Josef Tkadlec | 21. 9. 2013 22:00:59
Ad Problém 5:
+ skrytý text
+ skrytý text
Ve druhé možnosti má být
, takže součet vyjde
.
Když to vyjde takhle, tak to musí jít nahlédnout :).
Když to vyjde takhle, tak to musí jít nahlédnout :).
BakyX | 19. 9. 2013 21:09:12
Tonda, zadania nemusíš skrývať :) Rešpekt za tú brutálnu rovnicu.
Riešenie problému 5:
+ skrytý text
Problem 6: Kružnice
sa pretínajú v
.
je spoločné dotyčnica týchto kružníc, ktorá je bližšie k
a
je na
a
na
.
pretína
druhý-krát v
a
pretína
v
. Nech
je prienik
a
. Dokáž, že ak
je druhý priesečník kružníc
a
, tak
.
Riešenie problému 5:
+ skrytý text
Nech
je nejaký konkrétny bod.
Ak je medzi vybranými, tak jeho susedné body nemôžeme vybrať. Ostáva nám vybrať
bodov z
tak, aby sme nevybrali susedné, pričom teraz môžeme vybrať oba krajné naraz.
Tento problém je ekvivalentný určeniu počtu poradí čísel
v ktorých je
jednotiek a zvyšok sú nuly, aby dve
nestáli vedľa seba. To spravíme takto: Rozmiestnime nuly. Jednotky môžu stať len medzi nulami alebo na konci alebo na začiatku. Počet výberov miest pre ne je
.
Analogicky keď
nie je medzi vybranými, tak je počet jednotiek
a počet núl
, takže
možností.
Dokopy máme
možností.
Ak je medzi vybranými, tak jeho susedné body nemôžeme vybrať. Ostáva nám vybrať
Tento problém je ekvivalentný určeniu počtu poradí čísel
Analogicky keď
Dokopy máme
Problem 6: Kružnice
Tonda | 19. 9. 2013 19:37:12
Ahoj,
Problém 4
+ skrytý text
Problém 5
+ skrytý text
Problém 4
+ skrytý text
Substituce
.
Po úpravě dostaneme:![(x+z-6)^2+(x^2+z^2-1)^4=17 (x+z-6)^2+(x^2+z^2-1)^4=17](https://prase.cz/chat/texmaker.php?tex=%28x%2Bz-6%29%5E2%2B%28x%5E2%2Bz%5E2-1%29%5E4%3D17&hash=c8fbd4b33e7752aa2670)
Pokud
, pak pomocí AG
, což nám nedá žádné řešení, protože
by bylo větší než
. Tímto argumentem můžeme také vyloučit případ, že
.
Nyní víme, že obě čísla
a
jsou větší než
, a proto
.
Substituce
. Platí
![17 \geq (t-6)^2+(2t-3)^4=f(t) 17 \geq (t-6)^2+(2t-3)^4=f(t)](https://prase.cz/chat/texmaker.php?tex=17+%5Cgeq+%28t-6%29%5E2%2B%282t-3%29%5E4%3Df%28t%29&hash=f48537f1fee93c062012)
![f f](https://prase.cz/chat/texmaker.php?tex=f%27%28t%29%3D2%28t-6%29%2B8%282t-3%29%5E3&hash=34a6e6b8c5f041bfeabf)
![f f](https://prase.cz/chat/texmaker.php?tex=f%27%27%28t%29%3D2%2B48%282t-3%29%5E2&hash=aeb0a42f006094199b00)
Druhá derivace nemá žádný kořen, a proto první derivace může mít maximálně jeden kořen, který je
. Můžeme také ověřit že
je lokální minimum funkce
s hodnotou
.
Řešení původní rovnice jsou tedy případy rovnosti, které se můžou nastat pouze za podmínky
, z čehož plyne
neboli
. Zkouškou snadno zjistíme, že nalezené řešení skutečně vyhovuje.
Po úpravě dostaneme:
Pokud
Nyní víme, že obě čísla
Substituce
Druhá derivace nemá žádný kořen, a proto první derivace může mít maximálně jeden kořen, který je
Řešení původní rovnice jsou tedy případy rovnosti, které se můžou nastat pouze za podmínky
Problém 5
+ skrytý text
Kolika způsoby můžeme vybrat
bodů navzájem nesousedících z 2n bodů na kružnici?
David Hruška | org | 18. 9. 2013 15:40:49
Xellos: Díky za doplnění, opravdu má být v Problému 3
, nějak jsem to opomněl. A jinak pěkné řešení!
πtr | org | 18. 9. 2013 03:43:04
Xellos: díky za upozornenie, teraz by snáď spoiler tag mal fungovať správne
Xellos | 17. 9. 2013 17:58:46
To nevadi ze na uvodnej stranke (aspon mne: Chrome, Win7) nefunguje spoiler tag?
Xellos | 17. 9. 2013 17:56:33
Enjoy the spoiler...
+ skrytý text
+ skrytý text
abstract nonsense, z tej druhej rovnosti fakt nevidim ako si dostal
... surove roznasobenie a mlaticka alebo je tam nejaky pekny medzikrok?
Kazdopadne, ponukam Problem 3.1 (working title: Ihla v kope sena). Ciel: v zadani nieco chyba; najdite co. A este bonus: Z toho vyplyva ze abstractove riesenie je neuplne; najdite v ktor(om|ych) krok(u|och) je diera.
Riesenie problemu 3.1:
+ skrytý text
Ine riesenie problemu 3 (spoiler alert: v podstate obsahuje predosly spoiler):
+ skrytý text
Kazdopadne, ponukam Problem 3.1 (working title: Ihla v kope sena). Ciel: v zadani nieco chyba; najdite co. A este bonus: Z toho vyplyva ze abstractove riesenie je neuplne; najdite v ktor(om|ych) krok(u|och) je diera.
Riesenie problemu 3.1:
+ skrytý text
Vazba plati trivialne pre
. Ak teda napr. polozime vsetky 3 cisla rovne 2, tak mame platnu vazbu a
. V zadani teda chyba spomenut ze
.
Bonus: tipujem ze v rieseni 2. rovnosti (ta este plati), asi tam je niekde delenie
.
Bonus: tipujem ze v rieseni 2. rovnosti (ta este plati), asi tam je niekde delenie
Ine riesenie problemu 3 (spoiler alert: v podstate obsahuje predosly spoiler):
+ skrytý text
Ak su nejake 2 cisla rovnake, BUNV
, z vazby hned vidime ze vsetky 3 su rovnake. Predpokladajme teda dalej ze su vsetky 3 rozne.
Kazdu rovnost z vazby si prepiseme do tvaru
(dalsie 2 mame cyklickou zamenou). Ich vynasobenie da
, z coho uz vidno ze
.
A vidime ze ak
, tak by sme delili nulou.
Kazdu rovnost z vazby si prepiseme do tvaru
A vidime ze ak
abstract nonsense | 17. 9. 2013 16:39:19
Reseni Problemu 3:
+ skrytý text
Problem 4:
Naleznete vsechna
splnujici
![(x-y)^2+(x^2+y^2-12y+35)^4=17 (x-y)^2+(x^2+y^2-12y+35)^4=17](https://prase.cz/chat/texmaker.php?tex=%28x-y%29%5E2%2B%28x%5E2%2By%5E2-12y%2B35%29%5E4%3D17&hash=d9b22d2ed8ffa8063fb4)
+ skrytý text
Zrejme z prvni rovnosti plati
![a = b - \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{b^2c + b - c}{bc} a = b - \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{b^2c + b - c}{bc}](https://prase.cz/chat/texmaker.php?tex=a+%3D+b+-+%5Cfrac%7B1%7D%7Bb%7D+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%7D+%3D+%5Cfrac%7Bb%5E2c+%2B+b+-+c%7D%7Bbc%7D&hash=3c793658e690cbc3a8b6)
Potom v druhe rovnosti
Neboli
pro
. Dosazenim tohohle do prvni rovnosti dostaneme
![a + \frac{1}{b} = b + 1 - b a + \frac{1}{b} = b + 1 - b](https://prase.cz/chat/texmaker.php?tex=a+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7Bb%7D+%3D+b+%2B+1+-+b&hash=5f4aeef7d1f30cff49c8)
Neboli
, potom
![|abc| = \left|\frac{b - 1}{b} \cdot b \cdot \frac{1}{1 - b}\right| = |-1| = 1 |abc| = \left|\frac{b - 1}{b} \cdot b \cdot \frac{1}{1 - b}\right| = |-1| = 1](https://prase.cz/chat/texmaker.php?tex=%7Cabc%7C+%3D+%5Cleft%7C%5Cfrac%7Bb+-+1%7D%7Bb%7D+%5Ccdot+b+%5Ccdot+%5Cfrac%7B1%7D%7B1+-+b%7D%5Cright%7C+%3D+%7C-1%7C+%3D+1&hash=d624845eeda26f6ae934)
Pokud
, pak z prvni rovnosti
a opet
.
Potom v druhe rovnosti
Neboli
Neboli
Pokud
Problem 4:
Naleznete vsechna
David Hruška | org | 17. 9. 2013 00:24:49
Ahoj,
Řešení problému 2 (stručné):
+ skrytý text
Problém 3:
Pro nějaká nenulová
platí
. Dokažte, že
.
Řešení problému 2 (stručné):
+ skrytý text
Podle jedné ze základních vlastností bodu S (v českých zemích známějšího jako "Š" :-) je čtyřúhelník
, kde
je průsečík
s
, tětivový (dá se vyúhlit). Proto
. Z mocnosti bodu
k
a zmíněné vlastnosti plyne
. Podle další základní vlastnosti bodu
platí
, tedy i
. Proto je
tečna k
a
(úsekový úhel). Čili
, což jsme měli dokázat.
Problém 3:
Pro nějaká nenulová
BakyX | 15. 9. 2013 19:23:44
Skvelá myšlienka.
Riešenie problému 1:
+ skrytý text
Problém 2: (známa a pekná lemma)
V trojuholníku
označme
stred kružnice vpísanej,
pätu kolmice z
na
a
stred oblúka
kružnice
neobsahujúceho
.
pretína
znova v
. Dokáž ![\textstyle \angle AQI=90^\circ . \textstyle \angle AQI=90^\circ .](https://prase.cz/chat/texmaker.php?tex=%5Ctextstyle+%5Cangle+AQI%3D90%5E%5Ccirc+.&hash=1e04105e5c56eb73259a)
Riešenie problému 1:
+ skrytý text
Pre
dostávame odhad
. Dokážeme, že všetky také
vyhovujú.
,
nakoľko
.
nakoľko
Problém 2: (známa a pekná lemma)
V trojuholníku
Rado | 15. 9. 2013 09:39:15
Všimli jste si, jak je matematická sekce chatu neskutečně zamrzlá? Bezmála pět měsíců se tu neobjevil ani jeden příspěvek! A přestože za skoro dva a půl roku běhu nasčítala 22 stran, poslední rok zabírá jen o trošku více, než dvě strany!
Cítím se plný akce a tak to tu chci zase trošku rozproudit. Co byste říkali na maramaton (matematický maraton)? Systém je jednoduchý - vyřeším příklad a napíšu zadání nového, případně napíšu "Neznám nic neprofláklého, někdo napište zadání za mne!" (asi netřeba připomínat, ať nepíšete jako příklady zadání aktuálních soutěží) Tak schválně, jestli se toho někdo chytne :)
Příklad 1 (lehký, rozjezdový):
Najděte všechna reálná
taková, že
pro všechna kladná ![\textstyle x,y \textstyle x,y](https://prase.cz/chat/texmaker.php?tex=%5Ctextstyle+x%2Cy&hash=ad00932566ae1cabaea1)
(P.S.: schovávejte řešení)
Cítím se plný akce a tak to tu chci zase trošku rozproudit. Co byste říkali na maramaton (matematický maraton)? Systém je jednoduchý - vyřeším příklad a napíšu zadání nového, případně napíšu "Neznám nic neprofláklého, někdo napište zadání za mne!" (asi netřeba připomínat, ať nepíšete jako příklady zadání aktuálních soutěží) Tak schválně, jestli se toho někdo chytne :)
Příklad 1 (lehký, rozjezdový):
Najděte všechna reálná
(P.S.: schovávejte řešení)
Martina Vaváčková | org | 17. 4. 2013 19:18:14
@Nicholas: Promiň, to je moje chyba, Tvou úlohu jsem přehlédla. Už je to ve výsledkovce opraveno.
Miroslav Olšák | org | 16. 4. 2013 22:08:22
Je to tak, reseni Kristyny Ilievove jsem opravoval dodatecne (ja jsem ten, kdo ji dal tu nulu).
Jakub Krásenský | org | 16. 4. 2013 21:56:26
Ahoj,
příslušní opravovatelé mě doplní, jestli jde opravdu o tvůj připad, Kristýnko, ale některá poštou posílaná řešení nám přišla dost pozdě. Takže rychlejší z opravovatelů si mohli myslet, že už mají všechno hotovo...
Nicholasi, tvoji úlohu taky máme a podíváme se na ni.
Zdravím.
příslušní opravovatelé mě doplní, jestli jde opravdu o tvůj připad, Kristýnko, ale některá poštou posílaná řešení nám přišla dost pozdě. Takže rychlejší z opravovatelů si mohli myslet, že už mají všechno hotovo...
Nicholasi, tvoji úlohu taky máme a podíváme se na ni.
Zdravím.
Nicholas | 16. 4. 2013 19:38:07
Mám totéž s úlohou číslo 7 (zasláno elektronicky), mám to pouze proškrtnuté. Nicméně, nijak mi to nevadí, překvapil by mě i jediný získaný bod.
Kristy | 16. 4. 2013 15:54:18
Teď koukám, že jsem to napsala pomalu jako anomym, protože jsem se nepodepsala celý jménem, tak tady je: Kristýna Ilievová
Kristý | 16. 4. 2013 14:53:35
Ahoj,
trošku mě udivuje, že jsem vám z třetí jarní série posílala příklady 1,2,4,6 a bodové hodnocení mám pouze u šestky, ačkoliv příklady 1 a 4 jsou podle proškrtnutí už uzavřené a přitom na podacím lístku mám vytištěnou váhu, která odpovídá tomu, že v obálce byli 4 listy A4, tudíž se nemohlo stát, že bych je zapoměla vložit do obálky. Prosím o vysvětlení. Děkuju
trošku mě udivuje, že jsem vám z třetí jarní série posílala příklady 1,2,4,6 a bodové hodnocení mám pouze u šestky, ačkoliv příklady 1 a 4 jsou podle proškrtnutí už uzavřené a přitom na podacím lístku mám vytištěnou váhu, která odpovídá tomu, že v obálce byli 4 listy A4, tudíž se nemohlo stát, že bych je zapoměla vložit do obálky. Prosím o vysvětlení. Děkuju
Alena Skálová | 14. 4. 2013 18:28:32
Ahoj,
já čerpám většinu svých znalostí o kuželosečkách ze skript Pavla Pecha (https://www.pf.jcu.cz/stru/katedry/m/knihy/Ku...). Prolíná se v nich analytický a syntetický přístup, analytiky je mnohem víc, ale něco k syntetice tam také najdeš (hlavně v prvních čtyřech kapitolách). Jsou to sice vysokoškolská skripta, ale právě ty syntetické části jsou myslím pochopitelné i "středoškolsky".
já čerpám většinu svých znalostí o kuželosečkách ze skript Pavla Pecha (https://www.pf.jcu.cz/stru/katedry/m/knihy/Ku...). Prolíná se v nich analytický a syntetický přístup, analytiky je mnohem víc, ale něco k syntetice tam také najdeš (hlavně v prvních čtyřech kapitolách). Jsou to sice vysokoškolská skripta, ale právě ty syntetické části jsou myslím pochopitelné i "středoškolsky".
byk7 | 13. 4. 2013 17:13:30
Zdravím,
nevíte/nemáte materiály o syntetickém zkoumání a vlastnostech kuželoseček? Tím mám na mysli hlavně paraboly, hyperboly a elipsy.
Budu rád za každý materiál.
díky.
nevíte/nemáte materiály o syntetickém zkoumání a vlastnostech kuželoseček? Tím mám na mysli hlavně paraboly, hyperboly a elipsy.
Budu rád za každý materiál.
díky.
Martin Töpfer | org | 29. 3. 2013 12:12:26
Pozor! Oprava zadání!
V zadání sedmé úlohy Myšmaše má být suma od 1 do n.
http://mks.mff.cuni.cz/common/show.php?title=...
V zadání sedmé úlohy Myšmaše má být suma od 1 do n.
http://mks.mff.cuni.cz/common/show.php?title=...