miso z PO | 28. 12. 2011 21:43:58
stacilo by resit toto, ja to fak neumim, jak to spravil?
http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=38948
http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=38948
Vejtek | 28. 12. 2011 19:16:45
Není tomu tak dlouho, co na MFF proběhla přednáška na téma funkcionální rovnice. Materiály k ní jsou ale stále k dispozici na adrese
http://www.karlin.mff.cuni.cz/olympiada/anota...
Úvod je však psaný poněkud stroze, takže je vhodnější spíše pro čerpání pokročilejších technik. Pokud si najdu více času, zkusím text trochu obohatit, ale kdo ví... třeba si to nechám na seriál [o:
http://www.karlin.mff.cuni.cz/olympiada/anota...
Úvod je však psaný poněkud stroze, takže je vhodnější spíše pro čerpání pokročilejších technik. Pokud si najdu více času, zkusím text trochu obohatit, ale kdo ví... třeba si to nechám na seriál [o:
Miso | 27. 12. 2011 10:15:19
Ano, ale sem se zastavil okolo ulohy 3, potom resim http://mks.mff.cuni.cz/common/show.php?title=...
a zastavil som sa pri cauchyho metode.
a zastavil som sa pri cauchyho metode.
Anonym | 26. 12. 2011 22:52:47
miso z presova: Jak tak koukám na tvé příspěvky na tom fóru, tak bych spíš doporučoval nejprve pochopit základní věci z matematiky. Zjistit si, co je to funkce, co je to univerzální kvantifikátor a podobně. Přečetl jsi si povídání ke čtvrté sérii? http://mks.mff.cuni.cz/common/show.php?title=...
miso z presova | 26. 12. 2011 22:17:56
kto by mi mohol pomôcť ? s tymy funkcionalnymi rovnicami? http://forum.matweb.cz/viewforum.php?id=26
Kenny | 23. 12. 2011 20:01:25
Mirek si po nocích dělí velká čísla :)
Miroslav Olšák | org | 23. 12. 2011 12:23:50
Jeste k Bakyxove teorii cisel: spolecny delitel vetsi nez 1 by musel byt vetsi nez 107839350007. A vzdavam to, treba to vazne plati.
Kenny | 18. 12. 2011 19:45:07
Pappova věta není moc známá a v olympiádách se běžně nepoužívá (sám jsem ji v úloze použil možná poprvé).
http://mathworld.wolfram.com/PappussHexagonTh...
Její důkaz pomocí elementárních metod dá docela zabrat, nicméně v tomhle případě, kdy jde o rovnoběžné přímky se zjednoduší na pár podobností.
http://mathworld.wolfram.com/PappussHexagonTh...
Její důkaz pomocí elementárních metod dá docela zabrat, nicméně v tomhle případě, kdy jde o rovnoběžné přímky se zjednoduší na pár podobností.
BakyX | 18. 12. 2011 17:28:16
Ďakujem za odpoveď. Nechápem, ako môže byť niekto taký good ako vy..Pripíšem na zoznam vecí čo nechápem.
K tým riešeniam. To Kennyho i) nechápem, nepoznám ani Pappovu vetu. Nechápem ani to Pepove cez harmóniu. Nevadí. Ďakujem
K tým riešeniam. To Kennyho i) nechápem, nepoznám ani Pappovu vetu. Nechápem ani to Pepove cez harmóniu. Nevadí. Ďakujem
Kenny | 18. 12. 2011 15:51:22
No jo no, řešil jsem to ve spěchu, tak jsem to stihl jen rozbít na "známá" tvrzení. Pochopí mé neelementární řešení i někdo jiný než Pepa? :)
Josef Tkadlec | 18. 12. 2011 12:36:34
Tak to Kennyho neelementární řešení je fakt pařba :D.
Podle mě úloha stojí na následujícím pozorování:
+ skrytý text
S tím už není problém úlohu spočítat (ala Kenny):
+ skrytý text
A nebo s trochou harmonického skillu dodělat synteticky:
+ skrytý text
Podle mě úloha stojí na následujícím pozorování:
+ skrytý text
BÚNO
vodorovně. Pak body
,
a
jsou všechny stejně vysoko.
Tohle je lehké, když už člověk ví, že to chce dokázat. Důvod třeba:
+ skrytý text
Tohle je lehké, když už člověk ví, že to chce dokázat. Důvod třeba:
+ skrytý text
Stačí, že
. Jelikož
je na
"vpravo", je ze stejnolehlosti
na
"vlevo".
S tím už není problém úlohu spočítat (ala Kenny):
+ skrytý text
Umíme říct, jak moc je
od výšky "nalevo" a
napravo, takže umíme říct, jak "vysoko"
tu výšku protne. Nemůže to nevyjít :).
Konkrétně: Z úseků k patám výšek a podobnosti máme
a samozřejmě
. Poměr vychází 
symetricky, takže hotovo.
Konkrétně: Z úseků k patám výšek a podobnosti máme
A nebo s trochou harmonického skillu dodělat synteticky:
+ skrytý text
Výška
protne kružnici
"vpravo" (označme průsečík
). Harmonickou čtveřici
promítneme z
na přímku
. Bod
se zobrazí do průsečíku
a
, takže
se zobrazí do průsečíku
a výšky z
.
Kenny | 18. 12. 2011 11:36:16
Ahoj,
tak mám dvě řešení, ovšem ani jedno není zcela uspokojivé.
i) Syntetické ale neelementární:
+ skrytý text
ii) Počítací
+ skrytý text
Zvládne někdo rozluštit aspoň jedno moje řešení? Nebo najít lepší?
tak mám dvě řešení, ovšem ani jedno není zcela uspokojivé.
i) Syntetické ale neelementární:
+ skrytý text
Velmi hrubá kostra:
0) + skrytý text
1)+ skrytý text
2)+ skrytý text
3) + skrytý text
0) + skrytý text
Body
,
,
jsou body, v nichž se stran dotýká vepsaná kružnice
, kde
je střed 
1)+ skrytý text
Pappova věta
2)+ skrytý text
Pokud paty dvou cevián leží stejně "vysoko", ty ceviány se protínají na těžnici.
3) + skrytý text
Známé tvrzení, že těžnice protíná spojnici bodů dotyku s vepsanou "nad" Ičkem
ii) Počítací
+ skrytý text
Ověřím Cevovu větu. Vše vyjádřím pomocí prvků trojúhelníka. V následujícím pořadí:
1) + skrytý text
2) + skrytý text
3) + skrytý text
4)+ skrytý text
1) + skrytý text
Úseky, na něž výšky dělí obvod trojúhelníka
2) + skrytý text
Z podobností vyjádřím poloměry obou kružnic. (
)
3) + skrytý text
Z dalších podobností vyjádřím, v jaké poměru jsem rozdělil strany
a
.
4)+ skrytý text
Dosadím, spočítám
Zvládne někdo rozluštit aspoň jedno moje řešení? Nebo najít lepší?
BakyX | 17. 12. 2011 22:03:34
Zdravím. Mohol by mi prosím niekto poradiť s touto pre mňa nezvládnuteľnou úlohou (vám odborníkom to zaberie tak 3 minúty). Ďakujem.
+ skrytý text
+ skrytý text
Je daný ostrouhlý trojuholník
. Uvažujme kružnice
zostrojenú nad priemerom
. Označme
priesečníky
s úsečkami
. Uvažujme kružnicu
(respektíve
), ktorá prechádza bodom
a dotýka sa kružnice
v bode
(respektíve
). Stredy týchto kružníc označme
. Označme
priesečník priamok
. Dokážte, že priamka
je výška trojuholníka
.
Josef Tkadlec | 17. 12. 2011 13:24:36
Na podnět Mirka: čtverce o úlohu zpátky se neměly překrývat, jinak je to z hlavy už trochu těžší (je tam nějaké počítání). Jelikož už máme další úlohu, doplním k tamté pro úplnost metodu, jak se dá na výsledek pohodlně přijít.
+ skrytý text
Olin: To jsi asi na minulém sousu nebyl na Martinině přednášce o rozkladech ;) (v knihovně na http://mks.mff.cuni.cz/library/library.php?ca...).
+ skrytý text
Úhlopříčky
a
jsou rovnoběžné, takže obsah trojúhelníku
je stejný jako obsah trojúhelníku
, což je půlka prvního čtverce. Velikost druhého čtverce nerozhoduje.
Olin: To jsi asi na minulém sousu nebyl na Martinině přednášce o rozkladech ;) (v knihovně na http://mks.mff.cuni.cz/library/library.php?ca...).
Olin | org | 17. 12. 2011 00:06:24
Rado: Vzoreček jsem neznal, docela mne překvapil :)
Rado | 16. 12. 2011 21:17:11
Ahoj, narazil jsem na jednu nerovnost, o které myslím , že má moc hezké řešení (pokud znáte jeden vcelku jednoduchý vzoreček). Schválně, zkuste to: pro různá kladná čísla dokažte

Miroslav Olšák | org | 16. 12. 2011 19:19:49
Tak jestli jsem si to dobre predstavil, tak
+ skrytý text
Ale je to z hlavy docela drsne. Nejakou dobu jsem nad tim premyslel a pak jsem si vsimnul, ze bod B je spolecny.
+ skrytý text
2 (pokud se neprekryvaji) nebo 14
Ale je to z hlavy docela drsne. Nejakou dobu jsem nad tim premyslel a pak jsem si vsimnul, ze bod B je spolecny.
Josef Tkadlec | 16. 12. 2011 17:18:39
Narazil jsem na docela vtipnou geometrii, musím se podělit :).
V rovině jsou dány čtverce
a
tak, že
,
a
leží v přímce a
leží na úsečce
. První čtverec má stranu délky 2, druhý 8. Z hlavy určete obsah trojúhelníka
.
V rovině jsou dány čtverce
Kuba | 14. 12. 2011 19:40:18
Jak se říká: "Když to nejde po zlým, zkusíme to po dobrým..." Bohužel mě ale žádné takové dobré řešení nenapadá. Ještě chci poděkovat všem, kteří se nějak dívali na mou úlohu a hlavně Mirkovi za krásné grafické znázornění.
Miroslav Olšák | org | 12. 12. 2011 23:02:33
Uz mi to beha rychleji, otestovano do p=200000033. Ta uloha nejak vzdoruje hrube sile :(