nemá žádný pevný bod a provedeno dvakrát za sebou je identitou."

Vymyslel jsem jenom příšernosti typu kruhová inverze spojená se středovou souměrností. Jenomže tam si pomáhám nevlastními body. Jde to bez nich?

Předem díky za odpověď.

Josef Tkadlec | 25. 11. 2011 18:58:45

Ale kdeže, akorát jsem tu úlohu znal :).

BakyX | 25. 11. 2011 18:00:44

Wow. Však to je viac ako geniálné riešenie. Si génius !!!

Josef Tkadlec | 25. 11. 2011 16:18:25

BakyX: Jelikož už je po termínu, tak je snad OK sem řešení napsat. Je to ale dost dobrá úloha, tak to schovám, ať ostatním řešení úlohy nepokazím ;).

Nejdřív hint:
+ skrytý text

CS!

A potom myšlenka řešení:
+ skrytý text

Cauchyho nerovnost nám dá

$LHS\cdot (|BC|\cdot|PD|+|CA|\cdot|PE| + |AB|\cdot|PF|) \geq K,$

kde $\textstyle LHS$ značí levou stranu a $\textstyle K$ nějakou konstantu nezávislou na poloze bodu $\textstyle P$ . Velká závorka je ovšem taky konstanta (obsah!), takže si stačí rozmyslet, že rovnost v Cauchym nastává tehdy, je-li $\textstyle P$ vepsiště $\textstyle ABC$ .

<< < 1 2 ... 27 28 29 ... 36 37 > >>

Kontakt

email	info (zavináč) prase.cz
pošta	Matematický korespondenční seminář KAM MFF UK Malostranské náměstí 25 118 00 Praha 1

Organizátoři

Matematický korespondenční seminář je organizovaný studenty Matematicko-fyzikální fakulty UK pod záštitou Informatického ústavu UK a Oddělení propagace a mediální komunikace MFF UK.

Partneři

Realizace projektu byla podpořena Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy

Matematický korespondenční seminář

Kalendář

Z naší fotogalerie

Kontakt

Organizátoři

Partneři