Chat Prasátek

Matematická sekce

abstract nonsense | 26. 9. 2013 22:16:11

Reseni problemu 7:
+ skrytý text

Klasicky roznasobme a pak vhodne rozlozme na soucin.
$a + 2ab + b = 1799$
$a(2b + 1) + \frac{2b + 1}{2} = 1799 + \frac{1}{2}$
$\left(a + \frac{1}{2}\right)(2b + 1) = 1799 + \frac{1}{2}$
$(2a + 1)(2b + 1) = 3599$
Vsimneme si, ze $\textstyle 3599 = 59 \cdot 61$ je prvociselny rozklad, tedy $\{2a + 1,2b + 1\} \in \Big\{\{1,3599\},\{59,61\},\{-1,-3599\},\{-59,-61\}\Big\}$ Avsak $\textstyle a,b > 0$ , tedy jedine $\{2a + 1,2b + 1\} = \{59,61\}$ prichazi v uvahu, z toho dostaneme dve reseni $\textstyle (a,b)$ a to $(29,30),(30,29)$ .

Problem 8: Ukažte, že $\textstyle 1897$ dělí $\textstyle 2903^{n} - 803^{n} - 464^{n} + 261^{n}$ pro všechna přirozená $\textstyle n$ .

Josef Tkadlec | 26. 9. 2013 18:32:05

Stručné řešení Problému 6:
+ skrytý text

Jakožto druhé průsečíky příslušných kružnic jsou body $\textstyle K$ , $\textstyle Q$ středy spirálních podobností zobrazujících $\textstyle BX$ na $\textstyle YC$ , respektive $\textstyle BX$ na $\textstyle CY$ (orientovaně). Chceme body $\textstyle K$ a $\textstyle Q$ nějak spojit, tak (trik!) dokreslíme středy $\textstyle L$ , $\textstyle N$ úseček $\textstyle BX$ , $\textstyle CY$ , protože ty na sebe přejdou v obou spirálkách. Navíc už v obrázku de facto máme střed $\textstyle M$ úsečky $\textstyle XY$ , protože chordála $\textstyle KP$ půlí společnou tečnu $\textstyle XY$ .

Zbývá si vyúhlit pár drobností (třeba to, že trojúhelník $\textstyle XKY$ je podobný oběma $\textstyle BKX$ a $\textstyle YKC$ ), použít ostatní kružnice skrz středy spirálek (např. $\textstyle (AXC)$ skrz $\textstyle K$ ) a pak už to jen poslepovat.

Z
$180^\circ - \angle LKN=180^\circ - \angle XKC=\angle CAX=\angle YQX=\angle NQL,$
plyne, že body $\textstyle K$ , $\textstyle L$ , $\textstyle A$ , $\textstyle Q$ , $\textstyle N$ leží na jedné kružnici a z toho už dostaneme i
$\angle QKP=\angle NKM-\angle NKQ=\angle YKX-\angle NAQ=\angle YXA-\angle YXQ=\angle QXA.$

Zdálo se mi to spíš těžké, tak pro změnu něco lehčího:
Problém 7: Vyřešte v přirozených číslech rovnici $ab+(a+1)(b+1)=1800.$

Josef Tkadlec | 21. 9. 2013 22:00:59

Ad Problém 5:
+ skrytý text

Ve druhé možnosti má být $\binom{n+1}{n-1}$ , takže součet vyjde $n^2$ .

Když to vyjde takhle, tak to musí jít nahlédnout :).

BakyX | 19. 9. 2013 21:09:12

Tonda, zadania nemusíš skrývať :) Rešpekt za tú brutálnu rovnicu.

Riešenie problému 5:

+ skrytý text

Nech $\textstyle X$ je nejaký konkrétny bod.

Ak je medzi vybranými, tak jeho susedné body nemôžeme vybrať. Ostáva nám vybrať $\textstyle n-2$ bodov z $\textstyle 2n-3$ tak, aby sme nevybrali susedné, pričom teraz môžeme vybrať oba krajné naraz.

Tento problém je ekvivalentný určeniu počtu poradí čísel $\textstyle 1,0$ v ktorých je $\textstyle n-2$ jednotiek a zvyšok sú nuly, aby dve $\textstyle 1$ nestáli vedľa seba. To spravíme takto: Rozmiestnime nuly. Jednotky môžu stať len medzi nulami alebo na konci alebo na začiatku. Počet výberov miest pre ne je $\textstyle {n \choose n-2}$ .

Analogicky keď $\textstyle X$ nie je medzi vybranými, tak je počet jednotiek $\textstyle n$ a počet núl $\textstyle n-1$ , takže $\textstyle {n \choose n-1}$ možností.

Dokopy máme $\textstyle {n+1 \choose 2}$ možností.

Problem 6: Kružnice $\textstyle W_1,W_2$ sa pretínajú v $\textstyle P,K$ . $\textstyle XY$ je spoločné dotyčnica týchto kružníc, ktorá je bližšie k $\textstyle P$ a $\textstyle X$ je na $\textstyle W_1$ a $\textstyle Y$ na $\textstyle W_2$ . $\textstyle XP$ pretína $\textstyle W_2$ druhý-krát v $\textstyle C$ a $\textstyle YP$ pretína $\textstyle W_1$ v $\textstyle B$ . Nech $\textstyle A$ je prienik $\textstyle BX$ a $\textstyle CY$ . Dokáž, že ak $\textstyle Q$ je druhý priesečník kružníc $\textstyle ABC$ a $\textstyle AXY$ , tak $\textstyle \angle QXA=\angle QKP$ .

Tonda | 19. 9. 2013 19:37:12

Ahoj,

Problém 4
+ skrytý text

Substituce $y=-z+6$ .

Po úpravě dostaneme: $(x+z-6)^2+(x^2+z^2-1)^4=17$
Pokud $x^2+z^2<1$ , pak pomocí AG $(x+z)^2 \leq 2(x^2+z^2)<1 \Rightarrow |x+z| < \sqrt2$ , což nám nedá žádné řešení, protože $(x+z-6)^2$ by bylo větší než $17$ . Tímto argumentem můžeme také vyloučit případ, že $2(x+z)<3$ .

Nyní víme, že obě čísla $2(x+z)$ a $x^2+z^2+2$ jsou větší než $3$ , a proto $(x^2+z^2-1)^4=(x^2+z^2+2-3)^4 \geq (2(x+z)-3)^4$ .

Substituce $t=x+z$ . Platí
$17 \geq (t-6)^2+(2t-3)^4=f(t)$
$f$
$f$
Druhá derivace nemá žádný kořen, a proto první derivace může mít maximálně jeden kořen, který je $t=2$ . Můžeme také ověřit že $t=2$ je lokální minimum funkce $f(t)$ s hodnotou $17$ .

Řešení původní rovnice jsou tedy případy rovnosti, které se můžou nastat pouze za podmínky $x^2+z^2+2=2(x+z)$ , z čehož plyne $x=z=1$ neboli $x=1,y=5$ . Zkouškou snadno zjistíme, že nalezené řešení skutečně vyhovuje.

Problém 5
+ skrytý text

Kolika způsoby můžeme vybrat $n-1$ bodů navzájem nesousedících z 2n bodů na kružnici?

David Hruška | org | 18. 9. 2013 15:40:49

Xellos: Díky za doplnění, opravdu má být v Problému 3 $a \neq b \neq c$ , nějak jsem to opomněl. A jinak pěkné řešení!

πtr | org | 18. 9. 2013 03:43:04

Xellos: díky za upozornenie, teraz by snáď spoiler tag mal fungovať správne

Xellos | 17. 9. 2013 17:58:46

To nevadi ze na uvodnej stranke (aspon mne: Chrome, Win7) nefunguje spoiler tag?

Xellos | 17. 9. 2013 17:56:33

Enjoy the spoiler...
+ skrytý text

abstract nonsense, z tej druhej rovnosti fakt nevidim ako si dostal $c=\frac{1}{1-b}$ ... surove roznasobenie a mlaticka alebo je tam nejaky pekny medzikrok?

Kazdopadne, ponukam Problem 3.1 (working title: Ihla v kope sena). Ciel: v zadani nieco chyba; najdite co. A este bonus: Z toho vyplyva ze abstractove riesenie je neuplne; najdite v ktor(om|ych) krok(u|och) je diera.

Riesenie problemu 3.1:
+ skrytý text

Vazba plati trivialne pre $a=b=c$ . Ak teda napr. polozime vsetky 3 cisla rovne 2, tak mame platnu vazbu a $|abc|=8$ . V zadani teda chyba spomenut ze $a \neq b \neq c$ .
Bonus: tipujem ze v rieseni 2. rovnosti (ta este plati), asi tam je niekde delenie $b-c=0$ .

Ine riesenie problemu 3 (spoiler alert: v podstate obsahuje predosly spoiler):
+ skrytý text

Ak su nejake 2 cisla rovnake, BUNV $a=b$ , z vazby hned vidime ze vsetky 3 su rovnake. Predpokladajme teda dalej ze su vsetky 3 rozne.

Kazdu rovnost z vazby si prepiseme do tvaru $bc=\frac{b-c}{a-b}$ (dalsie 2 mame cyklickou zamenou). Ich vynasobenie da $(abc)^2=1$ , z coho uz vidno ze $|abc|=1$ .

A vidime ze ak $a=b$ , tak by sme delili nulou.

abstract nonsense | 17. 9. 2013 16:39:19

Reseni Problemu 3:
+ skrytý text

Zrejme z prvni rovnosti plati
$a = b - \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{b^2c + b - c}{bc}$
Potom v druhe rovnosti
$b + \frac{1}{c} = c + \frac{bc}{b^2c + b - c}$
Neboli $\textstyle c = \frac{1}{1 - b}$ pro $\textstyle b \neq 1$ . Dosazenim tohohle do prvni rovnosti dostaneme
$a + \frac{1}{b} = b + 1 - b$
Neboli $\textstyle a = \frac{b - 1}{b}$ , potom
$|abc| = \left|\frac{b - 1}{b} \cdot b \cdot \frac{1}{1 - b}\right| = |-1| = 1$
Pokud $\textstyle b = 1$ , pak z prvni rovnosti $\textstyle a = \frac{1}{c}$ a opet $\textstyle |abc| = 1$ .

Problem 4:
Naleznete vsechna $\textstyle (x,y) \in \mathbb{R}^2$ splnujici
$(x-y)^2+(x^2+y^2-12y+35)^4=17$

David Hruška | org | 17. 9. 2013 00:24:49

Ahoj,
Řešení problému 2 (stručné):
+ skrytý text

Podle jedné ze základních vlastností bodu S (v českých zemích známějšího jako "Š" :-) je čtyřúhelník $AQPD$ , kde $D$ je průsečík $BC$ s $AS$ , tětivový (dá se vyúhlit). Proto $\angle AQS=\angle SDP$ . Z mocnosti bodu $S$ k $(QPC)$ a zmíněné vlastnosti plyne $SC^{2}=SP\cdot SQ$ . Podle další základní vlastnosti bodu $S$ platí $SC=SB=SI$ , tedy i $Si^{2}=SP\cdot SQ$ . Proto je $SI$ tečna k $(IPQ)$ a $\angle SIP=\angle IQS$ (úsekový úhel). Čili $\angle AQI=\angle AQS-\angle SQI=\angle SDP-\angle DIP=\angle IPD=90°$ , což jsme měli dokázat.

Problém 3:
Pro nějaká nenulová $a,b,c$ platí $a+1/b=b+1/c=c+1/a$ . Dokažte, že $\vert abc\vert=1$ .

BakyX | 15. 9. 2013 19:23:44

Skvelá myšlienka.

Riešenie problému 1:

+ skrytý text

Pre $\textstyle x=y=1$ dostávame odhad $\textstyle p \ge 1$ . Dokážeme, že všetky také $\textstyle p$ vyhovujú.

$\frac{x^3+py^3}{x+y} \ge \frac{x^3+y^3}{x+y}=x^2-xy+y^2 \ge xy$ ,

nakoľko $\textstyle x^2-xy+y^2-xy=(x-y)^2 \ge 0$ .

Problém 2: (známa a pekná lemma)

V trojuholníku $\textstyle ABC$ označme $\textstyle I$ stred kružnice vpísanej, $\textstyle P$ pätu kolmice z $\textstyle I$ na $\textstyle BC$ a $\textstyle S$ stred oblúka $\textstyle BC$ kružnice $\textstyle (ABC)$ neobsahujúceho $\textstyle A$ . $\textstyle SP$ pretína $\textstyle (ABC)$ znova v $\textstyle Q$ . Dokáž $\textstyle \angle AQI=90^\circ .$

Rado | 15. 9. 2013 09:39:15

Všimli jste si, jak je matematická sekce chatu neskutečně zamrzlá? Bezmála pět měsíců se tu neobjevil ani jeden příspěvek! A přestože za skoro dva a půl roku běhu nasčítala 22 stran, poslední rok zabírá jen o trošku více, než dvě strany!

Cítím se plný akce a tak to tu chci zase trošku rozproudit. Co byste říkali na maramaton (matematický maraton)? Systém je jednoduchý - vyřeším příklad a napíšu zadání nového, případně napíšu "Neznám nic neprofláklého, někdo napište zadání za mne!" (asi netřeba připomínat, ať nepíšete jako příklady zadání aktuálních soutěží) Tak schválně, jestli se toho někdo chytne :)

Příklad 1 (lehký, rozjezdový):
Najděte všechna reálná $p$ taková, že ${x^3+py^3\over x+y}\ge xy$ pro všechna kladná $\textstyle x,y$

(P.S.: schovávejte řešení)

Martina Vaváčková | org | 17. 4. 2013 19:18:14

@Nicholas: Promiň, to je moje chyba, Tvou úlohu jsem přehlédla. Už je to ve výsledkovce opraveno.

Miroslav Olšák | org | 16. 4. 2013 22:08:22

Je to tak, reseni Kristyny Ilievove jsem opravoval dodatecne (ja jsem ten, kdo ji dal tu nulu).

Jakub Krásenský | org | 16. 4. 2013 21:56:26

Ahoj,

příslušní opravovatelé mě doplní, jestli jde opravdu o tvůj připad, Kristýnko, ale některá poštou posílaná řešení nám přišla dost pozdě. Takže rychlejší z opravovatelů si mohli myslet, že už mají všechno hotovo...

Nicholasi, tvoji úlohu taky máme a podíváme se na ni.

Zdravím.

Nicholas | 16. 4. 2013 19:38:07

Mám totéž s úlohou číslo 7 (zasláno elektronicky), mám to pouze proškrtnuté. Nicméně, nijak mi to nevadí, překvapil by mě i jediný získaný bod.

Kristy | 16. 4. 2013 15:54:18

Teď koukám, že jsem to napsala pomalu jako anomym, protože jsem se nepodepsala celý jménem, tak tady je: Kristýna Ilievová

Kristý | 16. 4. 2013 14:53:35

Ahoj,
trošku mě udivuje, že jsem vám z třetí jarní série posílala příklady 1,2,4,6 a bodové hodnocení mám pouze u šestky, ačkoliv příklady 1 a 4 jsou podle proškrtnutí už uzavřené a přitom na podacím lístku mám vytištěnou váhu, která odpovídá tomu, že v obálce byli 4 listy A4, tudíž se nemohlo stát, že bych je zapoměla vložit do obálky. Prosím o vysvětlení. Děkuju

Alena Skálová | 14. 4. 2013 18:28:32

Ahoj,

já čerpám většinu svých znalostí o kuželosečkách ze skript Pavla Pecha (https://www.pf.jcu.cz/stru/katedry/m/knihy/Ku...). Prolíná se v nich analytický a syntetický přístup, analytiky je mnohem víc, ale něco k syntetice tam také najdeš (hlavně v prvních čtyřech kapitolách). Jsou to sice vysokoškolská skripta, ale právě ty syntetické části jsou myslím pochopitelné i "středoškolsky".

<< < 1 2 ... 14 15 16 ... 36 37 > >>

Kontakt

email	info (zavináč) prase.cz
pošta	Matematický korespondenční seminář KAM MFF UK Malostranské náměstí 25 118 00 Praha 1

Organizátoři

Matematický korespondenční seminář je organizovaný studenty Matematicko-fyzikální fakulty UK pod záštitou Informatického ústavu UK a Oddělení propagace a mediální komunikace MFF UK.

Partneři

Realizace projektu byla podpořena Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy

Matematický korespondenční seminář

Kalendář

Z naší fotogalerie

Kontakt

Organizátoři

Partneři