Matematický korespondenční seminář

Úlohu si rozděl na případ, kdy je n čtvercové (těžký) a kdy je bezčtvercové (snadný). + skrytý text

Obě strany jsou multiplikativní (z úvah o konvoluci).+ skrytý text

Zkus se zamyslet nad aritmetickou funkcí, která je multiplikativní, a přitom přiřazuje jen hodnoty 0,1,-1 podle zbytku po dělení čtyřmi. + skrytý text

Tohle snad zvládnete sami :). Pokud ne, zkuste při standardním označení krychle obarvit vrcholy A,B,F,G červeně a zbylé zeleně.

Nakreslete si, jak situace vypadá \uv{shora} (tedy po kolmém promítnutí do podstavy). Vrchol bude někde, kde se mohou protínat obě stěny kolmé na podstavu.

Rozdělte krychle do dvou trojic a v každé trojici je poskládejte tak, aby se každá dotýkala každé nějakou stěnou. Pokud jsou krychle stejné, bude výsledný tvar trošku podobný písmenu T. Poté na sebe tato dvě \uv{téčka} vhodně položte.

Ukažte, že platí jistá 3D varianta trojúhelníkové nerovnosti, tedy že obsahy tří libovolných stran čtyřstěnu mají dohromady větší obsah než strana poslední.
+ skrytý text

V jakém poměru musí být podle zadání obsahy stěn?

Rozšiřte levou stranu dvěma. Předpokládejme, že A,B, jsou vrcholy na hraně délky a a O střed koule opsané.
+ skrytý text
+ skrytý text

Všimněte si, že každá budova dá Davidovi nějaký interval, jak vysoká může být jeho budova, aby se nestínili.

Ukažte, že všechny intervaly mají neprázdný průnik. K tomu stačí, aby každé dva měly neprázdný průnik.
+ skrytý text

Označte po řadě G,H body dotyků koule vepsané s ABC a BCD a I, J body dotyků koule připsané s těmito stranami. Pozorování, že délky tětivy od daného bodu k dané kouli jsou stejně dlouhé, vám dá spoustu rovností délek různých úseček.

Ukažte, že BGI a BHJ jsou shodné.
+ skrytý text

Nyní sklopte trojúhelníky BGI a BHJ do roviny ABC po řadě podle os AB, BC.

Nyní sklopte trojúhelníky BGI a BHJ do roviny ABC po řadě podle os AB, BC.

Počítejte s objemy:
+ skrytý text
+ skrytý text

Ukazte, ze vsechna ai jsou stejna, a dokoncete tak dukaz

Označme n stupeň polynomu P. Úlohu rozdělte na tato tři případy: P je konstantí, n=1, n>=2.
druhý případ:+ skrytý text
třetí případ:
i)+ skrytý text
ii)+ skrytý text

Napište např. do prvního řádku a . Následně tabulku doplňte tak, aby všechny součty byly nulové.

Ne. Označme si daná čísla a, b, c. Je 2(a+b+c) racionální, nebo iracionální?

Napište si na papír nějaké náhodné reálné číslo (třeba 3,84659765813...). (To bude vaše x ze zadání.) A pak sledujte, co se s ním děje, pokud ho násobíte mocninami deseti a z výsledku berete celou část.

Zkuste dané podmnožiny nějak popárovat:
+ skrytý text

Umocněte na druhou a ukažte, že toto číslo je dělitelné dvěma, ale ne čtyřmi.

Ne. Postupujte sporem:
+ skrytý text

Ano.
+ skrytý text
+ skrytý text

Jaký by musel být součet oněch čísel?

Každý kluk má o jednu spolužačku více než jakékoliv děvče.

Následují první dva kroky správného postupu párování (to neznamená, že jiné postupy nejsou):
i)+ skrytý text
i)+ skrytý text

Co se stane s rozdílem oněch čísel po tom, co Alča provede danou operaci?

Stačí ukázat, že vždy umíme nalézt 2k dílků vedle sebe, mezi kterými je k těch větších.
+ skrytý text

Nalezněte párování všech průměrných podmnožin, které mají více než jeden prvek.
+ skrytý text

Ukažte, že po každém "zpoloměrování" dvou čísel se součet převrácených hodnot všech čísel zmenší.

Použijte kruhovou inverzi. (http://mks.mff.cuni.cz/library/KruhovaInverze...)

Sumy na obou stranach secteme a dostaneme rovnici neboli , tohle je hyperbola, tedy pujde zredukovat na Pellovu rovnici a opravdu muzeme psat Tohle je Pellova rovnice se zakladnim resenim , tedy pro vsechna reseni teto rovnice plati


pro
Souctem techto rovnic dostaneme
Dosazovanim za postupne dostavame posloupnost reseni . Tedy hledane je . A opravdu lze overit, ze

Číslo lze zapsat jako součet dvou po sobě jdoucích čtverců a jako součet tří po sobě jdoucích čtverců

Najděte nejmenší přirozené číslo větší než , které lze také zapsat jako součet dvou po sobě jdoucích čtverců a jako součet tří po sobě jdoucích čtverců. (Čtvercem rozumíme druhou mocninu přirozeného čísla.)

Stránka Minulé ročníky v sekci Matematika skrývá mnohá tajemství: http://mks.mff.cuni.cz/archive/26/1.pdf.

Je to 13. (Nezapomeňte na ověření, že víc to být nemůže i že 13 vyhovuje.)

Rozdělte kružnici na dva oblouky jejichž hranicemi jsou čísla 1 a 2014.

Může se stát, že daný součet na jednom oblouku bude menší než 2013?

Označme hledané číslo m. Pak m+1 a m+10 jsou druhé mocniny nějakých přirozených čísel (neboli čtverce). Jaký je největší čtverec takový, že po přičtení devítky opět vznikne čtverec?

Ukažte, že se můžeme omezit jen na podmnožiny o maximálně třech prvcích. (viz bod (ii)) A maxima tak nabydeme, pokud vybereme všechny. (To, že tento výběr vyhovuje podmínkám zadání se ověří snadno.)

Ukažte, že pokud by nějaká z podmnožin (pojmenujme ji A) měla více než tři prvky, pak byste ji mohli nahradit její tříprvkovou podmnožinou (tu nazvěme B). Musí totiž platit:
+ skrytý text
+ skrytý text

Označme koncové body daného oblouku X a Y. Pak ukažte, že pokud X a Y náleží různým stranám trojúhelníka ABC, je velikost úhlu XSY (a proto i daného oblouku) vždy stejná. Pokud by X, Y ležely na stejném rameni, bude dálka oblouku vždy menší... Pro jaké polohy S nastává jaký případ?

Každá věž je buď "neohrožována", a pak ve stejném sloupci a řádku už žádná jiná věž není (tedy každá taková věž obsadí dvě řady), nebo se ohrožuje s jednou navzájem (pak tyto dvě věže obsazují tři řady). (Řadou rozumíme buď řádek, nebo sloupec.)

Je to 7. Musíte ukázat 2 věci -- že na 7 vhodné rozmístění černých polí existuje a že na 6 (nebo méně) ne.
+ skrytý text

Nejprve si formulujme pomocné lemma.
Lemma: Mějme 2k párů čísel (). Ty můžeme rozdělit na 2 skupiny po k dvojicích, tak, že platí:
- Označíme-li součet všech áček v první skupině x, a ve druhé skupině y, pak absolutní hodnota rozdílu x-y je neostře menší než maximum ze všech áček.
- Označíme-li součet všech béček v první skupině m, a ve druhé skupině n, pak absolutní hodnota rozdílu m-n je neostře menší než maximum ze všech béček.
(Platí obě vlastnosti zároveň.)
Důkaz:+ skrytý text

Vhodně použijte lemma:+ skrytý text