Chat Prasátek

Matematická sekce

David Hruška | org | 17. 9. 2013 00:24:49

Ahoj,
Řešení problému 2 (stručné):
+ skrytý text

Podle jedné ze základních vlastností bodu S (v českých zemích známějšího jako "Š" :-) je čtyřúhelník $AQPD$ , kde $D$ je průsečík $BC$ s $AS$ , tětivový (dá se vyúhlit). Proto $\angle AQS=\angle SDP$ . Z mocnosti bodu $S$ k $(QPC)$ a zmíněné vlastnosti plyne $SC^{2}=SP\cdot SQ$ . Podle další základní vlastnosti bodu $S$ platí $SC=SB=SI$ , tedy i $Si^{2}=SP\cdot SQ$ . Proto je $SI$ tečna k $(IPQ)$ a $\angle SIP=\angle IQS$ (úsekový úhel). Čili $\angle AQI=\angle AQS-\angle SQI=\angle SDP-\angle DIP=\angle IPD=90°$ , což jsme měli dokázat.

Problém 3:
Pro nějaká nenulová $a,b,c$ platí $a+1/b=b+1/c=c+1/a$ . Dokažte, že $\vert abc\vert=1$ .

BakyX | 15. 9. 2013 19:23:44

Skvelá myšlienka.

Riešenie problému 1:

+ skrytý text

Pre $\textstyle x=y=1$ dostávame odhad $\textstyle p \ge 1$ . Dokážeme, že všetky také $\textstyle p$ vyhovujú.

$\frac{x^3+py^3}{x+y} \ge \frac{x^3+y^3}{x+y}=x^2-xy+y^2 \ge xy$ ,

nakoľko $\textstyle x^2-xy+y^2-xy=(x-y)^2 \ge 0$ .

Problém 2: (známa a pekná lemma)

V trojuholníku $\textstyle ABC$ označme $\textstyle I$ stred kružnice vpísanej, $\textstyle P$ pätu kolmice z $\textstyle I$ na $\textstyle BC$ a $\textstyle S$ stred oblúka $\textstyle BC$ kružnice $\textstyle (ABC)$ neobsahujúceho $\textstyle A$ . $\textstyle SP$ pretína $\textstyle (ABC)$ znova v $\textstyle Q$ . Dokáž $\textstyle \angle AQI=90^\circ .$

Rado | 15. 9. 2013 09:39:15

Všimli jste si, jak je matematická sekce chatu neskutečně zamrzlá? Bezmála pět měsíců se tu neobjevil ani jeden příspěvek! A přestože za skoro dva a půl roku běhu nasčítala 22 stran, poslední rok zabírá jen o trošku více, než dvě strany!

Cítím se plný akce a tak to tu chci zase trošku rozproudit. Co byste říkali na maramaton (matematický maraton)? Systém je jednoduchý - vyřeším příklad a napíšu zadání nového, případně napíšu "Neznám nic neprofláklého, někdo napište zadání za mne!" (asi netřeba připomínat, ať nepíšete jako příklady zadání aktuálních soutěží) Tak schválně, jestli se toho někdo chytne :)

Příklad 1 (lehký, rozjezdový):
Najděte všechna reálná $p$ taková, že ${x^3+py^3\over x+y}\ge xy$ pro všechna kladná $\textstyle x,y$

(P.S.: schovávejte řešení)

Martina Vaváčková | org | 17. 4. 2013 19:18:14

@Nicholas: Promiň, to je moje chyba, Tvou úlohu jsem přehlédla. Už je to ve výsledkovce opraveno.

Miroslav Olšák | org | 16. 4. 2013 22:08:22

Je to tak, reseni Kristyny Ilievove jsem opravoval dodatecne (ja jsem ten, kdo ji dal tu nulu).

Jakub Krásenský | org | 16. 4. 2013 21:56:26

Ahoj,

příslušní opravovatelé mě doplní, jestli jde opravdu o tvůj připad, Kristýnko, ale některá poštou posílaná řešení nám přišla dost pozdě. Takže rychlejší z opravovatelů si mohli myslet, že už mají všechno hotovo...

Nicholasi, tvoji úlohu taky máme a podíváme se na ni.

Zdravím.

Nicholas | 16. 4. 2013 19:38:07

Mám totéž s úlohou číslo 7 (zasláno elektronicky), mám to pouze proškrtnuté. Nicméně, nijak mi to nevadí, překvapil by mě i jediný získaný bod.

Kristy | 16. 4. 2013 15:54:18

Teď koukám, že jsem to napsala pomalu jako anomym, protože jsem se nepodepsala celý jménem, tak tady je: Kristýna Ilievová

Kristý | 16. 4. 2013 14:53:35

Ahoj,
trošku mě udivuje, že jsem vám z třetí jarní série posílala příklady 1,2,4,6 a bodové hodnocení mám pouze u šestky, ačkoliv příklady 1 a 4 jsou podle proškrtnutí už uzavřené a přitom na podacím lístku mám vytištěnou váhu, která odpovídá tomu, že v obálce byli 4 listy A4, tudíž se nemohlo stát, že bych je zapoměla vložit do obálky. Prosím o vysvětlení. Děkuju

Alena Skálová | 14. 4. 2013 18:28:32

Ahoj,

já čerpám většinu svých znalostí o kuželosečkách ze skript Pavla Pecha (https://www.pf.jcu.cz/stru/katedry/m/knihy/Ku...). Prolíná se v nich analytický a syntetický přístup, analytiky je mnohem víc, ale něco k syntetice tam také najdeš (hlavně v prvních čtyřech kapitolách). Jsou to sice vysokoškolská skripta, ale právě ty syntetické části jsou myslím pochopitelné i "středoškolsky".

byk7 | 13. 4. 2013 17:13:30

Zdravím,

nevíte/nemáte materiály o syntetickém zkoumání a vlastnostech kuželoseček? Tím mám na mysli hlavně paraboly, hyperboly a elipsy.

Budu rád za každý materiál.

díky.

Martin Töpfer | org | 29. 3. 2013 12:12:26

Pozor! Oprava zadání!

V zadání sedmé úlohy Myšmaše má být suma od 1 do n.
http://mks.mff.cuni.cz/common/show.php?title=...

Jakub Krásenský | org | 24. 3. 2013 14:20:49

Pozor! Oprava zadání!

Změnilo se zadání šesté úlohy Myšmaše. Deltoid musí být konvexní čtyřúhelník. Tak si stáhněte aktuální zadání a ukažte čtyřúhelníkům, zač je toho loket! http://mks.mff.cuni.cz/common/show.php?title=...

Filip Hlásek | org | 17. 2. 2013 00:18:42

Jak se výtah pohyboval v sedmé úloze nedávno odeslané série si můžete vyzkoušet zde:
https://mks.mff.cuni.cz/hlavni_strana/vytah.swf
Této vychytávce dalo vzniknout mnoho PraSečích orgů...

Míša úlohu navrhla,
Martina klikátko nakódila,
Šavlík poradil,
Mirek to potom hodil na web,
Pepa mě přemluvil,
abych sem o tom nakonec napsal...

Jak se vám to líbí?
+ skrytý text

Tak vidíte jak to v PraSeti funguje:
nejstarší už jenom radí,
trochu méně staří přemlouvají ostatní,
ti nejproduktivnější makají,
a zelenáči tvoří...

Matěj Konečný | 13. 2. 2013 14:06:15

Děkuju moc :). Je to zajímavý řešení, ale nikdy bych na to nepřišel.

Kenny | 13. 2. 2013 13:46:22

Zdravím,

je to vcelku známý výsledek už z dob Leonharda Eulera.

Více tu.

+ skrytý text

http://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_theorem_...

Matěj Konečný | 12. 2. 2013 23:09:41

Narazil jsem na zajímavou úlohu:

Známe poloměry opsané i vepsané kružnice obecného trojúhelníku. Jaká je vzdálenost jejich středů?

Vůbec jsem s ní nehnul, pomůže mi někdo tady? :)

Pozn: Vůbec nevím, jestli je tímto ta vzdálenost jednoznačně definována. Pokud ne, pomohla by třeba informace, že je trojúhelník pravoúhlý? Rovnoramenný?

Kristýna | 11. 2. 2013 18:30:44

Řešení normálně posílám poštou a teď jsem zjistila, že mi k úloze 4 zůstal na stole obrázek, který je u mého k řešení nutný. Pošta zavřela... :( Chtěla bych to tedy ještě dnes ten dodatek poslat elektronicky, bylo by možné, aby mi někdo z orgů ještě dnes umožnil elektronické odesílání, anebo můžu to někomu z orgů poslat přes e-mail?

Jirka Guth | 9. 2. 2013 20:33:03

Hezky, díky Mirku, že sis dal takovou práci.
Co se týče počátečních podmínek, tak je y = konst. a y' = konst.
Nechci moc prozrazovat, protože jsem to plánoval jako součást řešení jednoho příkladu ve Fykosu a nechci si připadat tak, jako že na Makosí chat chodím pro řešení Fykosu, ale jak tak na to koukám, asi to vymyslím jinak.

Xellos | 9. 2. 2013 19:20:25

Co tak fyzikalne riesenie "tipnem si ze to bude mocninova funkcia a dosadenim zistim koeficienty"? :D

<< < 1 2 ... 15 16 17 ... 36 37 > >>

Kontakt

email	info (zavináč) prase.cz
pošta	Matematický korespondenční seminář KAM MFF UK Malostranské náměstí 25 118 00 Praha 1

Organizátoři

Matematický korespondenční seminář je organizovaný studenty Matematicko-fyzikální fakulty UK pod záštitou Informatického ústavu UK a Oddělení propagace a mediální komunikace MFF UK.

Partneři

Realizace projektu byla podpořena Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy

Matematický korespondenční seminář

Kalendář

Z naší fotogalerie

Kontakt

Organizátoři

Partneři