Chat Prasátek

Matematická sekce

Jakub Krásenský | org | 24. 3. 2013 14:20:49

Pozor! Oprava zadání!

Změnilo se zadání šesté úlohy Myšmaše. Deltoid musí být konvexní čtyřúhelník. Tak si stáhněte aktuální zadání a ukažte čtyřúhelníkům, zač je toho loket! http://mks.mff.cuni.cz/common/show.php?title=...

Filip Hlásek | org | 17. 2. 2013 00:18:42

Jak se výtah pohyboval v sedmé úloze nedávno odeslané série si můžete vyzkoušet zde:
https://mks.mff.cuni.cz/hlavni_strana/vytah.swf
Této vychytávce dalo vzniknout mnoho PraSečích orgů...

Míša úlohu navrhla,
Martina klikátko nakódila,
Šavlík poradil,
Mirek to potom hodil na web,
Pepa mě přemluvil,
abych sem o tom nakonec napsal...

Jak se vám to líbí?
+ skrytý text

Tak vidíte jak to v PraSeti funguje:
nejstarší už jenom radí,
trochu méně staří přemlouvají ostatní,
ti nejproduktivnější makají,
a zelenáči tvoří...

Matěj Konečný | 13. 2. 2013 14:06:15

Děkuju moc :). Je to zajímavý řešení, ale nikdy bych na to nepřišel.

Kenny | 13. 2. 2013 13:46:22

Zdravím,

je to vcelku známý výsledek už z dob Leonharda Eulera.

Více tu.

+ skrytý text

http://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_theorem_...

Matěj Konečný | 12. 2. 2013 23:09:41

Narazil jsem na zajímavou úlohu:

Známe poloměry opsané i vepsané kružnice obecného trojúhelníku. Jaká je vzdálenost jejich středů?

Vůbec jsem s ní nehnul, pomůže mi někdo tady? :)

Pozn: Vůbec nevím, jestli je tímto ta vzdálenost jednoznačně definována. Pokud ne, pomohla by třeba informace, že je trojúhelník pravoúhlý? Rovnoramenný?

Kristýna | 11. 2. 2013 18:30:44

Řešení normálně posílám poštou a teď jsem zjistila, že mi k úloze 4 zůstal na stole obrázek, který je u mého k řešení nutný. Pošta zavřela... :( Chtěla bych to tedy ještě dnes ten dodatek poslat elektronicky, bylo by možné, aby mi někdo z orgů ještě dnes umožnil elektronické odesílání, anebo můžu to někomu z orgů poslat přes e-mail?

Jirka Guth | 9. 2. 2013 20:33:03

Hezky, díky Mirku, že sis dal takovou práci.
Co se týče počátečních podmínek, tak je y = konst. a y' = konst.
Nechci moc prozrazovat, protože jsem to plánoval jako součást řešení jednoho příkladu ve Fykosu a nechci si připadat tak, jako že na Makosí chat chodím pro řešení Fykosu, ale jak tak na to koukám, asi to vymyslím jinak.

Xellos | 9. 2. 2013 19:20:25

Co tak fyzikalne riesenie "tipnem si ze to bude mocninova funkcia a dosadenim zistim koeficienty"? :D

Mirek Hanzelka | 9. 2. 2013 16:19:52

Hezký trik s tím snížením řádu pomocí převedení na soustavu rovnic, to si musím zapamatovat :)
Vychází to úplně stejně jako předtím, ale k rovnici
$\frac{dy}{dt} = \pm \sqrt{- \frac{2}{y(t)}}$
se dojde mnohem rychleji. Obor hodnot je pořád omezený na záporná čísla, nemusím už ale zavádět podmínku
$\frac{2}{y(a)} = -(y$
Nicméně, když už jsem ji zmínil, nešlo by pro nějaké rozumné funkce ukázat, že
$\forall y(x), H_f = \mathbb{R}^{-}, y$

Vejtek | 9. 2. 2013 14:09:31

Ad Mirek H. a Jirka G.: Zkuste převést rovnici na soustavu dvou rovnic (tím snížíme řád).
+ skrytý text

$y$
$x$

V dalším kroku vyřešíme závislost y na x, tj. najdeme y(x).
+ skrytý text

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=xy^2$ a vyřešíme separováním proměnných.

Dosadíme zpátky do druhé rovnice a tu už snad dopočítáme.

(Přiznávám, že jsem si to nezkoušel, kdyžtak napište, co vyšlo [o:)

Mirek Hanzelka | 9. 2. 2013 11:25:38

Řešením by mohlo být například $y(x) = -\sqrt[3]{\dfrac{9}{2}x^2}$ , ale záleží to na počátečních podmínkách, které jsi neudal.

K tomu řešení jsem dospěl následujícím způsobem:
+ skrytý text

$y$
kde $y \neq 0$ , a tedy ani žádné vyšší derivace. Zjevně platí
$((y$
po dosazení do zadání
$(y$
Pokud bychom chtěli tuto rovnici řešit integrací od a do x, tedy
$(y$
dostaneme po vyřešení integrálu
$\int \frac{2y$
rovnici
$(y$
Kdyby existovala podmínka ve tvaru
$\frac{2}{y(a)} = - (y$
např. $y(a) = -2, y$ , vyjde nám diferenciální rovnice
$(y$
kterou už vyřešíme separací proměnných. Pouze si všimneme, že pravá strana vyžaduje $H_f = \mathbb{R}^{-}$ , pokud nehledáme v oboru komplexních čísel. Řešíme rovnici:
$\frac{dy}{dx} = \sqrt{-\frac{2}{y}}$
$\sqrt{-\frac{y}{2}}dy = dx$
$x = \int_a^x \sqrt{-\frac{y}{2}} dy = \frac{2}{3\sqrt{2}}(-y(x))^{3/2} - \frac{2}{3\sqrt{2}}(-y(a))^{3/2}$
$y(x) = - \sqrt[3]{\dfrac{9}{2}\left(x + \frac{2}{3\sqrt{2}}(-y(a))^{3/2}\right)^2}.$
Zkouška, pro zjednodušení píšeme $\frac{2}{3\sqrt{2}}(-y(a))^{3/2} = c$ :
$y^2 = \sqrt[3]{\left(\frac{9}{2}\right)^2}(x + c)^{4/3}$
$y$
$y$

Není to asi úplně korektní postup, obzvlášť ta část s omezením oboru hodnot se mi moc nelíbí, ale nic lepšího mě nenapadá. Snad ti časem odpoví někdo povolanější.

Jirka Guth | 8. 2. 2013 22:51:45

Ahoj, prosím vás, mám jednoduchý dotaz: Má diferenciální rovnice y^2 = 1/(y'') řešení? Děkuji.

Miroslav Olšák | org | 29. 1. 2013 01:06:19

Už máme vzoráky páté série iKSka. Vážně byly N5 a C5 tak těžké?
http://www.kms.sk/iks/files/vzorak05.pdf

Miško | org | 17. 1. 2013 15:25:17

Caute, nahodou som narazil na tento link s nie az tak znamymi lahko formulovatelnymi otvorenymi problemami: http://mathoverflow.net/questions/100265/not-...

Štěpán | 8. 1. 2013 07:08:37

K pětce: A věděli jste, že podmínka, že K,L,M jsou středy stran je také zbytečně silná? (stačí podmínka, že K,L,M, leží na BC,CA,AB a KL||BA,KM||CA). Rozmyslete si ;-) (věřím že spoustu z vás řeší úlohu bez využití této silné podmínky)

Miroslav Olšák | org | 8. 1. 2013 00:27:22

K pětce: Víte, že podmínka tečny k opsané kružnici je zbytečná?
+ skrytý text

Je to jediný neafinní pojem v úloze. Čili pokud obrázek zkosíme či roztáhneme, vše ostatní bude stále platit, jen ta tečna už nebude tečnou.

K sedmičce: Věru snadné, že?
+ skrytý text

http://www.olsak.net/mirek/sedmicka_dvakrat.html

Miroslav Olšák | org | 17. 12. 2012 20:25:51

Takové ordinály... Že bych napsal seriál na TeMno? :-)

Narozdíl od Vejtka budu shovívavější ke zvídavému řešiteli: Vskutku už není. Pokud uvážíme tabulku, která má ještě jeden další řádek na pozici $\omega$ (pozice "nekonečno"), tak obarvení ze vzoráku fungovat nebude. Tím ale nechci říct, že by vzorové řešení bylo špatně (viz Vejtkova odpověď).

Jinak, má ta úloha částečně nekonstruktivní řešení, které má tu výhodu, že funguje i na všelijaké obměny:
+ skrytý text

Všech řádků a sloupců je dohromady spočetně (viz http://cs.wikipedia.org/wiki/Spo%C4%8Detn%C3%... ) To znamená, že si je můžeme uspořádat do posloupnosti. Začneme s neobarvenou tabulkou a v každém kroku se podíváme na jeden řádek nebo sloupec naší posloupnosti. Je-li to řádek, obarvíme všechna dosud neobarvená políčka na modro, je-li to sloupec, na žluto. V každém kroku zajistíme pro příslušný řádek/sloupec, že pro něj bude splněna podmínka. Protože do té doby uběhlo pouze konečně kroků, je pouze konečně políček v daném řádku/sloupci obarvených špatně. Na "konci" (pozici $\omega$ ;-) ) tohoto procesu budou všechna políčka obarvena a všechny řádky a sloupce splňovat zadání.

Vejtek | 17. 12. 2012 18:18:39

Obávám se, že v kontextu úlohy není tato otázka relevantní, neboť cílem je obarvovat čtverečky (nebo body) sítě $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ (neboli $(\omega^*+\omega)\times(\omega^*+\omega)$ ), kde se takový řádek nevyskytuje (jelikož $\omega\notin\omega$ ). Je možné si však tuto otázku položit pro síť, kde $\omega$ nahradíme $\omega+1$ . Není však těžké si rozmyslet, že místo $\omega$ lze vzít libovolný spočetný ordinál a úloha dopadne stejně, neboť na typu uspořádání nesejde.

Matěj Konečný | 17. 12. 2012 16:25:09

Dotaz ke čtyřce: Je v řádku č. $\omega$ při řešení podle vzoráku pořád konečně mnoho žlutých čtverečků? (Úlohu jsem vyřešil, kardinálům nerozumím - do mě)

Miroslav Olšák | org | 16. 12. 2012 12:35:53

Kdo osmičku pochopí dřív než Rado, má u mne plus. Dá se to do deseti minut ;-)

<< < 1 2 ... 15 16 17 ... 35 36 > >>

Kontakt

email	info (zavináč) prase.cz
pošta	Matematický korespondenční seminář KAM MFF UK Malostranské náměstí 25 118 00 Praha 1

Organizátoři

Matematický korespondenční seminář je organizovaný studenty Matematicko-fyzikální fakulty UK pod záštitou Informatického ústavu UK a Oddělení propagace a mediální komunikace MFF UK.

Partneři

Realizace projektu byla podpořena Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy

Matematický korespondenční seminář

Kalendář

Z naší fotogalerie

Kontakt

Organizátoři

Partneři