Chat Prasátek

Matematická sekce

<< < 1 2 ... 12 13 14 ... 35 36 > >>

E.T. | org | 7. 12. 2013 00:45:49

Oprava hintů ke 3. podzimní sérii:
+ skrytý text

V úloze 2 nemá být $f(x^2)$ , ale $f^2(x)$ .

E.T. | org | 7. 12. 2013 00:42:17

A přichází slibované hinty k 1. seriálové sérii:

1. úloha:
Postupně dokažte, že platí
(i)
+ skrytý text

$(n^2+k)|(nk+k)$

(ii)
+ skrytý text

$n^2c=k(n+1-c)$ pro nějaké c

(iii)
+ skrytý text

$n|(n+1-c)$

(iv)
+ skrytý text

$0\leq c\leq n+1$

2. úloha:
+ skrytý text

Označme p největšího prvočíselného dělitele čísla n!+k, 1<k<=n. Pak musí nastat jeden z případů:
(i)+ skrytý text

p>n a snadno ukážeme, že platí, co platit má

(ii)+ skrytý text

p<=n a pak k=n a proto platí
+ skrytý text

$n!+p=p^a$ , kde a je nějaké přirozené číslo větší než 1.

+ skrytý text

Kdyby p dělilo nějaké z čísel 1,2,...,n různé od p, nemohlo by p^2 dělit n!+p.

3. úloha:
+ skrytý text

Upravte do tvaru $a^2+b^2\equiv 0 (mod$ $p)$ a využijte tvrzení ze seriálu.

E.T. | org | 5. 12. 2013 01:51:08

Hola hej!
Zdravíme všechna pilná Prasátka a uveřejňujeme rady k úlohám třetí série:

úloha 1:
+ skrytý text

"Vnořte absolutní hodnoty do sebe."

úloha 2:
+ skrytý text

Funkce f musí být periodická. f(2x) má periodu dvakrát kratší než f(x). Rozmyslete si, že funkce f(x^2) bude mít jinou periodu než f, jen pokud f vhodně střídá znaménko.

úloha 3:
+ skrytý text

Ukažte, že, aby bylo vyhověno zadání, musí nastat jeden z těchto dvou případů. Funkce f,g jsou obě rostoucí nebo obě klesající.

úoha 4:
+ skrytý text

Vhodným dosazováním zjistěte f(1) a f(2). Pomocí těchto hodnot a f(3) dvěma způsoby vyjádřete f(12).

úloha 5:
+ skrytý text

Označme levou stranu rovnosti v zadání L(x). Vyšetřete monotónnost funkce L (pozor, L není všude monotónní "stejně"). Pomocí toho ukažte, že rovnice může mít nejvýše jedno kladné a jedno záporné řešení.

úloha 6:
(i):
+ skrytý text

Grafem libovolné kvadratické funkce (na reálných číslech) je parabola.

(ii):
+ skrytý text

Ta je osově souměrná podle kolmice na x-ovou souřadnou osu procházející vrcholem paraboly. Tím pádem nabývá daná funkce stejných hodnot na obou ramenech.

úloha 7:
(i):
+ skrytý text

Postupujte sporem. Označme si dané funkce g,h. Pak musí platit g(x)+h(x)=f(x)=x^2. Navíc existují (z periodičnosti g,h) nenulová čísla k,c taková, že g(x+c)=g(x) a h(x+k)=h(k).

(ii):
+ skrytý text

Dosaďte do rovnosti z (i) postupně (c+k), c, k, 0.

(iii):
+ skrytý text

Pak vzniklé rovnosti vhodně sečtěte.

úloha 8:
(i):
+ skrytý text

Zaměřte se na čtveřice, v nichž v=0 a u=x+y.

(ii):
+ skrytý text

Za [x,y] dosaďte postupně [t+1,t-1], [t-1,-t], [-t,t+1]

(iii):
+ skrytý text

Výsledné rovnice sečtěte.

Hinty k 1. seriálové sérii se zde objeví již brzy.

Rozkošný a důvtipný okoun | 26. 11. 2013 22:30:12

Druhá věta o pizze je super :)

A co takhle udělat orgům to opravování trochu veselejší a příští sérii jim poslat s co nejzajímavěji nazvanými lemmátky? (Každý si určitě ve svých řešeních najde něco, co se dá nazvat pomocným tvrzením.)

Lemma lama:
Pokud někdo odešle třetí sérii bez jakéhokoliv coolově nazvaného lemma, je lama!

A slováci - Myjava není originální!

Miroslav Olšák | org | 26. 11. 2013 21:55:18

Taky pravda. Naprosto nechápu, proč pojmenovávat věty po matematicích, vždyť to nikomu nic neřekne. Navíc se typicky po matematikovi pojmenuje více vět, přičemž ani jednu z nich neobjevil :-)

Ale jsou i výjimky, když už jsme u toho jídla, máme větu o sendiči
http://en.wikipedia.org/wiki/Ham_sandwich_the...
dodatek k této větě je, že platí i když si šunku zapomenete v ledničce ;-)

Jiná věta o sendviči je dokonce z matematické analýzy, Kubo, ale ta zdaleka nemá tak fajn pohádku.

Případně máme dvě věty o pizze (především ta druhá stojí za přečtení ;-) )
http://www.wolframalpha.com/input/?i=pizza+th...

A ještě mají na wiki prima obrázek k motýlímu lemmatu z algebry
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Butterfly_l...

Jakub Krásenský | org | 26. 11. 2013 21:30:15

Pěkné... Myslím, že kdyby se věty v matematické analýze jmenovaly takhle, učily by se mnohem lépe.

Proč Bismarckova busta? Celkově jsem nepotkal moc lidí, kteří by na stole měli bustu, ale když už, nečekal bych německého státníka. To mi přijde zajímavé.

Kuba Svoboda | 26. 11. 2013 12:54:56

Při vymýšlení názvu mrkvovo-salámové lemma jsem měl hlad a nechtěl jsem jíst nezdravě (proto salám a mrkev) a na stole mi stojí Bismarcova busta, tedy pojmenování druhého je zřejmé.

Josef Svoboda | 24. 11. 2013 17:20:08

Ahoj OD.
Toto pojmenování je pro mě také trochu záhadou. Nicméně v matematice platí, že každý si může pojmenovat cokoliv jak se mu zlíbí. Pokud ovšem napíše, o co vlastně jde.
Mrkvovo-salámové lemma + skrytý text

říká, že v trojúhelníku ABC dělí osa úhlu BAC stranu BC v poměru b:c. Někdy se mu také říká věta o ose úhlu: http://en.wikipedia.org/wiki/Angle_bisector_t...

Bismarckovo lemma + skrytý text

říká, že pokud D je průsečík osy úhlu BAC a kružnice opsané trojúhelníku ABC, pak 1) D je střed oblouku BC, na kterém neleží bod A, 2) pokud E (resp. F) je průsečík strany AB (resp. AC) a osy úhlu ADB (resp. ADC), pak je přímka EF rovnoběžná se stranou BC.

OD | 23. 11. 2013 21:43:31

Zdravím,

chtěl bych se zeptat, co se myslí mrkvo-salámovým a Bismarckovým lemmatem ze závěru vzoráku 2. série?

Miško | org | 17. 11. 2013 10:28:19

Nj, mala tam byt dokazatelnost a nie platnost...

Miroslav Olšák | org | 16. 11. 2013 11:42:19

No, trochu podvadis
+ skrytý text

Ze se veta neda dokazat, nezarucuje, ze "neplati" -- jsou tvrzeni, ktera se nedaji vyvratit ani dokazat. To souvisi s Godelovou vetou o neuplnosti a halting problemem. (ale nechce se mi to tu vysvetlovat, nikdo by to nepochopil)

Ba co hur, ze se veta da dokazat uplne nezarucuje, ze "plati". Logika je holt nejnelogictejsi oblast matematiky ;-)

Miško | org | 16. 11. 2013 00:05:51

Ja mám niečo trochu menej stredoškolské a trochu viac informatické. Jedná sa o Halting problem.

Slávna veta z teoretickej informatiky hovorí, že neexistuje program, ktorý rozhodne, či daný program na danom vstupe skončí. (Čiže vstup tohoto programu je: nejaký program $\textstyle P$ , a vstup $\textstyle V$ pre tento program). Učene hovoríme, že neexistuje algoritmus riešiaci Halting problem.

Relatívne jednoduchý dôsledok tej to vety je, že neexistuje program ktorý rozhodne, či daný program skončí pre každý vstup. (Tentokrát je teda vstup iba program $\textstyle P$ ).

A teraz príde to zaujímavé. Predstavme si na chvíľu, že by taký program existoval, nazvime ho Mlynček. Potom by sme vedeli algoritmicky rozhodnúť, či platí hypotéza prvočíselných dvojčiat! Ako? Vytvorme program $\textstyle P$ ktorý na vstupe dostane číslo $\textstyle n$ , a postupne bude overovať, či čísla $\textstyle k, k+2$ sú obe prvočísla pre $\textstyle k \geq n$ . Ak by sme vedeli, že skončí pre každé $\textstyle n$ , tak je hypotéza pravdivá, ináč neplatí.

Nie je ťažké si rozmyslieť, že podobným trikom by sme vedeli rozhodnúť o platnosti Veľkej Fermatovej vety alebo Collatzovho problému. Môžeme však úvahu posunúť o rád ďalej: ak by Mlynček existoval, vedeli by sme algoritmicky overiť platnosť každej matematickej vety!
+ skrytý text

Majme matematickú vetu $\textstyle V$ . Zostrojme program $\textstyle P$ , na jeho vstupe nebude záležať. $\textstyle P$ bude postupne prechádzať všetky možné dokazy -- to ide, pretože dôkaz je len konečná postupnosť písmen -- a pre každý overí, či je to dôkaz pre $\textstyle V$ . Ak Mlynček povie, že $\textstyle P$ skončí, tak vieme, že veta platí. (Aby to celé fungovalo, musíme nejak rozumne vedieť povedať, čo je to veta, čo je to dôkaz, a musíme vedieť algoritmicky overiť správnosť dôkazu. To sa dá.)

Záver? Možno teoretická informatika má viac spoločného so základmi matematiky, než si myslíme. Možno dôkazy a algoritmy sú v skutočnosti veľmi príbuzné. Možno som len okľukou dokázal, že Mlynček nemôže existovať, pretože matematické vety nejde rozhodovať algoritmicky. A možno iba celý čas zavádzam. Či nie?

E.T. | org | 9. 11. 2013 20:10:18

Ahoj,

je tu další várka hintů. (Pro všechny, kteří v anketě zvolili poslední možnost jen opakuji, že po termínu odeslání každé série se na našich stránkách objeví hinty ke všem úlohám dané série, abyste si mohli dořešit ty úlohy, které jste sami nerozlouskli. Víc toho najdete zde na matematickém chatu v příspěvku s prvními hinty.) Nyní k samotným radám:

obecná:
+ skrytý text

Přečtěte si název série a zkuste jej nějak využít při řešení. Hledejte tedy nějaké podobné trojúhelníky nebo nějaké jiné útvary.

úloha 1:
+ skrytý text

Najděte 4 čísla $\textstyle a, b, c, d$ taková, že $\textstyle \frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}$ a že trojice $\textstyle a, b, c$ a $\textstyle b, c, d$ splňují trojúhelníkovou nerovnost.

úloha 2:
+ skrytý text

Ukažte že $\textstyle \triangle BCP$ a $\textstyle \triangle DEP$ jsou rovnoramenné a navzájem podobné. ( $\textstyle P$ je průsečík $\textstyle BE$ a $\textstyle CD$ .)

úloha 3:
+ skrytý text

Ukažte, že $\textstyle \triangle KBA$ a $\textstyle \triangle KDY$ jsou podobné. Stejně tak jsou podobné $\textstyle \triangle KXB$ a $\textstyle \triangle KAD$ . Navíc je koeficient podobnosti stejný.

úloha 4:
+ skrytý text

Středy úseček $\textstyle BM, AM, AO, BO$ po řadě označme $\textstyle W, X, Y, Z$ . Ukažte, že pak čtyřúhelník $\textstyle WXYZ$ je kosočtverec. Tedy, že má všechny strany stejně dlouhé a dvojice protějších stran rovnoběžné.

úloha 5:
(i)+ skrytý text

Pomocí zadaných rovností úhlů najděte dvě vhodné dvojice podobných trojúhelníků.

(ii)+ skrytý text

Podobnosti zapište jako rovnosti poměrů délek stran. Tyto rovnosti vhodně upravte a sečtěte.

úloha 6:
(i)+ skrytý text

Dokažte podobnost $\textstyle \triangle BO_1C\sim \triangle AO_2D$ .

(ii)+ skrytý text

Dokažte podobnost $\textstyle \triangle BO_1E\sim\triangle AO_2E$ .

úloha 7:
(i)+ skrytý text

Zobrazte bod $\textstyle D$ ve stejnolehlosti, která zobrazuje $\textstyle C$ na $\textstyle A$ a $\textstyle B$ na $\textstyle E$ . Jeho obraz si označme $\textstyle D_1$ .

(ii)+ skrytý text

Ukažte, že čtyřúhelník $\textstyle AD_1DE$ je tětivový.

úloha 8:
(i)+ skrytý text

Označme středy $\textstyle \triangle MKB, \triangle MKA$ postupně $\textstyle I_1$ , $\textstyle I_2$ . Ukažte, že $\textstyle \triangle MKA, \triangle MBK$ a $\textstyle \tringle MI_1I_2$ jsou navzájem podobné.

(ii)+ skrytý text

Ukažte, že "směr" přímky $\textstyle I_1I_2$ je přesně "mezi směry" přímek $\textstyle AK, BK$ .

Přeji příjemné řešení.

pozn.: Jen připomínám, že se nás můžete zeptat na jakékoliv další hinty a my vám je rádi dáme. Můžete si radit i navzájem či zde prezentovat svá řešení, ale prosíme vás, abyste tak činili minimálně den po termínu odeslání úloh příslušné série.

@Rado (návrh na přesun hintů jinam): Možná u příštích sérií. Uvidíme. ;-)

Miroslav Olšák | org | 7. 11. 2013 02:03:45

To se vám to řeší, když umíte (narozdíl ode mně) řešit Apollionovy úlohy.

To prohazování (Problém 17) je nějak jasné :-)
+ skrytý text

Je to n-1 prohození.
To stačí:+ skrytý text

Prohazuji postupně sousední dvojičky zprava doleva.

a je potřeba:+ skrytý text

V každém kroku posunu doprava jenom jedno číslo.

Problém 18: V rovině je dáno několik bodů, každému je přiřazeno nezáporné reálné číslo nepřevyšující 1006 a navíc vzdálenost žádných dvou bodů nepřevyšuje rozdíl jejich hodnot. Ukažte, že je možné tyto body ohraničit uzavřenou křivkou délky menší než 2013.

Josef Tkadlec | 7. 11. 2013 00:32:54

petr: Na druhý pokus jsem nápovědu pochopil. Hodně, hodně dobré :).

Tak teď co s tím BakyXovým přehazováním dvojic?

petr | 29. 10. 2013 19:59:08

To katka - k elipse - nápověda jak dál
+ skrytý text

Představte si kružnici se středem v tom zadaném bodě elipsy, procházející zadaným ohniskem, přidejte ty dva body, které již máte (zrcadlové obrazy ohniska podle tečen) a řeště standardní apolloniovu úlohu kružnice-bod-bod. Pochopitelně potřebujeme vnitřní dotyk.

katka | 28. 10. 2013 02:38:41

Aby sa na to celkom nezabudlo, napisem nieco k tej elipse.

Zial, zatial sa mi s tym problemom podarilo pohnut len trochu. Konkretne, prisla som na toto:
+ skrytý text

Viem zostrojit priamku, na ktorej lezi druhe ohnisko (vyuzivam pri tom len tie 2 dotycnice a ohnisko, ten bod elipsy nie).

Ako na to? Dam len drobnu, trochu mysticku napovedu :)
+ skrytý text

uhol odrazu sa rovna uhlu dopadu...

A z toho je zrejme, ze treba uz "len"
+ skrytý text

najst to druhe ohnisko pomocou toho jedneho zadaneho bodu elipsy.

Lenze ja zatial neviem ako. Mozno to bude vediet niekto dokoncit, a mozno ma presvedcite, ze tadialto cesta nevedie :)

BakyX | 27. 10. 2013 01:02:33

Super, takže:

Riešenie problému 16:

+ skrytý text

Pomocný odhad:

$\textstyle \frac{9}{a+b^2+c^3} \leq a^3+b^2+c$ , pretože $\textstyle (a^3+b^2+c)(a+b^2+c^3) \ge (a^2+b^2+c^2)^2=9$ .

Ak tak odhadneme každý člen ľavej strany a navyše použijeme $\textstyle a+b+c \leq 3$ , čo plynie z $\textstyle (a^2+b^2+c^2)(1+1+1) \ge (a+b+c)^2$ , tak dostávame presne to, čo chceme.

Problém 17:

Máme danú usporiadanú $\textstyle n$ -ticu $\textstyle (1,2,...,n)$ . V jednom kroku môžeme urobiť vzájomnú výmenu dvoch čísel v tejto $\textstyle n$ -tici. Najmenej koľko krokov potrebujeme, aby sme dosiahli $\textstyle n$ -ticu $\textstyle (n,1,2,...,n-1)$ ?

Rado | 27. 10. 2013 00:22:10

Jajks. Samozřejmě jsem strašně hloupý a zapomněl jsem dopsat podmínku: $\textstyle a^2+b^2+c^2=3$ . Teď už by to snad mělo fungovat :)

Xellos | 27. 10. 2013 00:06:14

Fakt. Dokonca ked a,b,c idu do nuly, tak L strana ide do nekonecna a prava do 6. Nechce to vazbu nahodou?

<< < 1 2 ... 12 13 14 ... 35 36 > >>

Kontakt

email	info (zavináč) prase.cz
pošta	Matematický korespondenční seminář KAM MFF UK Malostranské náměstí 25 118 00 Praha 1

Organizátoři

Matematický korespondenční seminář je organizovaný studenty Matematicko-fyzikální fakulty UK pod záštitou Informatického ústavu UK a Oddělení propagace a mediální komunikace MFF UK.

Partneři

Realizace projektu byla podpořena Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy

Matematický korespondenční seminář

Kalendář

Z naší fotogalerie

Kontakt

Organizátoři

Partneři