Chat Prasátek

Matematická sekce

<< < 1 2 ... 12 13 14 ... 36 37 > >>

E.T. | org | 15. 1. 2014 03:33:18

Sice pozdě, ale přece...
přichází další várka nápověd! Tentokrát ke 4. podzimní sérii.

úloha 1:
+ skrytý text

Je to 13. (Nezapomeňte na ověření, že víc to být nemůže i že 13 vyhovuje.)

úloha 2:
(i)
+ skrytý text

Rozdělte kružnici na dva oblouky jejichž hranicemi jsou čísla 1 a 2014.

(ii)
+ skrytý text

Může se stát, že daný součet na jednom oblouku bude menší než 2013?

úloha 3:
+ skrytý text

Označme hledané číslo m. Pak m+1 a m+10 jsou druhé mocniny nějakých přirozených čísel (neboli čtverce). Jaký je největší čtverec takový, že po přičtení devítky opět vznikne čtverec?

úloha 4:
(i)
+ skrytý text

Ukažte, že se můžeme omezit jen na podmnožiny o maximálně třech prvcích. (viz bod (ii)) A maxima tak nabydeme, pokud vybereme všechny. (To, že tento výběr vyhovuje podmínkám zadání se ověří snadno.)

(ii)
+ skrytý text

Ukažte, že pokud by nějaká z podmnožin (pojmenujme ji A) měla více než tři prvky, pak byste ji mohli nahradit její tříprvkovou podmnožinou (tu nazvěme B). Musí totiž platit:
+ skrytý text

Množina B není v původním výběru.

+ skrytý text

Nahrazením množiny A množinou B nepokazíme ani jednu z podmínek v zadání.

úloha 5:
+ skrytý text

Označme koncové body daného oblouku X a Y. Pak ukažte, že pokud X a Y náleží různým stranám trojúhelníka ABC, je velikost úhlu XSY (a proto i daného oblouku) vždy stejná. Pokud by X, Y ležely na stejném rameni, bude dálka oblouku vždy menší... Pro jaké polohy S nastává jaký případ?

úloha 6:
+ skrytý text

Každá věž je buď "neohrožována", a pak ve stejném sloupci a řádku už žádná jiná věž není (tedy každá taková věž obsadí dvě řady), nebo se ohrožuje s jednou navzájem (pak tyto dvě věže obsazují tři řady). (Řadou rozumíme buď řádek, nebo sloupec.)

úloha 7:
+ skrytý text

Je to 7. Musíte ukázat 2 věci -- že na 7 vhodné rozmístění černých polí existuje a že na 6 (nebo méně) ne.
+ skrytý text

První část nechme k ověření vaší kreativní mysli. Druhou můžeme ukázat sporem aplikací podobných myšlenek, jako jsou tyto:
- Předpokládejme, že máme vhodné začernění 6 polí.
+ skrytý text

Na šachovnici se vejde 6 křížů bez překrývání (ověřte si). Proto v každém kříži musí být 1 černé pole. V rozích šachovnice tedy nemohou být černá pole, protože neleží v žádném kříži.

+ skrytý text

Toto navíc musí platit pro všechna možná vložení šesti křížů do šachovnice a černá pole mohou být jen ta, která leží při každém vložení v nějakém kříži. (Tedy třeba celý okraj šachovnice nesmí být začerněný.)

Podobnými úvahami po chvíli dojdete ke sporu.

úloha 8:
(i)
+ skrytý text

Nejprve si formulujme pomocné lemma.
Lemma: Mějme 2k párů čísel ( $a_i,b_i$ ). Ty můžeme rozdělit na 2 skupiny po k dvojicích, tak, že platí:
- Označíme-li součet všech áček v první skupině x, a ve druhé skupině y, pak absolutní hodnota rozdílu x-y je neostře menší než maximum ze všech áček.
- Označíme-li součet všech béček v první skupině m, a ve druhé skupině n, pak absolutní hodnota rozdílu m-n je neostře menší než maximum ze všech béček.
(Platí obě vlastnosti zároveň.)
Důkaz:+ skrytý text

Provedeme indukcí podle k. + skrytý text

Nejobtížnější je indukční krok -- indukční předpoklad použijte na 2k párů s minimálními áčky. + skrytý text

Pak první nerovnost platí, ať přidáme nové dva páry jakkoliv. Stačí vydiskutovat všechny možné případy a ukázat, že platí i druhá nerovnost.

(ii)
+ skrytý text

Vhodně použijte lemma:+ skrytý text

Odeberme dvě bedny s maximálním počtem ananasů a jablek. Pak na zbylé bedny použijte lemma, kde každá bedna je pár, a je počet jejích ananasů a b jablek.

Přeji příjemné řešení,
E.T.

Baklazan | 5. 1. 2014 13:51:16

Diki.

Miroslav Olšák | org | 5. 1. 2014 10:45:39

Ne, pouze +

Baklazan | 5. 1. 2014 00:39:17

V ulohe 7 (aktualna seria): Povazuje sa aj kriz v tvare X za Grecky?

katka | 18. 12. 2013 10:08:15

aha, uz totam vidim, vcera vecer to tam tusim este nebolo :)

katka | 18. 12. 2013 10:06:30

Ten dejepisny seminar sa mi paci, zo skoly si dejepis pamatam len ako predmet, na ktory sa stacilo namemorovat nejake fakty.

Jedna informacia mi vsak na stranke chyba, alebo som ju prehliadla: pre koho je seminar urceny? Mozu ho riesit len stredoskolaci, resp. mladsi ziaci, alebo uplne hocikto?

Josef Svoboda | 17. 12. 2013 22:28:07

Ahoj!

Miluješ matematiku a řešíš PraSe, a přesto máš pocit, že Ti ke spokojenému životu ještě něco chybí?

Pak je tu pro Tebe DěS!!!

Ano, je to tak! Legendární dějepisný korespondenční seminář se právě rozjíždí první sérií! Termín odeslání je již 20. ledna. Neváhej tedy a nauč se přes Vánoce něco z historie!

Vše potřebné najdeš na našich stránkách http://des.thilisar.cz

Za orgy DěSu,

Pepa S., Štěpán, Martin Č., Barča K. a další...

Josef Tkadlec | 13. 12. 2013 14:49:49

M: Označil bych si délku a šířku toho obdélníka (třeba $\textstyle d$ a $\textstyle \check{s}$ ) a z každé z prvních dvou vět bych sestavil jednu rovnici. Pak bych z jedné rovnice dosadil za jednu neznámou do té druhé a dopočítal.

všichni: Řešte TR $\textstyle i$ KSko :) (http://iksko.org/triks/current.php). Troufnu si naznačit, že máte slušnou šanci na vítězství -- favoriti tohle kolo pokazili ;).

Od 7. 11. už uplynulo docela dost času... To je vážně ten Mirkův Problém 18 tak těžký?

M | 12. 12. 2013 15:52:56

Obdelník má délku o 20 cm větší než šířku. Zmenší-li se délka o 5cm a zvětší se šířka o 10cm, zvětší se obsah obdelníku o 200cm2. Jaké jsou rozměry obdelníku??

E.T. | org | 7. 12. 2013 00:45:49

Oprava hintů ke 3. podzimní sérii:
+ skrytý text

V úloze 2 nemá být $f(x^2)$ , ale $f^2(x)$ .

E.T. | org | 7. 12. 2013 00:42:17

A přichází slibované hinty k 1. seriálové sérii:

1. úloha:
Postupně dokažte, že platí
(i)
+ skrytý text

$(n^2+k)|(nk+k)$

(ii)
+ skrytý text

$n^2c=k(n+1-c)$ pro nějaké c

(iii)
+ skrytý text

$n|(n+1-c)$

(iv)
+ skrytý text

$0\leq c\leq n+1$

2. úloha:
+ skrytý text

Označme p největšího prvočíselného dělitele čísla n!+k, 1<k<=n. Pak musí nastat jeden z případů:
(i)+ skrytý text

p>n a snadno ukážeme, že platí, co platit má

(ii)+ skrytý text

p<=n a pak k=n a proto platí
+ skrytý text

$n!+p=p^a$ , kde a je nějaké přirozené číslo větší než 1.

+ skrytý text

Kdyby p dělilo nějaké z čísel 1,2,...,n různé od p, nemohlo by p^2 dělit n!+p.

3. úloha:
+ skrytý text

Upravte do tvaru $a^2+b^2\equiv 0 (mod$ $p)$ a využijte tvrzení ze seriálu.

E.T. | org | 5. 12. 2013 01:51:08

Hola hej!
Zdravíme všechna pilná Prasátka a uveřejňujeme rady k úlohám třetí série:

úloha 1:
+ skrytý text

"Vnořte absolutní hodnoty do sebe."

úloha 2:
+ skrytý text

Funkce f musí být periodická. f(2x) má periodu dvakrát kratší než f(x). Rozmyslete si, že funkce f(x^2) bude mít jinou periodu než f, jen pokud f vhodně střídá znaménko.

úloha 3:
+ skrytý text

Ukažte, že, aby bylo vyhověno zadání, musí nastat jeden z těchto dvou případů. Funkce f,g jsou obě rostoucí nebo obě klesající.

úoha 4:
+ skrytý text

Vhodným dosazováním zjistěte f(1) a f(2). Pomocí těchto hodnot a f(3) dvěma způsoby vyjádřete f(12).

úloha 5:
+ skrytý text

Označme levou stranu rovnosti v zadání L(x). Vyšetřete monotónnost funkce L (pozor, L není všude monotónní "stejně"). Pomocí toho ukažte, že rovnice může mít nejvýše jedno kladné a jedno záporné řešení.

úloha 6:
(i):
+ skrytý text

Grafem libovolné kvadratické funkce (na reálných číslech) je parabola.

(ii):
+ skrytý text

Ta je osově souměrná podle kolmice na x-ovou souřadnou osu procházející vrcholem paraboly. Tím pádem nabývá daná funkce stejných hodnot na obou ramenech.

úloha 7:
(i):
+ skrytý text

Postupujte sporem. Označme si dané funkce g,h. Pak musí platit g(x)+h(x)=f(x)=x^2. Navíc existují (z periodičnosti g,h) nenulová čísla k,c taková, že g(x+c)=g(x) a h(x+k)=h(k).

(ii):
+ skrytý text

Dosaďte do rovnosti z (i) postupně (c+k), c, k, 0.

(iii):
+ skrytý text

Pak vzniklé rovnosti vhodně sečtěte.

úloha 8:
(i):
+ skrytý text

Zaměřte se na čtveřice, v nichž v=0 a u=x+y.

(ii):
+ skrytý text

Za [x,y] dosaďte postupně [t+1,t-1], [t-1,-t], [-t,t+1]

(iii):
+ skrytý text

Výsledné rovnice sečtěte.

Hinty k 1. seriálové sérii se zde objeví již brzy.

Rozkošný a důvtipný okoun | 26. 11. 2013 22:30:12

Druhá věta o pizze je super :)

A co takhle udělat orgům to opravování trochu veselejší a příští sérii jim poslat s co nejzajímavěji nazvanými lemmátky? (Každý si určitě ve svých řešeních najde něco, co se dá nazvat pomocným tvrzením.)

Lemma lama:
Pokud někdo odešle třetí sérii bez jakéhokoliv coolově nazvaného lemma, je lama!

A slováci - Myjava není originální!

Miroslav Olšák | org | 26. 11. 2013 21:55:18

Taky pravda. Naprosto nechápu, proč pojmenovávat věty po matematicích, vždyť to nikomu nic neřekne. Navíc se typicky po matematikovi pojmenuje více vět, přičemž ani jednu z nich neobjevil :-)

Ale jsou i výjimky, když už jsme u toho jídla, máme větu o sendiči
http://en.wikipedia.org/wiki/Ham_sandwich_the...
dodatek k této větě je, že platí i když si šunku zapomenete v ledničce ;-)

Jiná věta o sendviči je dokonce z matematické analýzy, Kubo, ale ta zdaleka nemá tak fajn pohádku.

Případně máme dvě věty o pizze (především ta druhá stojí za přečtení ;-) )
http://www.wolframalpha.com/input/?i=pizza+th...

A ještě mají na wiki prima obrázek k motýlímu lemmatu z algebry
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Butterfly_l...

Jakub Krásenský | org | 26. 11. 2013 21:30:15

Pěkné... Myslím, že kdyby se věty v matematické analýze jmenovaly takhle, učily by se mnohem lépe.

Proč Bismarckova busta? Celkově jsem nepotkal moc lidí, kteří by na stole měli bustu, ale když už, nečekal bych německého státníka. To mi přijde zajímavé.

Kuba Svoboda | 26. 11. 2013 12:54:56

Při vymýšlení názvu mrkvovo-salámové lemma jsem měl hlad a nechtěl jsem jíst nezdravě (proto salám a mrkev) a na stole mi stojí Bismarcova busta, tedy pojmenování druhého je zřejmé.

Josef Svoboda | 24. 11. 2013 17:20:08

Ahoj OD.
Toto pojmenování je pro mě také trochu záhadou. Nicméně v matematice platí, že každý si může pojmenovat cokoliv jak se mu zlíbí. Pokud ovšem napíše, o co vlastně jde.
Mrkvovo-salámové lemma + skrytý text

říká, že v trojúhelníku ABC dělí osa úhlu BAC stranu BC v poměru b:c. Někdy se mu také říká věta o ose úhlu: http://en.wikipedia.org/wiki/Angle_bisector_t...

Bismarckovo lemma + skrytý text

říká, že pokud D je průsečík osy úhlu BAC a kružnice opsané trojúhelníku ABC, pak 1) D je střed oblouku BC, na kterém neleží bod A, 2) pokud E (resp. F) je průsečík strany AB (resp. AC) a osy úhlu ADB (resp. ADC), pak je přímka EF rovnoběžná se stranou BC.

OD | 23. 11. 2013 21:43:31

Zdravím,

chtěl bych se zeptat, co se myslí mrkvo-salámovým a Bismarckovým lemmatem ze závěru vzoráku 2. série?

Miško | org | 17. 11. 2013 10:28:19

Nj, mala tam byt dokazatelnost a nie platnost...

Miroslav Olšák | org | 16. 11. 2013 11:42:19

No, trochu podvadis
+ skrytý text

Ze se veta neda dokazat, nezarucuje, ze "neplati" -- jsou tvrzeni, ktera se nedaji vyvratit ani dokazat. To souvisi s Godelovou vetou o neuplnosti a halting problemem. (ale nechce se mi to tu vysvetlovat, nikdo by to nepochopil)

Ba co hur, ze se veta da dokazat uplne nezarucuje, ze "plati". Logika je holt nejnelogictejsi oblast matematiky ;-)

<< < 1 2 ... 12 13 14 ... 36 37 > >>

Kontakt

email	info (zavináč) prase.cz
pošta	Matematický korespondenční seminář KAM MFF UK Malostranské náměstí 25 118 00 Praha 1

Organizátoři

Matematický korespondenční seminář je organizovaný studenty Matematicko-fyzikální fakulty UK pod záštitou Informatického ústavu UK a Oddělení propagace a mediální komunikace MFF UK.

Partneři

Realizace projektu byla podpořena Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy

Matematický korespondenční seminář

Kalendář

Z naší fotogalerie

Kontakt

Organizátoři

Partneři