Chat Prasátek

Matematická sekce

Jan Jurka | 27. 4. 2014 17:53:28

Zdarec, překládá se to jako "okruh kvadratických celých čísel".

Matěj | 27. 4. 2014 12:33:38

Ahoj, píšu seminárku a potřeboval bych poradit s terminologií - nevíte, jak se do češtiny překládá "quadratic integer ring"? Kvadratický okruh?

Josef Svoboda | 14. 4. 2014 20:31:59

Ahoj! Také přichází nápovědy k seriálu, pěkně si je užijte:

úloha 1
+ skrytý text

Úlohu si rozděl na případ, kdy je n čtvercové (těžký) a kdy je bezčtvercové (snadný). + skrytý text

Rozlož si n na prvočísla. Jak přispějí ty, které jsou jen v první mocnině? + skrytý text

Čtvercoví dělitelé nepřispívají. Ostatní dělitelé se dají sečíst na nulu podobně jako v seriálu.

úloha 2
+ skrytý text

Obě strany jsou multiplikativní (z úvah o konvoluci).+ skrytý text

Rovnost tedy stačí ověřit pro mocniny prvočísel. Na to se hodí vzoreček ze zadání.

úloha 3
+ skrytý text

Zkus se zamyslet nad aritmetickou funkcí, která je multiplikativní, a přitom přiřazuje jen hodnoty 0,1,-1 podle zbytku po dělení čtyřmi. + skrytý text

Stačí nahlédnout, jak je to se sumární funkcí funkce z předchozí nápovědy.

E.T. | org | 14. 4. 2014 03:51:06

A přichází další nápovědy:

úloha 1.
+ skrytý text

Tohle snad zvládnete sami :). Pokud ne, zkuste při standardním označení krychle obarvit vrcholy A,B,F,G červeně a zbylé zeleně.

úloha 2.
+ skrytý text

Nakreslete si, jak situace vypadá \uv{shora} (tedy po kolmém promítnutí do podstavy). Vrchol bude někde, kde se mohou protínat obě stěny kolmé na podstavu.

úloha 3.
+ skrytý text

Rozdělte krychle do dvou trojic a v každé trojici je poskládejte tak, aby se každá dotýkala každé nějakou stěnou. Pokud jsou krychle stejné, bude výsledný tvar trošku podobný písmenu T. Poté na sebe tato dvě \uv{téčka} vhodně položte.

úloha 4.
+ skrytý text

Ukažte, že platí jistá 3D varianta trojúhelníkové nerovnosti, tedy že obsahy tří libovolných stran čtyřstěnu mají dohromady větší obsah než strana poslední.
+ skrytý text

Promítněte si tři stěny do roviny té čtvrté.

+ skrytý text

V jakém poměru musí být podle zadání obsahy stěn?

úloha 5.
+ skrytý text

Rozšiřte levou stranu dvěma. Předpokládejme, že A,B, jsou vrcholy na hraně délky a a O střed koule opsané.
+ skrytý text

Co říká trojúhelník ABO vztahu čitatelů v upravené nerovnosti?

+ skrytý text

Co můžete říct o jmenovatelích, když víte, že koule vepsaná je celým svým objemem v čtyřstěnu?

úloha 6.
+ skrytý text

Všimněte si, že každá budova dá Davidovi nějaký interval, jak vysoká může být jeho budova, aby se nestínili.

+ skrytý text

Ukažte, že všechny intervaly mají neprázdný průnik. K tomu stačí, aby každé dva měly neprázdný průnik.
+ skrytý text

Pro spor předpokládejte, že intervaly náležící budovám A a B, mají prázdný průnik. Pak můžete dvěma způsoby odhadnout vzdálenost mezi nimi a získat spor.

úloha 7.
+ skrytý text

Označte po řadě G,H body dotyků koule vepsané s ABC a BCD a I, J body dotyků koule připsané s těmito stranami. Pozorování, že délky tětivy od daného bodu k dané kouli jsou stejně dlouhé, vám dá spoustu rovností délek různých úseček.

+ skrytý text

Ukažte, že BGI a BHJ jsou shodné.
+ skrytý text

Stačí vám |GI|=|HJ|. K tomu vám stačí ukázat, že D,G,I leží na jedné přímce a D,H,J také.
+ skrytý text

tip: Zaměřte se na stejnolehlost zobrazující kouli vepsanou na připsanou.

+ skrytý text

Nyní sklopte trojúhelníky BGI a BHJ do roviny ABC po řadě podle os AB, BC.

+ skrytý text

Nyní sklopte trojúhelníky BGI a BHJ do roviny ABC po řadě podle os AB, BC.

úloha 8.
+ skrytý text

Počítejte s objemy:
+ skrytý text

Ukažte, že poměr objemů VAiAjAk a VBiBjBk je pro libovolná i,j,k z {1,2,...,n} konstantní. Tento poměr si označme t.
+ skrytý text

(rada: Rovná se poměru objemů VA1A2...An a VB1B2...Bn.)

+ skrytý text

Nyní ukažte, že objem VAiAjAk je ai*aj*ak-krát větší než objem VBiBjBk, kde ai je poměr |Ai| a |Bi|.
+ skrytý text

(rada: Na jehlan VAiAjAk se dívejte, jako by měl podstavu VAiAj a vrchol Ak a tím ukaže , že objem VAiAjAk je ak-krát větší než objem VAiAjBk.)

+ skrytý text

Ukazte, ze vsechna ai jsou stejna, a dokoncete tak dukaz

Nápovědy k seriálu se objeví velmi brzy, snad již v průběhu dneška.
Tak pilně řešte,
E.T.

E.T. | org | 17. 3. 2014 03:07:42

A zde je slíbená nápověda:

úloha 8.
+ skrytý text

Označme n stupeň polynomu P. Úlohu rozdělte na tato tři případy: P je konstantí, n=1, n>=2.
druhý případ:+ skrytý text

Ukažte, že zadání je vyhověno právě tehdy když jsou oba koeficienty polynomu racionální.

třetí případ:
i)+ skrytý text

Ukažte, že polynom musí mít racionální koeficienty; BÚNO celočíselné.

ii)+ skrytý text

Odhalte spor podobného typu jako ve větě o racionálních kořenech: http://en.wikipedia.org/wiki/Rational_root_th...

E.T. | org | 14. 3. 2014 20:14:03

Hola hej,
přichází další várka nápověd!

úloha 1.
+ skrytý text

Napište např. do prvního řádku $\sqrt{2}$ a $2\sqrt{2}$ . Následně tabulku doplňte tak, aby všechny součty byly nulové.

úloha 2.
+ skrytý text

Ne. Označme si daná čísla a, b, c. Je 2(a+b+c) racionální, nebo iracionální?

úloha 3.
+ skrytý text

Napište si na papír nějaké náhodné reálné číslo (třeba 3,84659765813...). (To bude vaše x ze zadání.) A pak sledujte, co se s ním děje, pokud ho násobíte mocninami deseti a z výsledku berete celou část.

úloha 4:
+ skrytý text

Zkuste dané podmnožiny nějak popárovat:
+ skrytý text

Do páru vždy dejte nějakou podmnožinu a její doplněk.

úloha 5:
+ skrytý text

Umocněte $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ na druhou a ukažte, že toto číslo je dělitelné dvěma, ale ne čtyřmi.

úloha 6:
+ skrytý text

Ne. Postupujte sporem:
+ skrytý text

Je-li Filipovo číslo racionální, musí se v jeho zápise nuly "pravidelně opakovat". Přitom nuly jsou v jeho čísle na stejných pozicích, jako v Pepově čísle.

úloha 7.
+ skrytý text

Ano.
+ skrytý text

Zapište čísla a, b, c ve dvojkové soustavě.

+ skrytý text

Najděte taková desetinné zápisy, aby ani jeden z nich nebo periodický nebo ukončený a aby na každé pozici mělo právě jedno z čísel jedničku (a zbylé nuly). Ukažte, že taková čísla vyhovují zadání.

Nápověda k osmé úloze přijde již brzy. Těšte se.
E.T.

E.T. | org | 10. 3. 2014 03:30:14

Ahoj Petře,
běžně posíláme dvě až tři série naráz, ale víc zpravidla ne. Druhou a třetí podzimní sérii spolu s první seriálovou jsme posílali už v lednu, takže jsi je rozhodně měl dostat. 4.podzimní a 1.jarní sérii jsme posílali před pár dny, takže bys je měl dostat velmi brzy. Vynasnažíme se zjistit, proč Ti obálka v pořádku nedorazila, a pokud to bude v našich silách, nějak to napravit.
E.T.

Petr Jakubčík | 9. 3. 2014 18:19:29

Ahoj!

Chtěl bych se zeptat, jak často se posílají zpátky opravená řešení. Já jsem totiž dostal jenom ta z první podzimní série a od té doby nic. Je chyba na mé straně, nebo je to tak u MKS běžné, že se posílají opravená řešení hromadně za více sérií najednou? Díky za odpověď!

David Hruška | org | 7. 3. 2014 23:28:51

Ahoj,

přiblížilo se nám celostátní kolo MO (23.3. - 26.3.2014) a je tady skvělá příležitost, jak správně doladit formu
a zkusit si celostátko nanečisto! Příští týden bude probíhat v souteži TRiKS (http://iksko.org/triks/) zkrácená standardní soutěž. Ten další týden se bude od pondělka do středy soutěžit v řešení trojce úloh odpovídajících prvnímu dni na celostátku, od čtvrtka do soboty se pojede druhý den. Tak ukažte, co ve vás je a kdo budou letošní favorité! A pak hurá do Ostravy, budeme držet palce!

David Hruška | org | 28. 2. 2014 00:15:49

Pozor, pozor!

V zadání (http://mks.mff.cuni.cz/commentary/aktualni.php) páté úlohy aktuální série jsme opomněli dodatečný předpoklad, a sice, že $a, b$ jsou kladná reálná čísla. Naše společnost se Vám tímto omlouvá za způsobené nepříjemnosti.

E.T. | org | 13. 2. 2014 21:19:57

Ahoj,
přichází další várka nápověd:
úloha 1:
+ skrytý text

Jaký by musel být součet oněch čísel?

úloha 2:
+ skrytý text

Každý kluk má o jednu spolužačku více než jakékoliv děvče.

úloha 3:
+ skrytý text

Následují první dva kroky správného postupu párování (to neznamená, že jiné postupy nejsou):
i)+ skrytý text

Zprůměrujme čísla 1 a 3.

i)+ skrytý text

Zprůměrujme čísla 2 a 2.

úloha 4:
+ skrytý text

Co se stane s rozdílem oněch čísel po tom, co Alča provede danou operaci?

úloha 5:
+ skrytý text

Stačí ukázat, že vždy umíme nalézt 2k dílků vedle sebe, mezi kterými je k těch větších.
+ skrytý text

Vyberme tedy nějakých 2k dílků vedle sebe. Zkusme jeden krajní dílek odebrat a jeden (na druhé straně) přidat. Jak se tím změní počet vybraných větších dílků?

úloha 6:
+ skrytý text

Nalezněte párování všech průměrných podmnožin, které mají více než jeden prvek.
+ skrytý text

Popárujte ty podmnožiny, které obsahují průměr svých členů s těmi, které ho neobsahují (ale jinak jsou stejné).

úloha 7:
+ skrytý text

Ukažte, že po každém "zpoloměrování" dvou čísel se součet převrácených hodnot všech čísel zmenší.

úloha 8:
+ skrytý text

Použijte kruhovou inverzi. (http://mks.mff.cuni.cz/library/KruhovaInverze...)

Jan Jurka | 16. 1. 2014 15:00:31

Reseni 19
+ skrytý text

Sumy na obou stranach secteme a dostaneme rovnici $\frac{(k - 1)k}{2} = \frac{n(n + 1)}{2} - \frac{k(k + 1)}{2}$ neboli $\textstyle 2k^2 = n^2 + n$ , tohle je hyperbola, tedy pujde zredukovat na Pellovu rovnici a opravdu muzeme psat $1 = (2n + 1)^2 - 8k^2$ Tohle je Pellova rovnice se zakladnim resenim $\textstyle (2n + 1,k) = (3,1)$ , tedy pro vsechna reseni teto rovnice plati
$2n + 1 + \sqrt{8}k = \left(3 + \sqrt{8}\right)^m$
$2k + 1 - \sqrt{8}k = \left(3 - \sqrt{8}\right)^m \newline$
pro $\textstyle m \in \mathbb{N}$
Souctem techto rovnic dostaneme
$n = \frac{\left(3 + \sqrt{8}\right)^m + \left(3 - \sqrt{8}\right)^m - 2}{4}$ Dosazovanim za $\textstyle m$ postupne dostavame posloupnost reseni $\textstyle n \in \{1,8,49,288, \dots\}$ . Tedy hledane $\textstyle n$ je $\textstyle \boxed{288}$ . A opravdu lze overit, ze
$1 + 2 + \dots + 203 = 205 + 206 + \dots + 288$

Problem 20:
+ skrytý text

Číslo $\textstyle 365$ lze zapsat jako součet dvou po sobě jdoucích čtverců a jako součet tří po sobě jdoucích čtverců
$365 = 13^2 + 14^2 = 10^2 + 11^2 + 12^2$
Najděte nejmenší přirozené číslo větší než $\textstyle 365$ , které lze také zapsat jako součet dvou po sobě jdoucích čtverců a jako součet tří po sobě jdoucích čtverců. (Čtvercem rozumíme druhou mocninu přirozeného čísla.)

Josef Tkadlec | 16. 1. 2014 00:22:02

Problém 18:
+ skrytý text

Stránka Minulé ročníky v sekci Matematika skrývá mnohá tajemství: http://mks.mff.cuni.cz/archive/26/1.pdf.

Problém 19: Řekneme, že přirozené číslo $\textstyle n$ je superhrubé, ak existuje $\textstyle k<n$ takové, že $1+2+\dots+(k-1) = (k+1)+(k+2)+\dots+n.$ Najděte nejmenší superhrubé číslo větší než 250.

E.T. | org | 15. 1. 2014 03:33:18

Sice pozdě, ale přece...
přichází další várka nápověd! Tentokrát ke 4. podzimní sérii.

úloha 1:
+ skrytý text

Je to 13. (Nezapomeňte na ověření, že víc to být nemůže i že 13 vyhovuje.)

úloha 2:
(i)
+ skrytý text

Rozdělte kružnici na dva oblouky jejichž hranicemi jsou čísla 1 a 2014.

(ii)
+ skrytý text

Může se stát, že daný součet na jednom oblouku bude menší než 2013?

úloha 3:
+ skrytý text

Označme hledané číslo m. Pak m+1 a m+10 jsou druhé mocniny nějakých přirozených čísel (neboli čtverce). Jaký je největší čtverec takový, že po přičtení devítky opět vznikne čtverec?

úloha 4:
(i)
+ skrytý text

Ukažte, že se můžeme omezit jen na podmnožiny o maximálně třech prvcích. (viz bod (ii)) A maxima tak nabydeme, pokud vybereme všechny. (To, že tento výběr vyhovuje podmínkám zadání se ověří snadno.)

(ii)
+ skrytý text

Ukažte, že pokud by nějaká z podmnožin (pojmenujme ji A) měla více než tři prvky, pak byste ji mohli nahradit její tříprvkovou podmnožinou (tu nazvěme B). Musí totiž platit:
+ skrytý text

Množina B není v původním výběru.

+ skrytý text

Nahrazením množiny A množinou B nepokazíme ani jednu z podmínek v zadání.

úloha 5:
+ skrytý text

Označme koncové body daného oblouku X a Y. Pak ukažte, že pokud X a Y náleží různým stranám trojúhelníka ABC, je velikost úhlu XSY (a proto i daného oblouku) vždy stejná. Pokud by X, Y ležely na stejném rameni, bude dálka oblouku vždy menší... Pro jaké polohy S nastává jaký případ?

úloha 6:
+ skrytý text

Každá věž je buď "neohrožována", a pak ve stejném sloupci a řádku už žádná jiná věž není (tedy každá taková věž obsadí dvě řady), nebo se ohrožuje s jednou navzájem (pak tyto dvě věže obsazují tři řady). (Řadou rozumíme buď řádek, nebo sloupec.)

úloha 7:
+ skrytý text

Je to 7. Musíte ukázat 2 věci -- že na 7 vhodné rozmístění černých polí existuje a že na 6 (nebo méně) ne.
+ skrytý text

První část nechme k ověření vaší kreativní mysli. Druhou můžeme ukázat sporem aplikací podobných myšlenek, jako jsou tyto:
- Předpokládejme, že máme vhodné začernění 6 polí.
+ skrytý text

Na šachovnici se vejde 6 křížů bez překrývání (ověřte si). Proto v každém kříži musí být 1 černé pole. V rozích šachovnice tedy nemohou být černá pole, protože neleží v žádném kříži.

+ skrytý text

Toto navíc musí platit pro všechna možná vložení šesti křížů do šachovnice a černá pole mohou být jen ta, která leží při každém vložení v nějakém kříži. (Tedy třeba celý okraj šachovnice nesmí být začerněný.)

Podobnými úvahami po chvíli dojdete ke sporu.

úloha 8:
(i)
+ skrytý text

Nejprve si formulujme pomocné lemma.
Lemma: Mějme 2k párů čísel ( $a_i,b_i$ ). Ty můžeme rozdělit na 2 skupiny po k dvojicích, tak, že platí:
- Označíme-li součet všech áček v první skupině x, a ve druhé skupině y, pak absolutní hodnota rozdílu x-y je neostře menší než maximum ze všech áček.
- Označíme-li součet všech béček v první skupině m, a ve druhé skupině n, pak absolutní hodnota rozdílu m-n je neostře menší než maximum ze všech béček.
(Platí obě vlastnosti zároveň.)
Důkaz:+ skrytý text

Provedeme indukcí podle k. + skrytý text

Nejobtížnější je indukční krok -- indukční předpoklad použijte na 2k párů s minimálními áčky. + skrytý text

Pak první nerovnost platí, ať přidáme nové dva páry jakkoliv. Stačí vydiskutovat všechny možné případy a ukázat, že platí i druhá nerovnost.

(ii)
+ skrytý text

Vhodně použijte lemma:+ skrytý text

Odeberme dvě bedny s maximálním počtem ananasů a jablek. Pak na zbylé bedny použijte lemma, kde každá bedna je pár, a je počet jejích ananasů a b jablek.

Přeji příjemné řešení,
E.T.

Baklazan | 5. 1. 2014 13:51:16

Diki.

Miroslav Olšák | org | 5. 1. 2014 10:45:39

Ne, pouze +

Baklazan | 5. 1. 2014 00:39:17

V ulohe 7 (aktualna seria): Povazuje sa aj kriz v tvare X za Grecky?

katka | 18. 12. 2013 10:08:15

aha, uz totam vidim, vcera vecer to tam tusim este nebolo :)

katka | 18. 12. 2013 10:06:30

Ten dejepisny seminar sa mi paci, zo skoly si dejepis pamatam len ako predmet, na ktory sa stacilo namemorovat nejake fakty.

Jedna informacia mi vsak na stranke chyba, alebo som ju prehliadla: pre koho je seminar urceny? Mozu ho riesit len stredoskolaci, resp. mladsi ziaci, alebo uplne hocikto?

Josef Svoboda | 17. 12. 2013 22:28:07

Ahoj!

Miluješ matematiku a řešíš PraSe, a přesto máš pocit, že Ti ke spokojenému životu ještě něco chybí?

Pak je tu pro Tebe DěS!!!

Ano, je to tak! Legendární dějepisný korespondenční seminář se právě rozjíždí první sérií! Termín odeslání je již 20. ledna. Neváhej tedy a nauč se přes Vánoce něco z historie!

Vše potřebné najdeš na našich stránkách http://des.thilisar.cz

Za orgy DěSu,

Pepa S., Štěpán, Martin Č., Barča K. a další...

<< < 1 2 ... 11 12 13 ... 36 37 > >>

Kontakt

email	info (zavináč) prase.cz
pošta	Matematický korespondenční seminář KAM MFF UK Malostranské náměstí 25 118 00 Praha 1

Organizátoři

Matematický korespondenční seminář je organizovaný studenty Matematicko-fyzikální fakulty UK pod záštitou Informatického ústavu UK a Oddělení propagace a mediální komunikace MFF UK.

Partneři

Realizace projektu byla podpořena Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy

Matematický korespondenční seminář

Kalendář

Z naší fotogalerie

Kontakt

Organizátoři

Partneři