Chat Prasátek

Matematická sekce

Mark Daniel | 10. 12. 2011 17:36:34

Existuje nejaký spôsob ako všeobecne zapísať približne koľkokrát je mocnina čísla 3 umocnená na n-tú, väčšia ako mocnina čísla 2 umocnená na n-tú. Alebo aký je rozdiel týchto dvoch mocnín?

Miroslav Olšák | org | 10. 12. 2011 15:36:45

teorie cisel (stale jen dohady):

+ skrytý text

Otestoval jsem, ze pripadne GCD by nebylo delitelne zadnym prvocislem mensim nez milion. A jeste jsem malinko vylepsil Kennyho "protipriklad":
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Table[Po...

Nicmene netusim, jestli Bakyxovo tvrzeni plati, ani jak by se na nej dalo jit. V tomhle to je to pro mne trochu jak Collatz.

Miško | org | 10. 12. 2011 15:24:03

Teoria cisel:+ skrytý text

Podla mna je to tiez tazka uloha. Napadol mi jeden pristup, mozno sa niekto z orgov chyti: Ak je prvocislo $\textstyle p$ spolocny delitel, tak polynom $\textstyle x^n+x-1$ ma modulo $\textstyle p$ korene $\textstyle 2$ a $\textstyle 3$ .

Kenny | 10. 12. 2011 14:25:02

teorie čísel:

+ skrytý text

Toho jsem se přesně bál... Ono je totiž pro každé n "dost pravděpodobné", že ta čísla budou nesoudělná. Klidně se ale může stát něco jako tu
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Table%5B... [/link]

Mark Daniel | 10. 12. 2011 13:18:42

Musím povedať, že MKS slúži okrem iného naozaj aj na zlepšenie matematických zručností, ktoré sa dajú využiť pri matematickej olympiáde. Know-how z riešenia 6. úlohy 3. podzimní série sa mi úžasne hodilo pri riešení 3. úlohy školského kola MO A.

Štěpán | 10. 12. 2011 12:47:34

geometrie:
+ skrytý text

Jelikož $CM$ je těžnice, tak obsahy $S_{BCM}$ a $S_{ACM}$ jsou stejně velké. Obsah trojúhelníka můžeme vyjádřit vzorečkem $S=r\cdot s$ , kde $S,r,s$ jsou postupně obsah, poloměr kružnice vepsané a polovina obvodu trojúhelníka. Platí tedy:
$|BC| = 2s_{BCM}-|CM|-|MB|=2\frac{S_{BCM}}{r_{BCM}}-|CM|-|MA|=2\frac{S_{ACM}}{r_{ACM}}-|CM|-|MA|=2s_{ACM}-|CM|-|MA|=|AC|,$
přičemž jsme využívali, že $M$ je střed kružnice opsané trojúhelníka $ABC$ (jedná se o pravoúhlý trojúhelník) a tedy $|AM|=|BM|=|CM|$ . Vzhledem k tomu, že $CM$ je tím pádem i výška, plyne, že obsah čtverce je: $|CM||BM|$ a obsah trojúhelníka $ABC$ bude vzhledem k tomu $\frac{|CM||AB|}{2}=|CM||BM|$ .

teorie čísel:
+ skrytý text

Tak bych spíš řekl, že to platit bude: http://www.wolframalpha.com/input/?i=Table%5B...

Kenny | 10. 12. 2011 12:30:21

K té geometrii:

+ skrytý text

Úloha z podobného soudku je AIME 2010
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/reso...

A k té teorii čísel:

+ skrytý text

Tipuju, že to neplatí. Nějak nevidím důvod k opaku.

Pokud by to přeci mělo platit, byla by to brutálně těžká úloha. Spíš vědecký problém. Nebo mě nějaký zručný číselný (či spíš grupový?) teoretik vyvede z omylu?

BakyX | 9. 12. 2011 21:06:53

Zdravím. Skúste si vyriešiť túto peknú geometrickú úlohu:

+ skrytý text

Označme $M$ vnútorný bod prepony $AB$ pravouhlého trojuholníka $ABC$ . Predpokladajme, že kružnice vpísané trojuholníkom $BCM$ a $ACM$ sú zhodné. Rozhodnite, či je väčší obsah trojuholníka $ABC$ alebo obsah štvorca zostrojeného nad úsečkou $CM$

Fakt sa teším na tie geniálne trojriadkové riešenia, čo tu od vás padnú :)

BakyX | 8. 12. 2011 23:14:34

Zdravím. Ako ukázať že pre prirodzené číslo $n$ sú výrazy $(2^n + 1)$ a $(3^n + 2)$ nesúdeliteľné ? Ďakujem za odpoveď.

Miroslav Olšák | org | 8. 12. 2011 21:21:09

Rado, hint na osmicku: Rozdel pravidelny 2011-uhelnik na 2012 konvexnich mnohouhelniku, aby kazda primka protla (mela spolecny bod) max 3 z nich.

Josef Tkadlec | 8. 12. 2011 20:15:02

Ahojte,

jelikož už je po termínu první seriálové série, sepsal jsem jakési návody k řešením čokoládových úloh (stejně teď všichni pilně řešíte $\textstyle i$ KSko, že :)...). Můžete se pokochat a plácnout se do čela.

http://atrey.karlin.mff.cuni.cz/~pepat/PraSe/...

Rado: $\textstyle 3+6+12+\dots + 3\cdot 2^{18} > 1000000$ a $\textstyle 2\cdot 19 + 1 \leq 40$ .

Rado | 8. 12. 2011 20:06:59

Mark Daniel: Omlouvám se, je to trochu matoucí. 100101111...101101 je (téměř) náhodná posloupnost jedniček a nul.
Jinak zbytek toho,, cos napsal, jsem moc nepochopil. Doporučuji ti obrátit se na orgy - já mám talent na dělání chyb, možná jsem uvažoval úplně špatně (koneckonců, jen tenhle rok jsem tři úlohy naprosto zvoral protože jsem si blbě přečetl zadání, takže na to co píšu moc nespoléhej)

btw: pořád mi nikdo neodpověděl na žádost o hint na osmičku

Miso z PO | 8. 12. 2011 18:57:32

vysledok dobry, postup zly iny algorytmus

Mark Daniel | 8. 12. 2011 18:24:44

Rado: K tomu a+100101111...101101=2a. To je len jedno z riešení? Ak som dobre pochopil úlohu, tak som uvažoval tak nejak, že jediné číslo, ku ktorému keď pripočítam číslo 1, sa zväčší na dvojnásobok, je 1. Teda riešením je počet kombinácii jednotiek a dvojok na mieste jednotiek až 99-tok.

Mark Daniel | 8. 12. 2011 18:20:29

A čo ako? Nejaké povrchné zadanie. Ja si myslím, že to je číslo 33. Ako jediné nie je druhá mocnina prirodzeného čísla. Neviem, s čím iným uvažovať, dve sú násobok čísla 11, dve čísla 100 a 10, ale to z toho neviem, či vyplýva niečo priamo k riešeniu.

Miso z PO | 8. 12. 2011 17:56:55

Tu je jedna úloha:
http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=38047

miso z po | 6. 12. 2011 21:13:53

Dekuji

BakyX | 6. 12. 2011 15:16:05

Nechcete dať anketu k nemu ?

BakyX | 6. 12. 2011 14:30:58

Zdravím. Školské kolo kategórie A za nami. Všetci máte 18, že :) ?

Rado | 6. 12. 2011 11:28:22

Miso:
Možná lepší než řešení by byly jen hinty. Takhle jsem to třeba dělal já:
První úloha:
+ skrytý text

ABCABC=1001*ABC

Druhá:
+ skrytý text

To prostě zkoušej, než ti něco nevyjde. Na to asi hint není.

Třetí:
+ skrytý text

Zamsli se třeba nad čísly 65,651,6511,65111,651111 atd.

Čtvrtá:
+ skrytý text

a+100101111...101101=2a

Pátá:
+ skrytý text

Vem si 2012 různých mocnin dvojky

Mě by ale celkem zajímala ta osmička. Má to někdo?

<< < 1 2 ... 26 27 28 ... 36 37 > >>

Kontakt

email	info (zavináč) prase.cz
pošta	Matematický korespondenční seminář KAM MFF UK Malostranské náměstí 25 118 00 Praha 1

Organizátoři

Matematický korespondenční seminář je organizovaný studenty Matematicko-fyzikální fakulty UK pod záštitou Informatického ústavu UK a Oddělení propagace a mediální komunikace MFF UK.

Partneři

Realizace projektu byla podpořena Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy

Matematický korespondenční seminář

Kalendář

Z naší fotogalerie

Kontakt

Organizátoři

Partneři