Chat Prasátek

Matematická sekce

Xellos | 17. 9. 2013 17:58:46

To nevadi ze na uvodnej stranke (aspon mne: Chrome, Win7) nefunguje spoiler tag?

Xellos | 17. 9. 2013 17:56:33

Enjoy the spoiler...
+ skrytý text

abstract nonsense, z tej druhej rovnosti fakt nevidim ako si dostal $c=\frac{1}{1-b}$ ... surove roznasobenie a mlaticka alebo je tam nejaky pekny medzikrok?

Kazdopadne, ponukam Problem 3.1 (working title: Ihla v kope sena). Ciel: v zadani nieco chyba; najdite co. A este bonus: Z toho vyplyva ze abstractove riesenie je neuplne; najdite v ktor(om|ych) krok(u|och) je diera.

Riesenie problemu 3.1:
+ skrytý text

Vazba plati trivialne pre $a=b=c$ . Ak teda napr. polozime vsetky 3 cisla rovne 2, tak mame platnu vazbu a $|abc|=8$ . V zadani teda chyba spomenut ze $a \neq b \neq c$ .
Bonus: tipujem ze v rieseni 2. rovnosti (ta este plati), asi tam je niekde delenie $b-c=0$ .

Ine riesenie problemu 3 (spoiler alert: v podstate obsahuje predosly spoiler):
+ skrytý text

Ak su nejake 2 cisla rovnake, BUNV $a=b$ , z vazby hned vidime ze vsetky 3 su rovnake. Predpokladajme teda dalej ze su vsetky 3 rozne.

Kazdu rovnost z vazby si prepiseme do tvaru $bc=\frac{b-c}{a-b}$ (dalsie 2 mame cyklickou zamenou). Ich vynasobenie da $(abc)^2=1$ , z coho uz vidno ze $|abc|=1$ .

A vidime ze ak $a=b$ , tak by sme delili nulou.

abstract nonsense | 17. 9. 2013 16:39:19

Reseni Problemu 3:
+ skrytý text

Zrejme z prvni rovnosti plati
$a = b - \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{b^2c + b - c}{bc}$
Potom v druhe rovnosti
$b + \frac{1}{c} = c + \frac{bc}{b^2c + b - c}$
Neboli $\textstyle c = \frac{1}{1 - b}$ pro $\textstyle b \neq 1$ . Dosazenim tohohle do prvni rovnosti dostaneme
$a + \frac{1}{b} = b + 1 - b$
Neboli $\textstyle a = \frac{b - 1}{b}$ , potom
$|abc| = \left|\frac{b - 1}{b} \cdot b \cdot \frac{1}{1 - b}\right| = |-1| = 1$
Pokud $\textstyle b = 1$ , pak z prvni rovnosti $\textstyle a = \frac{1}{c}$ a opet $\textstyle |abc| = 1$ .

Problem 4:
Naleznete vsechna $\textstyle (x,y) \in \mathbb{R}^2$ splnujici
$(x-y)^2+(x^2+y^2-12y+35)^4=17$

David Hruška | org | 17. 9. 2013 00:24:49

Ahoj,
Řešení problému 2 (stručné):
+ skrytý text

Podle jedné ze základních vlastností bodu S (v českých zemích známějšího jako "Š" :-) je čtyřúhelník $AQPD$ , kde $D$ je průsečík $BC$ s $AS$ , tětivový (dá se vyúhlit). Proto $\angle AQS=\angle SDP$ . Z mocnosti bodu $S$ k $(QPC)$ a zmíněné vlastnosti plyne $SC^{2}=SP\cdot SQ$ . Podle další základní vlastnosti bodu $S$ platí $SC=SB=SI$ , tedy i $Si^{2}=SP\cdot SQ$ . Proto je $SI$ tečna k $(IPQ)$ a $\angle SIP=\angle IQS$ (úsekový úhel). Čili $\angle AQI=\angle AQS-\angle SQI=\angle SDP-\angle DIP=\angle IPD=90°$ , což jsme měli dokázat.

Problém 3:
Pro nějaká nenulová $a,b,c$ platí $a+1/b=b+1/c=c+1/a$ . Dokažte, že $\vert abc\vert=1$ .

BakyX | 15. 9. 2013 19:23:44

Skvelá myšlienka.

Riešenie problému 1:

+ skrytý text

Pre $\textstyle x=y=1$ dostávame odhad $\textstyle p \ge 1$ . Dokážeme, že všetky také $\textstyle p$ vyhovujú.

$\frac{x^3+py^3}{x+y} \ge \frac{x^3+y^3}{x+y}=x^2-xy+y^2 \ge xy$ ,

nakoľko $\textstyle x^2-xy+y^2-xy=(x-y)^2 \ge 0$ .

Problém 2: (známa a pekná lemma)

V trojuholníku $\textstyle ABC$ označme $\textstyle I$ stred kružnice vpísanej, $\textstyle P$ pätu kolmice z $\textstyle I$ na $\textstyle BC$ a $\textstyle S$ stred oblúka $\textstyle BC$ kružnice $\textstyle (ABC)$ neobsahujúceho $\textstyle A$ . $\textstyle SP$ pretína $\textstyle (ABC)$ znova v $\textstyle Q$ . Dokáž $\textstyle \angle AQI=90^\circ .$

Rado | 15. 9. 2013 09:39:15

Všimli jste si, jak je matematická sekce chatu neskutečně zamrzlá? Bezmála pět měsíců se tu neobjevil ani jeden příspěvek! A přestože za skoro dva a půl roku běhu nasčítala 22 stran, poslední rok zabírá jen o trošku více, než dvě strany!

Cítím se plný akce a tak to tu chci zase trošku rozproudit. Co byste říkali na maramaton (matematický maraton)? Systém je jednoduchý - vyřeším příklad a napíšu zadání nového, případně napíšu "Neznám nic neprofláklého, někdo napište zadání za mne!" (asi netřeba připomínat, ať nepíšete jako příklady zadání aktuálních soutěží) Tak schválně, jestli se toho někdo chytne :)

Příklad 1 (lehký, rozjezdový):
Najděte všechna reálná $p$ taková, že ${x^3+py^3\over x+y}\ge xy$ pro všechna kladná $\textstyle x,y$

(P.S.: schovávejte řešení)

Martina Vaváčková | org | 17. 4. 2013 19:18:14

@Nicholas: Promiň, to je moje chyba, Tvou úlohu jsem přehlédla. Už je to ve výsledkovce opraveno.

Miroslav Olšák | org | 16. 4. 2013 22:08:22

Je to tak, reseni Kristyny Ilievove jsem opravoval dodatecne (ja jsem ten, kdo ji dal tu nulu).

Jakub Krásenský | org | 16. 4. 2013 21:56:26

Ahoj,

příslušní opravovatelé mě doplní, jestli jde opravdu o tvůj připad, Kristýnko, ale některá poštou posílaná řešení nám přišla dost pozdě. Takže rychlejší z opravovatelů si mohli myslet, že už mají všechno hotovo...

Nicholasi, tvoji úlohu taky máme a podíváme se na ni.

Zdravím.

Nicholas | 16. 4. 2013 19:38:07

Mám totéž s úlohou číslo 7 (zasláno elektronicky), mám to pouze proškrtnuté. Nicméně, nijak mi to nevadí, překvapil by mě i jediný získaný bod.

Kristy | 16. 4. 2013 15:54:18

Teď koukám, že jsem to napsala pomalu jako anomym, protože jsem se nepodepsala celý jménem, tak tady je: Kristýna Ilievová

Kristý | 16. 4. 2013 14:53:35

Ahoj,
trošku mě udivuje, že jsem vám z třetí jarní série posílala příklady 1,2,4,6 a bodové hodnocení mám pouze u šestky, ačkoliv příklady 1 a 4 jsou podle proškrtnutí už uzavřené a přitom na podacím lístku mám vytištěnou váhu, která odpovídá tomu, že v obálce byli 4 listy A4, tudíž se nemohlo stát, že bych je zapoměla vložit do obálky. Prosím o vysvětlení. Děkuju

Alena Skálová | 14. 4. 2013 18:28:32

Ahoj,

já čerpám většinu svých znalostí o kuželosečkách ze skript Pavla Pecha (https://www.pf.jcu.cz/stru/katedry/m/knihy/Ku...). Prolíná se v nich analytický a syntetický přístup, analytiky je mnohem víc, ale něco k syntetice tam také najdeš (hlavně v prvních čtyřech kapitolách). Jsou to sice vysokoškolská skripta, ale právě ty syntetické části jsou myslím pochopitelné i "středoškolsky".

byk7 | 13. 4. 2013 17:13:30

Zdravím,

nevíte/nemáte materiály o syntetickém zkoumání a vlastnostech kuželoseček? Tím mám na mysli hlavně paraboly, hyperboly a elipsy.

Budu rád za každý materiál.

díky.

Martin Töpfer | org | 29. 3. 2013 12:12:26

Pozor! Oprava zadání!

V zadání sedmé úlohy Myšmaše má být suma od 1 do n.
http://mks.mff.cuni.cz/common/show.php?title=...

Jakub Krásenský | org | 24. 3. 2013 14:20:49

Pozor! Oprava zadání!

Změnilo se zadání šesté úlohy Myšmaše. Deltoid musí být konvexní čtyřúhelník. Tak si stáhněte aktuální zadání a ukažte čtyřúhelníkům, zač je toho loket! http://mks.mff.cuni.cz/common/show.php?title=...

Filip Hlásek | org | 17. 2. 2013 00:18:42

Jak se výtah pohyboval v sedmé úloze nedávno odeslané série si můžete vyzkoušet zde:
https://mks.mff.cuni.cz/hlavni_strana/vytah.swf
Této vychytávce dalo vzniknout mnoho PraSečích orgů...

Míša úlohu navrhla,
Martina klikátko nakódila,
Šavlík poradil,
Mirek to potom hodil na web,
Pepa mě přemluvil,
abych sem o tom nakonec napsal...

Jak se vám to líbí?
+ skrytý text

Tak vidíte jak to v PraSeti funguje:
nejstarší už jenom radí,
trochu méně staří přemlouvají ostatní,
ti nejproduktivnější makají,
a zelenáči tvoří...

Matěj Konečný | 13. 2. 2013 14:06:15

Děkuju moc :). Je to zajímavý řešení, ale nikdy bych na to nepřišel.

Kenny | 13. 2. 2013 13:46:22

Zdravím,

je to vcelku známý výsledek už z dob Leonharda Eulera.

Více tu.

+ skrytý text

http://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_theorem_...

Matěj Konečný | 12. 2. 2013 23:09:41

Narazil jsem na zajímavou úlohu:

Známe poloměry opsané i vepsané kružnice obecného trojúhelníku. Jaká je vzdálenost jejich středů?

Vůbec jsem s ní nehnul, pomůže mi někdo tady? :)

Pozn: Vůbec nevím, jestli je tímto ta vzdálenost jednoznačně definována. Pokud ne, pomohla by třeba informace, že je trojúhelník pravoúhlý? Rovnoramenný?

<< < 1 2 ... 15 16 17 ... 36 37 > >>

Kontakt

email	info (zavináč) prase.cz
pošta	Matematický korespondenční seminář KAM MFF UK Malostranské náměstí 25 118 00 Praha 1

Organizátoři

Matematický korespondenční seminář je organizovaný studenty Matematicko-fyzikální fakulty UK pod záštitou Informatického ústavu UK a Oddělení propagace a mediální komunikace MFF UK.

Partneři

Realizace projektu byla podpořena Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy

Matematický korespondenční seminář

Kalendář

Z naší fotogalerie

Kontakt

Organizátoři

Partneři