Chat Prasátek

Matematická sekce

Erik Ježek | 27. 5. 2022 20:04:00

Řešení 14:
+ skrytý text

Když za $b$ budeme dosazovat čísla od 0 do $p-1$ , tak dostaneme $p$ různých zbytků modulo $p$ , protože: Pro spor předpokládejme, že existují různá celá čísla $-1 < x,y < p$ , taková že $xq$ a $yq$ dávají stejný zbytek, pak ale musí platit, že $p$ dělí $q(x-y)$ a z toho že $p$ a $q$ jsou různá prvočísla, tak $p$ dělí $x - y$ , to ale už znamená $x = y$ , což je spor. Zbývá ukázat, že každý z těchto zbytků je menší než $(p-1)(q-1)$ , nebo je prvním větším číslem než tento součin, které dává stejný zbytek modulo $p$ jako $bq$ (proto je v následující nerovnosti na levé straně $-p$ ), pak bude jistě stačit zvolit $a$ nezáporně pro každé $k$ . Podmínku stačí ověřit pro nejvyšší $b$ , tedy pro $b = p - 1$ , pak chceme dokázat: $(p-1)q - p < (p-1)(q-1)$ , což ale triviálně platí a tím jsme hotovi

Zadání 15:
Mějme přirozená čísla $n, m, x$ , taková že splňují $n^n - m^n = x^2$ a čísla $n, m$ jsou nesoudělná. Dokažte že $n - m$ je druhou mocninou přirozeného čísla

Patrik Štencel | 22. 5. 2022 23:33:25

Řešení 13:
+ skrytý text

Rozdělme si políčka na rohová, okrajová(nepatří do nich rohová) a vnitřní. Rohová mají pouze 2 sousedy, takže nemůže být obarvené. Okrajové má 3 sousedy, takže všichni 3 musí být obarveni. Tabulka je konečná, takže se dostaneme k rohovému políčku, které nemůže být obarvené a tedy ani okrajové nemůže být. Nyní se podívejme na vnitřní políčka. Představme si, že tvoří nějaký mnohoúhelník, kde jeho úhly jsou násobky 90°. Představme si, že nějaký vnitřní úhel má 90°. To by znamenalo, že nějaké políčko má kolem sebe 2 čtverečky. To odporuje zadání, takže jeho jediné vnitřní úhly jsou 180°, 270°,360°(uvnitř). Pokud bychom šli po jeho vnějším obvodu(nepočítáme vnitřní záhyby), mohli bychom sečíst úhly na které narazíme. Pokud bychom brali ty úhly, které nejsou přímé a náš mnohoúhelník by měl n vrcholů, získali bychom tento součet jako n270°. Součet úhlů v mnohoúhelníku je (n-2)180°. Tedy náš útvar nemůže být mnohoúhelník, ale zároveň jediný útvar, který by to mohl být je mnohoúhelník. To je spor a tedy nejde to. (Alternativní metoda by spočívala, že půjdeme po obvodu a vždy budeme zabočovat o 90° na jednu stranu a na druhé straně se bude rozkládat náš obarvený mnohoúhelník. Nyní bychom potřebovali obalit náš mnohoúhelník tím, že uzavřeme jeho obvod. Problém by nastal v tom, že u každého takového uzavření by obarvená část nebyla uvnitř uzavřené části, ale venku(táhla by se do nekonečna/krajů(obojí nejde)).)

Zadání 14:
Mějme dvě prvočísla $p,q$ . Dokažme, že pro každé $k>(p-1)(q-1)$ lze $k$ zapsat jako $k=ap+bq$ pro nezáporná celá čísla $a,b$ .

Erik Ježek | 22. 5. 2022 20:24:20

Řešení 12:
+ skrytý text

Stačí zvolit $a = n^2$ , $b = n-1$ , pak rovnost jistě bude platit a jmenovatel zlomku bude vždy vyšší než 0 (z přirozenosti $n$ ).

Zadání 13:
Uvažme tabulku s $n$ řádky a $m$ sloupci. Lze tuto tabulku obarvit, tak aby každé obarvené políčko (existuje aspoň jedno) sousedilo s aspoň 3 jinými obarvenými políčky? (Políčko sousedí s jiným políčkem, pokud mají společnou stranu)

Matěj Doležálek | org | 15. 5. 2022 01:05:18

Řešení 11:
+ skrytý text

Pojmenujme středy $\textstyle \alpha$ , $\textstyle \beta$ , $\textstyle \gamma$ jako $\textstyle D$ , $\textstyle E$ , $\textstyle F$ a jejich společný bod označme $\textstyle O$ . Obě $\textstyle \beta$ , $\textstyle \gamma$ jsou osově souměrné podle $\textstyle EF$ , takže jejich druhý průsečík musí být obrazem $\textstyle O$ podle téhle osy -- můžeme tedy $\textstyle A$ alternativně pojmenovat jako $\textstyle O_d$ . Obdobně mějme $\textstyle O_e=B$ , $\textstyle O_f=C$ . Zjevně je $\textstyle O$ opsiště trojúhelníku $\textstyle DEF$ , ukažme, že opsištěm $\textstyle ABC$ je kolmiště $\textstyle H$ trojúhelníku $\textstyle DEF$ . Označíme-li jeho obrazy v osových souměrnostech podle stran $\textstyle DEF$ jako $\textstyle H_d$ , $\textstyle H_e$ , $\textstyle H_f$ , pak máme $\textstyle |HO_d|=|H_dO|$ , což je jen poloměr opsané kružnice $\textstyle DEF$ , protože $\textstyle H_d$ leží na kružnici opsané (to je známé). Tím je dokázáno, že $\textstyle H$ je středem kružnice opsané $\textstyle ABC$ a její poloměr je $\textstyle |H_dO|=|OD|$ , což je původní poloměr našich kružnic.

Zadání 12:
Je dáno přirozené číslo $\textstyle n>1$ . Dokaž, že lze zvolit přirozená $\textstyle a$ , $\textstyle b$ tak, že $\textstyle n^2+n+1=\frac{a^2+a+1}{b^2+b+1}$ .

Michal Janík | org | 14. 5. 2022 12:21:45

11:
Kružnice $\alpha, \beta, \gamma$ se stejným poloměrem se protínají v jednom bodě. Jejich další průsečíky jsou $A, B, C$ . Dokažte, že kružnice opsaná $ABC$ má stejný poloměr.

Michal Janík | org | 14. 5. 2022 12:18:36

Když už skončil myšmaš, mohli bychom zkusit obnovit maraton, ne? : D

Řešení 10:
+ skrytý text

Je známé, že $1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$ , nerovnost ze zadání můžeme upravit na $\left(\frac{(n+1)(2n+1)}6\right)^n\geq(n!)^2$ . Navíc $\frac{(n+1)(2n+1)}6=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n}=\frac{1^2+2^2+\cdots+n^2}n\geq \sqrt[n]{1^2\cdot2^2\cdots n^2}$ . Umocněním na $n$ -tou dostáváme přesně to, co jsme chtěli.

Kateřina Panešová | 7. 4. 2022 10:40:15

Ahoj! Jistě se už nemůžeš dočkat dvojité várky hintů, a to ke 3. jarní a 3. seriálové sérii!

Úloha 1. + skrytý text

Použij mocniny dvojky.

Úloha 2. + skrytý text

$\textstyle (a-b)(a+b) = a^2 - b^2$

Úloha 3. + skrytý text

Modulo 4.

Úloha 4. + skrytý text

Mocni a zbavuj se racionálních čísel.

Úloha 5. + skrytý text

Označ $\textstyle r = \sqrt{xy}$ , $\textstyle s = x+y$ a vyjádři v $\textstyle r$ a $\textstyle s$ rovnice ze zadání.

Úloha 6. + skrytý text

Dokresli PA a PB a hledej podobné trojúhelníky.

Úloha 7. + skrytý text

Podívej se na cestu délky L a délku cyklu, na němž leží první a poslední vrchol, označ jako K. Ukaž, že existuje cyklus délky alespoň $\textstyle \ell/K + K/2$ .

Úloha 8.+ skrytý text

Levou stranu zdola odhadni jako $\textstyle (n^2d-a^2)/2$ , kde a = dolní celá část z $\textstyle n\sqrt{d}$ .+ skrytý text

Vyluč malé hodnoty $\textstyle n^2d-a^2$ pomocí kvadratických zbytků pro vhodnou zbytkovou třídu d mod 20.

Úloha 1. + skrytý text

Rozepiš Eukleidův algoritmus pro $\textstyle m_1$ a $\textstyle m_2$ a všechny rovnosti vynásob $\textstyle n$ .

Úloha 2. + skrytý text

Použij Eukleidův algoritmus a všimni si, že Eukleidův algoritmus platí i u exponentů.

Úloha 3. + skrytý text

Všimni si, že součet a+b se zachovává a zároveň jsou obě čísla nezáporná. + skrytý text

Proto to nemůže skončit jinak, než že první číslo je nula a druhé je $\textstyle a+b$ .

+ skrytý text

Pokud se (a,b) změní na (c,d), tak NSD(c,d) dělí 2*NSD(a,b).+ skrytý text

Na konci tedy musí platit a+b dělí NSD(a,b)*2^k.

Áďa | org | 8. 3. 2022 09:20:28

Vrtá Ti stále hlavou nějaký příklad ze 2. jarní série? Nevěš ramena a prohlédni si hinty:
Úloha 1. + skrytý text

Zkus za většinu hledaných čísel zvolit jedničku.

Úloha 2. + skrytý text

$\textstyle a+24b$ musí být násobkem $\textstyle 11$ i $\textstyle 13$ .

Úloha 3. + skrytý text

V zápisu čísla zkus použít co nejvíc devítek.

Úloha 4. + skrytý text

Všimni si, že body $\textstyle B$ , $\textstyle C$ , $\textstyle H$ a $\textstyle I$ leží na kružnici.

Úloha 5. + skrytý text

Dokresli střed jedné úhlopříčky a uvaž střední příčky, které tím vzniknou.

Úloha 6. + skrytý text

Dvakrát si rozepiš rekurenci a potom rozlož na součin.

Úloha 7. + skrytý text

Nahlédni, že $\textstyle f$ musí být 3-periodická.+ skrytý text

Vyjádři dvěma způsoby $\textstyle ((p-1)!)^3$ .

Úloha 8. + skrytý text

Vyřeš zvlášť případ, kdy jedno z prvočísel je $\textstyle 2$ .+ skrytý text

Pokud jsou obě prvočísla lichá, najdi spor pomocí 2-valuace rozdílu $\textstyle p-q$ a řádů dvojky modulo $\textstyle p$ a $\textstyle q$ .

Áďa | org | 9. 2. 2022 11:38:55

Ahoj! Nepochybně i Ty netrpělivě vyhlížíš hinty k 1. jarní a 2. seriálové sérii. Zde jsou:
1j
Úloha 1. + skrytý text

Zkus párovat vybarvené a nevybarvené trojúhelníčky.

Úloha 2. + skrytý text

Chytře vyjádři $\textstyle -k^2+(k+1)^2$ .

Úloha 3. + skrytý text

Spočítej počet průsečíků.

Úloha 4. + skrytý text

Podívej se, kde může být n a n-1. Dokaž rekurenci.

Úloha 5. + skrytý text

Podívej se na rozdíl osamělosti sousedů.

Úloha 6. + skrytý text

Seřaď stromy podle výšky.

Úloha 7. + skrytý text

Přičti ke všem rovnicím 1. Nově získané rovnice vynásob. Použij AG nerovnost.

Úloha 8. + skrytý text

Uprav na $\textstyle \frac{1}{n-1}\leq \sum\frac{x_i^2}{1-a_i}$ .+ skrytý text

Použij Cauchy-Schwarzovu nerovnost.

2s
Úloha 1. + skrytý text

Použij indukci na $\textstyle n$ .+ skrytý text

V základním kroku ukaž, že rovnost platí pro $\textstyle n=1$ a všechna $\textstyle k$ neboli $\textstyle P(1,k)$ , v indukčním kroku ukaž implikaci $\textstyle P(N,k) \implies P(N+1, k)$ pro všechna $\textstyle k$ .

Úloha 2. + skrytý text

Pro první, druhý i třetí vztah použij indukci podle $\textstyle r$ . Nezapomeň zmínit, kde používáš vlastnosti již dříve dokázané v seriálu (např. komutativita násobení).

Úloha 3. + skrytý text

Přenásob $\textstyle y_{n+1}$ číslem $\textstyle (x_1 + x_2)$ a použij Vietovy vztahy.

Áďa | org | 12. 1. 2022 20:06:27

Lámeš si stále hlavu nad některými úložkami ze 4. podzimní série? Nová várka hintů Ti spěchá na pomoc.
Úloha 1. + skrytý text

Součet stupňů je menší než stupeň součtu.

Úloha 2. + skrytý text

Rozlož polynom na součin.

Úloha 3. + skrytý text

$\textstyle a-b \mid P(a) - P(b)$

Úloha 4. + skrytý text

$\textstyle P(x) = a_n \cdot (x-x_1) \cdot \dots \cdot (x-x_n)$

Úloha 5. + skrytý text

Ze zadaného vztahu zjisti součet $\textstyle a_1+a_2+\dots+a_n$ . + skrytý text

Pro $\textstyle n>2$ zjisti součet $\textstyle a_i\cdota_j$ pro všechna $\textstyle i, j$ , případ $\textstyle n\leq2$ rozeber zvlášť.

Úloha 6. + skrytý text

Podívej se na stupně polynomů. Ukaž, že P má kořen v 0.

Úloha 7. + skrytý text

$\textstyle P(n)$ nemůže mít velkého dělitele menšího než $\textstyle n$ .+ skrytý text

$\textstyle P(a)$ bude nutně dělit i nějaké další $\textstyle P(n)$ .

Úloha 8. + skrytý text

Na lichých mocninách nezáleží.+ skrytý text

$\textstyle a=-b \pmod{a+b}$ + skrytý text

Pokud máš víc než jeden člen se sudou mocninou, vyděl vhodnou mocninou $\textstyle b$ a polož rovnost.

Kateřina Panešová | 8. 12. 2021 18:49:36

Zdravím všechny příznivce hintů 3. podzimní a 1. seriálové série!
3p
Úloha 1. + skrytý text

Vytvořte dlouhý rovnoběžník a poté na něj postupně přidávejte zuby.

Úloha 2. + skrytý text

Vyberte průměr, a poté libovolný ze zbylých vrcholů. Vyřeště kvadratickou rovnici.

Úloha 3. + skrytý text

1,4,5,2,3,6

Úloha 4. + skrytý text

Dokresli úsečku $\textstyle AE$ a vyčísli úhly. + skrytý text

Ukaž, že trojúhelník $\textstyle AXE$ je rovnoramenný.

Úloha 5. + skrytý text

Uvažujte cykly vzniklé přeskakováním vždy o $\textstyle k$ vrcholů doprava. Všimněte si, že rozdíl počtu dvojic červených vrcholů po sobě a modrých vrcholů po sobě je roven rozdílu počtu červených a modrých vrcholů v cyklu.

Úloha 6.+ skrytý text

Ukažte, že kružnice se středem v A a poloměrem $\textstyle 1$ se dotýká úsečky $\textstyle EF$ . (Např. pomocí překlopení bodu $\textstyle B$ podél $\textstyle AE$ a $\textstyle C$ podél $\textstyle AF$ .)

Úloha 7. + skrytý text

Podívejte se na středové úhly jednotlivých tětiv kružnice. Musí být po dvou různé a dva vedlejší musí mít vždy celočíselný průměr.+ skrytý text

Pro $\textstyle n=20$ lze udělat konstrukce, pro $\textstyle n=19$ musíme volit celočíselné velikosti jednotlivých úhlů a do plného úhlu $\textstyle 360$ se nemůžou vejít.

Úloha 8. + skrytý text

Uvažujte cestičky vytvořené paralelním přesouváním úseček délky jedna podél dlaždiček libovolného dláždění. + skrytý text

Každé dvě cestičky, které nemají stejně orientované úsečky, se protínají právě na jednom místě a jednoznačně určují typ dlaždičky. Počet cestiček různých typů nezávisí na vydláždění.

1s
Úloha 1. + skrytý text

Indukce na n=počet prvků S.

Úloha 2. + skrytý text

Silná indukce pro n větší než 10, které zapiš jako 10a+b.

Úloha 3. + skrytý text

Ukaž, že pro sudý počet palačinek otočených spálenou stranou vyhrát nemůže, a naopak zkonstruuj strategii, podle které vyhraje, pokud je palačinek otočených spálenou stranou nahoru lichý počet. Silná indukce.

Kateřina Panešová | 7. 10. 2021 09:56:12

Ahoj! Jistě již netrpělivě očekáváte hinty k 1. podzimní sérii! Pro nové řešitele: Po termínu odeslání zveřejňujeme malé nápovědy k soutěžním úlohám, takže si můžete zkusit vyřešit i úlohy, u kterých jste si nevěděli rady :)
Umění
Úloha 1. + skrytý text

Opačná úhlopříčka

Úloha 2. + skrytý text

Slož dvě osové souměrnosti.

Úloha 3. + skrytý text

Nejbližší dva body

Úloha 4. + skrytý text

Vietovy vztahy a mocnost

Úloha 5. + skrytý text

8 a 7 nefungují; 5 a 6 nelze použít zároveň

Úloha 6. + skrytý text

Přesubstituuj do částečných součtů.

Úloha 7. + skrytý text

Dokresli středy $BC$ a $MK$ .

Úloha 8. + skrytý text

Dokresli přes trojúhelníky větší útvary, které se stále nebudou překrývat. + skrytý text

Rozšiř na šestiúhelník tak, aby se ani žádné dva šestiúhelníky nepřekrývaly.

Dominik Stejskal | 13. 5. 2021 03:36:46

Než dojde další ročník ke svému konci, je tu ještě jedna várka hintů ke 4. jarní sérii. :)

Úloha 1.
(a) + skrytý text

Ukaž, že body $\textstyle M$ , $\textstyle E$ , $\textstyle C$ a $\textstyle F$ leží na jedné kružnici.

(b) + skrytý text

Překlop body $\textstyle B$ a $\textstyle D$ po řadě podle úseček $\textstyle AE$ a $\textstyle AF$ a označ obrazy $\textstyle B$ , $\textstyle D$ . Ukaž, že $\textstyle A$ , $\textstyle B$ , $\textstyle D$ leží na přímce a $\textstyle B$ je rovnoběžník. + skrytý text

V rovnoběžníku se půlí úhlopříčky. Následně hledej shodné trojúhelníky.

Úloha 2.
(a) + skrytý text

V pravoúhlém trojúhelníku je poloměr kružnice vepsané = (odvěsna + odvěsna - přepona) / 2.

(b) + skrytý text

Rozděl vyhovující permutace na skupinky po $\textstyle p^2$ . + skrytý text

Pokud $\textstyle (a_1, a_2, \dots, a_p)$ vyhovuje, pak vyhovují i permutace tvaru $\textstyle (a_{1 + 1}, a_{2 + 1}, \dots, a_{p + 1})$ a $\textstyle (a_1 + 1, a_2 + 1, \dots, a_p + 1)$ , kde $\textstyle p + 1 = 1$ . + skrytý text

Rozmysli si, že opakovanou aplikací tohoto algoritmu lze dostat přesně permutace tvaru $\textstyle (a_{1 + k} + \ell, a_{2 + k} + \ell, \dots, a_{p + k} + \ell)$ , kde $\textstyle k, \ell \in \{0, 1, \dots, p - 1 \}$ a všechny indexy a hodnoty bereme modulo $\textstyle p$ mezi $\textstyle 1$ a $\textstyle p$ . Takto vyrobíme spoustu disjunktních skupinek vyhovujících permutací, které jsou velké nejvýše $\textstyle p^2$ . Které z nich jsou menší než $\textstyle p^2$ ? + skrytý text

Ukaž, že to jsou přesně permutace s konstantní diferencí $\textstyle d = a_{i + 1} - a_i$ pro všechna $\textstyle i \in \{2, 3, \dots, p\}$ .

Úloha 3.
(a) + skrytý text

Podívej se na cestu mezi políčky s čísly $\textstyle 1$ a $\textstyle n^2$ .

(b) + skrytý text

Kolik je kostiček potřeba k tomu, aby se už další nedala přiložit do jednoho čtverce $\textstyle 4\times 4$ ?

Úloha 4.
(a) + skrytý text

$\textstyle XY$ prochází středem čtverce.

(b) + skrytý text

Uvažme nejmenší kruh obsahující všechny body. Můžou všechny body na okraji být součástí jedné půlkružnice?

Úloha 5.
(a) + skrytý text

V některou hodinu budou u trezoru 3 orgové. + skrytý text

Jednoho z nich lze propustit.

Úloha 6.
(a) + skrytý text

Velká prvočísla by bylo potřeba spárovat s jedničkou. + skrytý text

Jde zařídit 12 celočíselných zlomků.

(b) + skrytý text

Jde to pro všechna $\textstyle n$ . Konstruuj $\textstyle n$ -tici induktivně. + skrytý text

Přidej nulu a ke všemu přičti vhodné číslo.

Úloha 7.
(a) + skrytý text

$\textstyle MN$ je těžnice v $\textstyle ANB$ i $\textstyle CMD$ .

(b) + skrytý text

Chceš dokázat $\textstyle \frac{|AX|}{|AY|}=\frac{|BX|}{|BY|}$ . + skrytý text

$\textstyle XY$ a společné tečny z bodů $\textstyle A$ , $\textstyle B$ se protínají v jediném bodě $\textstyle T$ .

Kateřina Panešová | 14. 4. 2021 10:39:28

Dvojitá dávka čerstvých hintů k 3. jarní a 3. seriálové sérii!

Úloha 1.+ skrytý text

Rovnoramenný trojúhelník. + skrytý text

Úhel $\textstyle 120^\circ$ .

Úloha 2.+ skrytý text

Spočítej celkový počet stran trojúhelníků na obvodu n-úhelníku.

Úloha 3.+ skrytý text

Uvaž trojúhelníky o straně dva.

Úloha 4.+ skrytý text

$\textstyle BI$ , $\textstyle CI$ jsou výšky v trojúhelníku $\textstyle BCM$ .

Úloha 5.+ skrytý text

Vyúhli, že trojúhelníky $\textstyle ACK$ a $\textstyle DEL$ jsou shodné.+ skrytý text

Využij úsekové úhly.

Úloha 6.+ skrytý text

$\textstyle O$ leží na $\textstyle AX$ .+ skrytý text

$\textstyle OO_1$ i $\textstyle CX$ jsou kolmé na $\textstyle XY$ .

Úloha 7.+ skrytý text

Dokresli $\textstyle K$ průsečík $\textstyle DF$ a $\textstyle \omega$ .+ skrytý text

Trojúhelníky $\textstyle KBC$ a $\textstyle ANM$ jsou podobné s SUS.

Úloha 8.+ skrytý text

Počítejte obsah doplňku trojúhelníku $\textstyle CPQ$ vzhledem ke kosočtverci $\textstyle ABCD$ .+ skrytý text

Ukažte, že hledaná nezávislost je ekvivalentní tomu, že hodnota $\textstyle |AP|*|BQ|$ nezávisí na poloze $\textstyle P$ .+ skrytý text

Překlopte body $\textstyle P$ , $\textstyle Q$ podle úsečky $\textstyle AB$ na body $\textstyle P$ , $\textstyle Q$ .+ skrytý text

Ukažte, že body $\textstyle P$ , $\textstyle Q$ , $\textstyle P$ , $\textstyle Q$ a střed $\textstyle O$ kosočtverce $\textstyle ABCD$ leží na jedné kružnici.+ skrytý text

$\textstyle O$ je Švrčkův bod trojúhelníku $\textstyle PQP$ .+ skrytý text

Nezávislost prokažte pomocí mocnosti z $\textstyle A$ .

Úloha 1.+ skrytý text

Nejprve vyřeš prvočíselné mocniny, potom použij Čínskou zbytkovou větu.

Úloha 2.+ skrytý text

Zkus jako prvky krutopřísné posloupnosti použít 1 a prvočíslo p.+ skrytý text

Pro důkaz ireducibility se na to podívej mod p.

Úloha 3.+ skrytý text

3. Zvol $\textstyle z = \phi(x)$ .+ skrytý text

Použij $\textstyle x-a \mid f(x)-f(a)$ .

Dominik Stejskal | 13. 3. 2021 23:37:52

Nové hinty ke druhé jarní sérii jistě pomůžou rozbít i ty odolnější úlohy...

Úloha 1. + skrytý text

Co umíš říct o $a + b + c$ ?

Úloha 2. + skrytý text

Šimpanzovi naproti Radečkovi dej co nejvíce banánů.

Úloha 3. + skrytý text

Rozlož povrch čtyřstěnu na síť. + skrytý text

Nahlédni, že Pavel si nepomůže přecházením přes více hran.

Úloha 4. + skrytý text

Rozdíl základů pátých mocnin by musel dělit $p$ .

Úloha 5. + skrytý text

V kolika takových dvojicích je na začátku každá karta?

Úloha 6. + skrytý text

Počítej modulo $d-1$ .

Úloha 7. + skrytý text

Čísla lze vydělit jejich společným dělitelem. + skrytý text

Dívej se na čísla modulo 2. Co se stane po dvou krocích?

Úloha 8. + skrytý text

Vyhovují právě dvojice splňující $p = q \neq 2$ . + skrytý text

Zkoumej řád $2p^2 - 1$ modulo $p+q$ .

Lenka Kopfová | org | 25. 2. 2021 18:42:36

Ahoj,
pokud chceš potrénovat před celostátkem nebo si jen započítat pro radost je zde nová série TRiKSka http://iksko.org/triks/current.php. Pokud nevíš, co je TRiKS, můžeš se kouknout do pravidel pro bližší info http://iksko.org/triks/pravidla.pdf. Navíc máme exkluzivní nabídku - vítěz každého dalšího TRiKS získá TRiKS šátek!

Lenka Kopfová | org | 23. 2. 2021 14:50:01

Řešení 9:
+ skrytý text

Uvažujme stejnolehlosti z bodů $P, Q$ , které zobrazují $k_1$ resp. $k_2$ na $k$ . První stejnolehlost zobrazuje $A\mapsto M, D\mapsto N$ a druhá zobrazuje $B\mapsto M, C\mapsto N$ . Tedy platí $AD\parallel MN\parallel BC$ . Dále si všimněme, že $XY$ je chordála kružnic $k_1, k_2$ , tedy $|MA|\cdot |MP| = |MB|\cdot |MQ|$ , takže $APQB$ je tětivový. Obdobně i $DPQC$ je tětivový. Odtud $|\sphericalangle BCD| = 180^{\circ} - |\sphericalangle QCB|-|\sphericalangle DCN| = 180^{\circ} - |\sphericalangle QNM|-|\sphericalangle NPQ| = 180^{\circ} - |\sphericalangle QNM|-|\sphericalangle NMQ| = |\sphericalangle NQM|$ . Jinak řečeno $CD$ je tečna $k_2$ (tedy i ke $k_1$ ) a obdobně $AB$ je společná tečna $k_1,k_2$ . Takže $|\sphericalangle BCD|=|\sphericalangle MQN| = 180^{\circ}-|\sphericalangle MPN| = 180^{\circ}-|\sphericalangle BAD|$ , tedy $ABCD$ je tětivový, navíc $AD\parallel BC$ , takže se jedná o rovnoramenný lichoběžník a $|AB|=|CD|$ .

10:
Dokaž, že pro každé přirozené číslo $n$ platí:
$(2n^{2}+3n+1)^{n}\geq 6^{n}(n!)^2$

šimon | 22. 2. 2021 14:03:57

Dobrý den, potřeboval bych vypočítat tento příklad i s řešením: Jestliže zvětšíme jednu stranu čtverce o 20 cm a sousední stranu zmenšíme o 6 cm, dostaneme rozměry obdélníku, který má obsah 1,4krát větší než obsah původního čtverce. Určete délku jeho strany. Předem děkuji. Počítání s kvadratickými rovnicemi

Kateřina Panešová | 11. 2. 2021 12:50:13

Ahoj! Čeká na vás dvojitá várka hintů, a to k 1. jarní a 2. seriálové sérii!

1. jarní série
Úloha 1.+ skrytý text

Všichni mají stejnou pravdomluvnost.

Úloha 2.+ skrytý text

Přelož si všechna tvrzení mudrců do tvaru "je mezi námi tolik a tolik pravdomluvců".

Úloha 3.+ skrytý text

Zkus nejdřív menší čtverec 5x5.

Úloha 4.+ skrytý text

Nahlédni, že celá trasa paprsku musí být středově souměrná. + skrytý text

Jaký bod je potom přesně v polovině trasy?

Úloha 5.+ skrytý text

Můžou vedle sebe sedět dva kluci? + skrytý text

Jaké posloupnosti dívek a chlapců lze sestavit? + skrytý text

Podívej se na to modulo 3.

Úloha 6.+ skrytý text

Pro sudá n využij $\textstyle k^2-1 = (k-1)(k+1)$ . + skrytý text

Pro lichá n se podívej modulo 8 na sudá a, b.

Ůloha 7.+ skrytý text

Ukaž, že pro $\textstyle k\leq 12$ dokáže Pavel vybrat všechny pěšce. + skrytý text

Důkaz sporem a Dirichletův princip.

+ skrytý text

Najdi konstrukci pro $\textstyle k=13$ .

Úloha 8.+ skrytý text

Vyjde, že takové $n$ existuje.
+ skrytý text

Uvažuj 2021 záhadných čísel tvaru $x^2 + 1^2$ až $x^2 + 4041^2$ .
+ skrytý text

Abys zajistil/a nesoudělnost, vzpomeň si na úlohy s hledáním čísla nesoudělného s nějakými malými čísly, kde jde zvolit faktoriál malých čísel + 1.+ skrytý text

Zvol $x = A + 1$ , kde $A$ je liché a dělitelné všemi lichými čísly od $3$ do $4041$ .

+ skrytý text

Následně ukaž, že pro libovolné sudé číslo tvaru $(A + 1)^{2} + \ell$ mezi nimi už musí být $x, y$ splňující $(A + 1)^{2} + \ell = x^{2} + y^{2}$ soudělná.
+ skrytý text

Pro $4 \mid \ell$ se stačí podívat na rovnici modulo $4$ .

+ skrytý text

Pro $\ell \equiv 2 \pmod 4$ by stačilo, aby existovalo prvočíslo $p$ tvaru $4k + 3$ , které dělí $x^{2}+y^{2}$ . Potom totiž $p$ dělí jak $x$ , tak $y$ . Jak najít takové $p$ ?
+ skrytý text

V tomto případě existuje něco, co je určitě tvaru $4k + 3$ . Pak stačí zvolit libovolné prvočíslo tvaru $4k + 3$ , které dělí to něco.
+ skrytý text

Konkrétně $\ell + 1$ je tvaru $4k + 3$ . Tedy už stačí jen zajistit, aby $p$ dělilo $(A + 1)^{2} + \ell$ . Jak můžeme definovat $A$ , aby to bylo splněno?
+ skrytý text

Ukaž, že $A = 3\cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot \dots \cdot (4041^{2} - 2).$ vyhovuje.

2. seriálová série
Úloha 1.+ skrytý text

Použij malou Fermatovu větu. + skrytý text

V druhé kongruenci umocni na druhou a získej $\textstyle p\mid \text{konstanta}$ .

Úloha 2.+ skrytý text

Fundamentální jednotka je $\textstyle a+\sqrt{a^2+1}$ . + skrytý text

$\textstyle x+y\sqrt{a^2+1}$ bude její mocninou se sudým exponentem. + skrytý text

Rozepiš binomickou větu a posbírej racionální členy -- skoro všechny jsou násobky $\textstyle a^2$ .

Úloha 3.+ skrytý text

Dívej se v $\textstyle \Bbb Z$ a rozmysli si, že $\textstyle x+yi$ je $\textstyle k$ -tá mocnina. + skrytý text

Interpretuj podmínku $\textstyle p \mid xy(x^2-y^2)$ jako multiplikativní množinu v $\textstyle \Bbb Z/(p)$ . + skrytý text

Tato multiplikativní množina má $\textstyle 4(p-1)$ prvků, zatímco $\textstyle k = \frac{p+1}4$ .

Dominik Stejskal | 15. 1. 2021 01:06:53

Nový rok přináší spoustu zajímavých věcí, jako třeba hinty ke 4. podzimní sérii! :)

Úloha 1. + skrytý text

$6+8<10\sqrt{2}$ ,
$6^2 + 8^2 = 10^2$ .

Úloha 2. + skrytý text

Podívej se na dvojici s minimální vzdáleností. + skrytý text

Buď je některý zasažen dvakrát, nebo je můžeš odebrat.

Úloha 3. + skrytý text

Kolik červených bodů může být ve vzdálenosti přesně 1 od jednoho daného červeného bodu?

Úloha 4. + skrytý text

Dokresli si středy úseček $AB$ a $CD$ a úhlením hledej podobné (a shodné) trojúhelníky.

Úloha 5. + skrytý text

Body $K, L, M, N$ leží na ose $OP$ . + skrytý text

Úhly $OAP$ a $PCO$ se rovnají. Ukaž, že kružnice $AOP$ a $COP$ mají stejný poloměr.

Úloha 6. + skrytý text

Uvažuj všech 100 rotací, které zobrazí 100-úhelník na sebe. + skrytý text

Kolikrát se zobrazí modrý vrchol na červený?

Úloha 7. + skrytý text

Dokresli bod $C$ překlopený přes $E$ . + skrytý text

Přenášej délky pomocí rovnoběžek a kolmic.

Úloha 8. + skrytý text

Odhadni dvěma způsoby počet rovnoramenných trojúhelníků.

<< < 1 2 3 ... 36 37 > >>

Kontakt

email	info (zavináč) prase.cz
pošta	Matematický korespondenční seminář KAM MFF UK Malostranské náměstí 25 118 00 Praha 1

Organizátoři

Matematický korespondenční seminář je organizovaný studenty Matematicko-fyzikální fakulty UK pod záštitou Informatického ústavu UK a Oddělení propagace a mediální komunikace MFF UK.

Partneři

Realizace projektu byla podpořena Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy

Matematický korespondenční seminář

Kalendář

Z naší fotogalerie

Kontakt

Organizátoři

Partneři