Chat Prasátek

Matematická sekce

miso z presova | 26. 12. 2011 22:17:56

kto by mi mohol pomôcť ? s tymy funkcionalnymi rovnicami? http://forum.matweb.cz/viewforum.php?id=26

Kenny | 23. 12. 2011 20:01:25

Mirek si po nocích dělí velká čísla :)

Miroslav Olšák | org | 23. 12. 2011 12:23:50

Jeste k Bakyxove teorii cisel: spolecny delitel vetsi nez 1 by musel byt vetsi nez 107839350007. A vzdavam to, treba to vazne plati.

Kenny | 18. 12. 2011 19:45:07

Pappova věta není moc známá a v olympiádách se běžně nepoužívá (sám jsem ji v úloze použil možná poprvé).

http://mathworld.wolfram.com/PappussHexagonTh...

Její důkaz pomocí elementárních metod dá docela zabrat, nicméně v tomhle případě, kdy jde o rovnoběžné přímky se zjednoduší na pár podobností.

BakyX | 18. 12. 2011 17:28:16

Ďakujem za odpoveď. Nechápem, ako môže byť niekto taký good ako vy..Pripíšem na zoznam vecí čo nechápem.

K tým riešeniam. To Kennyho i) nechápem, nepoznám ani Pappovu vetu. Nechápem ani to Pepove cez harmóniu. Nevadí. Ďakujem

Kenny | 18. 12. 2011 15:51:22

No jo no, řešil jsem to ve spěchu, tak jsem to stihl jen rozbít na "známá" tvrzení. Pochopí mé neelementární řešení i někdo jiný než Pepa? :)

Josef Tkadlec | 18. 12. 2011 12:36:34

Tak to Kennyho neelementární řešení je fakt pařba :D.

Podle mě úloha stojí na následujícím pozorování:
+ skrytý text

BÚNO $\textstyle AB$ vodorovně. Pak body $\textstyle S_1$ , $\textstyle C$ a $\textstyle S_2$ jsou všechny stejně vysoko.

Tohle je lehké, když už člověk ví, že to chce dokázat. Důvod třeba:
+ skrytý text

Stačí, že $\textstyle CS_2 \| AB$ . Jelikož $\textstyle B$ je na $\textstyle k$ "vpravo", je ze stejnolehlosti $\textstyle C$ na $\textstyle k_2$ "vlevo".

S tím už není problém úlohu spočítat (ala Kenny):
+ skrytý text

Umíme říct, jak moc je $\textstyle A$ od výšky "nalevo" a $\textstyle S_2$ napravo, takže umíme říct, jak "vysoko" $\textstyle AS_2$ tu výšku protne. Nemůže to nevyjít :).

Konkrétně: Z úseků k patám výšek a podobnosti máme $\textstyle |CS_2|=\frac{c}{2}\cdot \frac{b\cos\gamma}{c\cos\beta}$ a samozřejmě $\textstyle |AC_0|=b\cos \alpha$ . Poměr vychází $\textstyle A$ $\textstyle B$ symetricky, takže hotovo.

A nebo s trochou harmonického skillu dodělat synteticky:
+ skrytý text

Výška $\textstyle AN$ protne kružnici $\textstyle k_2$ "vpravo" (označme průsečík $\textstyle X$ ). Harmonickou čtveřici $\textstyle (\infty, C, S_2, X)$ promítneme z $\textstyle A$ na přímku $\textstyle MN$ . Bod $\textstyle \infty$ se zobrazí do průsečíku $\textstyle AB$ a $\textstyle MN$ , takže $\textstyle S_2$ se zobrazí do průsečíku $\textstyle MN$ a výšky z $\textstyle C$ .

Kenny | 18. 12. 2011 11:36:16

Ahoj,

tak mám dvě řešení, ovšem ani jedno není zcela uspokojivé.

i) Syntetické ale neelementární:

+ skrytý text

Velmi hrubá kostra:

0) + skrytý text

Body $\textstyle M$ , $\textstyle N$ , $\textstyle C$ jsou body, v nichž se stran dotýká vepsaná kružnice $\textstyle \triangle S_1S_2M_{AB}$ , kde $\textstyle M_{AB}$ je střed $\textstyle AB$

1)+ skrytý text

Pappova věta

2)+ skrytý text

Pokud paty dvou cevián leží stejně "vysoko", ty ceviány se protínají na těžnici.

3) + skrytý text

Známé tvrzení, že těžnice protíná spojnici bodů dotyku s vepsanou "nad" Ičkem

ii) Počítací

+ skrytý text

Ověřím Cevovu větu. Vše vyjádřím pomocí prvků trojúhelníka. V následujícím pořadí:
1) + skrytý text

Úseky, na něž výšky dělí obvod trojúhelníka

2) + skrytý text

Z podobností vyjádřím poloměry obou kružnic. ( $\textstyle AB || S_1S_2$ )

3) + skrytý text

Z dalších podobností vyjádřím, v jaké poměru jsem rozdělil strany $\textstyle AC$ a $\textstyle BC$ .

4)+ skrytý text

Dosadím, spočítám

Zvládne někdo rozluštit aspoň jedno moje řešení? Nebo najít lepší?

BakyX | 17. 12. 2011 22:03:34

Zdravím. Mohol by mi prosím niekto poradiť s touto pre mňa nezvládnuteľnou úlohou (vám odborníkom to zaberie tak 3 minúty). Ďakujem.

+ skrytý text

Je daný ostrouhlý trojuholník $ABC$ . Uvažujme kružnice $k$ zostrojenú nad priemerom $AB$ . Označme $M, N$ priesečníky $k$ s úsečkami $AC, BC$ . Uvažujme kružnicu $k_1$ (respektíve $k_2$ ), ktorá prechádza bodom $C$ a dotýka sa kružnice $k$ v bode $M$ (respektíve $N$ ). Stredy týchto kružníc označme $S_1, S_2$ . Označme $P$ priesečník priamok $AS_2, BS_1$ . Dokážte, že priamka $PC$ je výška trojuholníka $ABC$ .

Josef Tkadlec | 17. 12. 2011 13:24:36

Na podnět Mirka: čtverce o úlohu zpátky se neměly překrývat, jinak je to z hlavy už trochu těžší (je tam nějaké počítání). Jelikož už máme další úlohu, doplním k tamté pro úplnost metodu, jak se dá na výsledek pohodlně přijít.

+ skrytý text

Úhlopříčky $\textstyle AC$ a $\textstyle BF$ jsou rovnoběžné, takže obsah trojúhelníku $\textstyle ACF$ je stejný jako obsah trojúhelníku $\textstyle ACB$ , což je půlka prvního čtverce. Velikost druhého čtverce nerozhoduje.

Olin: To jsi asi na minulém sousu nebyl na Martinině přednášce o rozkladech ;) (v knihovně na http://mks.mff.cuni.cz/library/library.php?ca...).

Olin | org | 17. 12. 2011 00:06:24

Rado: Vzoreček jsem neznal, docela mne překvapil :)

Rado | 16. 12. 2011 21:17:11

Ahoj, narazil jsem na jednu nerovnost, o které myslím , že má moc hezké řešení (pokud znáte jeden vcelku jednoduchý vzoreček). Schválně, zkuste to: pro různá kladná čísla dokažte
$\dfrac{(a^2-b^2)^3+(b^2-c^2)^3+(c^2-a^2)^3}{(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3}>8abc$

Miroslav Olšák | org | 16. 12. 2011 19:19:49

Tak jestli jsem si to dobre predstavil, tak
+ skrytý text

2 (pokud se neprekryvaji) nebo 14

Ale je to z hlavy docela drsne. Nejakou dobu jsem nad tim premyslel a pak jsem si vsimnul, ze bod B je spolecny.

Josef Tkadlec | 16. 12. 2011 17:18:39

Narazil jsem na docela vtipnou geometrii, musím se podělit :).

V rovině jsou dány čtverce $\textstyle ABCD$ a $\textstyle BEFG$ tak, že $\textstyle A$ , $\textstyle B$ a $\textstyle E$ leží v přímce a $\textstyle C$ leží na úsečce $\textstyle BG$ . První čtverec má stranu délky 2, druhý 8. Z hlavy určete obsah trojúhelníka $\textstyle ACF$ .

Kuba | 14. 12. 2011 19:40:18

Jak se říká: "Když to nejde po zlým, zkusíme to po dobrým..." Bohužel mě ale žádné takové dobré řešení nenapadá. Ještě chci poděkovat všem, kteří se nějak dívali na mou úlohu a hlavně Mirkovi za krásné grafické znázornění.

Miroslav Olšák | org | 12. 12. 2011 23:02:33

Uz mi to beha rychleji, otestovano do p=200000033. Ta uloha nejak vzdoruje hrube sile :(

Miroslav Olšák | org | 12. 12. 2011 19:16:57

taky jsem trochu zkousel, a mam podobnou spatnou zpravu:
pokud prvocislo deli $2^n+1$ i $3^n+1$ , tak je vetsi nez 14200001. Tim toto testovani koncim, nicmene kdyby nekdo umel rychle (rychleji nez linearne) najit rad dvojky modulo p, dalo by se dostat do vyssich cisel.

Olin | org | 12. 12. 2011 18:30:30

Trochu jsem to zkoušel, bohužel mám jen špatnou zprávu:
$\operatorname{GCD}(2^n+1, 3^n+2) = 1$ pro $n \leq 500000$ .

Mark Daniel | 11. 12. 2011 22:36:05

BakyX: Takže sa nevynašiel. Asi neuspel s touto myšlienkou.
Keď hovoríš, že to ľahko overíš pomocou Euklidovho algoritmu, myslíš tým iba prípad, keď jedna zo zátvoriek je deliteľná číslom 25?

BakyX | 11. 12. 2011 21:52:26

Je to asi nový Fermat.

<< < 1 2 ... 24 25 26 ... 36 37 > >>

Kontakt

email	info (zavináč) prase.cz
pošta	Matematický korespondenční seminář KAM MFF UK Malostranské náměstí 25 118 00 Praha 1

Organizátoři

Matematický korespondenční seminář je organizovaný studenty Matematicko-fyzikální fakulty UK pod záštitou Informatického ústavu UK a Oddělení propagace a mediální komunikace MFF UK.

Partneři

Realizace projektu byla podpořena Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy

Matematický korespondenční seminář

Kalendář

Z naší fotogalerie

Kontakt

Organizátoři

Partneři