\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\usepackage[cp1250]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,czech,a4wide,graphicx,amsthm}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{priklad}{Příklad}
\newtheorem*{reseni}{Řešení}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{poznamka}{Poznámka}
\DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
%\include{definitions}
\setcounter{priklad}{7}
\begin{document}
\begin{priklad}
Osy úhlů $\sphericalangle KMS$, $\sphericalangle MKS$ a $\sphericalangle KSM$ protnou kružnici opsanou trojúhelníku $MKS$ postupně v bodech $M'$, $K'$ a $S'$. Úsečky $M'K'$ a $M'S'$ dělí stranu $KS$ na tři části. Střed prostřední části označme $M_1$. Obdobně definujme body $K_1$ a $S_1$. Dokažte, že úsečky $MM_1$, $KK_1$ a $SS_1$ procházejí jedním bodem tehdy a jedině tehdy, pokud je $\triangle MKS$ rovnoramenný.
\end{priklad}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{obrazek.1}
\end{center}
\end{figure}
\begin{poznamka}
Nejprve uveďme obecně platná pravidla, která budeme v textu používat. Jsou to základní vlastnosti tětovového čtyřúhelníku (ZVTC) a dále fakt, že obraz ortocentra libovoného trojúhelníku podle přímek procházejících stranami trojúhelníku leží na kružnici opsané (VOT) a vlastnost trojúhelníku takovou, že osa úhlu protíná kružnici opsanou v témže bodě jako osa strany (důsledek ZVTC).
\end{poznamka}
\begin{reseni}
Sledujme situaci a označní dle obrázku. Nejprve ukažme, že $\triangle MEF$ je rovnoramenný se základnou $EF$. Obdobně platí i pro $\triangle KCD$ a $\triangle SAB$. Tvrzení dokážeme pro $\triangle MEF$, tedy stačí ukázat, že $EF$ je kolmá na $MM'$. Označme si průsečík $MM'$ s $EF$ jako $X$. Musí platit
$$|\sphericalangle K'XM'|=180° -(|\sphericalangle M'K'K|+|\sphericalangle K'M'M|+|\sphericalangle S'K'K|).$$
 Podle (ZVTC) víme, že $|\sphericalangle M'K'K|=|\sphericalangle M'ME|$, $|\sphericalangle K'M'M|=|\sphericalangle K'KD|$ a $|\sphericalangle S'K'K|=|\sphericalangle S'SK|$ a ze zadání víme, že
$$2|\sphericalangle M'ME|+2|\sphericalangle K'KD|+2|\sphericalangle S'SK|=180°.$$
Pouhou úpravou a dosazením dostáváme, že $|\sphericalangle K'XM'|=90°$, což je nutná a postačující podmínka aby $\triangle MEF$ byl rovnoramenný.\\

Z předchozí vlastnosti (kolmost) plyne také to, že prúsečík $O$ úseček $MM'$, $KK'$ a $SS'$ je ortocentrem trojúhelníku $M'K'S'$. Tedy dle (VOT) je $|XM|=|XO|$ a obdobně pro $K$ i $S$. Čtyřúhelník $MEOF$ (resp. $KDOC$, resp. $SAOB$) je rovnoběžník a i úsečky $EB$ a $MS$ (resp. $DA$ a $KS$, resp $CF$ a $KM$) jsou rovnoběžné a tedy můžeme najít mnoho podobných trojúhelníků.\\

Nyní si zavedeme jednodušší značení délek stran. Označme jako $a=|ME|=|MF|$, $b=|KC|=|KD|$, $c=|SB|=|SA|$, $x=|M_1B|=|M_1C|$, $y=|K_1A|=|K_1F|$ a $z=|S_1E|=|S_1D|$.\\
Snadno ukážeme, že $a=b$ (nebo jiná libovolná dvojice) právě tehdy když $\triangle MKS$ je rovnoramenný. $\triangle EDO$ je podobný $\triangle MKS$. Avšak strany $\triangle EDO$ jsou tvořeny délkami $a$, $b$ a $2z$.\\

Vyjděmě z podobnosti $\triangle EDO \simeq \triangle FOA \simeq\triangle MDA$. Tedy platí
$$\dfrac{b}{b+c}=\dfrac{a}{2y+a},\quad\quad\dfrac{c}{c+b}=\dfrac{2y}{2y+a}.$$
Levou rovnost znásobíme $c$, pravou $b$ a po úpravě dostáváme
$$2yb=ac.$$
Obdobně (cyklickou záměnou) $2xa=bc$ a $2zc=ab$.\\

Nyní použijeme Cévovu větu. Úsečky $M_1M$, $K_1K$, $S_1S$ se protnou právě tehdy jen tehdy, když platí
$$(x+b)(y+c)(z+a)=(x+c)(y+a)(z+b).$$
Pomocí ekvivalentních úprav a dosazením za $x,y,z$ výrazy s $a,b,c$. dostaneme následující rovnici.
$$a^2(c-b) + b^2(a-c) + c^2(b-a)=0$$
Ukažme, že neexistuje trojice navzájem různých čísel $a,b,c$ která by řešila danou rovnici. Búno předpokládejme, že $a=b+\delta$, kde $\delta >0$. Po dosazení a úpravě dostáváme
$$\delta(c-b)=0.$$
avšak pokud je $\delta \neq 0$, potom $c=b$ a to je spor, je li $\delta=0$ potom $a=b$ a to je rovněž spor.\\

Protože rovnice má řešení právě tehdy, když nastává rovnost mezi libovolnou dvojicí z $a,b,c$, úsečky se protínají právě tehdy pokud je trojúhelník $MKS$ rovnoramenný.
\end{reseni}
\end{document}